Distribución zeta

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución zeta es una distribución de probabilidad discreta. Si X es una variable aleatoria distribuida en zeta con parámetro s, entonces la probabilidad de que X tome el valor entero k está dada por la función de masa de probabilidad

fs()k)=k− − s/Especificaciones Especificaciones ()s){displaystyle f_{s}(k)=k^{-s}/zeta (s),}

donde ζ(s) es la función zeta de Riemann (que no está definida para s = 1).

Las multiplicidades de distintos factores primos de X son variables aleatorias independientes.

La función Riemann zeta es la suma de todos los términos k− − s{displaystyle k^{-s} para entero positivo k, aparece así como la normalización de la distribución Zipf. Los términos "distribución de zipf" y la "distribución de Zeta" se utilizan a menudo intercambiablemente. Pero tenga en cuenta que aunque la distribución Zeta es una distribución de probabilidad por sí misma, no está asociada a la ley del Zipf con el mismo exponente. Ver también Distribución Yule-Simon

Definición

La distribución Zeta se define para números enteros positivos k≥ ≥ 1{displaystyle kgeq 1}, y su función de masa de probabilidad es dada por

P()x=k)=1Especificaciones Especificaciones ()s)k− − s{displaystyle P(x=k)={frac {1}{zeta (s)}k^{-s},

Donde 1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">s■1{displaystyle s confía1}1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d22e768f9a8a3e32ca85ee1f8095009d4a32a248" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.351ex; height:2.176ex;"/> es el parámetro, y Especificaciones Especificaciones ()s){displaystyle zeta (s)} es la función Riemann zeta.

La función de distribución acumulativa viene dada por

P()x≤ ≤ k)=Hk,sEspecificaciones Especificaciones ()s),{displaystyle P(xleq k)={frac {H_{k,s}{zeta (s)}}}}

Donde Hk,s{displaystyle H_{k,s} es el número armónico generalizado

Hk,s=.. i=1k1is.{displaystyle H_{k,s}=sum ¿Por qué? {1}{i^{s}}}}

Momentos

El nésimo momento bruto se define como el valor esperado de Xⁿ:

mn=E()Xn)=1Especificaciones Especificaciones ()s).. k=1JUEGO JUEGO 1ks− − n{displaystyle m_{n}=E(X^{n}={frac {1}{zeta (s)}sum _{k=1}^{infty }{frac {1}{k^{s-n}}}

La serie a la derecha es sólo una representación de la función Riemann zeta, pero sólo converge para valores de s− − n{displaystyle s-n} que son mayores que la unidad. Así:

<math alttext="{displaystyle m_{n}=left{{begin{matrix}zeta (s-n)/zeta (s)&{textrm {for}}~nmn={}Especificaciones Especificaciones ()s− − n)/Especificaciones Especificaciones ()s)paran.s− − 1JUEGO JUEGO paran≥ ≥ s− − 1{displaystyle m_{n}=left{begin{matrix}zeta (s-n)/zeta (s) limit{textrm {for}}~n se realiza-1\infty >{textrm {for}~ngeq s-1end{matrix}}}right.}<img alt="m_{n}=left{{begin{matrix}zeta (s-n)/zeta (s)&{textrm {for}}~n

Tenga en cuenta que la proporción de las funciones zeta está bien definida, incluso para n > s − 1 porque la representación en serie de la función zeta se puede continuar analíticamente. Esto no cambia el hecho de que los momentos están especificados por la propia serie y, por lo tanto, no están definidos para grandes n.

Función de generación de momentos

La función generadora de momentos se define como

M()t;s)=E()etX)=1Especificaciones Especificaciones ()s).. k=1JUEGO JUEGO etkks.{displaystyle M(t;s)=E(e^{tX}={frac {1}{zeta (s)}sum _{k=1}^{infty ¿Qué?

La serie es sólo la definición del polilogaritmo, válida para <math alttext="{displaystyle e^{t}et.1{displaystyle e^{t}traducido1}<img alt="e^{t} así

<math alttext="{displaystyle M(t;s)={frac {operatorname {Li} _{s}(e^{t})}{zeta (s)}}{text{ for }}tM()t;s)=Lis⁡ ⁡ ()et)Especificaciones Especificaciones ()s)parat.0.{displaystyle M(t;s)={frac {fnMinc {fnMis} {s} {fnMientras)} {fnuncio {fnMit} {fnMicrosoft Sans Serif}<img alt="M(t;s)={frac {operatorname {Li}_{s}(e^{t})}{zeta (s)}}{text{ for }}t

Puesto que esto no converge en un intervalo abierto que contiene t=0{displaystyle t=0}, la función generadora de momento no existe.

El caso s = 1

ζ(1) es infinita como la serie armónica, por lo que el caso cuando s = 1 no es significativo. Sin embargo, si A es cualquier conjunto de enteros positivos que tiene una densidad, es decir, si

limn→ → JUEGO JUEGO N()A,n)n{displaystyle lim _{nto infty }{frac {N(A,n}{n}}}

existe donde N(A, n) es el número de miembros de A menor o igual a n, entonces

lims→ → 1+P()X▪ ▪ A){displaystyle lim _{+}P(Xin A),}

es igual a esa densidad.

Este último límite también puede existir en algunos casos en los que A no tiene densidad. Por ejemplo, si A es el conjunto de todos los enteros positivos cuyo primer dígito es d, entonces A no tiene densidad, pero sí el segundo límite dado anteriormente existe y es proporcional a

log⁡ ⁡ ()d+1)− − log⁡ ⁡ ()d)=log⁡ ⁡ ()1+1d),{displaystyle log(d+1)-log(d)=log left(1+{frac {1}{d}right),,}

que es la ley de Benford.

Divisibilidad infinita

La distribución Zeta se puede construir con una secuencia de variables aleatorias independientes con una distribución geométrica. Vamos p{displaystyle p} ser un número primo y X()p− − s){displaystyle X(p^{-s})} ser una variable aleatoria con una distribución geométrica del parámetro p− − s{displaystyle p^{-s}, a saber

P()X()p− − s)=k)=p− − ks()1− − p− − s){displaystyle quad quad quad mathbb {P} left(X(p^{-s})=kright)=p^{-ks}(1-p^{-s})}

Si las variables aleatorias ()X()p− − s))p▪ ▪ P{displaystyle (X(p^{-s})_{pin {mathcal {}} son independientes, entonces, la variable aleatoria Zs{displaystyle Z_{s} definidas por

Zs=∏ ∏ p▪ ▪ PpX()p− − s){displaystyle quad quad quad quad Z_{s}=prod ¿Qué?

tiene la distribución Zeta: P()Zs=n)=1nsEspecificaciones Especificaciones ()s){displaystyle mathbb {P} left(Z_{s}=nright)={frac {1}{n^{s}zeta (s)}}}.

Diferentemente, la variable aleatoria log⁡ ⁡ ()Zs)=.. p▪ ▪ PX()p− − s)log⁡ ⁡ ()p){displaystyle log(Z_{s})=sum _{pin {mathcal {}}X(p^{-s}),log(p)} es infinitamente divisible con la medida Lévy dada por la siguiente suma de las masas Dirac:

▪ ▪ s()dx)=.. p▪ ▪ P.. k⩾ ⩾ 1p− − kskδ δ klog⁡ ⁡ ()p)()dx){displaystyle quad quad quad Pi _{s}(dx)=sum _{pin {mathcal {P}}}sum _{kgeqslant 1}{frac ¿Qué?