División (matemáticas)

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Operación Aritmética

20 / 4 = 5, ilustrado aquí con manzanas. Esto se dice verbalmente, "Veinte divididos por cuatro iguales cinco."

División es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética, las formas en que los números se combinan para formar nuevos números. Las otras operaciones son la suma, la resta y la multiplicación.

A nivel elemental, la división de dos números naturales es, entre otras posibles interpretaciones, el proceso de calcular el número de veces que un número está contenido dentro de otro. Este número de veces no necesita ser un número entero. Por ejemplo, si 20 manzanas se dividen en partes iguales entre 4 personas, todos reciben 5 manzanas (ver imagen).

La división con resto o división euclidiana de dos números naturales proporciona un cociente entero, que es el número de veces que el segundo número está completamente contenido en el primero, y un resto, que es la parte del primer número que queda, cuando en el curso del cálculo del cociente, no se puede asignar más parte completa del tamaño del segundo número. Por ejemplo, si se dividen 21 manzanas entre 4 personas, todos reciben 5 manzanas nuevamente y queda 1 manzana.

Para que la división siempre produzca un número en lugar de un cociente más un resto, los números naturales deben extenderse a números racionales o números reales. En estos sistemas numéricos ampliados, la división es la operación inversa a la multiplicación, es decir, $a = c / b$ significa $a \times b = c$ , siempre que $b$ no es cero. Si $b = 0$ , entonces se trata de una división por cero, que no está definida. En el ejemplo de 21 manzanas, todos recibirían 5 manzanas y un cuarto de manzana, evitando así sobras.

Ambas formas de división aparecen en varias estructuras algebraicas, diferentes formas de definir la estructura matemática. Aquellos en los que se define una división euclidiana (con resto) se denominan dominios euclidianos e incluyen anillos polinómicos en un indeterminado (que definen la multiplicación y la suma sobre fórmulas de una sola variable). Aquellos en los que se define una división (con un único resultado) entre todos los elementos distintos de cero se denominan campos y anillos de división. En un anillo, los elementos por los que siempre es posible la división se denominan unidades (por ejemplo, 1 y −1 en el anillo de los enteros). Otra generalización de la división a estructuras algebraicas es el grupo de cocientes, en el que el resultado de la "división" es un grupo en lugar de un número.

Introducción

La forma más sencilla de ver la división es en términos de comillas y particiones: desde la perspectiva de las comillas, $20 / 5$ significa la cantidad de 5 que se deben sumar para obtener 20. En términos de partición, $20 / 5$ significa el tamaño de cada una de las 5 partes en las que se divide un conjunto de tamaño 20. Por ejemplo, 20 manzanas se dividen en cinco grupos de cuatro manzanas, lo que significa que veinte dividido por cinco es igual a cuatro. Esto se denota como $20 / 5 = 4$ , o $20 / 5 = 4$ . Lo que se divide se llama dividendo, que se divide por el divisor, y el resultado se llama cociente. En el ejemplo, 20 es el dividendo, 5 es el divisor y 4 es el cociente.

A diferencia de las otras operaciones básicas, al dividir números naturales a veces hay un resto que no entra de manera uniforme en el dividendo; por ejemplo, $10 / 3$ deja un resto de 1, ya que 10 no es un múltiplo de 3. A veces, este resto se suma al cociente como parte fraccionaria, por lo que $10 / 3$ es igual a $3 + 1 / 3$ o $3.33...$ , pero en el contexto de la división de enteros, donde los números no tienen parte fraccionaria, el resto se mantiene por separado (o excepcionalmente, desechados o redondeados). Cuando el resto se mantiene como una fracción, conduce a un número racional. El conjunto de todos los números racionales se crea extendiendo los enteros con todos los posibles resultados de las divisiones de enteros.

A diferencia de la multiplicación y la suma, la división no es conmutativa, lo que significa que $a / b$ no siempre es igual a b / a. La división tampoco es, en general, asociativa, lo que significa que al dividir varias veces, el orden de la división puede cambiar el resultado. Por ejemplo, $(24 / 6) / 2 = 2$ , pero $24 / (6 / 2) = 8$ (donde el el uso de paréntesis indica que las operaciones dentro de paréntesis se realizan antes que las operaciones fuera de paréntesis).

La división se considera tradicionalmente como asociativa por la izquierda. Es decir, si hay varias divisiones seguidas, el orden de cálculo va de izquierda a derecha:

{displaystyle a/b/c=(a/b)/c=a/(btimes c);neq ;a/(b/c)=(atimes c)/b.}

La división es distributiva por la derecha sobre la suma y la resta, en el sentido de que

{displaystyle {frac {apm b}{c}}=(apm b)/c=(a/c)pm (b/c)={frac {a}{c}}pm {frac {b}{c}}.}

Esto es lo mismo para la multiplicación, como $(a+b)times c=atimes c+btimes c$ . Sin embargo, la división es no izquierdista, como

{displaystyle {frac {a}{b+c}}=a/(b+c);neq ;(a/b)+(a/c)={frac {ac+ab}{bc}}.}

Por ejemplo

{displaystyle {frac {12}{2+4}}={frac {12}{6}}=2,}

pero

{displaystyle {frac {12}{2}}+{frac {12}{4}}=6+3=9.}

Esto es diferente al caso de la multiplicación, que es tanto distributiva a la izquierda como distributiva a la derecha y, por lo tanto, distributiva.

Notación

Además y minusválidos. Un obelus utilizado como una variante del signo de menos en un extracto de un formulario oficial de declaración comercial noruego llamado «Næringsoppgave 1» para el año fiscal 2010.

La división a menudo se muestra en álgebra y ciencia colocando el dividendo sobre el divisor con una línea horizontal, también llamada barra de fracción, entre ellos. Por ejemplo, "a dividido por b" puede escribirse como:

{frac {a}{b}}

que también se puede leer en voz alta como "dividir a entre b" o "a sobre b". Una forma de expresar la división en una sola línea es escribir el dividendo (o numerador), luego una barra oblicua, luego el divisor (o denominador), de la siguiente manera:

a/b

Esta es la forma habitual de especificar la división en la mayoría de los lenguajes de programación de computadoras, ya que se puede escribir fácilmente como una secuencia simple de caracteres ASCII. (También es la única notación utilizada para objetos cocientes en álgebra abstracta). Algunos software matemáticos, como MATLAB y GNU Octave, permiten que los operandos se escriban en orden inverso utilizando la barra invertida como operador de división:

bbackslash a

Una variación tipográfica a medio camino entre estas dos formas utiliza un solidus (barra diagonal), pero eleva el dividendo y reduce el divisor:

{displaystyle {}^{a}!/{}_{b}}

Cualquiera de estas formas se puede usar para mostrar una fracción. Una fracción es una expresión de división en la que tanto el dividendo como el divisor son números enteros (normalmente llamados numerador y denominador), y no implica que la división deba evaluarse más. Una segunda forma de mostrar la división es usar el signo de división (÷, también conocido como obelus aunque el término tiene significados adicionales), común en aritmética, de esta manera:

adiv b

Esta forma es poco frecuente excepto en aritmética elemental. ISO 80000-2-9.6 establece que no debe usarse. Este signo de división también se usa solo para representar la operación de división en sí, como por ejemplo como una etiqueta en una tecla de una calculadora. El obelus fue introducido por el matemático suizo Johann Rahn en 1659 en Teutsche Algebra. El símbolo ÷ se usa para indicar la resta en algunos países europeos, por lo que su uso puede malinterpretarse.

En algunos países de habla no inglesa, se usan dos puntos para indicar división:

a:b

Esta notación fue introducida por Gottfried Wilhelm Leibniz en su Acta eruditorum de 1684. A Leibniz no le gustaba tener símbolos separados para razón y división. Sin embargo, en el uso en inglés, los dos puntos se limitan a expresar el concepto relacionado de proporciones.

Desde el siglo XIX, los libros de texto estadounidenses han utilizado ${displaystyle b)a}$ o $b{overline {)a}}$ to denote a dividido por b, especialmente cuando discuten larga división. La historia de esta notación no es completamente clara porque evolucionaba con el tiempo.

Informática

Métodos manuales

La división a menudo se introduce a través de la noción de "repartir" un conjunto de objetos, por ejemplo, una pila de paletas, en varias porciones iguales. Distribuir los objetos varios a la vez en cada ronda de compartir a cada porción lleva a la idea de 'fragmentar' – una forma de división en la que se restan repetidamente múltiplos del divisor del propio dividendo.

Al permitir que se resten más múltiplos de los que permite el resto parcial en una etapa determinada, también se pueden desarrollar métodos más flexibles, como la variante bidireccional de fragmentación.

De manera más sistemática y eficiente, dos números enteros se pueden dividir con lápiz y papel con el método de división corta, si el divisor es pequeño, o división larga, si el divisor es más grande. Si el dividendo tiene una parte fraccionaria (expresada como una fracción decimal), se puede continuar el procedimiento más allá del lugar de las unidades tanto como se desee. Si el divisor tiene una parte fraccionaria, se puede reformular el problema moviendo el decimal a la derecha en ambos números hasta que el divisor no tenga fracción, lo que puede hacer que el problema sea más fácil de resolver (por ejemplo, 10/2,5 = 100/25 = 4).

La división se puede calcular con un ábaco.

Las tablas de logaritmos se pueden usar para dividir dos números, restando los dos números' logaritmos y luego buscar el antilogaritmo del resultado.

La división se puede calcular con una regla de cálculo alineando el divisor en la escala C con el dividendo en la escala D. El cociente se puede encontrar en la escala D donde está alineado con el índice izquierdo en la escala C. Sin embargo, el usuario es responsable de realizar un seguimiento mental del punto decimal.

Por computadora

Las calculadoras y computadoras modernas calculan la división por métodos similares a la división larga o por métodos más rápidos; ver Algoritmo de división.

En aritmética modular (módulo a número primo) y para números reales, los números distintos de cero tienen un inverso multiplicativo. En estos casos, una división entre $x$ puede calcularse como el producto del inverso multiplicativo de $x$ . Este enfoque se asocia a menudo con los métodos más rápidos de la aritmética informática.

División en diferentes contextos

División euclidiana

La división euclidiana es la formulación matemática del resultado del proceso habitual de división de números enteros. Afirma que, dados dos números enteros, a, el dividendo, y b, el divisor, tales que b ≠ 0, hay enteros únicos q, el cociente, y r, el resto, tales que a = bq + r y 0 ≤ r < |b|, donde |b| denota el valor absoluto de b.

De enteros

Los enteros no se cierran en división. Aparte de que la división por cero no está definida, el cociente no es un número entero a menos que el dividendo sea un múltiplo entero del divisor. Por ejemplo, 26 no se puede dividir por 11 para dar un número entero. Tal caso utiliza uno de cinco enfoques:

Digamos que 26 no pueden dividirse por 11; la división se convierte en una función parcial.
Dar una respuesta aproximada como número de punto flotante. Este es el enfoque generalmente tomado en la computación numérica.
Dar la respuesta como una fracción que representa un número racional, por lo que el resultado de la división 26 por 11 es ${tfrac {26}{11}}$ (o como número mixto, por lo tanto ${displaystyle {tfrac {26}{11}}=2{tfrac {4}{11}}.}$ ) Por lo general la fracción resultante debe ser simplificada: el resultado de la división de 52 por 22 es también ${tfrac {26}{11}}$ . Esta simplificación puede hacerse al factorar el mayor divisor común.
Dar la respuesta como un entero quotient y a restoAsí que ${tfrac {26}{11}}=2{mbox{ remainder }}4.$ Para hacer la distinción con el caso anterior, esta división, con dos enteros como resultado, se llama a veces División Euclidea, porque es la base del algoritmo de Euclidean.
Da el cociente entero como la respuesta, así que ${tfrac {26}{11}}=2.$ Este es el función del suelo aplicado al caso 2 o 3. A veces se llama división entero, y denotado por "//".

Dividir números enteros en un programa de computadora requiere un cuidado especial. Algunos lenguajes de programación tratan la división de enteros como en el caso 5 anterior, por lo que la respuesta es un entero. Otros lenguajes, como MATLAB y todos los sistemas de álgebra computacional, devuelven un número racional como respuesta, como en el caso 3 anterior. Estos lenguajes también proporcionan funciones para obtener los resultados de los otros casos, ya sea directamente o a partir del resultado del caso 3.

Los nombres y símbolos utilizados para la división de enteros incluyen div, /, y %. Las definiciones varían con respecto a la división de enteros cuando el dividendo o el divisor es negativo: el redondeo puede ser hacia cero (la llamada división T) o hacia −∞ (división F); pueden ocurrir estilos más raros; consulte la operación de módulo para obtener más detalles.

Las reglas de divisibilidad a veces se pueden usar para determinar rápidamente si un número entero se divide exactamente en otro.

De números racionales

El resultado de dividir dos números racionales es otro número racional cuando el divisor no es 0. La división de dos números racionales p/q y r/s se puede calcular como

{displaystyle {p/q over r/s}={p over q}times {s over r}={ps over qr}.}

Las cuatro cantidades son números enteros, y solo p puede ser 0. Esta definición asegura que la división es la operación inversa de la multiplicación.

De números reales

La división de dos números reales da como resultado otro número real (cuando el divisor es distinto de cero). Se define de tal forma que a/b = c si y solo si a = cb y b ≠ 0.

De números complejos

Dividir dos números complejos (cuando el divisor es distinto de cero) da como resultado otro número complejo, que se encuentra usando el conjugado del denominador:

{displaystyle {p+iq over r+is}={(p+iq)(r-is) over (r+is)(r-is)}={pr+qs+i(qr-ps) over r^{2}+s^{2}}={pr+qs over r^{2}+s^{2}}+i{qr-ps over r^{2}+s^{2}}.}

Este proceso de multiplicación y división por ${displaystyle r-is}$ se llama 'realización' o (por analogía) racionalización. Las cuatro cantidades p, q, r, s son números reales, y r y s puede que ambos no sean 0.

La división de números complejos expresados en forma polar es más simple que la definición anterior:

{displaystyle {pe^{iq} over re^{is}}={pe^{iq}e^{-is} over re^{is}e^{-is}}={p over r}e^{i(q-s)}.}

Nuevamente, las cuatro cantidades p, q, r, s son números reales y r puede no ser 0.

De polinomios

Se puede definir la operación de división de polinomios en una variable sobre un campo. Entonces, como en el caso de los números enteros, uno tiene un resto. Consulte división euclidiana de polinomios y, para cálculos escritos a mano, división larga de polinomios o división sintética.

De matrices

Se puede definir una operación de división para matrices. La forma habitual de hacer esto es definir A / B = AB⁻¹, donde B⁻¹ denota el inverso de B, pero es mucho más común escribir AB⁻¹ explícitamente para evitar confusiones. Una división por elementos también se puede definir en términos del producto de Hadamard.

División izquierda y derecha

Debido a que la multiplicación de matrices no es conmutativa, también se puede definir una división por la izquierda o la llamada división de barra invertida como A B = A⁻¹B. Para que esto esté bien definido, B⁻¹ no necesita existir, sin embargo A⁻¹ tiene que existir. Para evitar confusiones, división definida por A / B = AB⁻¹ a veces se denomina división derecha o slash-division en este contexto.

Tenga en cuenta que con la división izquierda y derecha definida de esta manera, A / (BC) en general no es el igual que (A / B) / C, ni (AB) C lo mismo que A ( B C). Sin embargo, sostiene que A / (BC) = (A / C) / B y (AB) C = B (A C).

Pseudoinversa

Para evitar problemas cuando A⁻¹ y/o B⁻¹ no existen, la división también se puede definir como una multiplicación por el pseudoinverso. Es decir, A / B = AB⁺ y A B = A⁺B , donde A⁺ y B⁺ indican los pseudoinversos de A y B.

Álgebra abstracta

En álgebra abstracta, dado un magma con operación binaria ∗ (que nominalmente podría llamarse multiplicación), división izquierda de b por a (escrito a b) normalmente se define como la solución x a la ecuación a ∗ x = b, si existe y es único. Del mismo modo, división a la derecha de b por a (escrito b / a) es la solución y de la ecuación y ∗ a = b. La división en este sentido no requiere que ∗ tenga ninguna propiedad particular (como conmutatividad, asociatividad o un elemento de identidad).

"División" en el sentido de "cancelación" se puede realizar en cualquier magma por un elemento con la propiedad de cancelación. Los ejemplos incluyen álgebras de matrices y álgebras de cuaterniones. Un cuasigrupo es una estructura en la que la división siempre es posible, incluso sin un elemento de identidad y, por lo tanto, inversos. En un dominio integral, donde no todos los elementos necesitan tener un inverso, la división por un elemento cancelativo a todavía se puede realizar en elementos de la forma ab o ca por cancelación izquierda o derecha, respectivamente. Si un anillo es finito y todos los elementos distintos de cero son cancelativos, entonces mediante la aplicación del principio del casillero, todos los elementos distintos de cero del anillo son invertibles, y es posible la división por cualquier elemento distinto de cero. Para saber cuándo las álgebras (en el sentido técnico) tienen una operación de división, consulte la página sobre división de álgebras. En particular, la periodicidad de Bott se puede usar para mostrar que cualquier álgebra real de división normada debe ser isomorfa a los números reales R, los números complejos C, los cuaterniones H , o los octoniones O.

Cálculo

La derivada del cociente de dos funciones viene dada por la regla del cociente:

{displaystyle {left({frac {f}{g}}right)}'={frac {f'g-fg'}{g^{2}}}.}

División por cero

La división de cualquier número por cero en la mayoría de los sistemas matemáticos no está definida, porque cero multiplicado por cualquier número finito siempre da como resultado un producto de cero. La entrada de una expresión de este tipo en la mayoría de las calculadoras produce un mensaje de error. Sin embargo, en ciertas matemáticas de nivel superior, la división por cero es posible mediante el anillo cero y álgebras como las ruedas. En estas álgebras, el significado de la división es diferente de las definiciones tradicionales.

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