Disyunción lógica

Diagrama de Venn ${displaystyle scriptstyle Alor Blor C}$

En lógica, disjunción es un conector lógico típicamente notado como ${displaystyle lor }$ y leer en voz alta como "o". Por ejemplo, la frase en inglés "está lloviendo o está nevando" puede ser representada en la lógica usando la fórmula disyuntiva ${displaystyle Rlor S}$, suponiendo que ${displaystyle R.$ abreviado "está lloviendo" y ${displaystyle S.$ abrevia "está nevando".

En la lógica clásica, la disyunción se da una verdad semántica funcional según la cual una fórmula ${displaystyle phi lor psi }$ es verdad a menos que ambos ${displaystyle phi }$ y ${displaystyle psi }$ son falsos. Debido a que esta semántica permite que una fórmula disyuntiva sea verdadera cuando ambos desjuntos son verdaderos, es una inclusivo inclusivo interpretación de la disyunción, en contraste con la disyunción exclusiva. Los tratamientos teóricos de prueba clásica se administran a menudo en términos de reglas tales como introducción de disyunciones y eliminación de disyunciones. La disyunción también ha recibido numerosos tratamientos no clásicos, motivados por problemas como el argumento de batalla marítima de Aristóteles, el principio de incertidumbre de Heisenberg, así como las numerosas disyunciones entre la disyunción clásica y sus equivalentes más cercanos en lenguajes naturales.

Disyunción inclusiva y exclusiva

Porque la lógica "o" significa que una fórmula es cuando uno o ambos son verdaderos, se denomina disyunción inclusiva. Esto contrasta con una disyunción exclusiva, que es verdadera cuando uno u otro de los argumentos son verdaderos, pero no ambos (denominado "exclusivo o", o & #34;XOR").

Cuando sea necesario aclarar si incluyen o excluyen "o" se pretende, los angloparlantes a veces usan la frase "y/o". En términos de lógica, esta frase es idéntica a 'o', pero hace explícita la inclusión de que ambos son verdaderos.

Notación

En lógica y campos relacionados, la disyunción es notada a medida con un operador de infijo ${displaystyle lor }$. Otras notaciones incluyen ${displaystyle +}$, utilizado principalmente en electrónica, así como ${displaystyle vert }$ y ${displaystyle vert !vert }$ en muchos idiomas de programación. La palabra inglés "o" se usa a veces también, a menudo en letras mayúsculas. En la notación prefijo de Jan Łukasiewicz para la lógica, el operador es A, corto para polaco alternanciawa (Inglés: alternativa).

Disyunción clásica

Semántica

En la semántica de la lógica, la disyunción clásica es una operación funcional de verdad que devuelve el valor de verdad "verdadero" a menos que ambos argumentos sean "falsos". Su entrada semántica se da estándar de la siguiente manera:

${displaystyle models phi lor psi }$ si ${displaystyle models phi }$ o ${displaystyle models psi }$ o ambos

Esta semántica corresponde a la siguiente tabla de verdad:

${displaystyle A}$	${displaystyle B}$	${displaystyle Alor B}$
Cierto.	Cierto.	Cierto.
Cierto.	Falso	Cierto.
Falso	Cierto.	Cierto.
Falso	Falso	Falso

Definido por otros operadores

En sistemas lógicos clásicos donde la disyunción lógica no es primitiva, se puede definir en términos del "y" primitivo (y)${displaystyle land }$Y "no"${displaystyle lnot }$Como:

${displaystyle Alor B=neg (neg A)land (neg B)}$.

Alternativamente, puede definirse en términos de "implies" (${displaystyle to }$) y "no" como:

${displaystyle Alor B=(lnot A)to B}$.

Esto último se puede comprobar con la siguiente tabla de verdad:

${displaystyle A}$	${displaystyle B}$	${displaystyle neg A}$	${displaystyle neg Ato B}$	${displaystyle Alor B}$
Cierto.	Cierto.	Falso	Cierto.	Cierto.
Cierto.	Falso	Falso	Cierto.	Cierto.
Falso	Cierto.	Cierto.	Cierto.	Cierto.
Falso	Falso	Cierto.	Falso	Falso

Propiedades

Las siguientes propiedades se aplican a la disyunción:

• Asociación: ${displaystyle alor (blor c)equiv (alor b)lor c}$
• Comunitario: ${displaystyle alor bequiv blor a}$
• Distribución: ${displaystyle (aland (blor c))equiv (aland b)lor (aland c)}$

${displaystyle (alor (bland c))equiv (alor b)land (alor c)}$

${displaystyle (alor (blor c))equiv (alor b)lor (alor c)}$

${displaystyle (alor (bequiv c))equiv ((alor b)equiv (alor c)}$

• Idempotencia: ${displaystyle alor aequiv a}$
• Monotonicity: ${displaystyle (arightarrow b)rightarrow ((clor a)rightarrow (clor b)}$

${displaystyle (arightarrow b)rightarrow ((alor c)rightarrow (blor c)}$

• Verdadero conservación: La interpretación bajo la cual se asigna a todas las variables un valor de verdad de 'verdad', produce un valor de verdad de 'verdad' como resultado de la disyunción.
• Falsehood-preserving: La interpretación bajo la cual se asigna a todas las variables un valor de verdad de 'falso', produce un valor de verdad de 'falso' como resultado de la disyunción.

Aplicaciones en informática

O puerta lógica

Los operadores correspondientes a la disyunción lógica existen en la mayoría de los lenguajes de programación.

Operación bit a bit

La disyunción se usa a menudo para operaciones bit a bit. Ejemplos:

• 0 o 0 = 0
• 0 o 1 = 1
• 1 o 0 = 1
• 1 o 1 = 1
• 1010 o 1100 = 1110

El operador o se puede usar para establecer bits en un campo de bits en 1, o-ing el campo con un campo constante con los bits relevantes establecidos en 1 Por ejemplo, x = x | 0b00000001 forzará el bit final a 1, mientras deja los demás bits sin cambios.

Operación lógica

Muchos lenguajes distinguen entre la disyunción bit a bit y la lógica proporcionando dos operadores distintos; en los lenguajes posteriores a C, la disyunción bit a bit se realiza con el operador de tubería única (|) y la disyunción lógica con el operador de tubería doble (||).

La disyunción lógica generalmente se cortocircuita; es decir, si el primer operando (izquierdo) se evalúa como true, entonces el segundo operando (derecho) no se evalúa. El operador de disyunción lógica por lo general constituye un punto de secuencia.

En un lenguaje paralelo (concurrente), es posible cortocircuitar ambos lados: se evalúan en paralelo, y si uno termina con valor verdadero, el otro se interrumpe. Este operador se llama así el paralelo o.

Aunque el tipo de una expresión de disyunción lógica es booleano en la mayoría de los idiomas (y, por lo tanto, solo puede tener el valor true o false), en algunos idiomas (como Python y JavaScript), el operador de disyunción lógica devuelve uno de sus operandos: el primer operando si se evalúa como un valor verdadero y el segundo operando en caso contrario.

Disyunción constructiva

La correspondencia Curry-Howard relaciona una forma constructivista de disyunción con tipos de unión etiquetados.

Teoría de conjuntos

La membresía de un elemento de unión establecido en la teoría de conjunto se define en términos de una disyunción lógica: ${displaystyle xin Acup BLeftrightarrow (xin A)vee (xin B)}$. Debido a esto, la disyunción lógica satisface muchas de las mismas identidades que la unión teórica de conjunto, tales como la asociatividad, la comunión, la distributividad y las leyes de Morgan, identificando la conjunción lógica con la intersección de conjunto, negación lógica con el complemento conjunto.

Lenguaje natural

La disyunción en idiomas naturales no coincide precisamente con la interpretación de ${displaystyle lor }$ en lógica clásica. Notablemente, la disyunción clásica es inclusiva mientras que la disyunción del lenguaje natural se entiende a menudo exclusivamente, ya que el siguiente inglés normalmente sería.

1. Mary está comiendo manzana o pera.

Esta inferencia a veces se ha entendido como una implicación, por ejemplo, por Alfred Tarski, quien sugirió que la disyunción del lenguaje natural es ambigua entre una interpretación clásica y una no clásica. Un trabajo más reciente en pragmática ha demostrado que esta inferencia puede derivarse como una implicatura conversacional sobre la base de una denotación semántica que se comporta de forma clásica. Sin embargo, se ha argumentado que las construcciones disyuntivas que incluyen el húngaro vagy... vagy y el francés soit... soit son inherentemente exclusivas, lo que genera falta de gramaticalidad en contextos en los que una lectura inclusiva de otro modo sería ser forzado.

Se han observado desviaciones similares de la lógica clásica en casos como la disyunción de libre elección y la simplificación de los antecedentes disyuntivos, donde ciertos operadores modales desencadenan una interpretación de la disyunción similar a la de una conjunción. Al igual que con la exclusividad, estas inferencias se han analizado como implicaturas y como implicaciones que surgen de una interpretación no clásica de la disyunción.

2. Puedes tener una manzana o un pera.

${displaystyle rightsquigarrow }$ Usted puede tener una manzana y usted puede tener un pera (pero no puede tener ambos)

En muchos idiomas, las expresiones disyuntivas desempeñan un papel en la formación de preguntas. Por ejemplo, mientras que el siguiente ejemplo en inglés puede interpretarse como una pregunta polar que pregunta si es cierto que Mary es filósofa o lingüista, también puede interpretarse como una pregunta alternativa que pregunta cuál de las dos profesiones es suya.. El papel de la disyunción en estos casos se ha analizado utilizando lógicas no clásicas como la semántica alternativa y la semántica inquisitiva, que también se han adoptado para explicar las inferencias de libre elección y simplificación.

3. ¿Es María filósofo o lingüista?

En inglés, como en muchos otros idiomas, la disyunción se expresa mediante una conjunción coordinante. Otros idiomas expresan significados disyuntivos en una variedad de formas, aunque se desconoce si la disyunción en sí misma es un universal lingüístico. En muchos idiomas, como Dyirbal y Maricopa, la disyunción se marca con un sufijo verbal. Por ejemplo, en el siguiente ejemplo de Maricopa, la disyunción está marcada por el sufijo šaa.