División por cero

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Clase de expresión matemática

La función

Sí. = 1 / x

. As

x

enfoques

0

de la derecha,

Sí.

se acerca al infinito. As

x

enfoques

0

de la izquierda,

Sí.

se acerca al infinito negativo.

En matemáticas, división por cero es división donde el divisor (denominador) es cero. Tal división puede expresarse oficialmente como ${textstyle {tfrac {a}{0}}}$ , donde $a$ es el dividendo (numerador). En aritmética ordinaria, la expresión no tiene sentido, ya que no hay número que, cuando se multiplica por $0$ , da $a$ (suponiendo ${textstyle aneq 0}$ ); por lo tanto, la división por cero es indefinida (un tipo de singularidad). Puesto que cualquier número multiplicado por cero es cero, la expresión ${displaystyle {tfrac {0}{0}}}$ es también indefinido; cuando es la forma de un límite, es una forma indeterminada. Históricamente, una de las primeras referencias registradas a la imposibilidad matemática de asignar un valor a ${textstyle {tfrac {a}{0}}}$ está contenida en la crítica del filósofo anglo-irlandés George Berkeley de cálculo infinitesimal en 1734 en El analista ("fantasmas de las cantidades difuntas").

Hay estructuras matemáticas en las cuales ${textstyle {tfrac {a}{0}}}$ se define para algunos $a$ tales como en la esfera Riemann (un modelo del plano complejo ampliado) y la línea real prorrogada por Projectively; sin embargo, tales estructuras no satisfacen todas las reglas ordinarias de la aritmética (el campo axiomas).

En computación, un error de programa puede resultar de un intento de dividir por cero. Según el entorno de programación y el tipo de número (p. ej., punto flotante, entero) que se divide por cero, puede generar un infinito positivo o negativo según el estándar de punto flotante IEEE 754, generar una excepción, generar un mensaje de error, causar el programa para terminar, dar como resultado un valor especial que no es un número o bloquearse.

Aritmética elemental

Cuando la división se explica a nivel aritmético elemental, a menudo se considera como dividir un conjunto de objetos en partes iguales. Como ejemplo, considera tener diez cookies, y estas cookies deben ser distribuidas por igual a cinco personas en una mesa. Cada persona recibiría ${displaystyle {tfrac {10}{5}}=2}$ galletas. Del mismo modo, si hay diez galletas, y sólo una persona en la mesa, esa persona recibiría ${displaystyle {tfrac {10}{1}}=10}$ galletas.

Por lo tanto, para dividir por cero, ¿cuál es el número de cookies que cada persona recibe cuando 10 cookies se distribuyen equitativamente entre 0 personas en una tabla? Ciertas palabras pueden ser señaladas en la pregunta para resaltar el problema. El problema con esta pregunta es el "cuando". No hay manera de distribuir 10 galletas a nadie. Por lo tanto, ${displaystyle {tfrac {10}{0}}}$ —al menos en la aritmética elemental— se dice que no tiene sentido o no está definido.

Si hay, digamos, 5 galletas y 2 personas, el problema está en "distribuir uniformemente". En cualquier partición entera de 5 cosas en 2 partes, una de las partes de la partición tendrá más elementos que la otra o habrá un resto (escrito como 5/2 = 2 r1). O bien, el problema con 5 galletas y 2 personas se puede resolver cortando una galleta por la mitad, lo que introduce la idea de las fracciones (5 /2 = 2+1/2). El problema con 5 galletas y 0 personas, por otro lado, no puede resolverse de ninguna manera que conserve el significado de "divide".

En álgebra elemental, otra forma de ver la división por cero es que la división siempre se puede comprobar mediante la multiplicación. Teniendo en cuenta el 10/0 ejemplo anterior, configurando x = 10/0, si x es igual a diez dividido por cero, entonces x multiplicado por cero es igual a diez, pero no hay x que, cuando se multiplica por cero, dé diez (o cualquier otro número que no sea cero). Si, en lugar de x = 10 //span>0, x = 0/0, luego cada x satisface la pregunta "¿qué número x, multiplicado por cero, da cero?"

Primeros intentos

El Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta (c. 598–668) es el texto más antiguo que trata el cero como un número por derecho propio y que define operaciones que involucran cero. El autor no pudo explicar la división por cero en sus textos: se puede probar fácilmente que su definición conduce a absurdos algebraicos. Según Brahmagupta,

Un número positivo o negativo cuando se divide por cero es una fracción con el cero como denominador. Cero dividido por un número negativo o positivo es cero o se expresa como una fracción con cero como numerador y la cantidad finita como denominador. Cero dividido por cero es cero.

En 830, Mahāvīra intentó sin éxito corregir el error que cometió Brahmagupta en su libro Ganita Sara Samgraha: "Un número permanece sin cambios cuando se divide por cero".

Álgebra

Las cuatro operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) aplicadas a números enteros (enteros positivos), con algunas restricciones, en la aritmética elemental se utilizan como marco para respaldar la extensión del reino de los números al que pertenecen. aplicar. Por ejemplo, para que sea posible restar cualquier número entero de otro, el reino de los números debe expandirse a todo el conjunto de enteros para incorporar los enteros negativos. De manera similar, para apoyar la división de cualquier número entero por cualquier otro, el reino de los números debe expandirse a los números racionales. Durante esta expansión gradual del sistema numérico, se tiene cuidado de asegurar que las "operaciones extendidas", cuando se aplican a los números más antiguos, no produzcan resultados diferentes. En términos generales, dado que la división por cero no tiene significado (es indefinido) en la configuración de números enteros, esto sigue siendo cierto a medida que la configuración se expande a los números reales o incluso complejos.

A medida que se expande el ámbito de los números a los que se pueden aplicar estas operaciones, también hay cambios en la forma en que se ven las operaciones. Por ejemplo, en el ámbito de los números enteros, la resta ya no se considera una operación básica, ya que puede ser reemplazada por la suma de números con signo. De manera similar, cuando el reino de los números se expande para incluir los números racionales, la división es reemplazada por la multiplicación por ciertos números racionales. De acuerdo con este cambio de punto de vista, la pregunta, '¿Por qué no podemos dividir por cero?', se convierte en '¿Por qué un número racional no puede tener un denominador cero?' #34;. Responder a esta pregunta revisada requiere precisamente un examen detallado de la definición de números racionales.

En el enfoque moderno para construir el campo de los números reales, los números racionales aparecen como un paso intermedio en el desarrollo que se basa en la teoría de conjuntos. Primero, los números naturales (incluido el cero) se establecen sobre una base axiomática como el sistema de axiomas de Peano y luego esto se expande al anillo de los números enteros. El siguiente paso es definir los números racionales teniendo en cuenta que esto debe hacerse utilizando únicamente los conjuntos y operaciones que ya se han establecido, a saber, la suma, la multiplicación y los números enteros. Comenzando con el conjunto de pares ordenados de enteros, ${(a, b)}$ con $b \neq 0$ , defina una relación binaria en este conjunto mediante $(a, b) ≃ (c, d)$ si y solo si $ad = aC$ . Se muestra que esta relación es una relación de equivalencia y sus clases de equivalencia se definen como números racionales. Es en la prueba formal de que esta relación es una relación de equivalencia que se necesita el requisito de que la segunda coordenada no sea cero (para verificar la transitividad).

La explicación anterior puede ser demasiado abstracta y técnica para muchos propósitos, pero si se asume la existencia y las propiedades de los números racionales, como se hace comúnmente en las matemáticas elementales, la "razón" que la división por cero no está permitida está oculta a la vista. No obstante, se puede dar una justificación (no rigurosa) en este contexto.

Se deduce de las propiedades del sistema numérico que usamos comúnmente que si $b \neq 0$ , entonces la ecuación $a / b = c$ es equivalente a $a = b \times c$ . Si permitiéramos un denominador cero, llegaríamos a una contradicción o a una ecuación que era verdadera sin importar el valor que le asignáramos a la "fracción". Si $a / 0$ eran un número $c$ , entonces se seguiría que $a = 0 \times c = 0$ . Sin embargo, el número único $c$ tendría que determinarse mediante la ecuación $0 = 0 \times c$ , que se satisface con todos los números. No podemos asignar un valor numérico a $0 / 0$ y en su lugar decir que la división por cero no está permitida.

División como la inversa de la multiplicación

(feminine)

El concepto que explica la división en álgebra es que es el inverso de la multiplicación. Por ejemplo,

{displaystyle {frac {6}{3}}=2}

2

{displaystyle ?times 3=6}

{displaystyle {frac {6}{0}}=,x}

{displaystyle xtimes 0=6.}

0

0

La expresión

{displaystyle {frac {0}{0}}=,x}

{displaystyle xtimes 0=0.}

0

0

0 / 0

En general, no se puede asignar un solo valor a una fracción cuyo denominador sea $0$ , por lo que el valor permanece indefinido.

Falacias

Una razón de peso para no permitir la división por cero es que, si se permitiera, surgirían muchos resultados absurdos (es decir, falacias). Cuando se trabaja con cantidades numéricas, es fácil determinar cuándo se está realizando un intento ilegal de dividir por cero. Por ejemplo, considere el siguiente cálculo.

Con las suposiciones:

{displaystyle {begin{aligned}0times 1&=0,\0times 2&=0,end{aligned}}}

{displaystyle 0times 1=0times 2.}

Dividiendo ambos lados por cero da:

{displaystyle {begin{aligned}{frac {0times 1}{0}}&={frac {0times 2}{0}}\[6px]{frac {0}{0}}times 1&={frac {0}{0}}times 2.end{aligned}}}

Simplificado, esto produce:

{displaystyle 1=2.}

Sin embargo, es posible disfrazar una división por cero en un argumento algebraico, lo que lleva a pruebas inválidas que, por ejemplo, $1 = 2$ como las siguientes:

Vamos

1 = x

Multiply by $x$ para llegar

{displaystyle x=x^{2}.}

Subtract

1

de cada lado para conseguir

{displaystyle x-1=x^{2}-1.}

Divide ambos lados por

x - 1

{displaystyle {begin{aligned}{frac {x-1}{x-1}}&={frac {x^{2}-1}{x-1}}\[6pt]&={frac {(x+1)(x-1)}{x-1}},end{aligned}}}

que simplifica

{displaystyle 1=x+1.}

Pero, desde

x = 1

{displaystyle 1=1+1=2}

por lo tanto

{displaystyle 1=2.}

La división encubierta por cero ocurre desde $x - 1 = 0$ cuando $x = 1$ .

Análisis

Línea real extendida

A primera vista parece posible definir a/0 considerando el límite de a/b como b tiende a 0.

Para cualquier a positivo, el límite por la derecha es

{displaystyle lim _{bto 0^{+}}{a over b}=+infty }

{displaystyle lim _{bto 0^{-}}{a over b}=-infty }

y así $lim _{bto 0}{a over b}$ no está definido (el límite también es indefinido para negativo a).

Además, no existe una definición obvia de 0/0 que pueda derivarse al considerar el límite de una relación. El límite

{displaystyle lim _{(a,b)to (0,0)}{a over b}}

{displaystyle lim _{xto 0}{f(x) over g(x)}}

fxgxxfg

Por ejemplo, considere:

{displaystyle lim _{xto 1}{x^{2}-1 over x-1}}

Esto inicialmente parece ser indeterminado. Sin embargo:

{displaystyle {begin{aligned}&=lim _{xto 1}{(x-1)(x+1) over x-1}\&=lim _{xto 1}{(x+1)}\&=2end{aligned}}}

y así el límite existe, y es igual a $2$ .

Estos y otros hechos similares muestran que la expresión ${frac {0}{0}}$ no puede ser bien definido como un límite.

Operaciones formales

Un cálculo formal es uno realizado utilizando reglas de aritmética, sin tener en cuenta si el resultado del cálculo está bien definido. Por lo tanto, a veces es útil pensar en a/0, donde aل 0, como ser $infty$ . Este infinito puede ser positivo, negativo o no firmado, dependiendo del contexto. Por ejemplo, formalmente:

{displaystyle lim _{xto 0}{{frac {1}{x}}={frac {lim limits _{xto 0}{1}}{lim limits _{xto 0}{x}}}}=infty.}

Al igual que con cualquier cálculo formal, es posible que se obtengan resultados no válidos. Un cálculo lógicamente riguroso (en oposición al formal) solo afirmaría que

{displaystyle lim _{xto 0^{+}}{frac {1}{x}}=+infty ~{text{ and }}~lim _{xto 0^{-}}{frac {1}{x}}=-infty.}

Dado que los límites unilaterales son diferentes, el límite bilateral no existe en el marco estándar de los números reales. Además, la fracción 1/0 queda indefinida en la recta real extendida, por lo tanto ella y

{displaystyle {frac {lim limits _{xto 0}1}{lim limits _{xto 0}x}}}

son expresiones sin sentido.

Línea real extendida proyectivamente

El set $mathbb {R} cup {infty }$ es la línea real proyectada, que es una compactación de un punto de la línea real. Aquí. $infty$ significa un infinito no firmado o punto en el infinito, una cantidad infinita que no es positiva ni negativa. Esta cantidad satisfice $-infty =infty$ , que es necesario en este contexto. En esta estructura, ${frac {a}{0}}=infty$ se puede definir para nonzero $a$ , y ${displaystyle {frac {a}{infty }}=0}$ cuando $a$ no $infty$ . Es la manera natural de ver el rango de la función tangente y las funciones cotangentes de la trigonometría: $tan(x)$ aborda el punto único en el infinito como $x$ enfoques o $+ π / 2$ o $- π / 2$ desde cualquier dirección.

Esta definición conduce a muchos resultados interesantes. Sin embargo, la estructura algebraica resultante no es un campo, y no se debe esperar que se comporta como uno. Por ejemplo, $infty +infty$ no está definido en esta extensión de la línea real.

Esfera de Riemann

El set ${displaystyle mathbb {C} ^{*}=mathbb {C} cup {{tilde {infty }}}}$ es la esfera Riemann, que es de gran importancia en el análisis complejo. Aquí. ${displaystyle {tilde {infty }}}$ representa el infinito complejo, que es también un punto en el infinito. Este conjunto es análogo a la línea real proyectada, excepto que se basa en el campo de números complejos. En la esfera Riemann, ${displaystyle {frac {1}{0}}={tilde {infty }}}$ y ${displaystyle {frac {1}{tilde {infty }}}=0}$ , pero ${frac {0}{0}}$ , ${displaystyle {frac {tilde {infty }}{tilde {infty }}}}$ , y ${displaystyle 0times {tilde {infty }}}$ son indefinidos.

Matemáticas superiores

Aunque la división por cero no se puede definir de manera sensata con números reales y enteros, es posible definirla consistentemente, u operaciones similares, en otras estructuras matemáticas.

Análisis no estándar

En los números hiperreales y los números surrealistas, la división por cero sigue siendo imposible, pero la división por infinitesimales distintos de cero es posible.

Teoría de la distribución

En la teoría de la distribución se puede ampliar la función ${textstyle {frac {1}{x}}}$ a una distribución en todo el espacio de números reales (en efecto utilizando los valores principales de Cauchy). No tiene sentido, sin embargo, pedir un "valor" de esta distribución en x= 0; una respuesta sofisticada se refiere al apoyo singular de la distribución.

Álgebra lineal

En álgebra matricial (o álgebra lineal en general), se puede definir una pseudodivisión estableciendo a/b = ab ⁺, donde b⁺ representa la pseudoinversa de b. Se puede probar que si b⁻¹ existe, entonces b⁺ = b⁻¹. Si b es igual a 0, entonces b⁺ = 0.

Álgebra abstracta

En álgebra abstracta, los enteros, los números racionales, los números reales, y los números complejos pueden ser abstraídos a estructuras algebraicas más generales, como un anillo conmutativo, que es una estructura matemática donde la adición, la resta y la multiplicación se comportan como lo hacen en los sistemas de número más familiar, pero la división puede no ser definida. Adjuntar una inversa multiplicativa a un anillo conmutativo se llama localización. Sin embargo, la localización de cada anillo comunicativo a cero es el anillo trivial, donde ${displaystyle 0=1}$ , por lo que los anillos conmutativos notriviales no tienen inversos a cero, y por lo tanto la división por cero no es definida para anillos conmutativos notriviales.

Sin embargo, cualquier sistema de número que forma un anillo conmutativo puede extenderse a una estructura raramente usada llamada rueda en la que la división por cero es siempre posible. Sin embargo, la estructura matemática resultante ya no es un anillo conmutativo, ya que la multiplicación ya no distribuye sobre adición. Además, en una rueda, la división de un elemento por sí misma ya no resulta en el elemento de identidad multiplicativo $1$ , y si el sistema original era un dominio integral, la multiplicación en la rueda ya no resulta en un semigrupo anulativo.

Los conceptos aplicados a la aritmética estándar son similares a los de estructuras algebraicas más generales, como anillos y campos. En un campo, cada elemento no cero es invertible bajo la multiplicación; como arriba, la división plantea problemas sólo al intentar dividir por cero. Esto es igualmente cierto en un campo de juguetón (que por esta razón se llama anillo de división). Sin embargo, en otros anillos, la división por elementos no cero también puede plantear problemas. Por ejemplo, el anillo Z/6Z de enteros mod 6. El significado de la expresión ${textstyle {frac {2}{2}}}$ debería ser la solución x de la ecuación $2x=2$ . Pero en el anillo Z/6Z2 es un divisor cero. Esta ecuación tiene dos soluciones distintas, $x = 1$ y $x = 4$ , así que la expresión ${textstyle {frac {2}{2}}}$ es indefinido.

En la teoría del campo, la expresión ${textstyle {frac {a}{b}}}$ es sólo breve para la expresión formal ab⁻¹, donde b⁻¹ es el inverso multiplicativo de b. Puesto que los axiomas de campo sólo garantizan la existencia de tales inversos para elementos no cero, esta expresión no tiene sentido cuando b es cero. Los textos modernos, que definen campos como un tipo especial de anillo, incluyen el axioma $1$ para campos (o su equivalente) para que el anillo cero se excluya de ser un campo. En el anillo cero, la división por cero es posible, lo que muestra que los otros axiomas de campo no son suficientes para excluir la división por cero en un campo.

Aritmética informática

La mayoría de las calculadoras, como este Instrumentos de Texas TI-86, detendrán la ejecución y mostrarán un mensaje de error cuando el usuario o un programa de ejecución intenta dividir por cero.

División por cero en la aplicación de calculadora de Android 2.2.1 muestra el símbolo del infinito.

El estándar de punto flotante IEEE, compatible con casi todas las unidades modernas de punto flotante, especifica que cada operación aritmética de punto flotante, incluida la división por cero, tiene un resultado bien definido. El estándar admite cero con signo, así como infinito y NaN (no un número). Hay dos ceros: +0 (cero positivo) y −0 (cero negativo) y esto elimina cualquier ambigüedad al dividir. En la aritmética IEEE 754, a ÷ +0 es infinito positivo cuando a es positivo, infinito negativo cuando a es negativo y NaN cuando a = ±0. Los signos de infinito cambian cuando se divide por −0.

Dividir un número por 0 en la calculadora de Windows 11

La justificación de esta definición es preservar el signo del resultado en caso de subdesbordamiento aritmético. Por ejemplo, en el cálculo de precisión simple 1/(x/2), donde x = ±2⁻¹⁴⁹, el cálculo x/2 se desborda y produce ±0 con signo coincidente x, y el resultado será ±∞ con signo coincidente x. El signo coincidirá con el del resultado exacto ±2¹⁵⁰, pero la magnitud del resultado exacto es demasiado grande para representarla, por lo que se usa el infinito para indicar el desbordamiento.

Terminal Division por 0 en Windows 11

La división de enteros por cero generalmente se maneja de manera diferente al punto flotante, ya que no hay una representación de enteros para el resultado. Algunos procesadores generan una excepción cuando se intenta dividir un número entero por cero, aunque otros simplemente continuarán y generarán un resultado incorrecto para la división. El resultado depende de cómo se implemente la división y puede ser cero o, a veces, el entero más grande posible.

& #34;Dividir por cero" error. En estos casos, si se desea algún comportamiento especial para la división por cero, la condición debe probarse explícitamente (por ejemplo, usando una instrucción if). Algunos programas (especialmente aquellos que usan aritmética de punto fijo donde no hay hardware de punto flotante dedicado disponible) usarán un comportamiento similar al estándar IEEE, usando grandes números positivos y negativos para aproximar infinitos. En algunos lenguajes de programación, un intento de dividir por cero da como resultado un comportamiento indefinido. El lenguaje de programación gráfico Scratch 2.0 y 3.0 utilizado en muchas escuelas devuelve Infinity o −Infinity según el signo del dividendo.

En la aritmética de complemento a dos, los intentos de dividir el entero con signo más pequeño por −1 se enfrentan a problemas similares y se manejan con el mismo rango de soluciones, desde condiciones de error explícito hasta comportamiento indefinido.

La mayoría de las calculadoras devolverán un error o indicarán que 1/0 no está definido; sin embargo, algunas calculadoras gráficas TI y HP evaluarán (1/0)² a ∞.

Microsoft Math y Mathematica devuelven ComplexInfinity para 1/0. Maple y SageMath devuelven un mensaje de error para 1/0 e infinito para 1/0.0 (0.0 les dice a estos sistemas que usen aritmética de coma flotante en lugar de aritmética algebraica).

Algunas calculadoras modernas permiten la división por cero en casos especiales, donde será útil para los estudiantes y, presumiblemente, entendido en contexto por los matemáticos. Algunas calculadoras, la calculadora de Desmos en línea es un ejemplo, permiten arctangent(1/0). A menudo se enseña a los estudiantes que la función cotangente inversa, arcotangente, debe calcularse tomando el arctangente de la reciproca, y por lo tanto una calculadora puede permitir arctangente(1/0), dando la salida ${tfrac {pi }{2}}$ , que es el valor correcto del arccotangent 0. La justificación matemática es que el límite como x va a cero de arctangente 1/x es ${tfrac {pi }{2}}$ .

Accidentes históricos

El 21 de septiembre de 1997, una división por error cero en el "Remote Data Base Manager" a bordo de USS Yorktown (CG-48) derribó todas las máquinas de la red, causando que el sistema de propulsión del buque fallara.

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