Dodecaedro chato

Snub dodecahedron
(Haga clic aquí para el modelo giratorio)
Tipo	Arquitecto sólido Uniform polyhedron
Elementos	F = 92, E = 150, V = 60 (χ = 2)
Caras por lados	(20+60){3}+12{5}
Notación de Conway	SD
Símbolos de Schläfli	o s{}53}{displaystyle s{begin{Bmatrix}53end{Bmatrix}}
	h0,1,2{5,3}
Signatura Wythoff	Silencio
Coxeter diagrama
Grupo de Symmetry	Yo... 1/2H3[5,3]+, (532), orden 60
Grupo de rotación	I, [5,3]+, (532), orden 60
Ángulo Dihedral	3-3: 164°10′31′ (164.18°) 3-5: 152°55′53′ (152.93°)
Referencias	U29, C32, W18
Propiedades	Convexo semiregular chiral
Caras de colores	3.3.3.3.5 (Vertex figure)
Hexecontahedron pentagonal (poliedro dual)	Cifras netas

En geometría, el dodecaedro chato, o icosidodecaedro chato, es un sólido de Arquímedes, uno de trece sólidos isogonales convexos no prismáticos construidos por dos o más tipos de caras poligonales regulares.

El dodecaedro chato tiene 92 caras (la mayoría de los 13 sólidos de Arquímedes): 12 son pentágonos y los otros 80 son triángulos equiláteros. También tiene 150 aristas y 60 vértices.

Tiene dos formas distintas, que son imágenes especulares (o "enantiomorfos") entre sí. La unión de ambas formas es un compuesto de dos dodecaedros chatos, y el casco convexo de ambas formas es un icosidodecaedro truncado.

Kepler lo nombró en latín dodecahedron simum en 1619 en su Harmonices Mundi. H. S. M. Coxeter, señalando que podría derivarse por igual del dodecaedro o del icosahedro, lo llamó snub icosidodecahedron, con un símbolo de Schläfli vertical s{}53}{displaystyle sscriptstyle {begin{Bmatrix}53end{Bmatrix}}} y el símbolo Schläfli plano sr{5,3}.

Coordenadas cartesianas

Sea ξ ≈ 0.94315125924 sea el cero real del polinomio cúbico x³ + 2x² − φ², donde φ es la proporción áurea. Sea el punto p dado por

p=()φ φ 2− − φ φ 2.. − − φ φ 3+φ φ .. +2φ φ .. 2.. ){displaystyle p={begin{pmatrix}phi ^{2}-phi ^{2}xi \fi ^{3}+phi xi +2phi xi ^{2}\xi end{pmatrix}}.

Sean las matrices de rotación M₁ y M₂ dadas por

M1=()12φ φ − − φ φ 212φ φ 21212φ φ − − 1212φ φ φ φ 2){displaystyle M_{1}={begin{pmatrix}{frac {1}{2phi } {frac {frac {phi }{2}} {frac {1}}\\\\\fnMic {fnMic} {f}}}}}\\\fnMic}\\\\fnMic}}\\\\fnMic}}\\\\\\fn}\\fnMic}\\fn}\\\\\\\\fn\\fn\\\\fn\\\\\\fnfnfn\\fn}\\fnfnfn\\\\\\fnfn\\fn {2} {2}{2} {2}} {2}} {2f}f}} {2f} {fn} {fn} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn}}} {fn}}}}}}}}}}} {fnfn}}}}}}

y

M2=()001100010).{displaystyle M_{2}={begin{pmatrix}0 tarde0 diez11 doble0}}}

M₁ representa la rotación alrededor del eje (0,1,φ) a través de un ángulo de 2π/5 en sentido antihorario, mientras que M₂ es un cambio cíclico de (x,y,z) representa la rotación alrededor del eje (1,1,1) a través de un ángulo de 2π/3. Entonces los 60 vértices del dodecaedro chato son las 60 imágenes del punto p bajo multiplicación repetida por M₁ y/o M₂, iterado a la convergencia. (Las matrices M₁ y M₂ generan las 60 matrices de rotación correspondientes a las 60 simetrías rotacionales de un regular icosaedro). Las coordenadas de los vértices son combinaciones lineales integrales de 1, φ, ξ, φξ, ξ ² y φξ². La longitud del borde es igual

2.. 1− − .. .. 0.44975061841.{displaystyle 2xi {sqrt {1-xi }approx 0.449,750,618,41}

Negar todas las coordenadas da la imagen especular de este dodecaedro chato.

Como volumen, el dodecaedro chato consta de 80 pirámides triangulares y 12 pentagonales. El volumen V₃ de una pirámide triangular viene dado por:

V3=13φ φ ()3.. 2− − φ φ 2).. 0,02727406885,{displaystyle V_{3}={frac {1}{3}phi left(3xi ^{2}-phi ^{2}right)approx 0,027,274,068,85,}

y el volumen V₅ de una pirámide pentagonal por:

V5=13()3φ φ +1)()φ φ +3− − 2.. − − 3.. 2).. 3.. 0.10334966504.{displaystyle V_{5}={3} {3phi +1)left(phi +3-2xi -3xi ^{2}right)xi ^{3}approx 0.103,349,665,04}

El volumen total es

80V3+12V5.. 3.42212148876.{displaystyle 80V_{3}+12V_{5}approx 3.422,121,488,76}

El circunradio es igual a

4.. 2− − φ φ 2.. 0.96958919265.{displaystyle {sqrt {4xi ^{2}-phi ^{2}approx 0.969,589,192,65}

El radio medio es igual a ξ. Esto da una interesante interpretación geométrica del número ξ. El 20 "icosaédrico" Los triángulos del dodecaedro chato descritos anteriormente son coplanares con las caras de un icosaedro regular. El radio medio de este "circunscrito" icosaedro es igual a 1. Esto significa que ξ es la relación entre los medios de un dodecaedro romo y el icosaedro en el que está inscrito.

El ángulo diedro triángulo-triángulo viene dado por

Silencio Silencio 33=180∘ ∘ − − arccos⁡ ⁡ ()23.. +13).. 164.17536605603∘ ∘ .{displaystyle theta _{33}=180^{circ }-arccos left({frac {2}{3}xi +{frac {1}{3}right)approx 164.175,366,056,03^{circ }.}

El ángulo diedro triángulo-pentágono viene dado por

Silencio Silencio 35=180∘ ∘ − − arccos⁡ ⁡ − − ()4φ φ +8).. 2− − ()4φ φ +8).. +12φ φ +1915.. 152.92992027584∘ ∘ .{displaystyle theta _{35}=180^{circ }-arccos {sqrt {frac {-4phi +8)xi ^{2}-(4phi +8)xi +12phi +19}{15}}approx 152.929,920,275,84^{circ }}

Propiedades métricas

Para un dodecaedro chato cuya longitud de borde es 1, el área de la superficie es

A=203+325+105.. 55.28674495844515.{displaystyle A=20{sqrt {3}+3{sqrt {25+10{sqrt {5}}approx 55.286,744,958,445,15}

Su volumen es

V=()3φ φ +1).. 2+()3φ φ +1).. − − φ φ /6− − 23.. 2− − φ φ 2.. 37.61664996273336.{displaystyle V={frac {3phi +1)xi ^{2}+(3phi +1)xi -phi /6-2}{sqrt {3xi ^{2}-phi ^{2}}}approx} 37.616,649,962,733,36}

Alternativamente, este volumen puede escribirse como

V=5+556318+65+a()3+35+a)+5+3524272+()5+5)a()3+35+a).. 37.61664996273336,{displaystyle V={frac {5+5{sqrt {5}{6{sqrt} {sqrt} {sqrt}}} {sqrt}}} {csqrt}}}} {ccsqrt}}}} {cccH0}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}} { {cH00} {cH00} {cH00}} {cH00}} {cH00}} {cH00}} {cH00}} {ccH00}} {cH00} {cH00}} {ccH00}} {ccH00}} {ccH00}}}}}} {cccH00}}}}}} {cccH00}}}}}}}}}} {cccccccccccH00}}}}}}}}}}} {cccccccccccH00} {cH00}} {cH00}}}}}}}}}}}}}}} {cH00} {cH00}}}}}}}}}}}}}}} {ccc 37.616,649,962,733,36}

dónde,

a=54()1+5)+6102+16253+54()1+5)− − 6102+16253.. 10.29336899818421.{displaystyle a={sqrt[{3}}{54(1+{sqrt {5})+6{sqrt {102+162{sqrt {5}}}}}+{sqrt[{3}]{54(1+{sqrt {5})-6{sqrt {102+162{sqrt {5}}}approx} 10.293,368,998,184,21}

Su circunradio es

R=122− − .. 1− − .. .. 2.155837375.{displaystyle R={frac {2}{2}{sqrt {frac {2-xi }{1-xi }approx 2.155,837,375}

Su radio medio es

r=1211− − .. .. 2.09705383525.{displaystyle r={frac {1}{2}{sqrt {1}{1xi }approx 2.097,053,835,25}

Hay dos esferas inscritas, una tocando las caras triangulares y otra, un poco más pequeña, tocando las caras pentagonales. Sus radios son, respectivamente:

r3=φ φ 36.. 11− − .. .. 2.07708965974{displaystyle [R_{3}={frac {fnfnsqrt {3}{6xi }{sqrt {frac {1}{1-xi }}approx 2.077,089,659,74}

y

r5=12φ φ 2.. 2+3φ φ 2.. +115φ φ +125.. 1.98091594728.{displaystyle {fnfn}fnh}fnh}fnh}xi ^{2}+3phi ^{2}xi {fnK}fn}fnK}fn}fn}fnK}}} 1.980,915,947,28}

Las cuatro raíces reales positivas de la ecuación séxtica en R²

4096R12− − 27648R10+47104R8− − 35776R6+13872R4− − 2696R2+209=0{displaystyle 4096R^{12}-27648R^{10}+47104R^{8}-35776R^{6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0}

son los circunradios del dodecaedro chato (U₂₉), gran icosidodecaedro chato (U₅₇), gran icosidodecaedro romo invertido (U₆₉), y gran icosidodecaedro romo invertido (U₇₄).

El dodecaedro chato tiene la mayor esfericidad de todos los sólidos de Arquímedes. Si la esfericidad se define como la relación del volumen al cuadrado sobre el área de la superficie al cubo, multiplicada por una constante de 36π (donde esta constante hace la esfericidad de una esfera igual a 1), la esfericidad del dodecaedro chato es de aproximadamente 0,947.

Proyecciones ortogonales

El dodecaedro romo tiene dos proyecciones ortogonales especialmente simétricas como se muestra a continuación, centradas en dos tipos de caras: triángulos y pentágonos, correspondientes a A₂ y H₂aviones Coxeter.

Proyecciones ortogonales

Centrado por	Cara Triángulo	Cara Pentágono	Edge
Sólido
Wireframe
Projective simetría	[3]	[5]+	[2]
Doble

Relaciones geométricas

Dodecahedron, rhombicosidodecahedron y snub dodecahedron (expansión animada y torsión)

alternancia uniforme de un icosidodecahedron truncado

Superposición de icosidodecahedra truncada regular y semiregular

El dodecaedro chato se puede generar tomando las doce caras pentagonales del dodecaedro y tirando de ellas hacia afuera para que ya no se toquen. A una distancia adecuada, esto puede crear el rombicosidodecaedro rellenando caras cuadradas entre los bordes divididos y caras triangulares entre los vértices divididos. Pero para la forma chata, saca un poco menos las caras pentagonales, solo agrega las caras triangulares y deja los otros espacios vacíos (los otros espacios son rectángulos en este punto). Luego aplique una rotación igual a los centros de los pentágonos y triángulos, continuando la rotación hasta que los huecos puedan ser llenados por dos triángulos equiláteros. (El hecho de que la cantidad adecuada para extraer las caras sea menor en el caso del dodecaedro chato se puede ver de dos maneras: el circunradio del dodecaedro chato es más pequeño que el del icosidodecaedro; o bien, la longitud del borde de los triángulos equiláteros formados por los vértices divididos aumentan cuando se giran las caras pentagonales).

El dodecaedro chato también se puede derivar del icosidodecaedro truncado mediante el proceso de alternancia. Sesenta de los vértices del icosidodecaedro truncado forman un poliedro topológicamente equivalente a un dodecaedro chato; los sesenta restantes forman su imagen especular. El poliedro resultante es de vértice transitivo pero no uniforme.

Alternativamente, la combinación de los vértices del dodecaedro chato dado por las coordenadas cartesianas (arriba) y su espejo formará un icosidodecaedro truncado semirregular. Las comparaciones entre estos poliedros regulares y semirregulares se muestran en la figura de la derecha.

Las coordenadas cartesianas para los vértices de este dodecaedro chato alternativo se obtienen seleccionando conjuntos de 12 (de 24 permutaciones pares posibles contenidas en las cinco coordenadas cartesianas del icosidodecaedro truncado). Las alternancias son aquellas con un número impar de signos menos en estos tres conjuntos:

(±1/φ±1/φ± 3 +φ)),

(±1/φ±φ²±(−1 + 3φ)),

(±φ±3, ±2φ),

y un número par de signos menos en estos dos conjuntos:

(±2/φ±φ±(1 + 2φ)),

(±(2)φ± 2, 2 +φ)),

donde φ = 1 + √5/2 es la proporción áurea.

Poliedros y mosaicos relacionados

Family of uniform icosahedral polyhedra
Simetría: [5,3], (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t{5,3}	r{5,3}	t{3,5}	{3,5}	rr{5,3}	tr{5,3}	sr{5,3}
Duals to uniform polyhedra
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Este poliedro semiregular es miembro de una secuencia de poliedros y revestimientos con figura de vértice (3.3.3.3.n) y el diagrama Coxeter-Dynkin . Estas cifras y sus duales tienen (n32) simetría rotatoria, estando en el plano euclidiano para n= 6, y plano hiperbólico para cualquier nivel superior n. La serie se puede considerar para comenzar con n= 2, con un conjunto de caras degeneradas en digones.

n32 mutaciones de la simetría de las baldosas del snub: 3.3.3.3.n v t e
Simmetría n32	Spherical				Euclidean	Hiperbólico compacto		Paracomp.
	232	332	432	532	632	732	832	JUEGO32
Snub cifras
Config.	3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.6	3.3.3.3.7	3.3.3.3.8	3.3.3.3.
Gyro cifras
Config.	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7	V3.3.3.3.8	V3.3.3.3.

Gráfico dodecaédrico chato

En el campo matemático de la teoría de grafos, un gráfico dodecaédrico chato es el gráfico de vértices y aristas del dodecaedro chato, uno de los sólidos de Arquímedes. Tiene 60 vértices y 150 aristas, y es un grafo de Arquímedes.