División larga

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algoritmo de división estándar para números de varios dígitos

En aritmética, la división larga es un algoritmo de división estándar adecuado para dividir números arábigos hindúes de varios dígitos (notación posicional) que es lo suficientemente simple como para realizarlo a mano. Descompone un problema de división en una serie de pasos más fáciles.

Como en todos los problemas de división, un número, llamado dividendo, se divide por otro, llamado divisor, produciendo un resultado llamado cociente. Permite realizar cálculos que involucran números arbitrariamente grandes siguiendo una serie de pasos simples. La forma abreviada de la división larga se llama división corta, que casi siempre se usa en lugar de la división larga cuando el divisor tiene un solo dígito. La fragmentación (también conocida como el método de cocientes parciales o el método del ahorcado) es una forma menos mecánica de división larga prominente en el Reino Unido que contribuye a una comprensión más holística del proceso de división.

Si bien los algoritmos relacionados han existido desde el siglo XII, el algoritmo específico de uso moderno fue introducido por Henry Briggs c. 1600.

Educación

Las calculadoras y computadoras económicas se han convertido en la forma más común de resolver problemas de división, eliminando un ejercicio matemático tradicional y disminuyendo la oportunidad educativa de mostrar cómo hacerlo mediante técnicas de papel y lápiz. (Internamente, esos dispositivos usan uno de una variedad de algoritmos de división, los más rápidos entre los cuales se basan en aproximaciones y multiplicaciones para lograr las tareas). el currículo escolar, mediante la reforma de las matemáticas, aunque tradicionalmente introducido en el 4º o 5º grado.

Método

En los países de habla inglesa, la división larga no utiliza la barra diagonal ⟨∕⟩ ni el signo de división ⟨÷⟩ símbolos, sino que construye un cuadro. El divisor está separado del dividendo por un paréntesis derecho ⟨)⟩ o una barra vertical ⟨|⟩; el dividendo está separado del cociente por un vínculo (es decir, una barra superior). La combinación de estos dos símbolos a veces se conoce como símbolo de división larga o corchete de división. Se desarrolló en el siglo XVIII a partir de una notación anterior de una sola línea que separaba el dividendo del cociente por un paréntesis izquierdo.

El proceso comienza dividiendo el dígito más a la izquierda del dividendo por el divisor. El cociente (redondeado a un número entero) se convierte en el primer dígito del resultado y se calcula el resto (este paso se anota como una resta). Este resto se transfiere cuando el proceso se repite en el siguiente dígito del dividendo (anotado como 'bajar' el siguiente dígito al resto). Cuando se han procesado todos los dígitos y no queda ningún resto, el proceso está completo.

A continuación se muestra un ejemplo que representa la división de 500 entre 4 (con un resultado de 125).

  125 (Explicaciones)
4)500
 4 (4 × 1 4)
 10 (5 - 4 = 1)
 8 (4 × 2 = 8)
 20 (10 - 8 = 2)
 20 (4 × 5 = 20)
0 (20 - 20 = 0)

Un desglose más detallado de los pasos es el siguiente:

Encuentra la secuencia más corta de dígitos a partir del extremo izquierdo del dividendo, 500, que el divisor 4 entra al menos una vez. En este caso, este es simplemente el primer dígito, 5. El mayor número que el divisor 4 puede ser multiplicado por sin exceder 5 es 1, por lo que el dígito 1 se coloca por encima de los 5 para comenzar a construir el cociente.
A continuación, el 1 se multiplica por el divisor 4, para obtener el mayor número entero que es un múltiplo del divisor 4 sin exceder el 5 (4 en este caso). Este 4 se coloca y se resta de los 5 para obtener el resto, 1, que se coloca debajo de los 4 debajo de los 5.
Después, el primer dígito no utilizado en el dividendo, en este caso el primer dígito 0 después del 5, se copia directamente debajo de sí mismo y junto al resto 1, para formar el número 10.
En este momento el proceso se repite bastantes veces para llegar a un punto de parada: El mayor número por el cual el divisor 4 puede ser multiplicado sin exceder 10 es 2, por lo que 2 está escrito arriba como el segundo dígito de cociente más izquierdo. Este 2 es multiplicado por el divisor 4 para obtener 8, que es el mayor múltiplo de 4 que no excede 10; por lo que 8 está escrito debajo de 10, y la resta 10 minus 8 se realiza para obtener el resto 2, que se coloca debajo del 8.
El siguiente dígito del dividendo (el último 0 en 500) se copia directamente debajo de sí mismo y junto al resto 2 para formar 20. Luego el mayor número por el cual el divisor 4 puede ser multiplicado sin más de 20, que es 5, se coloca arriba como el tercer dígito de cociente más izquierdo. Este 5 es multiplicado por el divisor 4 para obtener 20, que está escrito a continuación y restado de los 20 existentes para producir el resto 0, que se escribe luego abajo el segundo 20.
En este punto, ya que no hay más dígitos para bajar del dividendo y el último resultado de la resta fue 0, podemos estar seguros de que el proceso terminó.

Si el último resto cuando nos quedamos sin dígitos de dividendos hubiera sido algo distinto de 0, habría habido dos posibles cursos de acción:

Podríamos parar allí y decir que el dividendo dividido por el divisor es el cociente escrito en la parte superior con el resto escrito en la parte inferior, y escribir la respuesta como el cociente seguido por una fracción que es el resto dividido por el divisor.
Podemos extender el dividendo escribiéndolo como, digamos, 500.000... y continuar el proceso (utilizando un punto decimal en el cociente directamente por encima del punto decimal en el dividendo), para obtener una respuesta decimal, como en el ejemplo siguiente.

  31.75 4)127.00
 12 (12 ÷ 4 = 3)
07 (0 restante, baja la siguiente figura)
 4 (7 ÷ 4 = 1 r 3)
3.0 (abajo 0 y punto decimal)
 2.8 (7 × 4 = 28, 30 ÷ 4 = 7 r 2)
20 (se reduce un cero adicional)
 20 (5 × 4 = 20)
0

Did you mean:

In this example, the decimal part of the result is calculated by continuing the process beyond the units digit, "bringing down " zeros as being the decimal part of the dividend.

Este ejemplo también ilustra que, al comienzo del proceso, se puede omitir un paso que produce un cero. Dado que el primer dígito 1 es menor que el divisor 4, el primer paso se realiza en los primeros dos dígitos 12. De manera similar, si el divisor fuera 13, se realizaría el primer paso en 127 en lugar de 12 o 1.

Did you mean:

Basic procedure for long division of nm

Encontrar la ubicación de todos los puntos decimales en el dividendo n y divisor m.
Si es necesario, simplifique el problema de larga división moviendo los decimales del divisor y dividendo por el mismo número de lugares decimales, a la derecha (o a la izquierda), de modo que el decimal del divisor está a la derecha del último dígito.
Al hacer división larga, mantenga los números alineados directamente de arriba a abajo debajo del tableau.
Después de cada paso, asegúrese de que el resto para ese paso es menos que el divisor. Si no lo es, hay tres posibles problemas: la multiplicación es incorrecta, la resta es incorrecta, o se necesita un mayor cociente.
Al final, el resto, r, se añade al cociente creciente como una fracción,r/m.

Propiedad invariante y corrección

La presentación básica de los pasos del proceso (arriba) centrarse en los qué pasos se van a realizar, en lugar de las propiedades de esos pasos que aseguran que el resultado será correcto (en concreto, que q × m + r = n, donde q es el cociente final y r el residuo final). Una ligera variación de presentación requiere más escritura, y requiere que cambiemos, en lugar de solo actualizar, los dígitos del cociente, pero puede arrojar más luz sobre por qué estos pasos realmente producen la respuesta correcta al permitir la evaluación de q × m + r en puntos intermedios del proceso. Esto ilustra la propiedad clave utilizada en la derivación del algoritmo. (abajo).

Específicamente, modificamos el procedimiento básico anterior para que llenamos el espacio después de los dígitos del cociente en construcción con 0's, al menos hasta el lugar de 1's, e incluya esos 0 en los números que escribimos debajo del paréntesis de división.

Esto nos permite mantener una relación invariable en cada paso: q × m + r = n, donde q es el cociente construido parcialmente (sobre el paréntesis de división) y r el resto parcialmente construido (número inferior debajo del paréntesis de división). Tenga en cuenta que inicialmente q=0 y r=n, por lo que esta propiedad se mantiene inicialmente; el proceso reduce r y aumenta q con cada paso, eventualmente deteniéndose cuando r<m si buscamos la respuesta en forma de cociente + resto entero.

Revisando el ejemplo anterior 500 ÷ 4, encontramos

  125 ()q, cambios de 000 a 100 a 120 a 125 según se indica a continuación)
4)500
 400 (4 × 100 = 400)
 100 (500 - 400 = 100; ahora q=100, r=100; nota q×4+r = 500.)
 80 (4 × 20 = 80)
 20 (100 - 80 = 20; ahora q=120, r= 20; nota q×4+r = 500.)
 20 (4 × 5 = 20)
0 (20 - 20 = 0; ahora q=125, r= 0; nota q×4+r = 500.)

Ejemplo con divisor de varios dígitos

Ejemplo animado de división larga de varios dígitos

Se puede usar un divisor de cualquier número de dígitos. En este ejemplo, 1260257 se dividirá entre 37. Primero, el problema se plantea de la siguiente manera:

  37)1260257

Se toman dígitos del número 1260257 hasta dar un número mayor o igual a 37. Entonces 1 y 12 son menos que 37, pero 126 es mayor. A continuación, se calcula el mayor múltiplo de 37 menor o igual a 126. Entonces 3 × 37 = 111 < 126, pero 4 × 37 > 126. El múltiplo 111 se escribe debajo del 126 y el 3 se escribe arriba donde aparecerá la solución:

  3 37)1260257
111

Fíjate bien en qué columna de valor posicional están escritos estos dígitos. El 3 en el cociente va en la misma columna (lugar de las decenas de millar) que el 6 en el dividendo 1260257, que es la misma columna que el último dígito de 111.

Luego se resta el 111 de la línea anterior, ignorando todos los dígitos a la derecha:

  3 37)1260257
 11115

Ahora, el dígito del siguiente valor posicional más pequeño del dividendo se copia y se agrega al resultado 15:

  3 37)1260257
 111150

El proceso se repite: se resta el mayor múltiplo de 37 menor o igual a 150. Esto es 148 = 4 × 37, por lo que se agrega un 4 a la parte superior como el siguiente dígito del cociente. Luego el resultado de la resta se amplía por otro dígito tomado del dividendo:

  34 37)1260257
 111150
 14822

El mayor múltiplo de 37 menor o igual que 22 es 0 × 37 = 0. Restar 0 de 22 da 22, a menudo no escribimos el paso de resta. En cambio, simplemente tomamos otro dígito del dividendo:

  340 37)1260257
 111150
 148225

El proceso se repite hasta que 37 divide exactamente la última línea:

  3406137)1260257
 111150
 148225
 22237

División larga en modo mixto

Para monedas no decimales (como el sistema británico £sd antes de 1971) y medidas (como avoirdupois) se debe usar la división en modo mixto. Considere dividir 50 millas 600 yardas en 37 partes:

 mi - yd - ft - in
  1 - 634 1 9 r. 15"37) 50 – 600 – 0 – 0
 37 22880 66 34813 23480 66 348
 1760 222 37 33322880 128 29 15
===== 111 348 ==
170 ==
 148 2266
==

Cada una de las cuatro columnas se trabaja por turnos. Comenzando con las millas: 50/37 = 1 resto 13. No hay más divisiones posible, entonces realiza una multiplicación larga por 1,760 para convertir millas a yardas, el resultado es 22,880 yardas. Lleve esto a la parte superior de la columna de yardas y súmelo a las 600 yardas en el dividendo que da 23,480. La división larga de 23,480 / 37 ahora procede normalmente y da 634 con un resto de 22. El resto se multiplica por 3 para obtener pies y se lleva a la columna de pies. La división larga de los pies da 1 resto 29 que luego se multiplica por doce para obtener 348 pulgadas. La división larga continúa mostrando el resto final de 15 pulgadas en la línea de resultados.

Interpretación de resultados decimales

Cuando el cociente no es un número entero y el proceso de división se extiende más allá del punto decimal, puede suceder una de dos cosas:

El proceso puede terminar, lo que significa que se alcanza un resto de 0; o
Se podría llegar a un resto idéntico a un resto anterior que ocurrió después de que se redactaran los puntos decimales. En este último caso, continuar el proceso sería inútil, porque a partir de ese punto la misma secuencia de dígitos aparecería en el cociente una y otra vez. Así que un bar se dibuja sobre la secuencia de repetición para indicar que se repite para siempre (es decir, cada número racional es un decimal que termina o repite).

Notación en países de habla no inglesa

China, Japón y Corea usan la misma notación que las naciones de habla inglesa, incluida la India. En otros lugares, se utilizan los mismos principios generales, pero las figuras a menudo se organizan de manera diferente.

América Latina

En América Latina (excepto Argentina, Bolivia, México, Colombia, Paraguay, Venezuela, Uruguay y Brasil), el cálculo es casi exactamente el mismo, pero se escribe de manera diferente, como se muestra a continuación con los mismos dos ejemplos utilizados anteriormente. Por lo general, el cociente se escribe debajo de una barra dibujada debajo del divisor. A veces se dibuja una larga línea vertical a la derecha de los cálculos.

 500 ÷ 4 = 125 (Explicaciones)
 4 (4 × 1 4)
 10 (5 - 4 = 1)
 8 (4 × 2 = 8)
 20 (10 - 8 = 2)
 20 (4 × 5 = 20)
0 (20 - 20 = 0)

 127 ÷ 4 = 31.75
 124 30 (bring down 0; decimal to quotient)
 28 (7 × 4 = 28)
20 (se añade un cero adicional)
 20 (5 × 4 = 20)
0

En México se utiliza la notación del mundo angloparlante, excepto que solo se anota el resultado de la resta y se hace el cálculo mentalmente, como se muestra a continuación:

  125 (Explicaciones)
4)500
 10 (5 - 4 = 1)
 20 (10 - 8 = 2)
0 (20 - 20 = 0)

En Bolivia, Brasil, Paraguay, Venezuela, Canadá francófono, Colombia y Perú, se usa la notación europea (ver a continuación), excepto que el cociente no está separado por una línea vertical, como se muestra a continuación:

 1274 −124 31,75
30
−2820
−200

Mismo procedimiento aplica en México, Uruguay y Argentina, solo se anota el resultado de la resta y se hace el cálculo mentalmente.

Eurasia

En España, Italia, Francia, Portugal, Lituania, Rumanía, Turquía, Grecia, Bélgica, Bielorrusia, Ucrania y Rusia, el divisor está a la derecha del dividendo y separado por una barra vertical. La división también ocurre en la columna, pero el cociente (resultado) se escribe debajo del divisor y se separa por la línea horizontal. El mismo método se utiliza en Irán, Vietnam y Mongolia.

 1274 −124tención31,75
30
−2820
−200

En Chipre, así como en Francia, una larga barra vertical separa el dividendo y las subsiguientes restas del cociente y el divisor, como en el siguiente ejemplo de 6359 dividido por 17, que es 374 con un resto de 1.

 635917 −51 Silencio
125 Silencio
−119 Silencio
69 horas
−68Silencio
1 vida

Los números decimales no se dividen directamente, el dividendo y el divisor se multiplican por una potencia de diez para que la división involucre dos números enteros. Por lo tanto, si uno estuviera dividiendo 12,7 por 0,4 (usando comas en lugar de puntos decimales), el dividendo y el divisor primero se cambiarían a 127 y 4, y luego la división procedería como se indicó anteriormente.

En Austria, Alemania y Suiza, se utiliza la forma notacional de una ecuación normal. <dividendo>: <divisor> = <cociente>, con los dos puntos ":" que denota un símbolo de infijo binario para el operador de división (análogo a "/" o "÷"). En estas regiones el separador decimal se escribe como una coma. (cf. la primera sección de los países latinoamericanos arriba, donde se hace prácticamente de la misma manera):

 127: 4 = 31,75
−1207
−430
−2820
−200

Se adopta la misma notación en Dinamarca, Noruega, Bulgaria, Macedonia del Norte, Polonia, Croacia, Eslovenia, Hungría, República Checa, Eslovaquia, Vietnam y Serbia.

En los Países Bajos, se utiliza la siguiente notación:

 12 / 135  11,25
 1215
 1230
 2460
 600

En Finlandia, el método italiano detallado anteriormente fue reemplazado por el método angloamericano en la década de 1970. Sin embargo, a principios de la década de 2000, algunos libros de texto adoptaron el método alemán, ya que conserva el orden entre el divisor y el dividendo.

Algoritmo para base arbitraria

Cada número natural $n$ puede ser representado únicamente en una base número arbitrario $1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">b■1{displaystyle b confiar1}1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0041c936812fb809c4511e31eb0404de9d48511b" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.258ex; height:2.176ex;"/>$ como secuencia de dígitos ${displaystyle n=alpha _{0}alpha _{1}alpha _{2}...alpha _{k-1}}$ Donde $<math alttext="{displaystyle 0leq alpha _{i}0≤ ≤ α α i.b{displaystyle 0leq alpha _{i}traducido]<img alt="{displaystyle 0leq alpha _{i}$ para todos $<math alttext="{displaystyle 0leq i0\leq \leq i.k{displaystyle 0leq i obedeció} <img alt="{displaystyle 0leq i$ , donde $k$ es el número de dígitos en $n$ . El valor de $n$ en términos de sus dígitos y la base es

${displaystyle n=sum _{i=0}^{k-1}alpha _{i}b^{k-i-1}}$

Vamos $n$ ser el dividendo y $m$ ser el divisor, donde $l$ es el número de dígitos en $m$ . Si $<math alttext="{displaystyle kk.l{displaystyle k madel} <img alt="k$ , entonces cociente $q=0$ y restantes ${displaystyle r=n}$ . De lo contrario, nos separamos de ${displaystyle 0leq ileq k-l}$ Antes de parar.

Para cada iteración $i$ , vamos $q_{{i}}$ ser el cociente extraído hasta ahora, $d_{i}$ ser el dividendo intermedio, $r_{i}$ ser el resto intermedio, $alpha _{{i}}$ ser el siguiente dígito del dividendo original, y $beta _{{i}}$ ser el siguiente dígito del cociente. Por definición de dígitos en base $b$ , $<math alttext="{displaystyle 0leq beta _{i}0≤ ≤ β β i.b{displaystyle 0leq beta _{i}traducido]<img alt="{displaystyle 0leq beta _{i}$ . Por definición del resto, $<math alttext="{displaystyle 0leq r_{i}0≤ ≤ ri.m{displaystyle 0leq r_{i}traducidos}<img alt="{displaystyle 0leq r_{i}$ . Todos los valores son números naturales. Iniciamos

${displaystyle q_{-1}=0}$

${displaystyle r_{-1}=sum _{i=0}^{l-2}alpha _{i}b^{l-2-i}}$

el primero $l-1$ dígitos de $n$ .

Con cada iteración, las tres ecuaciones son verdaderas:

${displaystyle d_{i}=br_{i-1}+alpha _{i+l-1}}$

${displaystyle r_{i}=d_{i}-mbeta _{i}=br_{i-1}+alpha _{i+l-1}-mbeta _{i}}$

${displaystyle q_{i}=bq_{i-1}+beta _{i}}$

Sólo existe uno de esos $beta _{{i}}$ tales que $<math alttext="{displaystyle 0leq r_{i}0≤ ≤ ri.m{displaystyle 0leq r_{i}traducidos}<img alt="{displaystyle 0leq r_{i}$ .

Prueba de la existencia y singularidad de $beta _{{i}}$
Según la definición del resto $r_{i}$ ,
$<math alttext="{displaystyle 0leq r_{i}0≤ ≤ ri.m{displaystyle 0leq r_{i}traducidos}<img alt="{displaystyle 0leq r_{i}$
$<math alttext="{displaystyle 0leq br_{i-1}+alpha _{i+l-1}-mbeta _{i}0≤ ≤ bri− − 1+α α i+l− − 1− − mβ β i.m{displaystyle 0leq br_{i-1}+alpha _{i+l-1}-mbeta ¿Qué?<img alt="{displaystyle 0leq br_{i-1}+alpha _{i+l-1}-mbeta _{i}$
$<math alttext="{displaystyle mbeta _{i}leq br_{i-1}+alpha _{i+l-1}mβ β i≤ ≤ bri− − 1+α α i+l− − 1.m()β β i+1){displaystyle mbeta _{i}leq br_{i-1}+alpha ¿Por qué?<img alt="{displaystyle mbeta _{i}leq br_{i-1}+alpha _{i+l-1}$
Para el lado izquierdo de la desigualdad, seleccionamos el mayor $beta _{{i}}$ tales que
${displaystyle mbeta _{i}leq br_{i-1}+alpha _{i+l-1}}$
Siempre hay una mayor $beta _{{i}}$ , porque $<math alttext="{displaystyle 0leq beta _{i}0≤ ≤ β β i.b{displaystyle 0leq beta _{i}traducido]<img alt="{displaystyle 0leq beta _{i}$ y si ${displaystyle beta _{i}=0}$ , entonces
${displaystyle 0leq br_{i-1}+alpha _{i+l-1}}$
pero $1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">b■1{displaystyle b confiar1}1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0041c936812fb809c4511e31eb0404de9d48511b" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.258ex; height:2.176ex;"/>$ , ${displaystyle r_{i-1}geq 0}$ , ${displaystyle alpha _{i+l-1}geq 0}$ , esto siempre es verdad. Por el lado derecho de la desigualdad asumimos que existe un pequeño ${displaystyle beta _{i}^{prime }}$ tales que
$<math alttext="{displaystyle br_{i-1}+alpha _{i+l-1}bri− − 1+α α i+l− − 1.m()β β i.. +1){displaystyle br_{i-1}+alpha ¿Por qué?<img alt="{displaystyle br_{i-1}+alpha _{i+l-1}$
Ya que esto es lo más pequeño ${displaystyle beta _{i}^{prime }}$ que la desigualdad es verdadera, esto debe significar que ${displaystyle beta _{i}^{prime }-1}$
${displaystyle br_{i-1}+alpha _{i+l-1}geq mbeta _{i}^{prime }}$
que es exactamente igual que el lado izquierdo de la desigualdad. Así, ${displaystyle beta _{i}=beta _{i}^{prime }}$ . As $beta _{{i}}$ siempre existirá, así que ${displaystyle beta _{i}^{prime }}$ iguales $beta _{{i}}$ , y sólo hay una única $beta _{{i}}$ que es válido para la desigualdad. Así hemos probado la existencia y singularidad de $beta _{{i}}$ .

El cociente final es ${displaystyle q=q_{k-l}}$ y el resto final es ${displaystyle r=r_{k-l}}$

Ejemplos

En la base 10, utilizando el ejemplo anterior con ${displaystyle n=1260257}$ y ${displaystyle m=37}$ , los valores iniciales ${displaystyle q_{-1}=0}$ y ${displaystyle r_{-1}=1}$ .

${displaystyle 0leq ileq k-l}$	${displaystyle alpha _{i+l-1}}$	${displaystyle d_{i}=br_{i-1}+alpha _{i+l-1}}$	$beta _{{i}}$	${displaystyle r_{i}=d_{i}-mbeta _{i}}$	${displaystyle q_{i}=bq_{i-1}+beta _{i}}$
0	2	${displaystyle 10cdot 1+2=12}$	0	${displaystyle 12-37cdot 0=12}$	${displaystyle 10cdot 0+0=0}$
1	6	${displaystyle 10cdot 12+6=126}$	3	${displaystyle 126-37cdot 3=15}$	${displaystyle 10cdot 0+3=3}$
2	0	${displaystyle 10cdot 15+0=150}$	4	${displaystyle 150-37cdot 4=2}$	${displaystyle 10cdot 3+4=34}$
3	2	${displaystyle 10cdot 2+2=22}$	0	${displaystyle 22-37cdot 0=22}$	${displaystyle 10cdot 34+0=340}$
4	5	${displaystyle 10cdot 22+5=225}$	6	${displaystyle 225-37cdot 6=3}$	${displaystyle 10cdot 340+6=3406}$
5	7	${displaystyle 10cdot 3+7=37}$	1	${displaystyle 37-37cdot 1=0}$	${displaystyle 10cdot 3406+1=34061}$

Así, ${displaystyle q=34061}$ y $r=0$ .

En la base 16, con ${displaystyle n={text{f412df}}}$ y ${displaystyle m=12}$ , los valores iniciales son ${displaystyle q_{-1}=0}$ y ${displaystyle r_{-1}={text{f}}}$ .

${displaystyle 0leq ileq k-l}$	${displaystyle alpha _{i+l-1}}$	${displaystyle d_{i}=br_{i-1}+alpha _{i+l-1}}$	$beta _{{i}}$	${displaystyle r_{i}=d_{i}-mbeta _{i}}$	${displaystyle q_{i}=bq_{i-1}+beta _{i}}$
0	4	${displaystyle 10cdot {text{f}}+4={text{f4}}}$	$text{d}$	${displaystyle {text{f4}}-12cdot {text{d}}={text{a}}}$	${displaystyle 10cdot 0+{text{d}}={text{d}}}$
1	1	${displaystyle 10cdot {text{a}}+1={text{a1}}}$	8	${displaystyle {text{a1}}-12cdot 8=11}$	${displaystyle 10cdot {text{d}}+8={text{d8}}}$
2	2	${displaystyle 10cdot 11+2=112}$	${displaystyle {text{f}}}$	${displaystyle 112-12cdot {text{f}}=4}$	${displaystyle 10cdot {text{d8}}+{text{f}}={text{d8f}}}$
3	${displaystyle {text{d}}=13}$	${displaystyle 10cdot 4+{text{d}}={text{4d}}}$	4	${displaystyle {text{4d}}-12cdot 4=5}$	${displaystyle 10cdot {text{d8f}}+4={text{d8f4}}}$
4	${displaystyle {text{f}}=15}$	${displaystyle 10cdot 5+{text{f}}={text{5f}}}$	5	${displaystyle {text{5f}}-12cdot 5=5}$	${displaystyle 10cdot {text{d8f4}}+5={text{d8f45}}}$

Así, ${displaystyle q={text{d8f45}}}$ y ${displaystyle r={text{5}}}$ .

Si uno no tiene memorizadas las tablas de suma, resta o multiplicación para la base $b$ , entonces este algoritmo aún funciona si los números se convierten a decimal y al final se vuelven a convertir a la base $b$ . Por ejemplo, con el ejemplo anterior,

${displaystyle n={text{f412df}}_{16}=15cdot 16^{5}+4cdot 16^{4}+1cdot 16^{3}+2cdot 16^{2}+13cdot 16^{1}+15cdot 16^{0}}$

${displaystyle m={text{12}}_{16}=1cdot 16^{1}+2cdot 16^{0}=18}$

con ${displaystyle b=16}$ . Los valores iniciales son ${displaystyle q_{-1}=0}$ y ${displaystyle r_{-1}=15}$ .

${displaystyle 0leq ileq k-l}$	${displaystyle alpha _{i+l-1}}$	${displaystyle d_{i}=br_{i-1}+alpha _{i+l-1}}$	$beta _{{i}}$	${displaystyle r_{i}=d_{i}-mbeta _{i}}$	${displaystyle q_{i}=bq_{i-1}+beta _{i}}$
0	4	${displaystyle 16cdot 15+4=244}$	${displaystyle 13={text{d}}}$	${displaystyle 244-18cdot 13=10}$	${displaystyle 16cdot 0+13=13}$
1	1	${displaystyle 16cdot 10+1=161}$	8	${displaystyle 161-18cdot 8=17}$	${displaystyle 16cdot 13+8}$
2	2	${displaystyle 16cdot 17+2=274}$	${displaystyle 15={text{f}}}$	${displaystyle 274-18cdot 15=4}$	${displaystyle 16cdot (16cdot 13+8)+15=16^{2}cdot 13+16cdot 8+15}$
3	${displaystyle {text{d}}=13}$	${displaystyle 16cdot 4+13=77}$	4	${displaystyle 77-18cdot 4=5}$	${displaystyle 16cdot (16^{2}cdot 13+16cdot 8+15)+4=16^{3}cdot 13+16^{2}cdot 8+16cdot 15+4}$
4	${displaystyle {text{f}}=15}$	${displaystyle 16cdot 5+15=95}$	5	${displaystyle 95-18cdot 5=5}$	${displaystyle 16cdot (16^{3}cdot 13+16^{2}cdot 8+16cdot 15+4=16^{4}cdot 13+16^{3}cdot 8+16^{2}cdot 15+16^{1}cdot 4+5}$

Así, ${displaystyle q=16^{4}cdot 13+16^{3}cdot 8+16^{2}cdot 15+16^{1}cdot 4+5={text{d8f45}}_{16}}$ y ${displaystyle r=5={text{5}}_{16}}$ .

Este algoritmo se puede hacer usando el mismo tipo de notaciones de lápiz y papel que se muestra en las secciones anteriores.

  d8f45 r. 5
12) f412df
 eaa1
 90112
 10e4d
 485f
 5a5

Cocientes racionales

Si el cociente no se limita a ser un entero, entonces el algoritmo no termina por $k-l}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">i■k− − l{displaystyle ik-l}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fb31e7d7b3be095db37a17fd032fcec23d6ef8a" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.646ex; height:2.343ex;"/>$ . En su lugar, si $k-l}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">i■k− − l{displaystyle ik-l}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fb31e7d7b3be095db37a17fd032fcec23d6ef8a" style="vertical-align: -0.505ex; width:8.646ex; height:2.343ex;"/>$ entonces ${displaystyle alpha _{i}=0}$ por definición. Si el resto $r_{i}$ es igual a cero en cualquier iteración, entonces el cociente es un $b$ - fracción ádica, y está representado como una expansión decimal finita en base $b$ notación posicional. De lo contrario, sigue siendo un número racional pero no un $b$ -adic racional, y en su lugar está representado como una infinita expansión decimal en base $b$ notación posicional.

División binaria

Rendimiento

En cada iteración, la tarea más prolongada es seleccionar $beta _{{i}}$ . Sabemos que hay $b$ valores posibles, para que podamos encontrar $beta _{{i}}$ utilizando ${displaystyle O(log(b))}$ comparaciones. Cada comparación requerirá evaluación ${displaystyle d_{i}-mbeta _{i}}$ . Vamos $k$ ser el número de dígitos en el dividendo $n$ y $l$ ser el número de dígitos en el divisor $m$ . El número de dígitos en ${displaystyle d_{i}leq l+1}$ . La multiplicación de ${displaystyle mbeta _{i}}$ por lo tanto $O(l)$ , y también la resta de ${displaystyle d_{i}-mbeta _{i}}$ . Así que toma ${displaystyle O(llog(b))}$ para seleccionar $beta _{{i}}$ . El resto del algoritmo son la adición y el cambio de dígitos de $q_{{i}}$ y $r_{i}$ a la izquierda un dígito, y toma tiempo $O(k)$ y $O(l)$ en base $b$ , por lo que cada iteración toma ${displaystyle O(llog(b)+k+l)}$ , o simplemente ${displaystyle O(llog(b)+k)}$ . Para todos ${displaystyle k-l+1}$ dígitos, el algoritmo toma tiempo ${displaystyle O((k-1)(llog(b)+k))}$ , o ${displaystyle O(kllog(b)+k^{2})}$ en base $b$ .

Generalizaciones

Números racionales

La división larga de enteros se puede ampliar fácilmente para incluir dividendos no enteros, siempre que sean racionales. Esto se debe a que todo número racional tiene una expansión decimal periódica. El procedimiento también se puede ampliar para incluir divisores que tienen una expansión decimal finita o terminal (es decir, fracciones decimales). En este caso, el procedimiento consiste en multiplicar el divisor y el dividendo por la potencia de diez adecuada para que el nuevo divisor sea un número entero, aprovechando el hecho de que a ÷ b = (ca) ÷ (cb) – y luego proceder como se indicó anteriormente.

Polinomios

Una versión generalizada de este método, llamada división larga de polinomios, también se usa para dividir polinomios (a veces se usa una versión abreviada llamada división sintética).

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