Distribución Weibull

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Distribución de probabilidad continua

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Weibull es una distribución de probabilidad continua. Modela una amplia gama de variables aleatorias, en gran medida en la naturaleza de un tiempo de falla o tiempo entre eventos. Ejemplos son las precipitaciones máximas de un día y el tiempo que un usuario pasa en una página web.

La distribución lleva el nombre del matemático sueco Waloddi Weibull, quien la describió en detalle en 1951, aunque fue identificada por primera vez por Maurice René Fréchet y aplicada por primera vez por Rosin & Rammler (1933) para describir una distribución de tamaño de partículas.

Definición

Parametrización estándar

La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria de Weibull es

<math alttext="{displaystyle f(x;lambdak)={begin{cases}{frac {k}{lambda }}left({frac {x}{lambda }}right)^{k-1}e^{-(x/lambda)^{k}},&xgeq 0,\0,&xf()x;λ λ ,k)={}kλ λ ()xλ λ )k− − 1e− − ()x/λ λ )k,x≥ ≥ 0,0,x.0,{begin{cases}{frac {k}{lambda }}left({frac {x}{lambda }right)}{k-1}e^{-(x/lambda)}{k}}}}}}} {},},,} {}}<img alt="{displaystyle f(x;lambdak)={begin{cases}{frac {k}{lambda }}left({frac {x}{lambda }}right)^{k-1}e^{-(x/lambda)^{k}},&xgeq 0,\0,&x

Donde k ■ 0 es el parámetro de forma y λ 0 es el parámetro escala de la distribución. Su función de distribución acumulativa complementaria es una función exponencial estirada. La distribución Weibull está relacionada con varias otras distribuciones de probabilidad; en particular, interpola entre la distribución exponencial (k = 1) y la distribución de Rayleigh (k = 2 y $lambda = sqrt{2}sigma$ ).

Si la cantidad X es un "tiempo hasta la falla", la distribución de Weibull da una distribución para la cual la tasa de falla es proporcional a una potencia del tiempo. El parámetro forma, k, es esa potencia más uno, por lo que este parámetro se puede interpretar directamente de la siguiente manera:

Un valor $<math alttext="{displaystyle kk.1{displaystyle k won1} <img alt="{displaystyle k$ indica que la tasa de fracaso disminuye con el tiempo (como en el caso del efecto Lindy, que sin embargo corresponde a las distribuciones de Pareto en lugar de las distribuciones Weibull). Esto sucede si hay una significativa "mortalidad infantil", o los artículos defectuosos que fallan temprano y la tasa de fracaso disminuye con el tiempo, ya que los artículos defectuosos se despedazan de la población. En el contexto de la difusión de las innovaciones, esto significa palabra negativa de boca: la función de peligro es una función decreciente monotonicamente de la proporción de adoptantes;
Un valor ${displaystyle k=1,}$ indica que la tasa de fracaso es constante con el tiempo. Esto podría sugerir eventos externos aleatorios están causando mortalidad o fracaso. La distribución Weibull se reduce a una distribución exponencial;
Un valor $1,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">k■1{displaystyle k título1}1,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5fff5e154b7e2692c7e29f152fcfe4ee19c4c7" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.859ex; height:2.176ex;"/>$ indica que la tasa de fracaso aumenta con el tiempo. Esto sucede si hay un proceso de "envejecimiento", o partes que son más propensos a fallar cuando el tiempo pasa. En el contexto de la difusión de las innovaciones, esto significa una palabra de boca positiva: la función de peligro es una función monotonicamente creciente de la proporción de adoptantes. La función es primera convexa, luego concave con un punto de inflexión en $1,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">()e1/k− − 1)/e1/k,k■1{displaystyle (e^{1/k}-1)/e^{1/k},,k]1,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ab90f6acb10b2acef25176c8cecbd8c439c2262" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.887ex; height:3.343ex;"/>$ .

En el campo de la ciencia de los materiales, el parámetro de forma k de una distribución de fuerzas se conoce como módulo de Weibull. En el contexto de la difusión de innovaciones, la distribución de Weibull es una distribución "pura" modelo de imitación/rechazo.

Parametrizaciones alternativas

Primera alternativa

Las aplicaciones en estadísticas médicas y econométricas a menudo adoptan una parametrización diferente. El parámetro de forma k es lo mismo que antes, mientras que el parámetro de escala es ${displaystyle b=lambda ^{-k}}$ . En este caso, para x ≥ 0, la función de densidad de probabilidad es

{displaystyle f(x;k,b)=bkx^{k-1}e^{-bx^{k}},}

la función de distribución acumulada es

{displaystyle F(x;k,b)=1-e^{-bx^{k}},}

la función de riesgo es

{displaystyle h(x;k,b)=bkx^{k-1},}

y la media es

{displaystyle b^{-1/k}Gamma (1+1/k).}

Segunda alternativa

También se puede encontrar una segunda parametrización alternativa. El parámetro de forma k es el mismo que en el caso estándar, mientras que el parámetro de escala λ se reemplaza con un parámetro de tasa β = 1/λ. Entonces, para x ≥ 0, la función de densidad de probabilidad es

{displaystyle f(x;k,beta)=beta k({beta x})^{k-1}e^{-(beta x)^{k}}}

la función de distribución acumulada es

{displaystyle F(x;k,beta)=1-e^{-(beta x)^{k}},}

y la función de riesgo es

{displaystyle h(x;k,beta)=beta k({beta x})^{k-1}.}

En las tres parametrizaciones, el riesgo es decreciente para k < 1, aumentando para k > 1 y constante para k = 1, en cuyo caso la distribución de Weibull se reduce a una distribución exponencial.

Propiedades

Función de densidad

La forma de la función de densidad de la distribución de Weibull cambia drásticamente con el valor de k. Para 0 < k < 1, la función de densidad tiende a ∞ cuando x tiende a cero desde arriba y es estrictamente decreciente. Para k = 1, la función de densidad tiende a 1/λ cuando x tiende a cero desde arriba y es estrictamente decreciente. Para k > 1, la función de densidad tiende a cero cuando x tiende a cero desde arriba, crece hasta su moda y luego decrece. La función de densidad tiene una pendiente negativa infinita en x = 0 si 0 < k < 1, pendiente positiva infinita en x = 0 si 1 < k < 2 y pendiente nula en x = 0 si k > 2. Para k = 1, la densidad tiene una pendiente negativa finita en x = 0. Para k = 2, la densidad tiene una pendiente positiva finita en x = 0. A medida que k tiende a infinito, la distribución de Weibull converge a una distribución delta de Dirac centrada en x = λ. Además, la asimetría y el coeficiente de variación dependen únicamente del parámetro de forma. Una generalización de la distribución de Weibull es la distribución hiperbolástica de tipo III.

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa para la distribución de Weibull es

{displaystyle F(x;k,lambda)=1-e^{-(x/lambda)^{k}},}

para x ≥ 0, y F(x; k; λ) = 0 para x < 0.

Si x = λ entonces F(x; k; λ) = 1 − e⁻¹ ≈ 0,632 para todos los valores de k. Viceversa: en F(x; k; λ) = 0,632 el valor de x ≈ λ.

La función cuantil (distribución acumulativa inversa) para la distribución de Weibull es

{displaystyle Q(p;k,lambda)=lambda (-ln(1-p))^{1/k}}

para 0 ≤ p < 1.

La tasa de fallos h (o función de riesgo) viene dada por

h(x;k,lambda) = {k over lambda} left({x over lambda}right)^{k-1}.

El tiempo medio entre fallas MTBF es

{displaystyle {text{MTBF}}(k,lambda)=lambda Gamma (1+1/k).}

Momentos

La función generadora de momentos del logaritmo de una variable aleatoria distribuida de Weibull viene dada por

{displaystyle operatorname {E} left[e^{tlog X}right]=lambda ^{t}Gamma left({frac {t}{k}}+1right)}

donde $Γ$ es la función gamma. De manera similar, la función característica de log X está dada por

{displaystyle operatorname {E} left[e^{itlog X}right]=lambda ^{it}Gamma left({frac {it}{k}}+1right).}

En particular, el nésimo momento bruto de X está dado por

m_n = lambda^n Gammaleft(1+frac{n}{k}right).

La media y la varianza de una variable aleatoria de Weibull se pueden expresar como

{displaystyle operatorname {E} (X)=lambda Gamma left(1+{frac {1}{k}}right),}

{displaystyle operatorname {var} (X)=lambda ^{2}left[Gamma left(1+{frac {2}{k}}right)-left(Gamma left(1+{frac {1}{k}}right)right)^{2}right],.}

La asimetría viene dada por

{displaystyle gamma _{1}={frac {2Gamma _{1}^{3}-3Gamma _{1}Gamma _{2}+Gamma _{3}}{[Gamma _{2}-Gamma _{1}^{2}]^{3/2}}}}

Donde $Gamma_i=Gamma(1+i/k)$ , que también puede ser escrito como

gamma_1=frac{Gammaleft(1+frac{3}{k}right)lambda^3-3musigma^2-mu^3}{sigma^3}

donde la media se denota por $μ$ y la desviación estándar se denota por $σ$ .

El exceso de curtosis viene dado por

{displaystyle gamma _{2}={frac {-6Gamma _{1}^{4}+12Gamma _{1}^{2}Gamma _{2}-3Gamma _{2}^{2}-4Gamma _{1}Gamma _{3}+Gamma _{4}}{[Gamma _{2}-Gamma _{1}^{2}]^{2}}}}

Donde $Gamma_i=Gamma(1+i/k)$ . El exceso de kurtosis también puede ser escrito como:

{displaystyle gamma _{2}={frac {lambda ^{4}Gamma (1+{frac {4}{k}})-4gamma _{1}sigma ^{3}mu -6mu ^{2}sigma ^{2}-mu ^{4}}{sigma ^{4}}}-3.}

Función de generación de momentos

Una variedad de expresiones están disponibles por el momento generando la función de X mismo. Como serie de potencias, dado que los momentos crudos ya son conocidos, uno tiene

{displaystyle operatorname {E} left[e^{tX}right]=sum _{n=0}^{infty }{frac {t^{n}lambda ^{n}}{n!}}Gamma left(1+{frac {n}{k}}right).}

Alternativamente, uno puede intentar tratar directamente con la integral

{displaystyle operatorname {E} left[e^{tX}right]=int _{0}^{infty }e^{tx}{frac {k}{lambda }}left({frac {x}{lambda }}right)^{k-1}e^{-(x/lambda)^{k}},dx.}

Si se supone que el parámetro k es un número racional, expresado como k = p/q donde p y q son números enteros, entonces esta integral se puede evaluar analíticamente. Con t reemplazado por −t, uno encuentra

{displaystyle operatorname {E} left[e^{-tX}right]={frac {1}{lambda ^{k},t^{k}}},{frac {p^{k},{sqrt {q/p}}}{({sqrt {2pi }})^{q+p-2}}},G_{p,q}^{,q,p}!left(left.{begin{matrix}{frac {1-k}{p}},{frac {2-k}{p}},dots{frac {p-k}{p}}\{frac {0}{q}},{frac {1}{q}},dots{frac {q-1}{q}}end{matrix}};right|,{frac {p^{p}}{left(q,lambda ^{k},t^{k}right)^{q}}}right)}

donde G es la función G de Meijer.

La función característica también ha sido obtenida por Muraleedharan et al. (2007). Muraleedharan & Soares (2014) harvtxt error: no target: CITEREFMuraleedharanSoares2014 (ayuda) mediante un enfoque directo.

Trucos de reparametrización

Arregla un poco. $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">α α ■0{displaystyle alpha œ0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd4f784b6e8bb68fa774213ceacbab2d97825dc" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;"/>$ . Vamos ${displaystyle (pi _{1},...,pi _{n})}$ ser no negativo, y no todo cero, y dejar ${displaystyle g_{1},...,g_{n}}$ ser muestras independientes de ${displaystyle {text{Weibull}}(1,alpha ^{-1})}$ , entonces

${displaystyle arg min _{i}(g_{i}pi _{i}^{-alpha })sim {text{Categorical}}left({frac {pi _{j}}{sum _{i}pi _{i}}}right)_{j}}$
${displaystyle min _{i}(g_{i}pi _{i}^{-alpha })sim {text{Weibull}}left(left(sum _{i}pi _{i}right)^{-alpha },alpha ^{-1}right)}$ .

Entropía de Shannon

La entropía de la información está dada por

{displaystyle H(lambdak)=gamma left(1-{frac {1}{k}}right)+ln left({frac {lambda }{k}}right)+1}

Donde $gamma$ es la constante Euler-Mascheroni. La distribución Weibull es la distribución máxima de entropía para un variato aleatorio real no negativo con un valor esperado fijo de x^k iguales λ^k y un valor esperado fijo de ln(x^kigual a ln(λ^k) − $gamma$ .

Estimación de parámetros

Máxima probabilidad

El estimador de probabilidad máxima para el $lambda$ parámetro given $k$ es

{displaystyle {widehat {lambda }}=({frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k})^{frac {1}{k}}}

El estimador de probabilidad máxima para $k$ es la solución k de la siguiente ecuación

{displaystyle 0={frac {sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}ln x_{i}}{sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}}-{frac {1}{k}}-{frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}ln x_{i}}

Esta ecuación definiendo ${displaystyle {widehat {k}}}$ sólo implícitamente, uno debe generalmente resolver para $k$ por medios numéricos.

Cuando $x_{2}>cdots >x_{N}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x1■x2■⋯ ⋯ ■xN{displaystyle x_{1} títulox_{2}cdots #x_{2}>cdots >x_{N}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d64c87c0cc6c0b7713ae9bce2300660b9954fc" style="vertical-align: -0.671ex; width:19.808ex; height:2.176ex;"/>$ son $N$ muestras observadas más grandes de un conjunto de datos de más de $N$ muestras, entonces el estimador de probabilidad máxima para el $lambda$ parámetro given $k$ es

{displaystyle {widehat {lambda }}^{k}={frac {1}{N}}sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}

También dada esa condición, el estimador de probabilidad máxima para $k$ es

{displaystyle 0={frac {sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}ln x_{i}-x_{N}^{k}ln x_{N})}{sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}}-{frac {1}{N}}sum _{i=1}^{N}ln x_{i}}

Una vez más, siendo una función implícita, se debe resolver generalmente para $k$ por medios numéricos.

Divergencia Kullback-Leibler

La divergencia Kullback-Leibler entre dos distribuciones Weibulll viene dada por

{displaystyle D_{text{KL}}(mathrm {Weib} _{1}parallel mathrm {Weib} _{2})=log {frac {k_{1}}{lambda _{1}^{k_{1}}}}-log {frac {k_{2}}{lambda _{2}^{k_{2}}}}+(k_{1}-k_{2})left[log lambda _{1}-{frac {gamma }{k_{1}}}right]+left({frac {lambda _{1}}{lambda _{2}}}right)^{k_{2}}Gamma left({frac {k_{2}}{k_{1}}}+1right)-1}

Trama de Weibull

Weibull plot

El ajuste de una distribución Weibull a los datos se puede evaluar visualmente utilizando un diagrama Weibull. La trama Weibull es una trama de la función de distribución acumulativa empírica ${displaystyle {widehat {F}}(x)}$ de datos sobre ejes especiales en un tipo de parcela Q-Q. Los hachas son ${displaystyle ln(-ln(1-{widehat {F}}(x)))}$ versus $ln(x)$ . La razón de este cambio de variables es la función de distribución acumulativa puede ser linealizada:

{displaystyle {begin{aligned}F(x)&=1-e^{-(x/lambda)^{k}}\[4pt]-ln(1-F(x))&=(x/lambda)^{k}\[4pt]underbrace {ln(-ln(1-F(x)))} _{textrm {'y'}}&=underbrace {kln x} _{textrm {'mx'}}-underbrace {kln lambda } _{textrm {'c'}}end{aligned}}}

que se puede ver en la forma estándar de una línea recta. Por lo tanto, si los datos provienen de una distribución de Weibull, se espera una línea recta en una gráfica de Weibull.

Hay varios enfoques para obtener la función de distribución empírica de los datos: un método es obtener la coordenadas verticales para cada punto utilizando ${displaystyle {widehat {F}}={frac {i-0.3}{n+0.4}}}$ Donde $i$ es el rango del punto de datos y $n$ es el número de puntos de datos.

La regresión lineal también se puede utilizar para evaluar numéricamente la bondad de ajuste y estimar los parámetros de la distribución Weibull. El gradiente informa directamente sobre el parámetro de forma $k$ y el parámetro escala $lambda$ también se puede inferir.

Aplicaciones

Se utiliza la distribución de Weibull

Distribución cumulativa ajustada Weibull a máximas precipitaciones de un día utilizando CumFreq, vea también ajuste de distribución

Curvas ajustadas para datos de series de tiempo de producción de aceite

En análisis de supervivencia
En ingeniería de fiabilidad y análisis de fallos
En la ingeniería eléctrica para representar sobrevoltaje ocurrido en un sistema eléctrico
En ingeniería industrial representan tiempos de fabricación y entrega
En teoría de valor extremo
En pronóstico del tiempo y la industria eólica para describir las distribuciones de velocidad del viento, ya que la distribución natural a menudo coincide con la forma Weibull
Ingeniería de sistemas de comunicaciones
- En sistemas de radar para modelar la dispersión del nivel de las señales recibidas producidas por algunos tipos de clutters
- Para modelar canales de decoloración en comunicaciones inalámbricas, como el modelo de decoloración Weibull parece exhibir un buen ajuste a las mediciones experimentales de canales de desvanecimiento
En la recuperación de información para modelar los tiempos de morada en las páginas web.
En el seguro general para modelar el tamaño de las reclamaciones de reaseguro, y el desarrollo acumulativo de pérdidas de asbestosis
En la previsión del cambio tecnológico (también conocido como el modelo Sharif-Islam)
En la hidrología la distribución Weibull se aplica a eventos extremos como precipitaciones máximas anuales de un día y descargas de ríos.
En el análisis de curvas de descenso a la curva de producción de aceite modelo de pozos de aceite de esquisto.
Al describir el tamaño de las partículas generadas por las operaciones de trituración, molienda y trituración, se utiliza la distribución de 2 parámetros Weibull, y en estas aplicaciones se conoce a veces como la distribución de Rosin-Rammler. En este contexto, predice menos partículas finas que la distribución tronco-normal y es generalmente más preciso para las distribuciones estrechas del tamaño de las partículas. La interpretación de la función de distribución acumulativa es que ${displaystyle F(x;k,lambda)}$ es la fracción de masa de partículas con diámetro menor que $x$ , donde $lambda$ es el tamaño de la partícula media y $k$ es una medida de la propagación de tamaños de partículas.
Al describir las nubes de puntos aleatorios (como las posiciones de las partículas en un gas ideal): la probabilidad de encontrar la partícula vecino más cercana a distancia $x$ de una partícula dada es dada por una distribución Weibull $k=3$ y ${displaystyle rho =1/lambda ^{3}}$ igual a la densidad de las partículas.
Al calcular la tasa de efectos de un solo evento inducidos por radiación en la nave espacial, se utiliza una distribución Weibull de cuatro parámetros para ajustarse a datos de probabilidad de sección transversal de dispositivos medidos experimentalmente a un espectro de transferencia de energía lineal de partículas. El ajuste Weibull se utilizó originalmente debido a la creencia de que los niveles de energía de partículas se alinean con una distribución estadística, pero esta creencia fue probada posteriormente falsa y el ajuste Weibull sigue siendo utilizado debido a sus muchos parámetros ajustables, en lugar de una base física demostrada.

Distribuciones relacionadas

Una distribución Weibull es una distribución de gamma generalizada con ambos parámetros de forma igual a k.
La distribución Weibull traducida (o 3-parameter Weibull) contiene un parámetro adicional. Tiene la función de densidad de probabilidad
${displaystyle f(x;k,lambdatheta)={k over lambda }left({x-theta over lambda }right)^{k-1}e^{-left({x-theta over lambda }right)^{k}},}$

para $x geq theta$ y ${displaystyle f(x;k,lambdatheta)=0}$ para $<math alttext="{displaystyle xx.Silencio Silencio {displaystyle x realizadastheta } <img alt="{displaystyle x$ , donde $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">k■0{displaystyle k]0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b3af208b148139eefc03f0f80fa94c38c5af45" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;"/>$ es el parámetro de forma, $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">λ λ ■0{displaystyle lambda }0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea25afc0351140f919cf791c49c1964b8b081de" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.616ex; height:2.176ex;"/>$ es el parámetro escala y $theta$ es el parámetro de ubicación de la distribución. $theta$ valor establece un tiempo inicial libre de fallos antes de que comience el proceso regular de Weibull. Cuando $theta =0$ , esto reduce a la distribución de 2 parámetros.
La distribución Weibull se puede caracterizar como la distribución de una variable aleatoria $W$ tal que la variable aleatoria
$X = left(frac{W}{lambda}right)^k$

es la distribución exponencial estándar con intensidad 1.
Esto implica que la distribución de Weibull también puede caracterizarse en términos de distribución uniforme: si $U$ se distribuye uniformemente sobre $(0,1)$ , entonces la variable aleatoria $W = lambda(-ln(U))^{1/k},$ es Weibull distribuido con parámetros $k$ y $lambda$ . Note que $-ln(U)$ aquí es equivalente a $X$ justo arriba. Esto conduce a un esquema numérico fácilmente implementado para simular una distribución Weibull.
La distribución Weibull interpola entre la distribución exponencial con intensidad $1/lambda$ cuando $k=1$ y una distribución de Rayleigh del modo $sigma = lambda/sqrt{2}$ cuando $k=2$ .
La distribución Weibull (generalmente suficiente en ingeniería de confiabilidad) es un caso especial de la distribución Weibull de tres parámetros, exponente de tres parámetros, donde el exponente adicional equivale a 1. La distribución exponente de Weibull da cabida a las tasas de falla unimodal, en forma de bañera y monotone.
La distribución Weibull es un caso especial de la distribución de valor extremo generalizado. A este respecto, Maurice Fréchet identificó la distribución por primera vez en 1927. La distribución de Fréchet estrechamente relacionada, llamada para este trabajo, tiene la función de densidad de probabilidad
${displaystyle f_{rm {Frechet}}(x;k,lambda)={frac {k}{lambda }}left({frac {x}{lambda }}right)^{-1-k}e^{-(x/lambda)^{-k}}=f_{rm {Weibull}}(x;-k,lambda).}$
La distribución de una variable aleatoria que se define como mínimo de varias variables aleatorias, cada una con una distribución diferente de Weibull, es una distribución de poli-Weibull.
La distribución Weibull fue aplicada por primera vez por Rosin & Rammler (1933) para describir las distribuciones del tamaño de las partículas. Es ampliamente utilizado en el procesamiento de minerales para describir las distribuciones de tamaño de partículas en los procesos de comminución. En este contexto, la distribución acumulativa es dada por
$<math alttext="{displaystyle f(x;P_{rm {80}},m)={begin{cases}1-e^{ln left(0.2right)left({frac {x}{P_{rm {80}}}}right)^{m}}&xgeq 0,\0&xf()x;P80,m)={}1− − eIn⁡ ⁡ ()0.2)()xP80)mx≥ ≥ 0,0x.0,{displaystyle f(x;P_{rm {80},m)={begin{cases}1-e^{lnleft(0.2right)left({frac {x}{p_{rm {80}}right)} {m} {m} {m} {m}}} {m}} {cH00}}} {cH00FF}} {cH00}} {cH00}}}} {cH00}}}} {cH00}}}} {cH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}}} {m} {ccccccccccccccccccccccH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {<img alt="{displaystyle f(x;P_{rm {80}},m)={begin{cases}1-e^{ln left(0.2right)left({frac {x}{P_{rm {80}}}}right)^{m}}&xgeq 0,\0&x$

Donde
- $x$ es el tamaño de la partícula
- $P_{rm{80}}$ es el percentil 80 de la distribución del tamaño de las partículas
- $m$ es un parámetro que describe la difusión de la distribución
Debido a su disponibilidad en hojas de cálculo, también se utiliza donde el comportamiento subyacente es en realidad mejor modelado por una distribución Erlang.
Si ${displaystyle Xsim mathrm {Weibull} (lambda{frac {1}{2}})}$ entonces ${displaystyle {sqrt {X}}sim mathrm {Exponential} ({frac {1}{sqrt {lambda }}})}$ (Distribución adicional)
Para los mismos valores de k, la distribución Gamma toma formas similares, pero la distribución Weibull es más platykurtic.

Desde el punto de vista de la distribución Stable count, $k$ puede considerarse como el parámetro de estabilidad de Lévy. Una distribución de Weibull se puede descomponer a una parte integral de la densidad del núcleo donde el núcleo es una distribución de Laplace ${displaystyle F(x;1,lambda)}$ o una distribución de Rayleigh ${displaystyle F(x;2,lambda)}$ :
$0;{text{or }}\displaystyle int _{0}^{infty }{frac {1}{s}},F(x;2,{sqrt {2}}lambda s)left({sqrt {frac {2}{pi }}},Gamma left({frac {1}{k}}+1right)V_{k}(s)right),ds,&2geq k>0;end{cases}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">F()x;k,λ λ )={}∫ ∫ 0JUEGO JUEGO 1.. F()x;1,λ λ .. )().. ()1k+1)Nk().. ))d.. ,1≥ ≥ k■0;o∫ ∫ 0JUEGO JUEGO 1sF()x;2,2λ λ s)()2π π .. ()1k+1)Vk()s))ds,2≥ ≥ k■0;{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} ¿Por qué? {2}{pi} }},Gamma left({frac {1}{k}}+1right)V_{k}(s)right),ds, limit2geq k Conf0;end{cases}}0;{text{or }}\displaystyle int _{0}^{infty }{frac {1}{s}},F(x;2,{sqrt {2}}lambda s)left({sqrt {frac {2}{pi }}},Gamma left({frac {1}{k}}+1right)V_{k}(s)right),ds,&2geq k>0;end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78d4856ded4aa4f5b1cda4024bc70e390c59a7ee" style="vertical-align: -5.671ex; width:81.397ex; height:12.509ex;"/>$

Donde ${displaystyle {mathfrak {N}}_{k}(nu)}$ es la distribución de la cuenta estable y ${displaystyle V_{k}(s)}$ es la distribución Stable vol.

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