Doblando el cubo

Un cubo de unidad (side = 1) y un cubo con el doble del volumen (side = ${displaystyle {sqrt[{3}{2}}$ = 1.2599210498948732... OEIS: A002580).

Doblar el cubo, también conocido como el problema de Delian, es un antiguo problema geométrico. Dada la arista de un cubo, el problema requiere la construcción de la arista de un segundo cubo cuyo volumen sea el doble del primero. Al igual que con los problemas relacionados con la cuadratura del círculo y la trisección del ángulo, ahora se sabe que duplicar el cubo es imposible de construir usando solo un compás y una regla, pero incluso en la antigüedad se conocían soluciones que empleaban otras herramientas.

Los egipcios, los indios y, en particular, los griegos eran conscientes del problema e hicieron muchos intentos inútiles de resolver lo que consideraban un problema obstinado pero soluble. Sin embargo, la inexistencia de una solución de compás y regla fue finalmente probada por Pierre Wantzel en 1837.

En términos algebraicos, duplicar un cubo de unidad requiere la construcción de un segmento de línea de longitud x, donde x³ = 2; en otras palabras, x = ${displaystyle {sqrt[{3}{2}}$, el raíz de cubo de dos. Esto es porque un cubo de longitud lateral 1 tiene un volumen 1³ = 1, y un cubo de dos veces ese volumen (un volumen de 2) tiene una longitud lateral de la raíz del cubo de 2. Por lo tanto, la imposibilidad de duplicar el cubo equivale a la afirmación de que ${displaystyle {sqrt[{3}{2}}$ no es un número constructible. Esto es consecuencia del hecho de que las coordenadas de un nuevo punto construidas por una brújula y el enderezo son raíces de polinomios sobre el campo generado por las coordenadas de puntos anteriores, de ningún grado mayor que un cuadrático. Esto implica que el grado de extensión de campo generado por un punto constructible debe ser un poder de 2. La extensión de campo generada por ${displaystyle {sqrt[{3}{2}}$, sin embargo, es de grado 3.

Prueba de imposibilidad

Comenzamos con el segmento de línea unitaria definido por puntos (0,0) y (1,0) en el plano. Estamos obligados a construir un segmento de línea definido por dos puntos separados por una distancia ${displaystyle {sqrt[{3}{2}}$. Se muestra fácilmente que las construcciones de brújula y hendidura permitirían que dicho segmento de línea se moviera libremente para tocar el origen, paralelamente con el segmento de línea unitaria - así que equivalentemente podemos considerar la tarea de construir un segmento de línea de (0,0) a (${displaystyle {sqrt[{3}{2}}$, 0), que implica construir el punto (${displaystyle {sqrt[{3}{2}}$, 0).

Respetuosamente, las herramientas de una brújula y una rectada nos permiten crear círculos centrados en un punto previamente definido y pasando por otro, y crear líneas que pasan por dos puntos previamente definidos. Cualquier punto recién definido surge como resultado de la intersección de dos círculos, como la intersección de un círculo y una línea, o como la intersección de dos líneas. Un ejercicio de geometría analítica elemental muestra que en los tres casos, ambos x- y Sí.-coordinados del punto recién definido satisfacen un polinomio de grado no superior a un cuadrático, con coeficientes que son adiciones, subtracciones, multiplicaciones y divisiones que involucran las coordenadas de los puntos previamente definidos (y números racionales). Restablecido en terminología más abstracta, la nueva x- y Sí.-coordinados tienen mínimos polinomios de grado en la mayoría de 2 sobre el subcampo de ${displaystyle mathbb {R}$ generado por las coordenadas anteriores. Por lo tanto, el grado de extensión de campo correspondiente a cada nueva coordenadas es 2 o 1.

Así que, dada una coordinación de cualquier punto construido, podemos proceder inductivamente hacia atrás a través de la x- y Sí.-coordinados de los puntos en el orden que fueron definidos hasta alcanzar el par original de puntos (0,0) y (1,0). Como cada extensión de campo tiene grado 2 o 1, y como extensión de campo ${displaystyle mathbb {Q}$ de las coordenadas del par original de puntos es claramente de grado 1, sigue de la regla de la torre que el grado de la extensión de campo sobre ${displaystyle mathbb {Q}$ de cualquier coordenadas de un punto construido es un poder de 2.

Ahora, p()x) x³ − 2 = 0 se ve fácilmente irreducible sobre ${displaystyle mathbb {Z}$ – cualquier factorización implicaría un factor lineal ()x − k) para algunos k ▪ ${displaystyle mathbb {Z}$, y así k debe ser una raíz de p()x); pero también k debe dividir 2 (por el teorema raíz racional); es decir, k = 1, 2, 1 o −2, y ninguna de estas son raíces de p()x). Por Lemma de Gauss, p()x) también es irreducible ${displaystyle mathbb {Q}$, y por lo tanto es un polinomio mínimo ${displaystyle mathbb {Q}$ para ${displaystyle {sqrt[{3}{2}}$. La extensión de campo ${displaystyle mathbb {Q} ({sqrt[{3}})mathbb {Q}$ es por tanto de grado 3. Pero esto no es un poder de 2, así que por lo anterior, ${displaystyle {sqrt[{3}{2}}$ no es la coordinación de un punto constructible, y por lo tanto un segmento de línea ${displaystyle {sqrt[{3}{2}}$ no se puede construir, y el cubo no se puede duplicar.

Historia

El problema debe su nombre a una historia sobre los ciudadanos de Delos, que consultaron al oráculo de Delfos para saber cómo derrotar una plaga enviada por Apolo. Sin embargo, según Plutarco, los ciudadanos de Delos consultaron al oráculo de Delfos para encontrar una solución a sus problemas políticos internos en ese momento, que habían intensificado las relaciones entre los ciudadanos. El oráculo respondió que debían duplicar el tamaño del altar a Apolo, que era un cubo regular. La respuesta les pareció extraña a los delianos, y consultaron a Platón, quien supo interpretar el oráculo como el problema matemático de duplicar el volumen de un cubo dado, explicando así el oráculo como el consejo de Apolo para que los ciudadanos de Delos se ocuparan. con el estudio de la geometría y las matemáticas para calmar sus pasiones.

Según Plutarco, Platón le dio el problema a Eudoxo, Arquitas y Menaechmus, quienes resolvieron el problema usando medios mecánicos, ganándose una reprimenda de Platón por no resolver el problema usando geometría pura. Esta puede ser la razón por la cual el autor del pseudoplatónico Sísifo (388e) se refiere al problema en el año 350 a. C. como aún sin resolver. Sin embargo, otra versión de la historia (atribuida a Eratóstenes por Eutocius de Ascalon) dice que los tres encontraron soluciones pero que eran demasiado abstractas para tener valor práctico.

Un avance significativo en la búsqueda de una solución al problema fue el descubrimiento por parte de Hipócrates de Quíos de que es equivalente a encontrar dos medias proporcionales entre un segmento de recta y otro con el doble de longitud. En notación moderna, esto significa que segmentos dados de longitudes a y 2a< /span>, la duplicación del cubo equivale a encontrar segmentos de longitudes r y s para que

${displaystyle {frac {fn}={frac} {} {fn}= {fnMicroc} {} {2a}}}$

A su vez, esto significa que

${displaystyle r=acdot {sqrt[{3}}}}}$

Pero Pierre Wantzel demostró en 1837 que la raíz cúbica de 2 no es construible; es decir, no se puede construir con regla y compás.

Soluciones a través de medios que no sean compás y regla

Menecmo' La solución original implica la intersección de dos curvas cónicas. Otros métodos más complicados de doblar el cubo involucran a neusis, la cisoide de Diocles, la concoide de Nicomedes o la línea de Filón. Pandrosion, probablemente una mujer matemática de la antigua Grecia, encontró una solución aproximada numéricamente precisa utilizando planos en tres dimensiones, pero Pappus de Alejandría la criticó duramente por no proporcionar una prueba matemática adecuada. Arquitas resolvió el problema en el siglo IV a. C. utilizando la construcción geométrica en tres dimensiones, determinando un punto determinado como la intersección de tres superficies de revolución.

Las afirmaciones falsas de duplicar el cubo con regla y compás abundan en la literatura de manivelas matemáticas (pseudomatemáticas).

El origami también se puede usar para construir la raíz cúbica de dos doblando papel.

Usando una regla marcada

Hay una construcción de neusis simple usando una regla marcada para una longitud que es la raíz cúbica de 2 veces otra longitud.

1. Marcar un gobernante con la longitud dada; esto eventualmente será GH.
2. Construir un triángulo equilátero ABC con la longitud dada como lado.
3. Extender AB una cantidad igual de nuevo a D.
4. Extender la línea BC formando la línea CE.
5. Extender la línea DC formando la línea CF.
6. Coloque la regla marcada por lo que pasa a través de A y un extremo, G, de la longitud marcada cae en ray CF y el otro extremo de la longitud marcada, H, cae en ray CE. Así GH es la longitud dada.

Luego AG es el tiempo de longitud dado ${displaystyle {sqrt[{3}{2}}$.

En teoría musical

En la teoría de la música, un análogo natural de duplicación es la octava (un intervalo musical causado por duplicar la frecuencia de un tono), y un análogo natural de un cubo está dividiendo la octava en tres partes, cada uno el mismo intervalo. En este sentido, el problema de duplicar el cubo es resuelto por el tercio mayor en igual temperamento. Este es un intervalo musical que es exactamente un tercio de una octava. Multiplica la frecuencia de un tono por ${displaystyle 2^{4/12}=2^{1/3}={sqrt[{3}{2}}}$, la longitud lateral del cubo Delian.

Notas explicativas