Distribución de probabilidad condicional

En teoría de probabilidad y estadísticas, dadas dos variables distribuidas conjuntamente ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Sí.$, el distribución de probabilidad condicional de ${displaystyle Sí.$ dado ${displaystyle X}$ es la distribución de probabilidad ${displaystyle Sí.$ cuando ${displaystyle X}$ se sabe que es un valor particular; en algunos casos las probabilidades condicionales pueden expresarse como funciones que contienen el valor no especificado ${displaystyle x}$ de ${displaystyle X}$ como parámetro. Cuando ambos ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Sí.$ son variables categóricas, una tabla de probabilidad condicional se utiliza normalmente para representar la probabilidad condicional. La distribución condicional contrasta con la distribución marginal de una variable aleatoria, que es su distribución sin referencia al valor de la otra variable.

Si la distribución condicional ${displaystyle Sí.$ dado ${displaystyle X}$ es una distribución continua, entonces su función de densidad de probabilidad se conoce como función de densidad condicional. Las propiedades de una distribución condicional, como los momentos, son a menudo referidas por nombres correspondientes como la media condicional y la varianza condicional.

De manera más general, se puede hacer referencia a la distribución condicional de un subconjunto de un conjunto de más de dos variables; esta distribución condicional depende de los valores de todas las variables restantes, y si se incluye más de una variable en el subconjunto, entonces esta distribución condicional es la distribución conjunta condicional de las variables incluidas.

Distribuciones discretas condicionales

Para variables discretas al azar, la función de masa de probabilidad condicional ${displaystyle Sí.$ dado ${displaystyle X=x}$ puede ser escrito de acuerdo a su definición como:

Debido a la ocurrencia de ${displaystyle P(X=x)}$ en el denominador, esto se define sólo para no cero (de ahí estrictamente positivo) ${displaystyle P(X=x).}$

La relación con la distribución de probabilidad ${displaystyle X}$ dado ${displaystyle Sí.$ es:

${displaystyle P(Y=ymid X=x)P(X=x)=P({X=x}cap {Y=y})=P(X=xmid Y=y)P(Y=y).}$

Ejemplo

Considerar el rollo de una muerte justa y dejar ${displaystyle X=1}$ si el número es incluso (es decir, 2, 4, o 6) y ${displaystyle X=0}$ De lo contrario. Además, dejemos ${displaystyle Y=1}$ si el número es primo (es decir, 2, 3, o 5) y ${displaystyle Y=0}$ De lo contrario.

Entonces la probabilidad incondicional de que ${displaystyle X=1}$ es 3/6 = 1/2 (ya que hay seis posibles rollos de los dados, de los cuales tres son incluso), mientras que la probabilidad de que ${displaystyle X=1}$ condicional ${displaystyle Y=1}$ es 1/3 (ya que hay tres posibles rollos de número primo—2, 3 y 5—de los cuales uno es incluso).

Distribuciones continuas condicionales

Del mismo modo para variables aleatorias continuas, la función de densidad de probabilidad condicional ${displaystyle Sí.$ dada la ocurrencia del valor ${displaystyle x}$ de ${displaystyle X}$ puede ser escrito como

Donde ${displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$ da la densidad de articulación ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Sí.$, mientras ${displaystyle f_{X}(x)}$ da la densidad marginal para ${displaystyle X}$. También en este caso es necesario que ${displaystyle f_{X}(x) {0}$.

La relación con la distribución de probabilidad ${displaystyle X}$ dado ${displaystyle Sí.$ es dado por:

${displaystyle f_{Ymid X}(ymid x)f_{X}(x)=f_{X,Y}(x,y)=f_{X habitY}(xmid y)f_{Y}(y).}$

El concepto de distribución condicional de una variable aleatoria continua no es tan intuitivo como podría parecer: la paradoja de Borel muestra que las funciones de densidad de probabilidad condicional no necesitan ser invariantes bajo transformaciones de coordenadas.

Ejemplo

El gráfico muestra una densidad articular bivariada normal para variables aleatorias ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Sí.$. Para ver la distribución de ${displaystyle Sí.$ condicional ${displaystyle X=70}$, primero se puede visualizar la línea ${displaystyle X=70}$ en el ${displaystyle X,Y}$ plano, y luego visualizar el plano que contiene esa línea y perpendicular al ${displaystyle X,Y}$ avión. La intersección de ese plano con la densidad normal articular, una vez escalada para dar área unitaria bajo la intersección, es la densidad condicional relevante de ${displaystyle Sí.$.

${displaystyle Ymid X=70\sim\\scal {N}left ###{1}+{frac {sigma _{1}{sigma _{2}}}rho (70-mu _{2}),,(1-rho ^{2})sigma _{1}{2}right). }$

Relación con la independencia

Variables aleatorias ${displaystyle X}$, ${displaystyle Sí.$ son independientes si y sólo si la distribución condicional ${displaystyle Sí.$ dado ${displaystyle X}$ es, para todas las realizaciones posibles de ${displaystyle X}$, igual a la distribución incondicional ${displaystyle Sí.$. Para variables discretas al azar esto significa ${displaystyle P(Y=y eternaX=x)=P(Y=y)}$ para todos los posibles ${displaystyle y}$ y ${displaystyle x}$ con ${displaystyle P(X=x)}0}$. Para variables aleatorias continuas ${displaystyle X}$ y ${displaystyle Sí.$, teniendo una función de densidad articular, significa ${displaystyle ¿Qué?$ para todos los posibles ${displaystyle y}$ y ${displaystyle x}$ con ${displaystyle f_{X}(x) {0}$.

Propiedades

Visto como una función ${displaystyle y}$ para dar ${displaystyle x}$, ${displaystyle P(Y=y ToddX=x)}$ es una función de masa de probabilidad y así la suma sobre todo ${displaystyle y}$ (o integral si es una densidad de probabilidad condicional) es 1. Visto como una función ${displaystyle x}$ para dar ${displaystyle y}$, es una función de probabilidad, así que la suma sobre todo ${displaystyle x}$ no debe ser 1.

Además, un marginal de una distribución conjunta puede expresarse como la expectativa de la distribución condicional correspondiente. Por ejemplo, ${displaystyle p_{X}(x)=E_{Y}[p_{X habitY}(X Silencio Y)}$.

Formulación teórica de la medida

Vamos ${displaystyle (Omega{mathcal {F}},P)}$ ser un espacio de probabilidad, ${displaystyle {Mathcal {}subseteq {Mathcal {}}}$ a ${displaystyle sigma }$- campo en ${displaystyle {fnMithcal}}$. Dado ${displaystyle Ain {fn}$, el teorema Radon-Nikodym implica que hay un ${displaystyle {Mathcal {}}}$- variable aleatoria mensurable ${displaystyle P(Amid {mathcal {G}):Omega to mathbb {R}$, llamado el probabilidad condicional, tal que

$${displaystyle int _{G}P(Amid {mathcal {G})(omega)dP(omega)=P(Acap G)}$$

${displaystyle Gin {mathcal {G}}$

${displaystyle operatorname {P} (cdot mid {mathcal {G})(omega)}$

${displaystyle (Omega{mathcal {F})}$

${displaystyle omega in Omega }$

Casos especiales:

• Para el álgebra sigma trivial ${displaystyle {Mathcal {}={emptysetOmega {}}$, la probabilidad condicional es la función constante ${displaystyle operatorname {P} !left(Amid\{emptyset\fnMicrosoft Sans Serif} Omega }right)=operatorname {P}$
• Si ${displaystyle Ain {fn}$, entonces ${displaystyle operatorname (Amid {fnMithcal {})=1_{A}$, la función indicadora (definida a continuación).

Vamos ${displaystyle X:Omega to E}$ ser un ${displaystyle (E,{mathcal {E})}$-valorada variable aleatoria. Por cada uno ${displaystyle Bin {fn}$, definir

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}}}}} {f}}}}}}}}}}fnMientras erasiguiente {fnMicrosigual, {fnMientras erasoyas]fnMientras erasigualmente, {fnMientras, {fnMinMinMientras, {fnMientras erasoyas]}}fnMientras erasigual, {fnMientras eras_estaciónfnMinMientras erasiguesoyas, {fnMientras erasoyasentras, {fnMientras$$

${displaystyle omega in Omega }$

${displaystyle mu _{X, sometida{mathcal {G}} {cdot , sometida{mathcal {G}})(omega):{mathcal {E}to mathbb {R}$

${displaystyle X}$

${displaystyle {Mathcal {}}}$

${displaystyle (E,{mathcal {E})}$

Para una variable aleatoria real (con respecto al Borel ${displaystyle sigma }$-field ${displaystyle {fnMithcal} {} {}}} {fn}} {fnK}}} {fn}} {fnK}}}} {fnMicrosoft}}}}} {fnK}}}}}}}} {fnK}}}}}}}}$ on ${displaystyle mathbb {R}$), cada distribución de probabilidad condicional es regular. En este caso,${displaystyle ¿Qué?$ Casi seguro.

Relación con la expectativa condicional

Para cualquier evento ${displaystyle Ain {fn}$, definir la función indicadora:

${displaystyle mathbf {1} _{A}(omega)={begin{cases}1; limit{if}omega in A,$