Distribución Rayleigh

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Distribución de la probabilidad

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Rayleigh es una distribución de probabilidad continua para variables aleatorias de valores no negativos. Hasta el reescalado, coincide con la distribución chi con dos grados de libertad. La distribución lleva el nombre de Lord Rayleigh ().

A menudo se observa una distribución de Rayleigh cuando la magnitud general de un vector en el plano se relaciona con sus componentes direccionales. Un ejemplo en el que surge naturalmente la distribución de Rayleigh es cuando la velocidad del viento se analiza en dos dimensiones. Suponiendo que cada componente no está correlacionado, normalmente distribuido con igual varianza y media cero, entonces la velocidad general del viento (magnitud del vector) se caracterizará por una distribución de Rayleigh. Un segundo ejemplo de la distribución surge en el caso de números complejos aleatorios cuyos componentes reales e imaginarios se distribuyen de forma independiente e idéntica Gaussiana con igual varianza y media cero. En ese caso, el valor absoluto del número complejo tiene una distribución de Rayleigh.

Definición

La función de densidad de probabilidad de la distribución de Rayleigh es

f(x;sigma)={frac {x}{sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/(2sigma ^{2})},quad xgeq 0,

Donde $sigma$ es el parámetro escala de la distribución. La función de distribución acumulativa es

F(x;sigma)=1-e^{-x^{2}/(2sigma ^{2})}

para $xin [0,infty).$

Relación con la longitud del vector aleatorio

Considere el vector bidimensional $Y=(U,V)$ que tiene componentes que son bivariados normalmente distribuidos, centrados en cero, e independientes. Entonces... $U$ y $V$ tienen funciones de densidad

{displaystyle f_{U}(x;sigma)=f_{V}(x;sigma)={frac {e^{-x^{2}/(2sigma ^{2})}}{sqrt {2pi sigma ^{2}}}}.}

Vamos $X$ ser la longitud de $Y$ . Eso es, ${displaystyle X={sqrt {U^{2}+V^{2}}}.}$ Entonces... $X$ tiene función de distribución acumulativa

{displaystyle F_{X}(x;sigma)=iint _{D_{x}}f_{U}(u;sigma)f_{V}(v;sigma),dA,}

Donde $D_{x}$ es el disco

{displaystyle D_{x}=left{(u,v):{sqrt {u^{2}+v^{2}}}leq xright}.}

Escribiendo la integral doble en coordenadas polares, se convierte en

{displaystyle F_{X}(x;sigma)={frac {1}{2pi sigma ^{2}}}int _{0}^{2pi }int _{0}^{x}re^{-r^{2}/(2sigma ^{2})},dr,dtheta ={frac {1}{sigma ^{2}}}int _{0}^{x}re^{-r^{2}/(2sigma ^{2})},dr.}

Finalmente, la función de densidad de probabilidad para $X$ es el derivado de su función de distribución acumulativa, que por el teorema fundamental del cálculo es

{displaystyle f_{X}(x;sigma)={frac {d}{dx}}F_{X}(x;sigma)={frac {x}{sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/(2sigma ^{2})},}

que es la distribución de Rayleigh. Es sencillo generalizar a vectores de dimensión distinta de 2. También hay generalizaciones cuando los componentes tienen varianzas o correlaciones desiguales (distribución de Hoyt), o cuando el vector Y sigue una distribución t de Student bivariada (ver también: distribución T cuadrada de Hotelling).

Generalización de la t-distribución del estudiante bivariable
Suppose $Y$ es un vector aleatorio con componentes $u,v$ que sigue una distribución t multivariada. Si los componentes tienen cero, igual varianza, y son independientes, la distribución bivariada de Student-t toma el formulario: ${displaystyle f(u,v)={1 over {2pi sigma ^{2}}}left(1+{u^{2}+v^{2} over {nu sigma ^{2}}}right)^{-nu /2-1}}$ Vamos ${displaystyle R={sqrt {U^{2}+V^{2}}}}$ ser la magnitud de $Y$ . Entonces la función de distribución acumulativa (CDF) de la magnitud es: ${displaystyle F(r)={1 over {2pi sigma ^{2}}}iint _{D_{r}}left(1+{u^{2}+v^{2} over {nu sigma ^{2}}}right)^{-nu /2-1}du;dv}$ Donde ${displaystyle D_{r}}$ es el disco definido por: ${displaystyle D_{r}=left{(u,v):{sqrt {u^{2}+v^{2}}}leq rright}}$ Convertirse en coordenadas polares conduce al CDF convirtiéndose en: ${displaystyle {begin{aligned}F(r)&={1 over {2pi sigma ^{2}}}int _{0}^{r}int _{0}^{2pi }rho left(1+{rho ^{2} over {nu sigma ^{2}}}right)^{-nu /2-1}dtheta ;drho \&={1 over {sigma ^{2}}}int _{0}^{r}rho left(1+{rho ^{2} over {nu sigma ^{2}}}right)^{-nu /2-1}drho \&=1-left(1+{r^{2} over {nu sigma ^{2}}}right)^{-nu /2}end{aligned}}}$ Finalmente, la función de densidad de probabilidad (PDF) de la magnitud puede derivarse: ${displaystyle f(r)=F'(r)={r over {sigma ^{2}}}left(1+{r^{2} over {nu sigma ^{2}}}right)^{-nu /2-1}}$ En el límite como $nu rightarrow infty$ , la distribución Rayleigh se recupera porque: ${displaystyle lim _{nu rightarrow infty }left(1+{r^{2} over {nu sigma ^{2}}}right)^{-nu /2-1}=e^{-r^{2}/2sigma ^{2}}}$

Generalización de la t-distribución del estudiante bivariable

Suppose $Y$ es un vector aleatorio con componentes $u,v$ que sigue una distribución t multivariada. Si los componentes tienen cero, igual varianza, y son independientes, la distribución bivariada de Student-t toma el formulario:

{displaystyle f(u,v)={1 over {2pi sigma ^{2}}}left(1+{u^{2}+v^{2} over {nu sigma ^{2}}}right)^{-nu /2-1}}

Vamos ${displaystyle R={sqrt {U^{2}+V^{2}}}}$ ser la magnitud de $Y$ . Entonces la función de distribución acumulativa (CDF) de la magnitud es:

{displaystyle F(r)={1 over {2pi sigma ^{2}}}iint _{D_{r}}left(1+{u^{2}+v^{2} over {nu sigma ^{2}}}right)^{-nu /2-1}du;dv}

Donde ${displaystyle D_{r}}$ es el disco definido por:

{displaystyle D_{r}=left{(u,v):{sqrt {u^{2}+v^{2}}}leq rright}}

Convertirse en coordenadas polares conduce al CDF convirtiéndose en:

{displaystyle {begin{aligned}F(r)&={1 over {2pi sigma ^{2}}}int _{0}^{r}int _{0}^{2pi }rho left(1+{rho ^{2} over {nu sigma ^{2}}}right)^{-nu /2-1}dtheta ;drho \&={1 over {sigma ^{2}}}int _{0}^{r}rho left(1+{rho ^{2} over {nu sigma ^{2}}}right)^{-nu /2-1}drho \&=1-left(1+{r^{2} over {nu sigma ^{2}}}right)^{-nu /2}end{aligned}}}

Finalmente, la función de densidad de probabilidad (PDF) de la magnitud puede derivarse:

{displaystyle f(r)=F'(r)={r over {sigma ^{2}}}left(1+{r^{2} over {nu sigma ^{2}}}right)^{-nu /2-1}}

En el límite como $nu rightarrow infty$ , la distribución Rayleigh se recupera porque:

{displaystyle lim _{nu rightarrow infty }left(1+{r^{2} over {nu sigma ^{2}}}right)^{-nu /2-1}=e^{-r^{2}/2sigma ^{2}}}

Propiedades

Los momentos crudos vienen dados por:

{displaystyle mu _{j}=sigma ^{j}2^{j/2},Gamma left(1+{frac {j}{2}}right),}

Donde $Gamma (z)$ es la función gamma.

La media de una variable aleatoria de Rayleigh es, por lo tanto,:

{displaystyle mu (X)=sigma {sqrt {frac {pi }{2}}} approx 1.253 sigma.}

La desviación estándar de una variable aleatoria de Rayleigh es:

{displaystyle operatorname {std} (X)={sqrt {left(2-{frac {pi }{2}}right)}}sigma approx 0.655 sigma }

La varianza de una variable aleatoria de Rayleigh es:

{displaystyle operatorname {var} (X)=mu _{2}-mu _{1}^{2}=left(2-{frac {pi }{2}}right)sigma ^{2}approx 0.429 sigma ^{2}}

El modo es $sigma$ y el máximo pdf

{displaystyle f_{max }=f(sigma;sigma)={frac {1}{sigma }}e^{-1/2}approx {frac {0.606}{sigma }}.}

La asimetría viene dada por:

{displaystyle gamma _{1}={frac {2{sqrt {pi }}(pi -3)}{(4-pi)^{3/2}}}approx 0.631}

El exceso de curtosis viene dado por:

gamma _{2}=-{frac {6pi ^{2}-24pi +16}{(4-pi)^{2}}}approx 0.245

La función característica viene dada por:

{displaystyle varphi (t)=1-sigma te^{-{frac {1}{2}}sigma ^{2}t^{2}}{sqrt {frac {pi }{2}}}left[operatorname {erfi} left({frac {sigma t}{sqrt {2}}}right)-iright]}

Donde $operatorname {erfi} (z)$ es la función de error imaginario. La función generadora de momento es dada por

{displaystyle M(t)=1+sigma t,e^{{frac {1}{2}}sigma ^{2}t^{2}}{sqrt {frac {pi }{2}}}left[operatorname {erf} left({frac {sigma t}{sqrt {2}}}right)+1right]}

Donde $operatorname {erf} (z)$ es la función de error.

Entropía diferencial

La entropía diferencial viene dada por

{displaystyle H=1+ln left({frac {sigma }{sqrt {2}}}right)+{frac {gamma }{2}}}

Donde $gamma$ es la constante Euler-Mascheroni.

Estimación de parámetros

Dada una muestra N independiente y distribuida idénticamente Rayleigh variables aleatorias $x_{i}$ con parámetro $sigma$ ,

{displaystyle {widehat {sigma ^{2}}}=!,{frac {1}{2N}}sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}

es la estimación de probabilidad máxima y también es imparcial.

{displaystyle {widehat {sigma }}approx {sqrt {{frac {1}{2N}}sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}}}

es un estimador parcial que se puede corregir a través de la fórmula

{displaystyle sigma ={widehat {sigma }}{frac {Gamma (N){sqrt {N}}}{Gamma left(N+{frac {1}{2}}right)}}={widehat {sigma }}{frac {4^{N}N!(N-1)!{sqrt {N}}}{(2N)!{sqrt {pi }}}}}

Intervalos de confianza

Para encontrar el (1 −α) intervalo de confianza, primero encontrar los límites $[a,b]$ Donde:

{displaystyle Pleft(chi _{2N}^{2}leq aright)=alpha /2,quad Pleft(chi _{2N}^{2}leq bright)=1-alpha /2}

entonces el parámetro de escala estará dentro de los límites

{displaystyle {frac {{N}{overline {x^{2}}}}{b}}leq {widehat {sigma ^{2}}}leq {frac {{N}{overline {x^{2}}}}{a}}}

Generando variables aleatorias

Dada una variable aleatoria U extraída de la distribución uniforme en el intervalo (0, 1), entonces la variable

{displaystyle X=sigma {sqrt {-2ln U}},}

tiene una distribución de Rayleigh con parámetro $sigma$ . Esto se obtiene aplicando el muestreo-método de transformación inversa.

Distribuciones relacionadas

$Rsim mathrm {Rayleigh} (sigma)$ es Rayleigh distribuido si $R={sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$ , donde $Xsim N(0,sigma ^{2})$ y $Ysim N(0,sigma ^{2})$ son variables aleatorias normales independientes. Esto da motivación al uso del símbolo $sigma$ en la parametrización anterior de la densidad Rayleigh.
La magnitud $|z|$ de un complejo estándar normalmente distribuido variable z es Rayleigh distribuido.
La distribución chi con v= 2 es equivalente a la distribución de Rayleigh conσ= 1.
Si $Rsim mathrm {Rayleigh} (1)$ , entonces $R^{2}$ tiene una distribución ci-cuadrada con parámetro $N$ , grados de libertad, igual a dos (N= 2)
$[Q=R^{2}]sim chi ^{2}(N).$
Si $Rsim mathrm {Rayleigh} (sigma)$ , entonces $sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}$ tiene una distribución gamma con parámetros $N$ y ${displaystyle {frac {1}{2sigma ^{2}}}}$
${displaystyle left[Y=sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}right]sim Gamma left(N,{frac {1}{2sigma ^{2}}}right).}$
La distribución Rice es una generalización no central de la distribución Rayleigh: ${displaystyle mathrm {Rayleigh} (sigma)=mathrm {Rice} (0,sigma)}$ .
La distribución Weibull con el parámetro de forma k= 2 produce una distribución de Rayleigh. Luego el parámetro de distribución Rayleigh $sigma$ está relacionado con el parámetro de escala Weibull según $lambda =sigma {sqrt {2}}.$
La distribución Maxwell-Boltzmann describe la magnitud de un vector normal en tres dimensiones.
Si $X$ tiene una distribución exponencial $Xsim mathrm {Exponential} (lambda)$ , entonces ${displaystyle Y={sqrt {X}}sim mathrm {Rayleigh} (1/{sqrt {2lambda }}).}$
La distribución medio-normal es el caso especial univariado de la distribución Rayleigh.

Aplicaciones

Se puede encontrar una aplicación de la estimación de σ en la resonancia magnética nuclear (RMN). Dado que las imágenes de resonancia magnética se registran como imágenes complejas, pero con mayor frecuencia se ven como imágenes de magnitud, los datos de fondo se distribuyen según la distribución de Rayleigh. Por lo tanto, la fórmula anterior se puede utilizar para estimar la variación del ruido en una imagen de resonancia magnética a partir de datos de fondo.

La distribución de Rayleigh también se empleó en el campo de la nutrición para vincular los niveles de nutrientes de la dieta y las respuestas humanas y animales. De esta forma, el parámetro σ puede usarse para calcular la relación de respuesta de nutrientes.

En el campo de la balística, la distribución de Rayleigh se usa para calcular el error circular probable, una medida de la precisión de un arma.

En oceanografía física, la distribución de la altura significativa de las olas sigue aproximadamente una distribución de Rayleigh.

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