Divisor

Los divisores de 10 ilustrados con varas Cuisenaire: 1, 2, 5 y 10

En matemáticas, a divisor de un entero n{displaystyle n}, también llamado a factor de n{displaystyle n}, es un entero m{displaystyle m} que puede ser multiplicado por algún entero para producir n{displaystyle n}. En este caso, también se dice que n{displaystyle n} es un múltiple de m.{displaystyle m.} Un entero n{displaystyle n} es divisible o incluso divisible por otro entero m{displaystyle m} si m{displaystyle m} es un divisor de n{displaystyle n}; esto implica dividir n{displaystyle n} por m{displaystyle m} no deja ningún resto.

Definición

Un entero n es divisible por un entero no cero m si existe un entero k tales que n=km{displaystyle n=km}. Esto está escrito como

m▪ ▪ n.{displaystyle mmid n.}

Otras formas de decir lo mismo son que m divideciones n, m es un divisor de n, m es un factor n, y n es un múltiple de m. Si m no divide n, entonces la notación es m∤n{displaystyle mnot mid n}.

Normalmente, m es necesario ser no cero, pero n está permitido ser cero. Con esta convención, m▪ ▪ 0{displaystyle mmid 0} para cada entero no cero m. Algunas definiciones omiten el requisito de que m{displaystyle m} Ser no cero.

Generales

Los divisores pueden ser tanto negativos como positivos, aunque a veces el término se restringe a los divisores positivos. Por ejemplo, hay seis divisores de 4; son 1, 2, 4, −1, −2 y −4, pero normalmente solo se mencionarían los positivos (1, 2 y 4).

1 y −1 dividen (son divisores de) todo número entero. Todo número entero (y su negación) es divisor de sí mismo. Los enteros divisibles por 2 se llaman pares, y los enteros que no son divisibles por 2 se llaman impares.

1, −1, n y −n se conocen como los divisores triviales de n. Un divisor de n que no es un divisor trivial se conoce como un divisor no trivial (o divisor estricto). Un número entero distinto de cero con al menos un divisor no trivial se conoce como número compuesto, mientras que las unidades −1 y 1 y los números primos no tienen divisores no triviales.

Existen reglas de divisibilidad que permiten reconocer ciertos divisores de un número a partir de los dígitos del número.

Ejemplos

Parcela del número de divisores de enteros de 1 a 1000. Los números primos tienen exactamente 2 divisores, y los números altamente compuestos están en negrita.

• 7 es un divisor de 42 porque 7× × 6=42{displaystyle 7times 6=42}Así podemos decir 7▪ ▪ 42{displaystyle 7mid 42}. También se puede decir que 42 es divisible por 7, 42 es un múltiple de 7, 7 divide 42, o 7 es un factor de 42.
• Los divisores no tripulados de 6 son 2, −2, 3, −3.
• Los divisores positivos de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• El conjunto de todos los divisores positivos de 60, A={}1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}{displaystyle A=1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}, parcialmente ordenado por divisibilidad, tiene el diagrama de Hasse:

Otras nociones y hechos

Hay algunas reglas elementales:

• Si a▪ ▪ b{displaystyle amid b} y b▪ ▪ c{displaystyle bmid c}, entonces a▪ ▪ c{displaystyle amid c}La divisibilidad es una relación transitiva.
• Si a▪ ▪ b{displaystyle amid b} y b▪ ▪ a{displaystyle bmid a}, entonces a=b{displaystyle a=b} o a=− − b{displaystyle a=-b}.
• Si a▪ ▪ b{displaystyle amid b} y a▪ ▪ c{displaystyle amid c}, entonces a▪ ▪ ()b+c){displaystyle amid (b+c)} sostiene, al igual que a▪ ▪ ()b− − c){displaystyle amid (b-c)}. Sin embargo, si a▪ ▪ b{displaystyle amid b} y c▪ ▪ b{displaystyle cmid b}, entonces ()a+c)▪ ▪ b{displaystyle (a+c)mid b} ¿Sí? no siempre mantener (por ejemplo. 2▪ ▪ 6{displaystyle 2mid 6} y 3▪ ▪ 6{displaystyle 3mid 6} pero 5 no divide 6).

Si a▪ ▪ bc{displaystyle amid bc}, y gcd()a,b)=1{displaystyle gcd(a,b)=1}, entonces a▪ ▪ c{displaystyle amid c}. Esto se llama Lemma de Euclid.

Si p{displaystyle p} es un número primo y p▪ ▪ ab{displaystyle pmid ab} entonces p▪ ▪ a{displaystyle pmid a} o p▪ ▪ b{displaystyle pmid b}.

Un divisor positivo n{displaystyle n} que es diferente de n{displaystyle n} se llama adecuado divisor o un ali de n{displaystyle n}. Un número que no divide n{displaystyle n} pero deja un resto se llama a veces aliquant part de n{displaystyle n}.

Un entero 1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">n■1{displaystyle n confía1}1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee74e1cc07e7041edf0fcbd4481f5cd32ad17b64" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;"/> cuyo único divisor adecuado es 1 se llama un número primo. Equivalentemente, un número primo es un número entero positivo que tiene exactamente dos factores positivos: 1 y en sí mismo.

Cualquier divisor positivo n{displaystyle n} es un producto de los primeros divisores de n{displaystyle n} criado a algún poder. Esta es una consecuencia del teorema fundamental de la aritmética.

Número n{displaystyle n} se dice que es perfecto si iguala la suma de sus divisores adecuados, deficiente si la suma de sus divisores adecuados es menos que n{displaystyle n}, y abundante si esta suma excede n{displaystyle n}.

Número total de divisores positivos n{displaystyle n} es una función multiplicativa d()n){displaystyle d(n)}, significa que cuando dos números m{displaystyle m} y n{displaystyle n} son relativamente primos, entonces d()mn)=d()m)× × d()n){displaystyle d(mn)=d(m)times d(n)}. Por ejemplo, d()42)=8=2× × 2× × 2=d()2)× × d()3)× × d()7){displaystyle d(42)=8=2times 2times 2=d(2)times d(3)times d(7)}; los ocho divisores de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42. Sin embargo, el número de divisores positivos no es una función totalmente multiplicativa: si los dos números m{displaystyle m} y n{displaystyle n} compartir un divisor común, entonces podría no ser cierto que d()mn)=d()m)× × d()n){displaystyle d(mn)=d(m)times d(n)}. La suma de los divisores positivos n{displaystyle n} es otra función multiplicativa σ σ ()n){displaystyle sigma (n)} (por ejemplo. σ σ ()42)=96=3× × 4× × 8=σ σ ()2)× × σ σ ()3)× × σ σ ()7)=1+2+3+6+7+14+21+42{displaystyle sigma (42)=96=3times 4times 8=sigma (2)times sigma (3)times sigma (7)=1+2+3+6+7+14+21+42}). Ambas funciones son ejemplos de funciones divisor.

Si la factorización principal n{displaystyle n} es dado por

n=p1.. 1p2.. 2⋯ ⋯ pk.. k{displaystyle No. ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué?

entonces el número de divisores positivos n{displaystyle n} es

d()n)=().. 1+1)().. 2+1)⋯ ⋯ ().. k+1),{displaystyle d(n)=(nu _{1}+1)(nu _{2}+1)cdots (nu _{k}+1),}

y cada uno de los divisores tiene la forma

p1μ μ 1p2μ μ 2⋯ ⋯ pkμ μ k{displaystyle P_{1}{mu ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué?

Donde 0≤ ≤ μ μ i≤ ≤ .. i{displaystyle 0leq mu _{i}leq nu _{i} para cada uno 1≤ ≤ i≤ ≤ k.{displaystyle 1leq ileq k.}

Por cada natural n{displaystyle n}, <math alttext="{displaystyle d(n)d()n).2n{fnMicrosoft Sans Serif}<img alt="d(n).

Además,

d()1)+d()2)+⋯ ⋯ +d()n)=nIn⁡ ⁡ n+()2γ γ − − 1)n+O()n).{displaystyle d(1)+d(2)+cdots +d(n)=nln n+(2gamma -1)n+O({sqrt {n}).}

Donde γ γ {displaystyle gamma } es Euler-Mascheroni constante. Una interpretación de este resultado es que un entero positivo elegido aleatoriamente n tiene un promedio Número de divisores de aproximadamente In⁡ ⁡ n{displaystyle ln n}. Sin embargo, esto es un resultado de las contribuciones de números con divisores "anormalmente muchos".

En álgebra abstracta

Teoría de anillos

Red de división

En definiciones que incluyen 0, la relación de divisibilidad convierte el conjunto N{displaystyle mathbb {N} de enteros no negativos en un conjunto parcialmente ordenado: una celosía distributiva completa. El elemento más grande de esta celosía es 0 y el más pequeño es 1. The meet operation ∧ es dado por el mayor divisor común y la operación de unión Alternativa por el múltiplo menos común. Esta celosía es isomorfa a la doble de la celosía de subgrupos del grupo cíclico infinito Z{displaystyle mathbb {Z}.