Distribución Erlang

El Distribución de Erlang es una familia de dos parámetros de distribución continua de probabilidad con soporte x▪ ▪ [0,JUEGO JUEGO ){displaystyle xin [0,infty]}. Los dos parámetros son:

• un entero positivo k,{displaystyle k,} la "forma", y
• un número real positivo λ λ ,{displaystyle lambda} "la tasa". "La escala", β β ,{displaystyle beta} el recíproco de la tasa, a veces se utiliza en su lugar.

La distribución Erlang es la distribución de una suma k{displaystyle k} variables exponenciales independientes con media 1/λ λ {displaystyle 1/lambda } cada uno. Equivalentemente, es la distribución del tiempo hasta el ka evento de un proceso de Poisson con una tasa de λ λ {displaystyle lambda }. Las distribuciones Erlang y Poisson son complementarias, ya que mientras la distribución Poisson cuenta el número de eventos que ocurren en una cantidad fija de tiempo, la distribución Erlang cuenta la cantidad de tiempo hasta la ocurrencia de un número fijo de eventos. Cuando k=1{displaystyle k=1}, la distribución simplifica la distribución exponencial. La distribución Erlang es un caso especial de la distribución gamma donde se discretiza la forma de la distribución.

La distribución de Erlang fue desarrollada por A. K. Erlang para examinar el número de llamadas telefónicas que podrían realizarse al mismo tiempo a los operadores de las estaciones de conmutación. Este trabajo de ingeniería de tráfico telefónico se ha ampliado para considerar los tiempos de espera en los sistemas de colas en general. La distribución también se utiliza en el campo de los procesos estocásticos.

Caracterización

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad de la distribución de Erlang es

f()x;k,λ λ )=λ λ kxk− − 1e− − λ λ x()k− − 1)!parax,λ λ ≥ ≥ 0,{displaystyle f(x;k,lambda)={lambda ^{k}x^{k-1}e^{-lambda x} over (k-1)}quad {mbox{for }}x,lambda geq 0,}

El parámetro k se llama el parámetro de forma, y el parámetro λ λ {displaystyle lambda } se llama el parámetro tarifa.

Una alternativa, pero equivalente, parametrización utiliza el parámetro escala β β {displaystyle beta }, que es el recíproco del parámetro de tasa (es decir, β β =1/λ λ {displaystyle beta =1/lambda }):

f()x;k,β β )=xk− − 1e− − xβ β β β k()k− − 1)!parax,β β ≥ ≥ 0.{displaystyle f(x;k,beta)={frac {x^{k-1}e^{-{frac {x}{beta }} {beta ^{k} { k-1)}quad {mbox{for }x,beta geq 0.}

Cuando el parámetro escala β β {displaystyle beta } igual a 2, la distribución simplifica la distribución con 2k grados de libertad. Por lo tanto, se puede considerar como una distribución generalizada de chi-squared para incluso números de grados de libertad.

Función de distribución acumulativa (CDF)

La función de distribución acumulativa de la distribución de Erlang es

F()x;k,λ λ )=P()k,λ λ x)=γ γ ()k,λ λ x).. ()k)=γ γ ()k,λ λ x)()k− − 1)!,{displaystyle F(x;k,lambda)=P(k,lambda x)={frac {gamma (k,lambda x)}{Gamma (k)}={frac {gamma (k,lambda x)}{(k-1)}}}}}}}}}}

Donde γ γ {displaystyle gamma } es la función gamma incompleta inferior y P{displaystyle P} es la función gamma regularizada inferior. El CDF también puede expresarse como

F()x;k,λ λ )=1− − .. n=0k− − 11n!e− − λ λ x()λ λ x)n.{displaystyle F(x;k,lambda)=1-sum ¿Por qué? {1} {n}}e^{-lambda x}(lambda x)} {n}

Erlang-k

El Erlang...k distribución (donde k es un entero positivo) Ek()λ λ ){displaystyle E_{k}(lambda)} se define por el ajuste k en el PDF de la distribución Erlang. Por ejemplo, la distribución Erlang-2 es E2()λ λ )=λ λ 2xe− − λ λ xparax,λ λ ≥ ≥ 0{displaystyle E_{2}(lambda)={lambda ^{2}x}e^{-lambda x}quad {mbox{for }x,lambda geq 0}, que es el mismo f()x;2,λ λ ){displaystyle f(x;2,lambda)}.

Mediana

Una expansión asintotica es conocida por la mediana de una distribución de Erlang, para la cual se pueden calcular los coeficientes y se conocen los límites. Una aproximación es kλ λ ()1− − 13k+0.2),{displaystyle {frac {k}{lambda }left(1-{dfrac {1}{3k+0.2}right),} i.e. debajo de la media kλ λ .{displaystyle {frac {k}{lambda }}

Generación de variables aleatorias distribuidas por Erlang

Los variates aleatorios distribuidos por Erlang se pueden generar a partir de números aleatorios distribuidos uniformemente (U▪ ▪ [0,1]{displaystyle Uin [0,1]}) utilizando la siguiente fórmula:

E()k,λ λ )=− − 1λ λ In⁡ ⁡ ∏ ∏ i=1kUi=− − 1λ λ .. i=1kIn⁡ ⁡ Ui{displaystyle E(k,lambda)=-{frac {1}{lambda }ln prod ¿Qué? {1}{lambda. ¿Qué? U_{i}

Aplicaciones

Tiempos de espera

Los eventos que ocurren independientemente con alguna tasa promedio se modelan con un proceso de Poisson. Los tiempos de espera entre k ocurrencias del evento se distribuyen según Erlang. (La cuestión relacionada del número de eventos en un período de tiempo determinado se describe mediante la distribución de Poisson).

La distribución Erlang, que mide el tiempo entre llamadas entrantes, se puede utilizar junto con la duración esperada de las llamadas entrantes para producir información sobre la carga de tráfico medida en erlangs. Esto se puede usar para determinar la probabilidad de pérdida o retraso de paquetes, de acuerdo con varias suposiciones sobre si las llamadas bloqueadas se abortan (fórmula Erlang B) o se ponen en cola hasta que se atiendan (fórmula Erlang C). Las fórmulas de Erlang-B y C todavía se usan a diario para el modelado de tráfico para aplicaciones como el diseño de centros de llamadas.

Otras aplicaciones

La distribución por edad de la incidencia del cáncer a menudo sigue la distribución de Erlang, mientras que los parámetros de forma y escala predicen, respectivamente, el número de eventos impulsores y el intervalo de tiempo entre ellos. De manera más general, la distribución de Erlang se ha sugerido como una buena aproximación de la distribución del tiempo del ciclo celular, como resultado de modelos de etapas múltiples.

También se ha utilizado en economía empresarial para describir tiempos entre compras.

Propiedades

• Si X♪ ♪ Erlang⁡ ⁡ ()k,λ λ ){displaystyle Xsim operatorname {Erlang} (k,lambda)} entonces a⋅ ⋅ X♪ ♪ Erlang⁡ ⁡ ()k,λ λ a){displaystyle acdot Xsim operatorname {Erlang} left(k,{frac {lambda }{a}right)} con a▪ ▪ R{displaystyle ain mathbb {R}
• Si X♪ ♪ Erlang⁡ ⁡ ()k1,λ λ ){displaystyle Xsim operatorname {Erlang} (k_{1},lambda)} y Y♪ ♪ Erlang⁡ ⁡ ()k2,λ λ ){displaystyle Ysim operatorname {Erlang} (k_{2},lambda)} entonces X+Y♪ ♪ Erlang⁡ ⁡ ()k1+k2,λ λ ){displaystyle X+Ysim operatorname {Erlang} (k_{1}+k_{2},lambda)} si X,Y{displaystyle X,Y} son independientes

Distribuciones relacionadas

• La distribución de Erlang es la distribución de la suma de k variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, cada una con una distribución exponencial. La tasa de largo plazo en que ocurren los acontecimientos es la reciproca de la expectativa de X,{displaystyle X. es decir, λ λ /k.{displaystyle lambda /k.} La tasa (mediante evento específico) de la distribución Erlang es, para 1,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">k■1,{displaystyle k confiar1,}1,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/253940099f1b3371df7478d013be4f6b4137525b" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.119ex; height:2.509ex;"/> monotónica en x,{displaystyle x,} aumentar de 0 a x=0,{displaystyle x=0,} a λ λ {displaystyle lambda } como x{displaystyle x} tiende a la infinidad.
  • Eso es: Xi♪ ♪ Exponential⁡ ⁡ ()λ λ ),{displaystyle X_{i}sim operatorname {Exponential} (lambda),} entonces
    .. i=1kXi♪ ♪ Erlang⁡ ⁡ ()k,λ λ ){displaystyle sum _{i=1}{k}{X_{i}sim operatorname {Erlang} (k,lambda)}

    
• Debido a la función factorial en el denominador del PDF y CDF, la distribución Erlang sólo se define cuando el parámetro k es un entero positivo. De hecho, esta distribución se llama a veces Erlang...k distribución (por ejemplo, una distribución de Erlang-2 es una distribución de Erlang con k=2{displaystyle k=2}). La distribución gamma generaliza la distribución Erlang permitiendo k para ser cualquier número real positivo, utilizando la función gamma en lugar de la función factorial.
  • Eso es: si k es un entero y X♪ ♪ Gamma⁡ ⁡ ()k,λ λ ),{displaystyle Xsim operatorname {Gamma} (k,lambda),} entonces X♪ ♪ Erlang⁡ ⁡ ()k,λ λ ){displaystyle Xsim operatorname {Erlang} (k,lambda)}
• Si U♪ ♪ Exponential⁡ ⁡ ()λ λ ){displaystyle Usim operatorname {Exponential} (lambda)} y V♪ ♪ Erlang⁡ ⁡ ()n,λ λ ){displaystyle Vsim operatorname {Erlang} (n,lambda)} entonces UV+1♪ ♪ Pareto⁡ ⁡ ()1,n){displaystyle {frac {U}{V}}+1sim operatorname {Pareto} (1,n)}
• La distribución Erlang es un caso especial de la distribución Pearson tipo III
• La distribución de Erlang está relacionada con la distribución de chi-squared. Si X♪ ♪ Erlang⁡ ⁡ ()k,λ λ ),{displaystyle Xsim operatorname {Erlang} (k,lambda),} entonces 2λ λ X♪ ♪ χ χ 2k2.{displaystyle 2lambda Xsim chi _{2k} {2}
• La distribución Erlang está relacionada con la distribución Poisson por el proceso Poisson: Si Sn=.. i=1nXi{displaystyle S_{n}=sum ¿Qué? tales que Xi♪ ♪ Exponential⁡ ⁡ ()λ λ ),{displaystyle X_{i}sim operatorname {Exponential} (lambda),} entonces
  Sn♪ ♪ Erlang⁡ ⁡ ()n,λ λ ){displaystyle S_{n}sim operatorname {Erlang} (n,lambda)}

  
  y
  x)=1-F_{X}(x;n,lambda)=sum _{k=0}^{n-1}{frac {1}{k!}}e^{-lambda x}(lambda x)^{k}.}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Pr⁡ ⁡ ()N()x)≤ ≤ n− − 1)=Pr⁡ ⁡ ()Sn■x)=1− − FX()x;n,λ λ )=.. k=0n− − 11k!e− − λ λ x()λ λ x)k.{displaystyle operatorname {Pr} (N(x)leq n-1)=operatorname {Pr} (S_{n}]=1-F_{X}(x;n,lambda)=sum ¿Por qué? {1} {k}}e^{-lambda x}(lambda x)} {k}.}

  x)=1-F_{X}(x;n,lambda)=sum _{k=0}^{n-1}{frac {1}{k!}}e^{-lambda x}(lambda x)^{k}.}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a04ba9ac52f64b5c0b131b7337100c6061214a88" style="vertical-align: -3.171ex; width:70.919ex; height:7.509ex;"/>
  Tomando las diferencias n{displaystyle n} da la distribución Poisson.