Distribución logístico-logística

En probabilidad y estadística, la distribución log-logística (conocida en economía como distribución de Fisk) es una distribución de probabilidad continua para una variable aleatoria no negativa. Se utiliza en el análisis de supervivencia como modelo paramétrico para eventos cuya tasa aumenta inicialmente y disminuye posteriormente, como, por ejemplo, la tasa de mortalidad por cáncer tras el diagnóstico o tratamiento. También se ha empleado en hidrología para modelar el caudal y la precipitación fluvial, en economía como modelo simple de la distribución de la riqueza o los ingresos, y en redes para modelar los tiempos de transmisión de datos considerando tanto la red como el software.La distribución log-logística es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria cuyo logaritmo tiene una distribución logística. Su forma es similar a la de la distribución log-normal, pero presenta colas más gruesas. A diferencia de la log-normal, su función de distribución acumulativa puede expresarse en forma cerrada.

Hay varias parametrizaciones diferentes de la distribución en uso. El que se muestra aquí da parámetros razonablemente interpretables y una forma simple para la función de distribución acumulativa. El parámetro ${\displaystyle \alpha œ0}$ es un parámetro escala y es también la mediana de la distribución. El parámetro ${\displaystyle \beta >0}$ es un parámetro de forma. La distribución es unimodal cuando ${\displaystyle \beta >1}$ y su dispersión disminuye como ${\displaystyle \beta }$ aumenta.

La función de distribución acumulada es

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x;\alpha\beta) limitada={1 \over 1+(x/\alpha)^{-\beta }\[5pt] limit={(x/\alpha)^{\beta }\over 1+(x/\alpha)^{\beta] {\beta}\[5pt] - ¿Qué?$

Donde ${\displaystyle x confianza0}$, ${\displaystyle \alpha œ0}$, ${\displaystyle \beta >0.}$

La función de densidad de probabilidad es

${\beta /\alpha)}{\beta(1+(x/\alpha)}}{\beta}}}}}}}}}}}}}}}} {\beta }\beta } {\beta }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\$

Una parametrización alternativa es dada por el par ${\displaystyle \mus}$ en analogía con la distribución logística:

${\displaystyle \mu =\ln(\alpha)}$

${\displaystyle s=1/\beta}$

El ${\displaystyle k}$el momento crudo existe sólo cuando ${\displaystyle k made\beta}$ cuando es dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{k}) ^{k}\operatorname {B} (1-k/\beta1+k/\beta)\[5pt] sentimiento=\alpha ^{k}\,{k\pi /\beta \over \sin(k\pi /\beta)}\end{aligned}}}$

donde B es la función beta. Las expresiones para la media, varianza, esquedad y kurtosis pueden derivarse de esto. Escritura ${\displaystyle b=\pi /\beta }$ por conveniencia, la media es

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\alpha b/\sin b,\quad \beta #$

y la varianza es

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\alpha ^{2}\left(2b/\sin 2b-b^{2}/\sin ^{2}b\right),\quad \beta .$

Explicit expressions for the skewness and kurtosis are lengthy. As ${\displaystyle \beta }$ tiende a infinito el medio tiende a ${\displaystyle \alpha }$, la varianza y el aguijón tienden a cero y el exceso de kurtosis tiende a 6/5 (ver también distribuciones relacionadas a continuación).

La función cuantil (función de distribución acumulativa inversa) es:

${\displaystyle F^{-1}(p;\alpha\beta)=\alpha \left({\frac {p}{1-p}\right)}{1/\beta }$

Sigue que la mediana es ${\displaystyle \alpha }$, el cuartil inferior es ${\displaystyle 3^{-1/\beta}\alpha }$y el cuartil superior es ${\displaystyle 3^{1/\beta}\alpha }$.

La distribución logística proporciona un modelo paramétrico para el análisis de supervivencia. A diferencia de la distribución Weibull más utilizada, puede tener una función de riesgo no monotónica: cuando ${\displaystyle \beta >1,}$ la función de peligro es unimodal (cuando ${\displaystyle \beta }$ ≤ 1, el peligro disminuye monotonicamente). El hecho de que la función de distribución acumulativa se pueda escribir en forma cerrada es particularmente útil para el análisis de los datos de supervivencia con censura. La distribución log-logista se puede utilizar como base de un modelo de tiempo de falla acelerado permitiendo ${\displaystyle \alpha }$ diferir entre grupos, o más generalmente introduciendo covariaciones que afectan ${\displaystyle \alpha }$ pero no ${\displaystyle \beta }$ por modelado ${\displaystyle \log(\alpha)}$ como función lineal de los covariados.

La función de supervivencia es

${\displaystyle S(t)=1-F(t)=[1+(t/\alpha)^{\beta } {-1},\, }$

y entonces la función de riesgo es

${\displaystyle h(t)={(t)}{S(t)}={\frac {(\beta /\alpha)(t/\alpha)^{\beta -1}{1+(t/\alpha)^{\beta }}}$

Distribución logística con parámetro de forma ${\displaystyle \beta =1}$ es la distribución marginal de las inter-times en un proceso de conteo geométrico-distribuido.

La distribución log-logística se ha utilizado en hidrología para modelar los caudales fluviales y las precipitaciones.Los valores extremos, como la precipitación máxima diaria y el caudal fluvial mensual o anual, suelen seguir una distribución logarítmica-normal. Sin embargo, esta distribución requiere una aproximación numérica. Dado que la distribución logarítmica-logística, que puede resolverse analíticamente, es similar a la distribución logarítmica-normal, puede utilizarse en su lugar.La imagen azul ilustra un ejemplo del ajuste de la distribución log-logística a las precipitaciones máximas diarias de octubre clasificadas y muestra el rango de confianza del 90 % basado en la distribución binomial. Los datos de precipitación se representan mediante la posición gráfica r/(n+1) como parte del análisis de frecuencia acumulada.

El log-logistic se ha utilizado como un modelo simple de distribución de la riqueza o los ingresos en economía, donde se conoce como la distribución Fisk. Su coeficiente Gini es ${\displaystyle 1/\beta}$.

La log-logística se ha utilizado como modelo para el período que comienza cuando los datos salen de una aplicación de software en un ordenador y la respuesta es recibida por la misma aplicación tras viajar y ser procesada por otros ordenadores, aplicaciones y segmentos de red, la mayoría o todos ellos sin garantías sólidas de tiempo real (por ejemplo, cuando una aplicación muestra datos provenientes de un sensor remoto conectado a Internet). Se ha demostrado que es un modelo probabilístico más preciso para este caso que la distribución log-normal u otras, siempre que se detecten adecuadamente los cambios abruptos de régimen en las secuencias de esos tiempos.

• Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {LL} (\alpha\beta)}$ entonces ${\displaystyle kX\sim \operatorname {LL} (k\alpha\beta). }$
• Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {LL} (\alpha\beta)}$ entonces ${\displaystyle X^{k}\sim \operatorname {LL} (\alpha ^{k},\beta / WordPressk sometida).}$
• ${\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha\beta)\sim {\textrm {Dagum}}(1,\alpha\beta)}$ (Distribución de elementos).
• ${\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha\beta)\sim {\textrm {SinghMaddala}}(1,\alpha\beta)}}$ (Distribución Singh-Maddala).
• ${\displaystyle {\textrm {LL}(\gamma\sigma)\sim \beta '(1,\gamma\sigma)}$ (Distribución principal de beta).
• Si X tiene una distribución log-logista con parámetro escala ${\displaystyle \alpha }$ y parámetro de forma ${\displaystyle \beta }$ entonces Y = log(X) tiene una distribución logística con parámetro de ubicación ${\displaystyle \log(\alpha)}$ y parámetro de escala ${\displaystyle 1/\beta.}$
• Como parámetro de forma ${\displaystyle \beta }$ de la distribución logística aumenta, su forma se asemeja cada vez más a la de una distribución logística (muy estrecha). Informalmente:

${\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha\beta)\to L(\alpha\alpha /\beta)\quad {\text{as}\quad \beta\to \infty.}$

• Distribución logística con parámetro de forma ${\displaystyle \beta =1}$ y parámetro de escala ${\displaystyle \alpha }$ es lo mismo que la distribución generalizada de Pareto con parámetro de ubicación ${\displaystyle \mu =0}$, parámetro de forma ${\displaystyle \xi =1}$ y parámetro de escala ${\displaystyle \alpha:}$

${\displaystyle \operatorname {LL} (\alpha1)=\operatorname {GPD} (1,\alpha1). }$

• La adición de otro parámetro (un parámetro de desplazamiento) resulta formalmente en una distribución logística de troncos desplazada, pero esto se considera generalmente en una parametrización diferente para que la distribución pueda ser atada arriba o atada abajo.

Varias distribuciones diferentes se denominan a veces distribución log-logística generalizada, ya que la constituyen como un caso especial. Entre ellas se incluyen la distribución Burr Tipo XII (también conocida como distribución Singh-Maddala) y la distribución Dagum, ambas con un segundo parámetro de forma. Ambas son, a su vez, casos especiales de la distribución beta generalizada de segundo tipo, aún más general. Otra generalización más directa de la distribución log-logística es la distribución log-logística desplazada.

Otro distribución logística generalizada es el log-transform de la distribución metalog, en la que la serie de potencia se expande en términos de ${\displaystyle p}$ son reemplazados por parámetros de distribución logística ${\displaystyle \mu }$ y ${\displaystyle \sigma }$. La distribución log-metalog resultante es altamente flexible de forma, tiene una función simple de forma cerrada PDF y cuantil, puede ajustarse a los datos con mínimos cuadrados lineales, y supone que la distribución log-logista es un caso especial.

• Distribución de probabilidad: Lista de distribuciones importantes apoyadas en intervalos semiinfinitos