Distribución de cola pesada

En teoría de la probabilidad, las distribuciones de cola pesada son distribuciones de probabilidad cuyas colas no están acotadas exponencialmente: es decir, tienen colas más pesadas que la distribución exponencial. En muchas aplicaciones, lo que interesa es la cola derecha de la distribución, pero una distribución puede tener una cola izquierda pesada o ambas colas pueden ser pesadas.

Existen tres subclases importantes de distribuciones de cola pesada: las distribuciones de cola gruesa, las distribuciones de cola larga y las distribuciones subexponenciales. En la práctica, todas las distribuciones de cola pesada que se utilizan comúnmente pertenecen a la clase subexponencial, introducida por Jozef Teugels.

Aún existe cierta discrepancia sobre el uso del término de cola pesada. Existen otras dos definiciones en uso. Algunos autores usan el término para referirse a aquellas distribuciones que no tienen todos sus momentos de potencia finitos; y otros, a aquellas distribuciones que no tienen una varianza finita. La definición dada en este artículo es la más general en uso e incluye todas las distribuciones abarcadas por las definiciones alternativas, así como aquellas distribuciones como la log-normal que poseen todos sus momentos de potencia, pero que generalmente se consideran de cola pesada. (En ocasiones, se usa de cola pesada para cualquier distribución que tenga colas más pesadas que la distribución normal).

Se dice que la distribución de una variable aleatoria X con función de distribución F tiene una cola pesada (derecha) si la función generadora de momentos de X, M_X(t), es infinita para todo t > 0.

Eso significa

${\displaystyle \int _{-\infty } {\infty }e^{tx}\,dF(x)=\infty \quad {\mbox{for all }t confía0.}$

Esto también está escrito en términos de la función de distribución de cola

${\displaystyle {\overline {F}(x)\equiv \Pr[X]\,}$

como

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }e^{tx}{\overline {F}(x)=\infty \quad {\mbox{for all }t conviene0.\,}$

Se dice que la distribución de una variable aleatoria X con función de distribución F tiene una cola derecha larga si para todo t > 0,

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\Pr[X otorgax+t\mid X const]=1,\,}$

o equivalente

${\displaystyle {\overline {\f}(x+t)\sim {\overline {\f}(x)\quad {\mbox{as }x\to \infty.}$

Esto tiene la interpretación intuitiva de que, para una cantidad distribuida con cola larga y cola derecha, si la cantidad con cola larga excede un nivel alto, la probabilidad de que exceda cualquier otro nivel superior se acerca a 1.

Todas las distribuciones de cola larga son de cola pesada, pero lo inverso es falso y es posible construir distribuciones de cola pesada que no sean de cola larga.

La subexponencialidad se define en términos de convoluciones de distribuciones de probabilidad. Para dos variables independientes, distribuidas idénticamente ${\displaystyle ¿Qué?$ con una función de distribución común ${\displaystyle F}$, la convolución de ${\displaystyle F}$ con sí mismo, escrito ${\displaystyle F^{*2}$ y llamada plaza de la convolución, se define usando la integración Lebesgue-Stieltjes por:

${\displaystyle \Pr[X_{1}+X_{2}\leq x]=F^{*2}(x)=\int _{0}^{x}F(x-y)\,dF(y),}$

y el n- converso ${\displaystyle F^{*n}$ se define inductivamente por la regla:

${\displaystyle F^{*n}(x)=\int _{0}{x}F(x-y)\,dF^{*n-1}(y). }$

Función de distribución de la cola ${\displaystyle {\fnMicrosoft}$ se define como ${\displaystyle {\overline {F}(x)=1-F(x)}$.

Distribución ${\displaystyle F}$ en la media línea positiva es subexponencial si

${\displaystyle {\overline {\f}(x)\sim 2{\overline {F}(x)\quad {\mbox{as }x\to \infty.}$

Esto implica que, para cualquier ${\displaystyle n\geq 1}$,

${\displaystyle {\overline {\n}(x)\sim n{\overline {F}(x)\quad {\mbox{as }x\to \infty.}$

La interpretación probabilística de esto es que, por una suma de ${\displaystyle n}$ variables aleatorias independientes ${\displaystyle X_{1},\ldots X_{n}$ con distribución común ${\displaystyle F}$,

${\displaystyle \Pr[X_{1}+\cdots +X_{n}]\sim \Pr[\max(X_{1},\ldotsX_{n})]\quad {\text{as }x\to \infty.}$

Esto se conoce a menudo como el principio del gran salto único o principio de catástrofe.

Distribución ${\displaystyle F}$ en toda la línea real es subexponencial si la distribución ${\displaystyle FI([0,\infty)}$ Lo es. Aquí. ${\displaystyle I([0,\infty)}$ es la función indicadora de la media línea positiva. Alternativamente, una variable aleatoria ${\displaystyle X}$ apoyado en la línea real es subexponencial si y sólo si ${\displaystyle X^{+}=\max(0,X)}$ es subexponencial.

Todas las distribuciones subexponenciales son de cola larga, pero se pueden construir ejemplos de distribuciones de cola larga que no sean subexponenciales.

Todas las distribuciones de cola pesada que se utilizan habitualmente son subexponenciales.

Entre los que tienen una sola cola se encuentran:

• la distribución de Pareto;
• la distribución Log-normal;
• la distribución de Lévy;
• la distribución Weibull con parámetro de forma superior a 0 pero inferior a 1;
• la distribución Burr;
• la distribución log-logista;
• la distribución log-gamma;
• la distribución Fréchet;
• q-Gaussian distribution;
• la distribución log-Cauchy, a veces describió como tener una "caída súper pesada" porque exhibe decaimiento logarítmico produciendo una cola más pesada que la distribución de Pareto.

Los que tienen dos colas incluyen:

• La distribución Cauchy, en sí misma un caso especial de la distribución estable y la distribución t;
• La familia de distribuciones estables, excepto el caso especial de la distribución normal dentro de esa familia. Algunas distribuciones estables son unilaterales (o soportadas por una línea media), véase por ejemplo. Distribución ligera. Véase también modelos financieros con distribuciones de cola larga y agrupación de volatilidad.
• La distribución t.
• La distribución de cascadas normales.

Una distribución de cola de grasa es una distribución para la cual la función de densidad de probabilidad, para x grande, va a cero como potencia ${\displaystyle x^{-a}$. Dado que tal poder está siempre ligado por la función de densidad de probabilidad de una distribución exponencial, las distribuciones de cola de grasa son siempre de cola pesada. Algunas distribuciones, sin embargo, tienen una cola que va a cero más lento que una función exponencial (que significa que son de cola pesada), pero más rápido que un poder (que significa que no son de cola grasa). Un ejemplo es la distribución log-normal. Muchas otras distribuciones de cola pesada, como la distribución logística y Pareto, son, sin embargo, también de cola grasa.

Existen enfoques paramétricos y no paramétricos para el problema de la estimación del índice de cola.

Para estimar el índice de cola mediante el método paramétrico, algunos autores emplean la distribución GEV o la distribución de Pareto; pueden aplicar el estimador de máxima verosimilitud (MLE).

Con ${\displaystyle (X_{n},n\geq1)}$ una secuencia aleatoria de función independiente y de misma densidad ${\displaystyle F\in D(H(\xi)}$, el dominio de atracción máxima de la densidad de valor extremo generalizada ${\displaystyle H.$, donde ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R}$. Si ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }k(n)=\infty }$ y ${\displaystyle \lim _{n\to \infty}{\frac {k(n)}{n}=0}$, entonces el Pickands estimación del índice de cola

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fn} {\fn]}\nnn}}\nnn}\n\nnn}\n\nnn\nn} {\nnnnnnnnnn} {\cn}\nnnnnnn}\c]} {\cn2\n1}\nn2\n}\n}\n}\nn}\nn}}\n}\n}\n1}\n}\n2\n}\c]}\c\c\c\c]\c\c\n}\cn2\n2\cn2\c\cn2\c]}\c\c\c\c]}\cnn2\c]}\c\c]}\c\c]}\cn2\c\c\c\c\c\c\cnnnnn}\c\cH3\c\cn2\c\c\c\c}\c]}\cn$

Donde ${\displaystyle X_{(n-k(n)+1,n)}=\max \left(X_{n-k(n)+1},\ldotsX_{n}\right)}$. Este estimador converge en probabilidad de ${\displaystyle \xi }$.

Vamos. ${\displaystyle (X_{t},t\geq1)}$ ser una secuencia de variables aleatorias independientes y distribuidas idénticamente con función de distribución ${\displaystyle F\in D(H(\xi)}$, el dominio máximo de atracción de la distribución de valor extremo generalizado ${\displaystyle H.$, donde ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R}$. La ruta de la muestra es ${\displaystyle {X_{t}:1\leq t\leq n}$ Donde ${\displaystyle n}$ es el tamaño de la muestra. Si ${\displaystyle \{k(n)}}$ es una secuencia de orden intermedio, es decir. ${\displaystyle k(n)\in \{1,\ldotsn-1},}$, ${\displaystyle k(n)\to \infty }$ y ${\displaystyle k(n)/n\to 0}$, entonces el estimador de Hill-index es

${\displaystyle \xi _{(k(n),n)}{\text{Hill}=\left({\frac {1}{k(n)}\sum ¿Por qué?$

Donde ${\displaystyle X_{(i,n)}$ es ${\displaystyle i}$- la estadística del orden ${\displaystyle X_{1},\dots X_{n}$. Este estimador converge en probabilidad de ${\displaystyle \xi }$, y es asintotípicamente normal proporcionado ${\displaystyle k(n)\to \infty }$ se restringe sobre la base de una propiedad de variación regular de orden superior . La consistencia y la normalidad asintotica se extienden a una gran clase de secuencias dependientes y heterogéneas, independientemente de si ${\displaystyle X_{t}$ se observa, o datos residuales o filtrados computados de una gran clase de modelos y estimadores, incluyendo modelos y modelos mal especificados con errores dependientes. Tenga en cuenta que tanto los estimadores de los índices de cola de Pickand y Hill suelen hacer uso de logaritmo de las estadísticas de pedido.

El estimador de proporción (estimador RE) del índice de cola fue introducido por Goldie y Smith. Se construye de manera similar al estimador de Hill, pero utiliza un "parámetro de ajuste" no aleatorio.

Puede encontrarse una comparación entre los estimadores de tipo Hill y de tipo RE en Novak.

• aest Archivado 2020-11-25 en la máquina Wayback, herramienta C para estimar el índice de cola pesada.

Markovich presentó enfoques no paramétricos para estimar funciones de densidad de probabilidad de cola pesada y superpesada. Estos enfoques se basan en el ancho de banda variable y en estimadores kernel de cola larga; en la transformación preliminar de los datos a una nueva variable aleatoria en intervalos finitos o infinitos, lo que es más conveniente para la estimación y luego la transformación inversa de la estimación de densidad obtenida; y el "enfoque de unión de piezas" que proporciona un cierto modelo paramétrico para la cola de la densidad y un modelo no paramétrico para aproximar la moda de la densidad. Los estimadores no paramétricos requieren una selección apropiada de parámetros de ajuste (suavizado), como un ancho de banda de los estimadores kernel y el ancho de bin del histograma. Los métodos basados en datos bien conocidos de dicha selección son una validación cruzada y sus modificaciones, métodos basados en la minimización del error cuadrático medio (MSE) y su límite asintótico y sus límites superiores. Un método de discrepancia que utiliza estadísticas no paramétricas conocidas como las de Kolmogorov-Smirnov, von Mises y Anderson-Darling como métrica en el espacio de funciones de distribución (gl) y cuantiles de las estadísticas posteriores como una incertidumbre conocida o un valor de discrepancia se puede encontrar en. Bootstrap es otra herramienta para encontrar parámetros de suavizado utilizando aproximaciones de MSE desconocido mediante diferentes esquemas de selección de remuestreos, véase, por ejemplo,

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