Distribución gamma inversa

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución gamma inversa es una familia de dos parámetros de distribuciones de probabilidad continuas en la línea real positiva, que es la distribución del recíproco de una variable distribuida según la distribución gamma.

Quizás el uso principal de la distribución gamma inversa sea en la estadística bayesiana, donde la distribución surge como la distribución posterior marginal para la varianza desconocida de una distribución normal, si se utiliza una priorización no informativa, y como una priorización conjugada analíticamente manejable. si se requiere previo informativo. Es común entre algunos bayesianos considerar una parametrización alternativa de la distribución normal en términos de precisión, definida como el recíproco de la varianza, que permite utilizar la distribución gamma directamente como prior conjugada. Otros bayesianos prefieren parametrizar la distribución gamma inversa de manera diferente, como una distribución chi-cuadrado inversa escalada.

Caracterización

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad de distribución gamma inversa se define sobre el soporte 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x■0{displaystyle x confianza0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d24be5f0eb4a9173da6038badc8659546021d0" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;"/>

f()x;α α ,β β )=β β α α . . ()α α )()1/x)α α +1exp⁡ ⁡ ()− − β β /x){displaystyle f(x;alphabeta)={beta ^{alpha }{Gamma (alpha)} {alpha +1}exp left(-beta/xright)}

con parámetro de forma α α {displaystyle alpha } y parámetro de escala β β {displaystyle beta }. Aquí. . . ()⋅ ⋅ ){displaystyle Gamma (cdot)} denota la función gamma.

A diferencia de la distribución Gamma, que contiene un término exponencial algo similar, β β {displaystyle beta } es un parámetro de escala como la función de distribución satisfies:

f()x;α α ,β β )=f()x/β β ;α α ,1)β β {displaystyle f(x;alphabeta)={frac {f(x/beta;alpha1)}{beta }

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa es la función gamma regularizada

F()x;α α ,β β )=. . ()α α ,β β x). . ()α α )=Q()α α ,β β x){displaystyle F(x;alphabeta)={frac {Gammaleft(alpha{frac {beta }{x}}right)}{ Gamma (alpha)}=Qleft(alpha{frac {beta } {x}right)}}

donde el numerador es la función gamma incompleta superior y el denominador es la función gamma. Muchos paquetes de matemáticas permiten la computación directa Q{displaystyle Q}, la función gamma regularizada.

Momentos

Siempre n}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">α α ■n{displaystyle alpha >n}n}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55d2b544b0df295cfe0e88ee6aa5a6b63097560f" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.981ex; height:1.843ex;"/>, el n{displaystyle n}- el momento de la distribución inversa gamma es dado por

E[Xn]=β β n. . ()α α − − n). . ()α α )=β β n()α α − − 1)⋯ ⋯ ()α α − − n).{displaystyle mathrm {E} [X^{n]=beta ^{n}{frac} {Gamma (alpha -n)}{Gamma (alpha)}={frac {beta ^{n}{(alpha -1)cdots (alpha -n)}}}} {cdots {cH00FF}}} {cdots {cH00FF}}}} {cH00}}}}}}}} {cdot}}}}}}} {

Función característica

Kα α ()⋅ ⋅ ){displaystyle K_{alpha }(cdot)} en la expresión de la función característica es la función Bessel modificada del segundo tipo.

Propiedades

Para 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">α α ■0{displaystyle alpha œ0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd4f784b6e8bb68fa774213ceacbab2d97825dc" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;"/> y 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">β β ■0{displaystyle beta >0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a87dc52878418173659e6d0ff8e77ab2897eac9" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.593ex; height:2.509ex;"/>,

E[In⁡ ⁡ ()X)]=In⁡ ⁡ ()β β )− − ↑ ↑ ()α α ){displaystyle mathbb {E} [ln(X)]=ln(beta)-psi (alpha),}

y

E[X− − 1]=α α β β ,{displaystyle mathbb {E} [X^{-1}={frac {alpha }{beta },,}

La entropía de la información es

H⁡ ⁡ ()X)=E⁡ ⁡ [− − In⁡ ⁡ ()p()X))]=E⁡ ⁡ [− − α α In⁡ ⁡ ()β β )+In⁡ ⁡ (). . ()α α ))+()α α +1)In⁡ ⁡ ()X)+β β X]=− − α α In⁡ ⁡ ()β β )+In⁡ ⁡ (). . ()α α ))+()α α +1)In⁡ ⁡ ()β β )− − ()α α +1)↑ ↑ ()α α )+α α =α α +In⁡ ⁡ ()β β . . ()α α ))− − ()α α +1)↑ ↑ ()α α ).{displaystyle {begin{aligned}operatorname {H} (X) implica=operatorname {E} [-ln(p(X))]\=operatorname {E} left[-alpha ln(beta)+ln(Gamma (alpha))+(alpha +1)ln(X)+{frac {beta }{X}derecha]\cH0alpha ln(beta)+ln(Gamma (alpha)+(alpha +1)ln(beta)-(alpha +1)psi (alpha)+alpha \alpha +ln(beta) {fn1}fn1}cH0}cH0}cH0cH0}c]cH0cH0cH0cH0c]cH0c]cH0cH0cH0c]cH0cH0cH0}cH0cH0cH0cH0cH0c]

Donde ↑ ↑ ()α α ){displaystyle psi (alpha)} es la función digamma.

La divergencia Kullback-Leibler de Gamma inversa (α_p, β_p) de Inverse- Gamma(α_q, β_q) es lo mismo que la divergencia KL de Gamma( α_p, β_p) de Gamma(α_q , β_q):

DKL()α α p,β β p;α α q,β β q)=E[log⁡ ⁡ *** *** ()X)π π ()X)]=E[log⁡ ⁡ *** *** ()1/Y)π π ()1/Y)]=E[log⁡ ⁡ *** *** G()Y)π π G()Y)],{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft ] {fnMicrosoft} {fnMicrosoft ] {f} {fnMicrosoft ]} {f} {f} {f}f} {f} {f}f} {f}f}f}f}f}f} {f} {fnMicrosoft}f}f}f}f} {f}f}fnMicrosoft}fnMicrosoft} {f}f}f}f} {fnMicrosoft}f}f}f}fnMicrosoft}fnMinMicrosoft}fnMicrosoft}fnMicrosoft}fnMicro

Donde *** *** ,π π {displaystyle rhopi} son los pdf de las distribuciones Inverse-Gamma y *** *** G,π π G{displaystyle rho _{G},pi _{G} son los pdf de las distribuciones Gamma, Y{displaystyle Sí. es Gamma(α_p, β_p) distribuido.

DKL()α α p,β β p;α α q,β β q)=()α α p− − α α q)↑ ↑ ()α α p)− − log⁡ ⁡ . . ()α α p)+log⁡ ⁡ . . ()α α q)+α α q()log⁡ ⁡ β β p− − log⁡ ⁡ β β q)+α α pβ β q− − β β pβ β p.{\fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}] _{p}-log beta _{q})+alpha _{p}{frac {beta _{q}-beta ¿Qué? ¿Qué?

Distribuciones relacionadas

• Si X♪ ♪ Inv-Gamma()α α ,β β ){displaystyle Xsim {mbox{Inv-Gamma} {alphabeta)} entonces kX♪ ♪ Inv-Gamma()α α ,kβ β ){displaystyle kXsim {mbox{Inv-Gamma}}(alphakbeta),}Para 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">k■0{displaystyle k]0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b3af208b148139eefc03f0f80fa94c38c5af45" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.472ex; height:2.176ex;"/>
• Si X♪ ♪ Inv-Gamma()α α ,12){displaystyle Xsim {mbox{Inv-Gamma} {alpha{tfrac} {1}{2}}}} entonces X♪ ♪ Inv...χ χ 2()2α α ){displaystyle Xsim {mbox{Inv-}chi ^{2}(2alpha),} (distribución inversa-chi-squared)
• Si X♪ ♪ Inv-Gamma()α α 2,12){displaystyle Xsim {mbox{Inv-Gamma} {tfrac {alpha }{2}},{tfrac {1}{2}}}} entonces X♪ ♪ Scaled Inv-χ χ 2()α α ,1α α ){displaystyle Xsim {mbox{Scaled Inv-}chi ^{2}(alpha{tfrac {1}{alpha }),} (distribución escalonada-inverse-chi-squared)
• Si X♪ ♪ Inv-Gamma()12,c2){displaystyle Xsim {textrm {Inv-Gamma} {tfrac {1}{2},{tfrac {c}{2}}} entonces X♪ ♪ Levy()0,c){displaystyle Xsim {textrm {Levy}(0,c),} (Distribución directa)
• Si X♪ ♪ Inv-Gamma()1,c){displaystyle Xsim {textrm {Inv-Gamma}(1,c)} entonces 1X♪ ♪ Gastos()c){fnMicroc} {1}{X}sim {textrm {Exp}(c),} (Distribución adicional)
• Si X♪ ♪ Gamma()α α ,β β ){displaystyle Xsim {mbox{Gamma}(alphabeta),} (Distribución gamma con Tasa parámetro β β {displaystyle beta }entonces 1X♪ ♪ Inv-Gamma()α α ,β β ){displaystyle {tfrac {}{X}sim {mbox{Inv-Gamma}(alphabeta),} (ver derivación en el siguiente párrafo para más detalles)
• Note que si X♪ ♪ Gamma()k,Silencio Silencio ){displaystyle Xsim {mbox{Gamma}(k,theta)} (Distribución gamma con parámetro escala Silencio Silencio {displaystyle theta }entonces 1/X♪ ♪ Inv-Gamma()k,1/Silencio Silencio ){displaystyle 1/Xsim {mbox{Inv-Gamma}(k,1/theta)}
• Distribución gamma inversa es un caso especial de distribución tipo 5 Pearson
• Una generalización multivariada de la distribución inversa-gamma es la distribución inversa-Wishart.
• Para la distribución de una suma de variables Gamma invertidas independientes véase Witkovsky (2001)

Derivación de la distribución Gamma

Vamos. X♪ ♪ Gamma()α α ,β β ){displaystyle Xsim {mbox{Gamma} {alphabeta]}, y recordar que el pdf de la distribución gamma es

fX()x)=β β α α . . ()α α )xα α − − 1e− − β β x{displaystyle f_{X}(x)={frac {beta ^{alpha ¿Qué?, 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x■0{displaystyle x confianza0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d24be5f0eb4a9173da6038badc8659546021d0" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;"/>.

Note que β β {displaystyle beta } es el parámetro de velocidad desde la perspectiva de la distribución gamma.

Define la transformación Y=g()X)=1X{displaystyle Y=g(X)={tfrac {1}{X}}. Entonces, el pdf de Y{displaystyle Sí. es

fY()Sí.)=fX()g− − 1()Sí.))SilencioddSí.g− − 1()Sí.)Silencio=β β α α . . ()α α )()1Sí.)α α − − 1exp⁡ ⁡ ()− − β β Sí.)1Sí.2=β β α α . . ()α α )()1Sí.)α α +1exp⁡ ⁡ ()− − β β Sí.)=β β α α . . ()α α )()Sí.)− − α α − − 1exp⁡ ⁡ ()− − β β Sí.){displaystyle {begin{aligned}f_{Y}(y) limit=f_{X}left(g^{-1}(y)right)left WordPress{frac] {fnMicrosoft}g^{-1}(y)Justo en la vida\[6pt] {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicroc {fnK}right)} {fnunci} {fnunci} {fn}fnunci}} {fnMicroc {1}{y}}}}}[6pt]} {fnMicroc} {beta } {beta} {f}}}}}} {m}}}} {m}}}} {m}} {fnMicroc}}}}}}}}}} {c}}}}}} {fnun}}}} {f}}}}} {f}}}}}}} {m} {fnun} {fnun}} {fnun}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {m} {m} {m} {fn {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {fnK}right)^{alpha +1}expleft({frac {-beta }{y}right)[6pt] {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}

Note que β β {displaystyle beta } es el parámetro escala desde la perspectiva de la distribución inversa gamma. Esto se puede demostrar directamente al ver que β β {displaystyle beta } satisface las condiciones para ser un parámetro de escala.

fβ β ()Sí./β β )β β =1β β β β α α . . ()α α )()Sí.β β )− − α α − − 1exp⁡ ⁡ ()− − Sí.)=1. . ()α α )()Sí.)− − α α − − 1exp⁡ ⁡ ()− − Sí.)=fβ β =1()Sí.){displaystyle {begin{aligned}{frac {beta} {beta} {beta}{beta] ♪ ♪ ♪♪♪♪♪♪♪♪♪ }{frac {beta ^{alpha {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}} {fnMicrosoft Sans Serif} {1}{Gamma (alpha)}}left(yright)}{-alpha -1}exp(-y)\[6pt] Um=f_{beta =1}(y)end{aligned}}}}}}

Ocurrencia

• Distribución del tiempo de fijación de un proceso de Wiener sigue una distribución de Lévy, que es un caso especial de la distribución inversa-gamma con α α =0.5{displaystyle alpha =0.5}.