Distribución de Poisson

• El valor esperado de una variable aleatoria Poisson es λ.
• La variabilidad de una variable aleatoria Poisson también es λ.
• El coeficiente de variación es ${\textstyle \lambda ^{-1/2}$ mientras que el índice de dispersión es 1.
• La desviación absoluta media sobre el medio es $${\displaystyle \operatorname {E} {\fn} {\fnMicrosoft } {\fnMicroc {2\lambda ^{\lfloor \lambda \rfloor +1}e^{-\lambda ¡Perlfloor \lambda \rfloor!$$
• El modo de una variable aleatoria distribuida por Poisson con no-integer λ es igual a ${\displaystyle \lfloor \lambda \rfloor}$ que es el entero más grande menos o igual a λ. Esto también está escrito como piso(λ). Cuando λ es un entero positivo, los modos son λ y λ − 1.
• Todos los acumuladores de la distribución Poisson son iguales al valor esperado λ. El n momento factorial de la distribución Poisson es λ ⁿ .
• El valor esperado de un proceso de Poisson a veces se descompone en el producto de intensidad y exposición (o más generalmente expresado como la parte integral de una "función de intensidad" con el tiempo o el espacio, a veces descrita como "exposición").

Libras para la mediana (${\displaystyle \nu }$) de la distribución son conocidos y son agudos: $${\displaystyle \lambda -\ln 2\leq \nu {1}{3}}$$

Los momentos no centrados superiores m_k de la distribución Poisson son polinomios Touchard en λ: $${\displaystyle M_{k}=\sum ¿Por qué? ^{i}{\begin{Bmatrix}k\i\end{Bmatrix}}}}$$ donde los frenos { } denotan Números del segundo tipo. En otras palabras, $${\displaystyle E[X]=\lambda\quad E[X(X-1)]=\lambda ^{2},\quad E[X(X-1)(X-2)]=\lambda ^{3},\cdots }$$Cuando se establece el valor esperado λ = 1, la fórmula de Dobinski implica que n‐ momento es igual al número de particiones de un conjunto de tamaño n.

Un límite superior simple es: $${\displaystyle m_{k}=E[X^{k}]\leq \left({\frac {k}{\log(k/\lambda +1)}\right)^{k}\leq \lambda ^{k}\exp \left({\frac] {k^{2}{2\lambda}}\derecha). }$$

Si ${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{i})}$ para ${\displaystyle i=1,\dotscn}$ son independientes, entonces ${\textstyle \sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ {Pois} \left(\sum) ¿Por qué? }$ Un converso es el teorema de Raikov, que dice que si la suma de dos variables aleatorias independientes es distribuida por Poisson, entonces son cada una de esas dos variables aleatorias independientes.

Es una distribución de máxima entropía entre el conjunto de distribuciones binomiales generalizadas ${\displaystyle B_{n}(\lambda)}$ con media ${\displaystyle \lambda }$ y ${\displaystyle n\rightarrow \infty}$, donde una distribución binomial generalizada se define como una distribución de la suma de N independiente pero no idénticamente distribuida variables Bernoulli.

• Las distribuciones Poisson son distribuciones de probabilidad infinitamente divisibles.
• La divergencia dirigida de Kullback-Leibler ${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda)}$ desde ${\displaystyle P_{0}=\operatorname {Pois} (\lambda _{0})}$ es dado por

$${\displaystyle \operatorname {\fnK}(P\parallel) P_{0}=\lambda # Lambda # +\lambda \log {\frac {\lambda ♫{\lambda - Sí.$$

• Si ${\displaystyle \lambda \geq 1}$ es un entero, entonces ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda)}$ satisfizo ${\displaystyle \Pr(Y\geq E[Y])\geq {\frac {1}{2}}}$ y ${\displaystyle \Pr(Y\leq E[Y])\geq {\frac {1}{2}}$
• Libras para las probabilidades de cola de una variable aleatoria Poisson ${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda)}$ puede ser derivado usando un argumento ligado Chernoff. $${\displaystyle P(X\geq x)\leq {\frac {(e\lambda)^{x}e^{-\lambda } {x^{x}}} {\text{ for }x=\lambda}$$ $${\displaystyle P(X\leq x)\leq {\frac {(e\lambda)^{x}e^{-\lambda - ¿Por qué?$$
• La probabilidad superior de cola puede ser ajustada (por un factor de al menos dos) como sigue:

$${\displaystyle P(X\geq x)\leq {\frac {e^{-\fnuncio de operador {\fnMicrosoft Sans Serif} {\máximo {2,{\sqrt {4\pi\fnMicrosoft Sans Serif} {D} {\text{KL} {\parallel P}}}}}}} {\text{ for }x `lambda}}$$ Donde ${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL} {\parallel P)}$ es la divergencia de Kullback-Leibler ${\displaystyle Q=\operadorname {Pois} (x)}$ desde ${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda)}$.

• Inequalities that relate the distribution function of a Poisson random variable ${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda)}$ a la función de distribución normal estándar ${\displaystyle \Phi (x)}$ son los siguientes:

$${\displaystyle \Phi \left(\operatorname {sign} (k-\lambda){\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{-}\parallel P)}}\right) Secuenciar(X\leq k) significar\Phi \left(\operatorname {sign} (k+1-\lambda){\sqrt {2\operatorname {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}$$ Donde ${\displaystyle \operatorname {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}$ es la divergencia de Kullback-Leibler ${\displaystyle Q_{-}=\operatorname {Pois} (k)}$ desde ${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda)}$ y ${\displaystyle \operatorname {\fnK} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}$ es la divergencia de Kullback-Leibler ${\displaystyle Q_{+}=\operatorname {Pois} (k+1)}$ desde ${\displaystyle P}$.

Vamos. ${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda)}$ y ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Pois} (\mu)}$ ser variables aleatorias independientes, con ${\displaystyle \lambda$ entonces tenemos que $${\displaystyle {\frac {\fnMicroc {\fnMicroc} {\fnMicroc {\fnMicroc} {\fnMicroc} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}}} {\fnMicros {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicros} {\fnMicros} {\fnMicros}}}} {\fnun}}}}} {\fnun}\fnun}\fnun}\fnun} {\fnMien)}\fnMinMien)} {\fnMien)} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}}}\leq P(X-Y\geq 0)\leq e^{-({\sqrt {\m\mu) - Sí.$$

El límite inferior puede probarse notando que ${\displaystyle P(X-Y\geq 0\mid X+Y=i)}$ es la probabilidad de que ${\fnMicrosoftstyle Z\geq {\frac {i}{2}}$ Donde ${\fnMicrosoftstyle Z\sim \operatorname {Bin} \left(i,{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }\right),}}$ que está sujeta a ${\fnMicroc {1}{2}}}e^{-iD\left(0.5\fncipado {\lambda }{\lambda +\mu }\derecha)}}}$ Donde ${\displaystyle D}$ es entropía relativa (ver la entrada en límites en colas de distribuciones binomiales para detalles). Observando además que ${\displaystyle X+Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda +\mu),}$ y computar un límite inferior en la probabilidad incondicional da el resultado. En el apéndice de Kamath et al se pueden encontrar más detalles.

La distribución Poisson puede derivarse como un caso limitado a la distribución binomial, ya que el número de juicios va a la infinidad y el número esperado de éxitos sigue siendo fijo, véase la ley de eventos raros a continuación. Por lo tanto, se puede utilizar como una aproximación de la distribución binomial si n es suficientemente grande y p es suficientemente pequeño. La distribución Poisson es una buena aproximación de la distribución binomial si n al menos 20 y p es menor o igual a 0.05, y una excelente aproximación si n ≥ 100 y n ≤ 10. Letting ${\displaystyle F_{\mathrm {B}$ y ${\displaystyle F_{\mathrm {}$ ser las respectivas funciones de densidad acumulativa de las distribuciones binomial y Poisson, uno tiene: $${\displaystyle F_{\mathrm {B}(k;n,p)\ \approx \ F_{\mathrm {P}(k;\lambda =np).}$$

Una derivación de esto utiliza funciones generadoras de probabilidad. Considere un juicio de Bernoulli (coin-flip) cuya probabilidad de un éxito (o número esperado de éxitos) es ${\displaystyle \lambda \leq 1}$ dentro de un intervalo dado. Dividir el intervalo en n partes, y realizar un juicio en cada subintervalo con probabilidad ${\fnMicroc {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ } {n}}$. La probabilidad de k éxitos fuera de n los ensayos a lo largo de todo el intervalo son dados por la distribución binomial

${\fnMicrosoft Sans Serif}={\binom} {\fn} {\fn}\fn}\derecha)}\fn}\fn}\m}\m} {\fn} {\fn}}\n}\n}\nn}\nn}}\nhn}} {\fn}} {\fn}}}}}\n}}\n}\n}}\n}\n}\n}\n}}\n}}\n}\n}\n}\n}\n}\n}\n}\n}}\n}\n}\n}\n}\n}\n}\n}\n}\n}\n}}}}\n}\n}}\n}\n}\n}\n}\n}\n}\n}\n}\n}\n}\n}\n}\n}\n}\n}\n}\n}\n}\n}\n}\n}\n}\n}\n}}}}}\n}\n}$

cuya función de generación es:

${\displaystyle P^{(n)}(x)=\sum ¿Por qué? {\fnMicrode ¿Qué?$

Tomando el límite a medida que n aumenta hasta infinito (con x fijo) y aplicando la definición de límite del producto de la función exponencial, esto se reduce a la función generadora de la distribución de Poisson:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P^{(n)}(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1{+}{\tfrac {\lambda (x-1)}{n}\right)^{n}=e^{\lambda (x-1)}==sum ¿Qué? }{\frac {\lambda ¡Vamos!$

• Si ${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,}$ y ${\displaystyle X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,}$ son independientes, entonces la diferencia ${\displaystyle Y=X_{1}-X_{2}$ sigue una distribución de Skellam.
• Si ${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,}$ y ${\displaystyle X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,}$ son independientes, luego la distribución de ${\displaystyle X_{1}$ condicional a ${\displaystyle X_{1}+X_{2}$ es una distribución binomial.
  Específicamente, si ${\displaystyle X_{1}+X_{2}=k,}$ entonces ${\displaystyle X_{1} AnteriorX_{1}+X_{2}=k\sim \mathrm {Binom} (k,\lambda _{1}/(\lambda _{1}+\lambda _{2})). }$
  Más generalmente, si X₁, X₂,... X_n son variables independientes Poisson al azar con parámetros λ₁, λ₂,... λ_n entonces

  dado ${\displaystyle \sum _{j=1} {n}X_{j}=k,}$ sigue que ${\displaystyle X_{i}{}{j=1}=X_{j}=k\sim \mathrm {Binom} \left(k,{\frac {\lambda ¿Por qué?$ De hecho, ${\displaystyle \{X_{i}\sim \mathrm {Multinom} \left(k,\left\{\frac {\lambda ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Sí?$

• Si ${\displaystyle X\sim \mathrm {Pois} (\lambda)\,}$ y la distribución de ${\displaystyle Sí.$ condicional a X = k es una distribución binomial, ${\displaystyle Y\mid (X=k)\sim \mathrm {Binom} (k,p),}$ entonces la distribución de Y sigue una distribución Poisson ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p).}$ De hecho, si, condicional ${\displaystyle {X=k},}$ ${\displaystyle {Y_}}$ sigue una distribución multinomial, ${\displaystyle \{Y_{i}\mid (X=k)\sim \mathrm {Multinom} \left(k,p_{i}\right),}$ entonces cada uno ${\displaystyle Y...$ sigue una distribución independiente Poisson ${\displaystyle Y_{i}\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p_{i}),\rho (Y_{i},Y_{j})=0.}$
• La distribución Poisson es un caso especial de la distribución de compuestos discretos Poisson (o la distribución de Poisson de stuttering) con sólo un parámetro. La distribución de compuestos discretos Poisson puede deducirse de la distribución limitada de distribución multinomial univariada. También es un caso especial de una distribución compuesta Poisson.
• Para valores suficientemente grandes λ, (ensayar λ√1000), la distribución normal con media λ y diferencia λ (desviación estándar ${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ }$) es una excelente aproximación a la distribución Poisson. Si λ es mayor que alrededor de 10, entonces la distribución normal es una buena aproximación si se realiza una corrección de continuidad apropiada, es decir, si P(X ≤ x), donde x es un entero no negativo, es reemplazado por P(X ≤ x + 0,5). $${\displaystyle F_{\mathrm {Poisson}(x;\lambda)\approx F_{\mathrm {normal}(x;\mu =\lambda\sigma ^{2}=\lambda)}$$
• Transformación estabilizadora de las diferencias: Si ${\displaystyle X\sim \mathrm {Pois} (\lambda),}$ entonces $${\displaystyle Y=2{\sqrt {X}\approx {\mathcal {N}(2{\sqrt {\lambda }};1),}$$ y $${\displaystyle Y={\sqrt {X}\approx {\mathcal {N} {\sqrt {\lambda}};1/4).}$$ Bajo esta transformación, la convergencia a la normalidad (como ${\displaystyle \lambda }$ aumentos) es mucho más rápido que la variable no transformada. Existen otras transformaciones estabilizadoras de varianza ligeramente más complicadas, una de las cuales es la transformación de Anscombe. Ver Transformación de datos (estadística) para usos más generales de transformaciones.
• Si por cada t 0 el número de llegadas en el intervalo de tiempo [0, t] sigue la distribución Poisson con media λt, entonces la secuencia de tiempos inter-arrival son variables exponenciales independientes y distribuidas idénticamente con media 1/λ.
• Las funciones de distribución acumulativa de las distribuciones Poisson y chi-squared están relacionadas de las siguientes maneras: $${\displaystyle F_{\text{Poisson}}(k;\lambda)=1-F_{\chi ^{2}}(2\lambda;2(k+1))\quad \quad {\text{ integer }k,}$$ y $${\displaystyle P(X=k)=F_{\chi ^{2}(2\lambda;2(k+1))-F_{\chi ^{2}(2\lambda;2k). }$$

Assume ${\displaystyle X_{1}\sim \operatorname {Pois} (\lambda) _{1}),X_{2}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{2}),\dotsX_{n}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{n})}$ Donde ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\dots +\lambda # {n}=1,}$ entonces ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dotsX_{n}}$ se distribuye multinomialmente ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dotsX_{n})\sim \operatorname {Mult} (N,\lambda _{1},\lambda _{2},\dots\lambda _{n}) }$ condicionado a ${\displaystyle N=X_{1}+X_{2}+\dots X_{n}$

Esto significa, entre otras cosas, que para cualquier función no negativa ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dotsx_{n}$si ${\displaystyle (Y_{1},Y_{2},\dotsY_{n})\sim \operatorname {Mult} (m,\mathbf {p})}$ se distribuye multinomialmente, entonces $${\displaystyle \operatorname {E} [f(Y_{1},Y_{2},\dotsY_{n}]\leq e{\sqrt {m}\operatorname {E} [f(X_{1},X_{2},\dotsX_{n}]}$$Donde ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dotsX_{n})\sim \operatorname {Pois} (\mathbf {p}). }$

El factor de ${\displaystyle e{\sqrt {m}}$ puede ser reemplazado por 2 si ${\displaystyle f}$ se supone que está aumentando o disminuyendo monotonicamente.

Esta distribución se ha extendido al caso bivariado. La función generadora de esta distribución es $${\displaystyle g(u,v)=\exp[(\theta _{1}-\theta _{12})(u-1)+(\theta _{2}-\theta _{12})(v-1)+\theta _{12}(uv-1)}$$

con $${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2} confianza\theta _{12} confianza0}$$

Las distribuciones marginales son Poisson(Silencio₁) y Poisson(Silencio₂) y el coeficiente de correlación se limita a la gama $${\displaystyle 0\leq \rho \leq \min \left\{\sqrt {\frac {\theta ¿Qué? {\theta ¿Qué? - Sí.$$

Una manera sencilla de generar una distribución bivariada de Poisson ${\displaystyle ¿Qué?$ es tomar tres distribuciones independientes Poisson ${\displaystyle Y...$ con medios ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda ¿Qué?$ y luego se establece ${\displaystyle X_{1}=Y_{1}+Y_{3},X_{2}=Y_{2}$ La función de probabilidad de la distribución bivariada de Poisson es $${\displaystyle \Pr(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2}=\exp \left(-\lambda ¿Qué? ¿Qué? ¿Por qué? ¡Oh! {\fnMicrode ¡No! ¿Por qué? {k_{1}{k} {\binom} {k_{2} {k}}k!\left({\frac {\fnMicrode {} {\fnMicrosoft Sans Serif} ¿Por qué?$$

Distribución Poisson gratis con tamaño de salto ${\displaystyle \alpha }$ y tasa ${\displaystyle \lambda }$ surge en la teoría de la probabilidad libre como el límite de la convolución libre repetida $${\displaystyle \left(\left(1-{\frac {\lambda } {N}\right)\delta ¿Qué? } {N}\delta _{\alpha }\right)^{\boxplus N}$$como N →.

En otras palabras, dejemos ${\displaystyle X_{N}$ ser variables aleatorias para que ${\displaystyle X_{N}$ tiene valor ${\displaystyle \alpha }$ con probabilidad ${\fnMicroc} {\fnMicrode } {N}$ y valor 0 con la probabilidad restante. Asumir también que la familia ${\displaystyle X_{1},X_{2}$ son libremente independientes. Entonces el límite como ${\displaystyle N\to \infty$ de la ley ${\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{N}$ es dada por la ley Free Poisson con parámetros ${\displaystyle \lambda\alpha.}$

Esta definición es análoga a una de las formas en que la distribución clásica de Poisson se obtiene de un proceso de Poisson (clásico).

La medida asociada a la libre ley Poisson es dada por $${\displaystyle \mu ={\begin{cases}(1-\lambda)\delta ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################$$Donde $${\displaystyle \nu ={2\pi\alpha t}{4\sqrt {4\lambda \alpha ^{2}-(t-\alpha (1+\lambda)}}\,dt}}} {\,dt}$$y tiene apoyo ${\displaystyle [\alpha (1-{\sqrt {\lambda }})}{2},\alpha (1+{\sqrt {\lambda }}}}}}}}}} {\2}}$

Esta ley también surge en la teoría de la matriz aleatoria como la ley Marchenko-Pastur. Sus acumuladores libres son iguales a ${\displaystyle \kappa _{n}=\lambda \alpha ^{n}$

damos valores de algunas transformaciones importantes de la ley de Poisson libre; El cálculo se puede encontrar en p. En el libro conferencias sobre la combinatoria de la probabilidad libre por A. Nica y R. Speicher

La R-transforma de la ley Poisson libre es dada por $${\displaystyle R(z)={\frac {\lambda \alpha }{1-\alpha }$$

La transformación Cauchy (que es la negativa de la transformación Stieltjes) es dada por $${\displaystyle G(z)={\frac {z+\alpha -\lambda \alpha -{2}-4\lambda \alpha ¿Qué?$$

El S-transforme es dado por $${\displaystyle S(z)={1}{z+\lambda }$$en caso de que ${\displaystyle \alpha =1.}$

Función de masa de probabilidad de Poisson ${\displaystyle f(k;\lambda)}$ se puede expresar en un formulario similar a la distribución del producto de una distribución Weibull y una forma variante de la distribución del conteo estable. La variable ${\displaystyle (k+1)}$ se puede considerar como inverso del parámetro de estabilidad de Lévy en la distribución de cuenta estable: $${\displaystyle f(k;\lambda)=\int ¿Qué? {1}{u}\,W_{k+1}\left({\frac {\lambda }{u}\right)\left[(k+1)u^{k}\,{\mathfrak {N}_{\frac\fn}_{\fn\fn\f} {1}{k+1}(u^{k+1})\right]\,du,}$$Donde ${\displaystyle {\mathfrak {\fn} {\fnMicrosoft Sans Serif}$ es una distribución estándar de la cuenta estable de la forma ${\displaystyle \alpha =1/(k+1),}$ y ${\displaystyle W_{k+1}(x)}$ es una distribución estándar de forma Weibull ${\displaystyle k+1.}$

Dada una muestra n valores medidos ${\displaystyle k_{i}\in \{0,1,\dots \},}$ para i = 1,... n, queremos estimar el valor del parámetro λ de la población Poisson de la que se extrajo la muestra. La estimación de probabilidad máxima es

${\displaystyle {\widehat {\lambda {\fn} {\fn} {\fn} {\fn}\fn}}\sum} ¿Qué?$

Dado que cada observación tiene expectativa λ , también lo hace la muestra de la muestra. Por lo tanto, la estimación de máxima probabilidad es un estimador imparcial de λ . También es un estimador eficiente ya que su varianza logra el límite inferior de Cramér - RAO (CRLB). Por lo tanto, es imparcial de varianza mínima. También se puede demostrar que la suma (y por lo tanto la media de la muestra, ya que es una función uno a uno de la suma) es una estadística completa y suficiente para λ .

Para demostrar suficiencia podemos usar el teorema de factorización. Considere la posibilidad de dividir la función de masa de probabilidad de la distribución conjunta Poisson para la muestra en dos partes: una que depende exclusivamente de la muestra ${\displaystyle \mathbf {x}$, llamado ${\displaystyle h(\mathbf {x}}$, y uno que depende del parámetro ${\displaystyle \lambda }$ y la muestra ${\displaystyle \mathbf {x}$ sólo a través de la función ${\displaystyle T(\mathbf {x}).}$ Entonces... ${\displaystyle T(\mathbf {x})}$ es una estadística suficiente ${\displaystyle \lambda.}$

${\displaystyle P(\mathbf {x})=\prod - ¿Qué? {\fnMicrode ^{x_{i}e^{-\lambda {}{x_{i}}={\frac {1}{\prod ¡Tiempos! \lambda ^{\sum - ¿Qué? }$

El primer mandato ${\displaystyle h(\mathbf {x}}$ depende sólo de ${\displaystyle \mathbf {x}$. El segundo mandato ${\displaystyle g(T(\mathbf {x})$ depende de la muestra sólo a través de ${\textstyle T(\mathbf {x}=\sum ¿Qué?$ Así, ${\displaystyle T(\mathbf {x})}$ es suficiente.

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell (\lambda) ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ {e^{-\lambda }\lambda {\fn\fn\fn\fn\fn\cH00}}\fn\cH00}\fn}\cH00}\cH00}\cHFF}\cH00}\cH00}\fn\\cH00\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00\cH00}\cH00}\cH00}\cHFFFFFF}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\\\\\cH00}\cH00}\cH00}\\c\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cH00}\cHFFFFFF}\\cH00}\c\cH00} ¿Por qué? {\i=1} {\n}\ln}}\end{aligned}}$

Tomamos el derivado de ${\displaystyle \ell }$ con respecto a λ y compararlo con cero:

${\displaystyle {\frac {\mathrm} }{\mathrm {d} \lambda }\ell (\lambda)=0\iff -n+\left(\sum) ¿Por qué? {1}{\lambda }=0.$

Al resolver λ se obtiene un punto estacionario.

${\displaystyle \lambda ={\frac {\sum ¿Qué?$

Entonces, λ es el promedio de los valores de k_i. Obtener el signo de la segunda derivada de L en el punto estacionario determinará qué tipo de valor extremo es λ.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}=-\lambda ^{-2}\sum ¿Qué?$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}=-{\frac {\fn} {\fn} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn} {\fn}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}}}}} {\fn}}}}}}}} {\be}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\s}}}}}} {\s}}}} {\s}}}}} {\be}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}} {\be}}}}} {\be}}}}} {\be}}} {\be}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\be}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\ ¿Qué?$

que es el negativo de n veces el recíproco del promedio de k_i. Esta expresión es negativa cuando el promedio es positivo. Si esto se cumple, entonces el punto estacionario maximiza la función de probabilidad.

Para la integridad, se dice que una familia de distribuciones está completa si y sólo si ${\displaystyle E(g(T)=0}$ implica que ${\displaystyle P_{\lambda}(g(T)=0)=1}$ para todos ${\displaystyle \lambda.}$ Si el individuo ${\displaystyle X_{i}$ son iid ${\displaystyle \mathrm {Po} (\lambda),}$ entonces ${\textstyle T(\mathbf {x}=\sum _{i=1}{n}X_{i}\sim \mathrm {Po} (n\lambda). }$ Saber la distribución que queremos investigar, es fácil ver que la estadística está completa.

${\displaystyle E(g(T)=\sum _{t=0}{\infty }g(t){\frac {(n\lambda)}{t}e^{-n\lambda ¡No!$

Para mantener esta igualdad, ${\displaystyle g(t)}$ Debe ser 0. Esto se debe al hecho de que ninguno de los otros términos será 0 para todos ${\displaystyle t}$ en la suma y para todos los valores posibles ${\displaystyle \lambda.}$ Por lo tanto, ${\displaystyle E(g(T)=0}$ para todos ${\displaystyle \lambda }$ implica que ${\displaystyle P_{\lambda}(g(T)=0)=1,}$ y se ha demostrado que la estadística está completa.

${\displaystyle {\tfrac {2}\chi ^{2}(\alpha /2;2k)\leq \mu \leq {\tfrac {1}{2}\chi ^{2}(1-\alpha /2;2k+2),}}$

${\displaystyle F^{-1}(\alpha /2;k,1)\leq \mu \leq F^{-1}(1-\alpha /2;k+1,1),}$

Donde ${\displaystyle \chi ^{2}(p;n)}$ es la función cuantitativa (correspondiendo a un área de cola inferior p) de la distribución de chi-squared con n grados de libertad y ${\displaystyle F^{-1}(p;n,1)}$ es la función cuantil de una distribución gamma con parámetro de forma n y escala 1. Este intervalo es "exacto" en el sentido de que su probabilidad de cobertura nunca es inferior a la nominal 1 – α.

${\displaystyle k\left(1-{\frac {1} {\fnK} {\fnMicroc {\fnfa /2}{3{\sqrt {k}}}}\right)}{3}\leq \mu \leq (k+1)\left(1-{\frac {1}{9(k+1)}}+{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k+1}}}}\right)^{3}}}}}}$

Donde ${\displaystyle z_{\alpha /2}$ denota el desvío normal estándar con la parte superior de la cola α / 2.

${\displaystyle k=\sum ¿Qué?$

Calcule un intervalo para μ = n λ y luego derive el intervalo para λ.

${\displaystyle \lambda \sim \mathrm {Gamma} (\alpha\beta)}$

indica que λ se distribuye según la densidad gamma g parametrizada en términos de un parámetro de forma α y un parámetro de escala inversa β:

${\displaystyle g(\lambda \mid \alpha\beta)={\frac {\beta ^{\alpha {\fnMicrosoft Sans Serif}\;\lambda ^{\alpha -1}\;e^{-\beta \,\lambda }\qquad {\text{ for }\lambda ¡No!$

Entonces, dada la misma muestra de n valores medidos k_i que antes, y una distribución previa de Gamma(α, β), la distribución posterior es

${\displaystyle \lambda \sim \mathrm {Gamma} \left(\alpha +\sum ¿Qué?$

${\displaystyle E[\lambda \mid k_{1},\ldotsk_{n}={\frac {\alpha +\sum {\fn} {\fn} {\fn}} {\fn}}} {\fn\fn\fn} - Sí.$

Se puede demostrar que la distribución gamma es el único anterior que induce la linearidad de la media condicional. Además, existe un resultado contrario que afirma que si la media condicional está cerca de una función lineal en la ${\displaystyle L_{2}$ distancia que la distribución previa λ debe estar cerca de la distribución gamma en Levy distancia.

La media posterior E[λ] se acerca a la estimación de probabilidad máxima ${\displaystyle {\widehat {\lambda }$ en el límite como ${\displaystyle \alpha \to 0,\beta \to 0,}$ que sigue inmediatamente de la expresión general de la media de la distribución gamma.

Suppose ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dotsX_{p}$ es un conjunto de variables aleatorias independientes de un conjunto de ${\displaystyle p}$ Distribución Poisson, cada una con un parámetro ${\displaystyle \lambda _{i},}$ ${\displaystyle i=1,\dotsp,}$ y nos gustaría estimar estos parámetros. Luego, Clevenson y Zidek muestran que bajo la pérdida de error cuadrado normalizada ${\textstyle L(\lambda{\hat {\lambda }}=\sum ¿Por qué? - ¿Qué?$ cuando ${\displaystyle p título1,}$ entonces, similar al ejemplo de Stein para los medios normales, el estimador MLE ${\fnMicrosoft {\fn\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\fn\\\\\fn\\\\\\fn\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ }_{i}=X_{i}$ es inadmisible.

En este caso, se da una familia de minimax estimadores para cualquier ${\displaystyle 0 wonc\leq 2(p-1)}$ y ${\displaystyle b\geq (p-2+p^{-1})}$ como

${\fnMicrosoft {\fn\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ }_{i}=\left(1-{\frac {c}{b+\sum - Sí.$

• telecomunicaciones: llamadas telefónicas que llegan a un sistema,
• astronomía: fotones llegando a un telescopio,
• química: la distribución de masa molar de una polimerización viva,
• biología: el número de mutaciones en un hilo de ADN por unidad de longitud,
• administración: clientes que llegan a un mostrador o centro de llamadas,
• finanzas y seguros: número de pérdidas o reclamaciones registradas en un determinado período de tiempo,
• sismología: modelo asintotico Poisson de riesgo para grandes terremotos,
• radioactividad: decaimientos en un intervalo de tiempo dado en una muestra radiactiva,
• óptica: número de fotones emitidos en un solo pulso láser (una gran vulnerabilidad de los protocolos de distribución de teclas cuánticas, conocidos como dividir número de fotones).

Otros ejemplos de eventos de conteo que pueden modelarse como procesos de Poisson incluyen:

• soldados asesinados por caballos cada año en cada cuerpo de la caballería prusiana. Este ejemplo fue utilizado en un libro de Ladislaus Bortkiewicz (1868-1931),
• Células de levadura utilizadas al elaborar cerveza Guinness. Este ejemplo fue utilizado por William Sealy Gosset (1876-1937),
• llamadas telefónicas que llegan a un centro de llamadas en un minuto. Este ejemplo fue descrito por A.K. Erlang (1878-1929),
• goles en deportes que involucran a dos equipos competidores,
• muertes por año en un determinado grupo de edad,
• salta en un precio de stock en un intervalo de tiempo dado,
• veces un servidor web se accede por minuto (bajo una suposición de homogeneidad),
• mutaciones en un determinado tramo de ADN después de cierta cantidad de radiación,
• células infectadas en una determinada multiplicidad de infección,
• bacterias en cierta cantidad de líquido,
• fotones que llegan en un circuito de píxeles a una iluminación dada durante un período de tiempo dado,
• aterrizaje de bombas V-1 en Londres durante la Segunda Guerra Mundial, investigada por R. D. Clarke en 1946.

Que el número total de eventos en todo el intervalo sea denotado por ${\displaystyle \lambda.}$ Divide todo el intervalo en ${\displaystyle n}$ subintervalos ${\displaystyle I_{1},\dots I_{n}$ de igual tamaño, tal que ${\displaystyle n titulada\lambda }$ (ya que estamos interesados en sólo porciones muy pequeñas del intervalo esta suposición es significativa). Esto significa que el número esperado de eventos en cada uno de los n subintervalos es igual a ${\displaystyle \lambda /n.}$

Ahora suponemos que la ocurrencia de un evento en todo el intervalo puede ser vista como una secuencia de n Bernoulli prueba, donde el ${\displaystyle i}$- el juicio de Bernoulli corresponde a ver si un evento ocurre en el subintervalo ${\displaystyle I_{i}$ con probabilidad ${\displaystyle \lambda /n.}$ The expected number of total events in ${\displaystyle n}$ tales juicios serían ${\displaystyle \lambda}$ el número esperado de eventos totales en todo el intervalo. Por lo tanto, para cada subdivisión del intervalo hemos aproximado la ocurrencia del evento como un proceso Bernoulli de la forma ${\displaystyle {\textrm {B}(n,\lambda /n).}$ Como hemos señalado antes queremos considerar sólo subintervalos muy pequeños. Por lo tanto, tomamos el límite como ${\displaystyle n}$ va al infinito.

En varios de los ejemplos anteriores, como el número de mutaciones en una determinada secuencia de ADN, los acontecimientos que se están contando son en realidad los resultados de ensayos discretos, y se modelarán más precisamente utilizando la distribución binomial, es decir, $${\displaystyle X\sim {\textrm {B}(n,p). }$$

En tales casos n es muy grande y p es muy pequeña (y así la expectativa n es de magnitud intermedia). Entonces la distribución puede ser aproximada por la distribución Poisson menos engorrosa $${\displaystyle X\sim {\textrm {Pois}(np). }$$

${\displaystyle P(N(D)=k)={\frac {\lambda SilencioD habit)^{k}e^{-\lambda ¡No!$

Katz y Miledi midieron el potencial de la membrana con y sin la presencia de acetilcolina (ACh). Cuando ACh está presente, los canales de iones en la membrana estarían abiertos al azar en una pequeña fracción del tiempo. Como hay un gran número de canales iónicos cada uno abierto por una pequeña fracción del tiempo, el número total de canales iónicos abiertos en cualquier momento es Poisson distribuido. Cuando ACh no está presente, efectivamente no hay canales iónicos abiertos. El potencial de la membrana es ${\displaystyle V=N_{\text{open}V_{\text{ion}+V_{0}+V_{\text{noise}}$. Subcontratando el efecto del ruido, Katz y Miledi encontraron la media y la varianza del potencial de la membrana ${\displaystyle 8.5\times 10^{-3}\;\mathrm {V}(29.2\times 10^{-6}\;\mathrm {V}}}}$, dar ${\displaystyle V_{\text{ion}=10^{-7}\;\mathrm {V}$. (pp. 94-95)

Durante cada evento de replicación celular, el número de mutaciones es aproximadamente Poisson distribuido. Por ejemplo, el virus del VIH tiene 10.000 pares base, y tiene una tasa de mutación de aproximadamente 1 por 30.000 pares base, lo que significa que el número de mutaciones por evento de replicación se distribuye como ${\displaystyle \mathrm {Pois} (1/3)}$(pág. 64)

En un proceso de Poisson, el número de ocurrencias observadas fluctúa sobre su media λ con una desviación estándar ${\displaystyle \sigma _{k}={\sqrt {\fnMicrode }}$ Estas fluctuaciones se denotan como Ruido de Poisson o (particularmente en electrónica) como ruido.

La correlación de la desviación media y estándar en la contabilización de ocurrencias discretas independientes es útil científicamente. Al monitorizar cómo las fluctuaciones varían con la señal media, se puede estimar la contribución de una sola ocurrencia, incluso si esa contribución es demasiado pequeña para ser detectada directamente. Por ejemplo, la carga e sobre un electrón se puede estimar correlacionando la magnitud de una corriente eléctrica con su ruido de disparo. Si N electrones pasan un punto en un momento dado t en promedio, la corriente media es ${\displaystyle I=eN/t}$; ya que las fluctuaciones actuales deben ser de la orden ${\displaystyle \sigma ¿Qué? {N}/t}$ (es decir, la desviación estándar del proceso Poisson), la carga ${\displaystyle e}$ se puede calcular a partir de la proporción ${\displaystyle t\sigma Yo.$

La distribución Poisson plantea dos tareas diferentes para bibliotecas de software dedicadas: evaluación la distribución ${\displaystyle P(k;\lambda)}$, y dibujo números aleatorios según esa distribución.

Computing ${\displaystyle P(k;\lambda)}$ para dar ${\displaystyle k}$ y ${\displaystyle \lambda }$ es una tarea trivial que se puede lograr utilizando la definición estándar de ${\displaystyle P(k;\lambda)}$ en términos de funciones exponenciales, de poder y factoriales. Sin embargo, la definición convencional de la distribución Poisson contiene dos términos que pueden rebosar fácilmente en las computadoras: λ^k y k!. La fracción de λ^k a k! también puede producir un error de redondeo que es muy grande en comparación con e^−λ, y por lo tanto dar un resultado erróneo. Para la estabilidad numérica, la función de masa de probabilidad Poisson debe ser evaluada como

${\displaystyle \!f(k;\lambda)=\exp \left[k\ln \lambda -\lambda -\ln \Gamma (k+1)\right],}$

que es matemáticamente equivalente, pero numéricamente estable. El logaritmo natural de la función Gamma se puede obtener utilizando la función lgamma en la biblioteca estándar de C (versión C99) o R, la función gammaln en MATLAB o SciPy, o la función log_gamma en Fortran 2008 y versiones posteriores.

• R: función dpois(x, lambda);
• Excel: función POISSON(x, mean, cumulative), con una bandera para especificar la distribución acumulada;
• Mathematica: distribución univariate Poisson como PoissonDistribution[${\displaystyle \lambda }$], distribución bivariada de Poisson MultivariatePoissonDistribution[${\displaystyle \theta _{12},}${ ${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{12},}$ ${\displaystyle \theta _{2}-\theta _{12}}$}],

La tarea menos trivial es dibujar variate aleatorio entero entero de la distribución Poisson con dado ${\displaystyle \lambda.}$

• R: función rpois(n, lambda);
• Biblioteca Científica de GNU (GSL): función gsl_ran_poisson

algoritmo poisson número aleatorio (Knuth):
 init:
 Vamos. L ← eλ−, k ← 0 y p ← 1.
 do:
k ← k + 1.
Generar número aleatorio uniforme u en [0,1] y Deja p ← p × u.
 mientras p > L.
 Regreso k - 1.

algoritmo poisson random number (Junhao, based on Knuth):
 init:
 Vamos. λizquierda ← λ, k ← 0 y p ← 1.
 do:
k ← k + 1.
Generar número aleatorio uniforme u en (0,1) y Deja p ← p × u.
 mientras p λIzquierda.
 si λIzquierda PASO:
← p × eSTEP λizquierda ← λIzquierda - PASO
 más:
← p × eλIzquierda λizquierda ← 0
 mientras p 1.
 Regreso k - 1.

algoritmo Generador de Poisson basado en la inversión por búsqueda secuencial:
 init:
 Vamos. x ← 0, p ← eλ−, s ← p.
Generar número aleatorio uniforme u en [0,1].
 mientras u do:
x ← x + 1.
← p × λ / x.
s ← s + p.
 Regreso x.