Dodecaedro regular

Un dodecaedro regular o dodecaedro pentagonal es un dodecaedro compuesto por caras pentagonales regulares, tres de las cuales se encuentran en cada vértice. Es un ejemplo de los sólidos platónicos, descritos como estelación cósmica por Platón en sus diálogos, y fue utilizado como parte del Sistema Solar propuesto por Johannes Kepler. Sin embargo, el dodecaedro regular, incluyendo los demás sólidos platónicos, ya había sido descrito por otros filósofos desde la antigüedad.

El dodecaedro regular pertenece a la familia de los trapezoedros truncados porque es el resultado de truncar los vértices axiales de un trapezoedro pentagonal. También es un poliedro de Goldberg porque es el poliedro inicial para construir nuevos poliedros mediante el proceso de achaflanado. Tiene relación con otros sólidos platónicos, uno de ellos es el icosaedro regular por ser su poliedro dual. Se pueden construir otros poliedros nuevos mediante el uso del dodecaedro regular.

Las propiedades métricas y la construcción del dodecaedro regular están asociadas con la proporción áurea. El dodecaedro regular se puede encontrar en muchas culturas populares: el dodecaedro romano, los cuentos infantiles, los juguetes y las artes pictóricas. También se puede encontrar en la naturaleza y en las supramoléculas, así como en la forma del universo. El esqueleto de un dodecaedro regular se puede representar como el gráfico llamado grafo dodecaédrico, un gráfico platónico. Su propiedad del hamiltoniano, un camino que visita todos sus vértices exactamente una vez, se puede encontrar en un juguete llamado juego icosiano.

Dodecaedro regular pintura de Johannes Kepler

Modelo sólido platónico de Kepler del Sistema Solar

El dodecaedro regular es un poliedro con doce caras pentagonales, treinta aristas y veinte vértices. Es uno de los sólidos platónicos, un conjunto de poliedros en el que las caras son polígonos regulares congruentes y el mismo número de caras se encuentran en un vértice. Este conjunto de poliedros recibe su nombre de Platón. En Teeteto, un diálogo de Platón, Platón planteó la hipótesis de que los elementos clásicos estaban formados por los cinco sólidos regulares uniformes. Platón describió el dodecaedro regular y comentó de forma oscura: "... el dios lo utilizó para organizar las constelaciones en todo el cielo". Timeo, como personaje del diálogo de Platón, asocia los otros cuatro sólidos platónicos (tetraedro regular, cubo, octaedro regular e icosaedro regular) con los cuatro elementos clásicos, añadiendo que existe un quinto patrón sólido que, aunque comúnmente se asocia con el dodecaedro regular, nunca se menciona directamente como tal; "este Dios lo utilizó en la delineación del universo". Aristóteles también postuló que los cielos estaban hechos de un quinto elemento, al que llamó aithêr (aether en latín, ether en inglés americano).

Tras la atribución de la naturaleza por parte de Platón, Johannes Kepler, en su Harmonices Mundi, esbozó cada uno de los sólidos platónicos, uno de ellos es un dodecaedro regular. En su Mysterium Cosmographicum, Kepler también propuso el Sistema Solar utilizando los sólidos platónicos colocados en otro y separándolos con seis esferas que se asemejaban a los seis planetas. Los sólidos ordenados comenzaban desde el más interno hasta el más externo: octaedro regular, icosaedro regular, dodecaedro regular, tetraedro regular y cubo.

Muchos filósofos de la Antigüedad describieron el dodecaedro regular, incluido el resto de los sólidos platónicos. Teeteto dio una descripción matemática de los cinco y puede haber sido responsable de la primera prueba conocida de que no existen otros poliedros regulares convexos. Euclides describió matemáticamente de forma completa los sólidos platónicos en los Elementos, cuyo último libro (Libro XIII) está dedicado a sus propiedades. Las proposiciones 13 a 17 del Libro XIII describen la construcción del tetraedro, octaedro, cubo, icosaedro y dodecaedro en ese orden. Para cada sólido, Euclides encuentra la relación entre el diámetro de la esfera circunscrita y la longitud de la arista. En la Proposición 18 sostiene que no existen más poliedros regulares convexos. Jámblico afirma que Hípaso, un pitagórico, pereció en el mar porque se jactó de haber sido el primero en divulgar "la esfera con los doce pentágonos".

El poliedro dual de un dodecaedro es el icosahedro regular. Una propiedad del poliedro dual generalmente es que el poliedro original y su doble comparten el mismo grupo de simetría tridimensional. En el caso del dodecaedro regular, tiene la misma simetría que el icosahedro regular, la simetría icosahedral ${\displaystyle \mathrm {I} _{\mathrm {h}}$. El dodecaedro regular tiene diez ejes triples que pasan por pares de vértices opuestos, seis ejes cinco que pasan por los centros de caras opuestos, y quince ejes dobles que pasan por los puntos opuestos.

Cuando un dodecaedro regular está inscrito en una esfera, ocupa más volumen de la esfera (66,49%) que un icosaedro inscrito en la misma esfera (60,55%). El resultado de los volúmenes de ambas esferas comenzó inicialmente a partir del problema de los antiguos griegos de determinar cuál de dos figuras tiene un volumen mayor: un icosaedro inscrito en una esfera o un dodecaedro inscrito en la misma esfera. El problema fue resuelto por Herón de Alejandría, Pappus de Alejandría y Fibonacci, entre otros. Apolonio de Perga descubrió el curioso resultado de que la razón de los volúmenes de estas dos figuras es la misma que la razón de sus áreas superficiales. Ambos volúmenes tienen fórmulas que involucran la proporción áurea pero se elevan a diferentes potencias.

El rectángulo áureo también puede relacionarse con el icosaedro regular y el dodecaedro regular. El icosaedro regular se puede construir intersectando perpendicularmente tres rectángulos áureos, dispuestos en ortogonalidad de dos por dos, y conectando cada uno de los vértices del rectángulo áureo con una línea de segmento. Hay 12 vértices del icosaedro regular, considerados como el centro de 12 caras del dodecaedro regular.

Así como en un cubo se pueden inscribir dos tetraedros opuestos y en un dodecaedro se pueden inscribir cinco cubos, en un dodecaedro se pueden inscribir diez tetraedros en cinco cubos: dos conjuntos opuestos de cinco, cada uno de los cuales cubre los 20 vértices y cada vértice en dos tetraedros (uno de cada conjunto, pero no del par opuesto). Como citaron Coxeter et al. (1938),

"Así como un tetraedro puede ser inscrito en un cubo, por lo que un cubo puede ser inscrito en un dodecaedro. Por reciprocación, esto conduce a un octaedro circunscrito sobre un icosahedro. De hecho, cada uno de los doce vértices del icosahedro divide un borde del octaedro según la "sección dorada". Dado el icosahedro, el octaedro circunscrito se puede elegir de cinco maneras, dando un compuesto de cinco octahedra, que viene bajo nuestra definición de icosahedro estelar. (El compuesto recíproco, de cinco cubos cuyos vértices pertenecen a un dodecaedro, es un triacontahedro estelar.) Otro icosahedro estelar se puede deducir de inmediato, al estelar cada octaedro en una octangula estelar, formando así un compuesto de diez tetrahedra. Además, podemos elegir un tetraedro de cada estelar octangula, para derivar un compuesto de cinco tetrahedra, que todavía tiene toda la simetría de rotación del icosahedro (es decir, el grupo icosahedral), aunque ha perdido las reflexiones. Al reflejar esta figura en cualquier plano de simetría del icosahedron, obtenemos el conjunto complementario de cinco tetrahedra. Estos dos conjuntos de cinco tetrahedra son enantiomorfos, es decir, no directamente congruentes, pero relacionados como un par de zapatos. [Tal] figura que no posee un plano de simetría (para que sea enantiomorfa a su imagen del espejo) se dice que es chiral."

La matriz de configuración es una matriz en la que las filas y columnas corresponden a los elementos de un poliedro como en los vértices, bordes y caras. La diagonal de una matriz denota el número de cada elemento que aparece en un poliedro, mientras que la no diagonal de una matriz denota el número de elementos de la columna que ocurre en o en el elemento de la fila. El dodecaedro regular puede ser representado en la siguiente matriz: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}20 tendrían una relación3\2}}}}}$$

La relación de oro es la relación entre dos números iguales a la proporción de su suma a la mayor de las dos cantidades. Es una de las dos raíces de un polinomio, expresadas como ${\textstyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}{2}\approx 1.618}$. La relación de oro se puede aplicar a las propiedades métricas del dodecaedro regular, así como para construir el dodecaedro regular.

La superficie ${\displaystyle A}$ y el volumen ${\displaystyle V}$ de un dodecaedro regular de longitud de borde ${\displaystyle a}$ son: $${\displaystyle A={\frac {15\fn\fn\fn\fn\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fn\\fn\\\fn\\fn\\fn\\fn\\fn\\\\\fnMicrosoft\\\\\fnMicrosoft\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\fnMicrosoft\fnMicrosoft\\\fnMicrosoft\\\fnMicrosoft\\fnMicrosoft\\\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrosoft\fnMicrosoft\fnMicrosoft\\\fnMicrosoft\\\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}{6-2\fi} }a^{3}$$

Las siguientes coordenadas cartesianas definen los veinte vértices de un dodecaedro regular centrado en el origen y adecuadamente escalado y orientado: $${\displaystyle {\begin{aligned}(\pm 1,\pm 1,\pm 1), Pulso\qquad (0,\pm \phi\pm 1/\phi),\(\pm 1/\phi0,\pm \phi), ventaja\qquad (\pm \phi\pm 1/\phi0). {\fnK}}$$

Si la longitud de borde de un dodecaedro regular es ${\displaystyle a}$, el radio de una esfera circunscrita ${\displaystyle r_{c}$ (uno que toca el dodecaedro regular en todos los vértices), el radio de una esfera inscrita ${\displaystyle R_{i}$ (tangente a cada uno de los rostros regulares de Dodecaedro), y el midradius ${\displaystyle R_{m}$ (uno que toca el centro de cada borde) son: $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{c} {\fn\fn\cHFF} {3}}{2}a\approx 1.401a,\\\r_{i} {\frac {\phi ^{2}{2{\sqrt {3-\phi }}}a\approx 1.114a,\r_{m} {\frac {\f}{2}}}}a\approx}a 1.309a.$$Tenga en cuenta que, dado un dodecaedro regular de la longitud del borde uno, ${\displaystyle r_{c}$ es el radio de una esfera circunscribiendo sobre un cubo de longitud de borde ${\displaystyle \phi }$, y ${\displaystyle R_{i}$ es el apothem de un pentágono regular de longitud de borde ${\displaystyle \phi }$.

El ángulo dihedral de un dodecaedro regular entre cada dos caras pentagonales adyacentes es ${\displaystyle 2\arctan(\phi)}$, aproximadamente 116.565°.

El dodecaedro regular puede interpretarse como un trapezoedro truncado. Es el conjunto de poliedros que se puede construir truncando los dos vértices axiales de un trapezoedro. Aquí, el dodecaedro regular se construye truncando el trapezoedro pentagonal.

El dodecaedro regular puede interpretarse como el poliedro de Goldberg. Es un conjunto de poliedros que contienen caras hexagonales y pentagonales. Aparte de dos sólidos platónicos (el tetraedro y el cubo), el dodecaedro regular es el punto inicial de la construcción del poliedro de Goldberg, y el siguiente poliedro se obtiene truncando todas sus aristas, un proceso llamado chaflán. Este proceso puede repetirse continuamente, lo que da como resultado más poliedros de Goldberg nuevos. Estos poliedros se clasifican como la primera clase de un poliedro de Goldberg.

Las estelaciones del dodecaedro regular forman tres de los cuatro poliedros de Kepler-Poinsot. La primera estelación de un dodecaedro regular se construye uniendo su capa con pirámides pentagonales, formando un pequeño dodecaedro estrellado. La segunda estelación se construye uniendo el pequeño dodecaedro estrellado con cuñas, formando un gran dodecaedro. La tercera estelación se construye uniendo el gran dodecaedro con las pirámides triangulares puntiagudas, formando un gran dodecaedro estrellado.

Los dodecaedros regulares se han utilizado como dados y probablemente también como instrumentos adivinatorios. Durante la época helenística se fabricaron pequeños dodecaedros romanos huecos de bronce que se han encontrado en varias ruinas romanas de Europa. Su finalidad no es segura.

En el arte del siglo XX, el dodecaedro aparece en la obra de M. C. Escher, como en sus litografías Reptiles (1943) y Gravitación (1952). En el cuadro de Salvador Dalí El sacramento de la Última Cena (1955), la estancia es un dodecaedro regular hueco. Gerard Caris basó toda su obra artística en el dodecaedro regular y el pentágono, presentado como un nuevo movimiento artístico acuñado como pentagonismo.

En los juegos de rol modernos, el dodecaedro regular se utiliza a menudo como dado de doce caras, uno de los dados poliédricos más comunes. El rompecabezas Megaminx tiene la forma de un dodecaedro regular junto con sus análogos de orden mayor y menor.

En la novela infantil El peaje fantasma, el dodecaedro regular aparece como un personaje en el mundo de las matemáticas. Cada cara del dodecaedro regular describe las distintas expresiones faciales, girando hacia adelante según sea necesario para adaptarse a su estado de ánimo.

El registro fósil del cocolithophore Braarudosphaera bigelowii vuelve cien millones de años

Las caras de un Holmium–magnesium–zinc (Ho-Mg-Zn) quasicrystal son verdaderos pentágonos regulares

Estructura cristalina Co20L12 dodecahedron reportado por Kai Wu, Jonathan Nitschke y compañeros de trabajo en la Universidad de Cambridge en Sinth. 2023, DOI:10.1038/s44160-023-00276-9

El cocolitóforo fósil Braarudosphaera bigelowii (ver figura), un alga fitoplanctónica costera unicelular, tiene una concha de carbonato de calcio con una estructura dodecaédrica regular de unos 10 micrómetros de diámetro.

Algunos cuasicristales y jaulas tienen forma dodecaédrica (ver figura). También se dice que algunos cristales regulares, como el granate y el diamante, presentan un hábito "dodecaédrico", pero esta afirmación en realidad se refiere a la forma de dodecaedro rómbico.

Se han propuesto varios modelos para la geometría global del universo. Entre estas propuestas se encuentra el espacio dodecaédrico de Poincaré, un espacio de curvatura positiva que consiste en un dodecaedro regular cuyas caras opuestas se corresponden (con una pequeña torsión). Este modelo fue propuesto por Jean-Pierre Luminet y sus colegas en 2003, y en 2008 se estimó una orientación óptima en el cielo para el modelo.

En el cuento de Bertrand Russell de 1954, "La pesadilla del matemático: la visión del profesor Squarepunt", el número 5 decía: "Soy el número de dedos de una mano. Hago pentágonos y pentagramas. Y si no fuera por mí, los dodecaedros no podrían existir; y, como todo el mundo sabe, el universo es un dodecaedro. Por lo tanto, si no fuera por mí, no podría haber universo".

La propiedad Hamiltonian del gráfico dodecahedral y el juguete matemático juego Icosian

Según el teorema de Steinitz, el grafo puede representarse como el esqueleto de un poliedro; en términos generales, como el armazón de un poliedro. Un grafo de este tipo tiene dos propiedades. Es plano, lo que significa que las aristas de un grafo están conectadas a cada vértice sin cruzar otras aristas. También es un grafo triconexo, lo que significa que, siempre que un grafo tenga más de tres vértices y se eliminen dos de los vértices, las aristas permanecerán conectadas. El esqueleto de un dodecaedro regular puede representarse como un grafo, y se denomina grafo dodecaédrico, un grafo platónico.

Este gráfico también se puede construir como el gráfico generalizado de Petersen ${\displaystyle G(10,2)}$, donde los vértices de un decagón están conectados a los de dos pentágonos, un pentágono conectado a vértices extraños del decagón y el otro pentágono conectado a los vértices incluso. Geométricamente, esto se puede visualizar como el cinturón ecuatorial de diez vértigos del dodecaedro conectado a las dos regiones polares de 5 vértigo, una a cada lado.

El alto grado de simetría del polígono se replica en las propiedades de este grafo, que son distancia transitiva, distancia regular y simétrica. El grupo de automorfismos tiene orden ciento veinte. Los vértices se pueden colorear con 3 colores, al igual que las aristas, y el diámetro es cinco.

El grafo dodecaédrico es hamiltoniano, lo que significa que un camino visita todos sus vértices exactamente una vez. El nombre de esta propiedad se debe a William Rowan Hamilton, quien inventó un juego matemático conocido como el juego icosiano. El objetivo del juego era encontrar un ciclo hamiltoniano a lo largo de los bordes de un dodecaedro.

• 120-células, un policrón regular (4D politopo cuya superficie consta de ciento veinte células dodecahedral)
• Braarudosphaera bigelowii − Un cocolithophore en forma de dodecahedro (una alga de fitoplancton unicellular).
• Dodecahedrane (molécula)
• Pentakis dodecahedron
• Snub dodecahedron
• Truncado dodecaedro

• Weisstein, Eric W. "Regular Dodecahedron". MathWorld.
• Klitzing, Richard. "3D convex uniforme polihedra o3o5x - doe".
• Red impresa editable de un dodecahedron con vista 3D interactiva
• El uniforme Polyhedra
• Origami Polyhedra – Modelos hechos con Origami modular
• Dodecahedron – Modelo 3-d que funciona en su navegador
• Realidad Virtual Polyhedra La Enciclopedia de Polyhedra
  • VRML#Dodecahedron regional
• K.J.M. MacLean, A Geometric Analysis of the Five Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra
• Dodecahedron 3D Visualización
• Stella: Polyhedron Navigator: Software utilizado para crear algunas de las imágenes en esta página.
• Cómo hacer un dodecaedro de un cubo de Styrofoam
• Los Elementos griego, indio y chino – Siete Elementos Teoría