Distribución relativista de Breit-Wigner

La distribución relativista de Breit-Wigner (según la fórmula de resonancia nuclear de 1936 de Gregory Breit y Eugene Wigner) es una distribución de probabilidad continua con la siguiente función de densidad de probabilidad,

f()E)=k()E2− − M2)2+M2. . 2 ,{displaystyle f(E)={frac}{left(E^{2}-M^{2}right)^{2}+M^{2}Gamma ^{2}}~}}~

donde k es una constante de proporcionalidad, igual a

k=22M. . γ γ π π M2+γ γ {displaystyle k={frac {2{sqrt {2}MGamma gamma . {M^{2}+gamma ♪♪♪♪ con γ γ =M2()M2+. . 2) .{displaystyle ~~~~~gamma ={2}left(M^{2}+Gamma ^{2}right)}~}~}

(Esta ecuación está escrita usando unidades naturales, ħ = c = 1.)

Se utiliza con mayor frecuencia para modelar resonancias (partículas inestables) en física de alta energía. En este caso, E es la energía del centro de masa que produce la resonancia, estilo M es la masa de la resonancia y Γ es el ancho de resonancia (o ancho de caída), relacionado con su vida media según τ = 1/Γ. (Con las unidades incluidas, la fórmula es τ = ħ/Γ).

Uso

La probabilidad de producir la resonancia con una energía determinada E es proporcional a f (E), de modo que una gráfica de la tasa de producción de la partícula inestable en función de la energía traza la forma de la distribución relativista de Breit-Wigner. Tenga en cuenta que para valores de E fuera del máximo en M tal que |E² − M²| = MΓ, (por lo tanto |E − M| = Γ/2 para M ≫ Γ), la distribución f se ha atenuado a la mitad de su valor máximo, lo que justifica el nombre de Γ, ancho a la mitad del máximo.

En el límite del ancho de fuga, Γ → 0, la partícula se vuelve estable a medida que la distribución de Lorentz f se agudiza infinitamente hasta 2Mδ(E² − M² ).

En general, Γ también puede ser una función de E; Por lo general, esta dependencia solo es importante cuando Γ no es pequeña en comparación con M y se debe tomar la dependencia del espacio de fase del ancho. en cuenta. (Por ejemplo, en la desintegración del mesón ro en un par de piones). El factor de M² que multiplica Γ² también debe reemplazarse por E² (o E ⁴/M², etc.) cuando la resonancia es amplia.

La forma de la distribución relativista de Breit-Wigner surge del propagador de una partícula inestable, que tiene un denominador de la forma p² − M² + iMΓ. (Aquí, p² es el cuadrado de los cuatro momentos transportados por esa partícula en el árbol diagrama de Feynman involucrado.) El propagador en su marco de reposo es entonces proporcional a la amplitud mecánico-cuántica para la desintegración utilizada para reconstruir esa resonancia,

k()E2− − M2)+iM. . .{displaystyle {frac {sqrt}{left(E^{2}-M^{2}right)+iM Gamma.

La distribución de probabilidad resultante es proporcional al cuadrado absoluto de la amplitud, por lo que la distribución relativista de Breit-Wigner anterior para la función de densidad de probabilidad.

La forma de esta distribución es similar a la amplitud de la solución de la ecuación de movimiento clásica para un oscilador armónico impulsado amortiguado e impulsado por una fuerza externa sinusoidal. Tiene la forma de resonancia estándar de la distribución de Lorentz o Cauchy, pero involucra variables relativistas s = p², aquí = E². La distribución es la solución de la ecuación diferencial para la amplitud al cuadrado w.r.t. la energía (frecuencia), en un oscilador forzado tan clásico,

f.()E)()()E2− − M2)2+. . 2M2)− − 4Ef()E)()M− − E)()E+M)=0,{fnMicrosoft Sans Serif})left(left({text{E}^{2}-M^{2}right)}{2}+Gamma ^{2}M^{2}right)-4{text{E}f(text{E}})(M-{text{E}}} {f} {f}}} {f}} {f}}} {f}}}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}}} {f}}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f}}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}} {f}}}

con

f()M)=k. . 2M2. {displaystyle f(M)={frac {k}{f} Gamma.

Ampliación gaussiana

En el experimento, el haz incidente que produce resonancia siempre tiene cierta dispersión de energía alrededor de un valor central. Por lo general, se trata de una distribución gaussiana/normal. La forma de resonancia resultante en este caso viene dada por la convolución de Breit-Wigner y la distribución gaussiana,

V2()E;M,. . ,k,σ σ )=∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO k()E.2− − M2)2+()M. . )21σ σ 2π π e− − ()E.− − E)22σ σ 2dE..{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicros} {c}} {fnMicros}} {fnMicros} {c}} {c} {c}} {ccc}} {c}ccccc}}}}ccccccccccccccc}ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc

Esta función se puede simplificar introduciendo nuevas variables,

t=E− − E.2σ σ ,u1=E− − M2σ σ ,u2=E+M2σ σ ,a=kπ π 2σ σ 2,{displaystyle t={sqrt {sqrt {2}sigma}}quad U_{1}={frac {E-M}{sqrt {2}sigma }}quad {fnMicroc {fnMicroc}sqrt {2}sigma,quad a={frac {kpi}{2sigma ^{2}}}}}

para obtener

V2()E;M,. . ,k,σ σ )=H2()a,u1,u2)σ σ 22π π ,{displaystyle V_{2}(E;M,Gammak,sigma)={frac {H_{2}(a,u_{1},u_{2})}{sigma ^{2}2{sqrt {pi} }}}

donde la función de ampliación de línea relativista tiene la siguiente definición,

H2()a,u1,u2)=aπ π ∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO e− − t2()u1− − t)2()u2− − t)2+a2dt.{displaystyle H_{2}(a,u_{1},u_{2}={frac {}{pi }int _{-infty . {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}

H2{displaystyle H_{2} es la contraparte relativista de la función de encaminamiento lineal similar para el perfil Voigt utilizado en la espectroscopia (ver también Sección 7.19 de).