Distribución secante hiperbólica

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución secante hiperbólica es una distribución de probabilidad continua cuya función de densidad de probabilidad y función característica son proporcionales a la función secante hiperbólica. La función secante hiperbólica es equivalente al coseno hiperbólico recíproco y, por lo tanto, esta distribución también se denomina distribución de cosh inversa.

La generalización de la distribución da lugar a la distribución de Meixner, también conocida como Familia Exponencial Natural - Secante Hiperbólica Generalizada o distribución NEF-GHS.

Definiciones

Función de densidad de probabilidad

Una variable aleatoria sigue una distribución secante hiperbólica si su función de densidad de probabilidad se puede relacionar con la siguiente forma estándar de función de densidad mediante una transformación de ubicación y desplazamiento:

f()x)=12Sech⁡ ⁡ π π x2,{displaystyle f(x)={2}operatorname {frac {frac {pi x}{2}}}}

donde "sech" denota la función secante hiperbólica.

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa (cdf) de la distribución estándar es una versión escalada y desplazada de la función de Gudermann.

F()x)=12+1π π arctan()pecado⁡ ⁡ π π x2)=2π π arctan()exp⁡ ⁡ π π x2).{displaystyle {begin{aligned}F(x) ventaja={frac {1}{2}+{frac} {1}{pi}rctan} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnh} {fnMicroc {pi} {}} {fn} {fnMicrosoft}}} {fnK}}}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}}}}} {\fn}}}}}} {\\\\fn\\\\fn\fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} Más grande. frac {2}{pi {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicroc {pi x} {Bigr)} {fnMicrosoft Sans Serif}}

donde "arctan" es la función tangente inversa (circular).

Johnson y cols. (1995) sitúa esta distribución en el contexto de una clase de formas generalizadas de la distribución logística, pero utiliza una parametrización de la distribución estándar diferente a la aquí. Ding (2014) muestra tres apariciones de la distribución secante hiperbólica en la inferencia y el modelado estadístico.

Propiedades

La distribución secante hiperbólica comparte muchas propiedades con la distribución normal estándar: es simétrica con varianza unitaria y media, mediana y moda cero, y su función de densidad de probabilidad es proporcional a su función característica. Sin embargo, la distribución secante hiperbólica es leptocúrtica; es decir, tiene un pico más agudo cerca de su media y colas más pesadas en comparación con la distribución normal estándar. Tanto la distribución secante hiperbólica como la distribución logística son casos especiales de la distribución de Champernowne, que tiene colas exponenciales.

La cdf inversa (o función cuantil) es

F− − 1()p)=− − 2π π arsinh[cot⁡ ⁡ ()π π p)],{displaystyle F^{-1}(p)=-{frac {2},operatorname {arsinh} !left[cot(pi ,p)right]! }

=2π π In[#⁡ ⁡ ()π π 2p)].{displaystyle ={frac {2}{pi },ln !left[tan left({frac {pi }{2},pright)right]!

donde "arsinh" es la función seno hiperbólica inversa y "cot" es la función cotangente (circular).

Generalizaciones

Convolución

Considerando la suma (escala) r{displaystyle r} variables aleatorias hiperbólicas distribuidas de forma independiente e idéntica:

X=1r()X1+X2+...+Xr){displaystyle X={frac {1}{1};(X_{1}+X_{2}+;...;+X_{r}}

entonces en el límite r→ → JUEGO JUEGO {displaystyle rto infty} la distribución de X{displaystyle X} tenderá a la distribución normal N()0,1){displaystyle N(0,1)}, de acuerdo con el teorema límite central.

Esto permite definir una familia conveniente de distribuciones con propiedades intermedias entre el secant hiperbólico y la distribución normal, controladas por el parámetro de forma r{displaystyle r}, que se puede extender a valores no enteros a través de la función característica

φ φ ()t)=()Sech⁡ ⁡ ()t/r))r{displaystyle varphi (t)={big (}operatorname {sech} (t/{sqrt {r}}){big)}} {}} {}}} {}} {}}} {}}} {f}} {f}}

Los momentos se pueden calcular fácilmente a partir de la función característica. El exceso de kurtosis se encuentra 2/r{displaystyle 2/r}.

Sesgado

Una forma aserrada de la distribución se puede obtener multiplicando por el exponencial <math alttext="{displaystyle e^{theta x},|{theta }|eSilencio Silencio x,SilencioSilencio Silencio Silencioc)π π /2{displaystyle e^{theta x}, la vida {theta } invisible {pi}/2}<img alt="{displaystyle e^{theta x},|{theta }| y normalización, para dar la distribución

f()x)=#⁡ ⁡ Silencio Silencio eSilencio Silencio x2cosh⁡ ⁡ ()π π x2){displaystyle f(x)=cos theta ;{frac {e^{theta x}{2operatorname {cosh} ({frac {pi x}{2}}}}}}}}

donde el valor del parámetro Silencio Silencio =0{displaystyle theta =0} corresponde a la distribución original.

Ubicación y escala

La distribución (y sus generalizaciones) también se puede cambiar y escalar trivialmente de la manera habitual para dar una familia de escala de ubicación correspondiente:

f()x)=12σ σ Sech⁡ ⁡ ()π π 2x− − μ μ σ σ ){displaystyle f(x)={2sigma}operatorname {sech} left({frac {pi}{2}{frac {x-mu }{sigma }right)}}}}}} {sigma}}}}}}}}}} {sigualdad)}

Distribución Meixner

Al permitir los cuatro ajustes anteriores se obtiene una distribución con cuatro parámetros, controlando la forma, la inclinación, la ubicación y la escala respectivamente, llamada distribución de Meixner en honor a Josef Meixner, quien investigó por primera vez a la familia, o la Distribución NEF-GHS (Familia exponencial natural - Distribución Secante Hiperbólica Generalizada).

En matemáticas financieras, la distribución de Meixner se ha utilizado para modelar el movimiento no gaussiano de los precios de las acciones, con aplicaciones que incluyen la fijación de precios de opciones.

Distribución relacionada

Losev (1989) ha estudiado independientemente la curva asimétrica (skewed) h()x)=1exp⁡ ⁡ ()− − ax)+exp⁡ ⁡ ()bx){displaystyle h(x)={frac {1}{exp(-ax)+exp(bx)}}}, que utiliza sólo dos parámetros a,b{displaystyle a,b}. En ella, a{displaystyle a} es una medida de corte izquierdo y b{displaystyle b} una medida de corte derecho, en caso de que ambos parámetros sean positivos. Tienen que ser tanto positivos como negativos, con a=b{displaystyle a=b} ser el secant - y por lo tanto simétrico - y h()x)r{displaystyle h(x)^{r} siendo su forma de re-forma posterior.

La constante de normalización es la siguiente:

a+bπ π pecado⁡ ⁡ ()bπ π a+b){displaystyle {frac {a+b}{pi}sin left({frac {bpi} } {a+b}right)}

que reduce a 2aπ π {displaystyle {frac {2a}{i} } para la versión simétrica.

Además, para la versión simétrica, a{displaystyle a} se puede estimar como a=π π 2σ σ {displaystyle a={frac {fnMicroc} }{2sigma }.