Distribución de Skellam

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El Distribución de Skellam es la distribución discreta de probabilidad de la diferencia ${displaystyle N_{1}-N_{2}}$ de dos variables aleatorias estadísticamente independientes ${displaystyle N_{1}}$ y ${displaystyle N_{2},}$ cada Poisson-distribuido con los valores esperados respectivos ${displaystyle mu _{1}}$ y ${displaystyle mu _{2}}$ . Es útil describir las estadísticas de la diferencia de dos imágenes con simple ruido de fotones, así como describir la distribución de puntos en deportes donde todos los puntos marcados son iguales, como béisbol, hockey y fútbol.

La distribución también es aplicable a un caso especial de diferencia de variables aleatorias dependientes de Poisson, pero es solo el caso obvio en el que las dos variables tienen una contribución aleatoria aditiva común que se cancela mediante la diferenciación: ver Karlis & Ntzoufras (2003) para más detalles y una aplicación.

La función de masa de probabilidad para la distribución de Skellam para una diferencia ${displaystyle K=N_{1}-N_{2}}$ entre dos variables aleatorias distribuidas por Poisson independientes con medios ${displaystyle mu _{1}}$ y ${displaystyle mu _{2}}$ es dado por:

{displaystyle p(k;mu _{1},mu _{2})=Pr{K=k}=e^{-(mu _{1}+mu _{2})}left({mu _{1} over mu _{2}}right)^{k/2}I_{k}(2{sqrt {mu _{1}mu _{2}}})}

Donde I_k()z) es la función Bessel modificada del primer tipo. Desde k es un entero que tenemos I_k()z)=I_Silencio()z).

Derivación

La función de masa de probabilidad de una variable aleatoria distribuida por Poisson con media μ está dada por

{displaystyle p(k;mu)={mu ^{k} over k!}e^{-mu }.,}

para ${displaystyle kgeq 0}$ (y cero de otro modo). La función de masa de probabilidad de Skellam para la diferencia de dos conteos independientes ${displaystyle K=N_{1}-N_{2}}$ es la evolución de dos distribuciones Poisson: (Skellam, 1946)

{displaystyle {begin{aligned}p(k;mu _{1},mu _{2})&=sum _{n=-infty }^{infty }p(k+n;mu _{1})p(n;mu _{2})\&=e^{-(mu _{1}+mu _{2})}sum _{n=max(0,-k)}^{infty }{{mu _{1}^{k+n}mu _{2}^{n}} over {n!(k+n)!}}end{aligned}}}

Puesto que la distribución Poisson es cero para valores negativos de la cuenta $<math alttext="{displaystyle (p(N()p()Nc)0;μ μ )=0){displaystyle (p(N made0;mu)=0)} <img alt="{displaystyle (p(N$ , la segunda suma sólo se toma para aquellos términos donde ${displaystyle ngeq 0}$ y ${displaystyle n+kgeq 0}$ . Se puede demostrar que la suma anterior implica que

{displaystyle {frac {p(k;mu _{1},mu _{2})}{p(-k;mu _{1},mu _{2})}}=left({frac {mu _{1}}{mu _{2}}}right)^{k}}

así:

{displaystyle p(k;mu _{1},mu _{2})=e^{-(mu _{1}+mu _{2})}left({mu _{1} over mu _{2}}right)^{k/2}I_{|k|}(2{sqrt {mu _{1}mu _{2}}})}

Donde I_kz) es la función Bessel modificada del primer tipo. El caso especial para ${displaystyle mu _{1}=mu _{2}(=mu)}$ es dado por Irwin (1937):

{displaystyle pleft(k;mumu right)=e^{-2mu }I_{|k|}(2mu).}

Utilizando los valores limitantes de la función Bessel modificada para pequeños argumentos, podemos recuperar la distribución Poisson como un caso especial de la distribución Skellam para ${displaystyle mu _{2}=0}$ .

Propiedades

Al ser una función de probabilidad discreta, la función de masa de probabilidad de Skellam está normalizada:

{displaystyle sum _{k=-infty }^{infty }p(k;mu _{1},mu _{2})=1.}

Sabemos que la función generadora de probabilidad (pgf) para una distribución de Poisson es:

{displaystyle Gleft(t;mu right)=e^{mu (t-1)}.}

Sigue que el pgf, ${displaystyle G(t;mu _{1},mu _{2})}$ , para una función de masa de probabilidad de Skellam será:

{displaystyle {begin{aligned}G(t;mu _{1},mu _{2})&=sum _{k=-infty }^{infty }p(k;mu _{1},mu _{2})t^{k}\[4pt]&=Gleft(t;mu _{1}right)Gleft(1/t;mu _{2}right)\[4pt]&=e^{-(mu _{1}+mu _{2})+mu _{1}t+mu _{2}/t}.end{aligned}}}

Observe que la forma de la función generadora de probabilidad implica que la distribución de las sumas o las diferencias de cualquier número de variables independientes distribuidas por Skellam son otra vez distribuidas por Skellam. A veces se afirma que cualquier combinación lineal de dos variables distribuidas en Skellam son otra vez distribuidas en Skellam, pero esto no es cierto ya que cualquier multiplicador no sea diferente. ${displaystyle pm 1}$ cambiaría el apoyo de la distribución y alteraría el patrón de momentos de una manera que ninguna distribución de Skellam pueda satisfacer.

La función generadora de momento es dada por:

{displaystyle Mleft(t;mu _{1},mu _{2}right)=G(e^{t};mu _{1},mu _{2})=sum _{k=0}^{infty }{t^{k} over k!},m_{k}}

que produce los momentos crudos m_k . Definir:

{displaystyle Delta {stackrel {mathrm {def} }{=}} mu _{1}-mu _{2},}

{displaystyle mu {stackrel {mathrm {def} }{=}} (mu _{1}+mu _{2})/2.,}

Entonces los momentos crudos m_k son

{displaystyle m_{1}=left.Delta right.,}

{displaystyle m_{2}=left.2mu +Delta ^{2}right.,}

{displaystyle m_{3}=left.Delta (1+6mu +Delta ^{2})right.,}

Los momentos centrales M_k son

{displaystyle M_{2}=left.2mu right.,,}

{displaystyle M_{3}=left.Delta right.,,}

{displaystyle M_{4}=left.2mu +12mu ^{2}right..,}

La media, la varianza, la asimetría y el exceso de curtosis son respectivamente:

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {E} (n)&=Delta\[4pt]sigma ^{2}&=2mu\[4pt]gamma _{1}&=Delta /(2mu)^{3/2},\[4pt]gamma _{2}&=1/2.end{aligned}}}

La función generadora de acumuladores viene dada por:

{displaystyle K(t;mu _{1},mu _{2}) {stackrel {mathrm {def} }{=}} ln(M(t;mu _{1},mu _{2}))=sum _{k=0}^{infty }{t^{k} over k!},kappa _{k}}

que produce los cumulantes:

{displaystyle kappa _{2k}=left.2mu right.}

{displaystyle kappa _{2k+1}=left.Delta right..}

Para el caso especial cuando μ₁ = μ₂, un La expansión asintótica de la función de Bessel modificada del primer tipo produce para μ grande:

{displaystyle p(k;mumu)sim {1 over {sqrt {4pi mu }}}left[1+sum _{n=1}^{infty }(-1)^{n}{{4k^{2}-1^{2}}{4k^{2}-3^{2}}cdots {4k^{2}-(2n-1)^{2}} over n!,2^{3n},(2mu)^{n}}right].}

(Abramowitz " Stegun 1972, pág. 377). También, para este caso especial, cuando k es también grande, y de orden de la raíz cuadrada de 2μ, la distribución tiende a una distribución normal:

{displaystyle p(k;mumu)sim {e^{-k^{2}/4mu } over {sqrt {4pi mu }}}.}

Estos resultados especiales pueden extenderse fácilmente al caso más general de diferentes medios.

Límites de peso por encima de cero

Si ${displaystyle Xsim operatorname {Skellam} (mu _{1},mu _{2})}$ Con $<math alttext="{displaystyle mu _{1}μ μ 1c)μ μ 2{displaystyle mu _{1}traducidomu _{2}<img alt="{displaystyle mu _{1}$ Entonces

{displaystyle {frac {exp(-({sqrt {mu _{1}}}-{sqrt {mu _{2}}})^{2})}{(mu _{1}+mu _{2})^{2}}}-{frac {e^{-(mu _{1}+mu _{2})}}{2{sqrt {mu _{1}mu _{2}}}}}-{frac {e^{-(mu _{1}+mu _{2})}}{4mu _{1}mu _{2}}}leq Pr{Xgeq 0}leq exp(-({sqrt {mu _{1}}}-{sqrt {mu _{2}}})^{2})}

Los detalles se pueden encontrar en la distribución Poisson# Carreras de Poisson

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