Distribución de cola gruesa

Una distribución de cola gruesa es una distribución de probabilidad que muestra una gran asimetría o curtosis, en relación con la de una distribución normal o una distribución exponencial. En el uso común, los términos cola gorda y cola pesada son a veces sinónimos; La cola gruesa a veces también se define como un subconjunto de la cola pesada. Diferentes comunidades de investigación favorecen uno u otro en gran medida por razones históricas y pueden tener diferencias en la definición precisa de cualquiera de ellos.

Las distribuciones de cola gruesa se han encontrado empíricamente en una variedad de áreas: física, ciencias de la tierra, economía y ciencias políticas. La clase de distribuciones de cola gruesa incluye aquellas cuyas colas decaen como una ley potencial, que es un punto de referencia común en su uso en la literatura científica. Sin embargo, las distribuciones de cola gruesa también incluyen otras distribuciones que decaen lentamente, como la log-normal.

El caso más extremo de una cola gruesa viene dado por una distribución cuya cola decae como una ley potencial.

Es decir, si la distribución acumulativa complementaria de una variable aleatoria X se puede expresar como

${\displaystyle \Pr \left\{\\\\\\\\\fn\\sim x^{-\alpha }\quad }$ como ${\displaystyle \quad x\to \infty \quad }$ para ${\displaystyle \quad \alpha - No.$

entonces se dice que la distribución tiene una cola de grasa si ${\displaystyle \alpha - No.$. Para tales valores la varianza y la asiduidad de la cola son matemáticamente indefinidas (una propiedad especial de la distribución de la ley de poder), y por lo tanto más grande que cualquier distribución normal o exponencial. Para valores ${\displaystyle \alpha ¢$ la reclamación de una cola de grasa es más ambiguo, ya que en este rango de parámetro, la varianza, el aguijón y la kurtosis puede ser finita, dependiendo del valor preciso de ${\displaystyle \alpha}$ y por lo tanto potencialmente menor que una cola normal o exponencial de alta variabilidad. Esta ambigüedad a menudo conduce a desacuerdos sobre exactamente lo que es, o no, una distribución de cola de grasa. Para ${\displaystyle \ k Conf\alpha -1\}$ el ${\displaystyle \ k^{\mathsf {th}\$ momento es infinito, por lo que para cada distribución de la ley de poder, algunos momentos son indefinidos.

Nota

Aquí la notación de inclinación "${\displaystyle \sim }$" significa que la cola de la distribución se descompone como una ley de poder; más técnicamente, se refiere a la equivalencia asintotica de funciones – lo que significa que su relación asintomáticamente tiende a una constante.

En comparación con las distribuciones de cola ancha, en la distribución normal, los eventos que se desvían de la media en cinco o más desviaciones estándar ("eventos 5-sigma") tienen menor probabilidad, lo que significa que en la distribución normal Los eventos extremos son menos probables que para las distribuciones de cola gruesa. Las distribuciones de cola ancha, como la distribución de Cauchy (y todas las demás distribuciones estables con excepción de la distribución normal), tienen valores de "sigma indefinido". (más técnicamente, la variación no está definida).

Como consecuencia, cuando los datos surgen de una distribución subyacente de cola ancha, es necesario calzar la “distribución normal”; modelo de riesgo -y estimar sigma basado (necesariamente) en un tamaño de muestra finito- subestimaría el verdadero grado de dificultad predictiva (y de riesgo). Muchos, en particular Benoît Mandelbrot y Nassim Taleb, han notado esta deficiencia del modelo de distribución normal y han propuesto que las distribuciones de cola gruesa, como las distribuciones estables, gobiernen los rendimientos de los activos que se encuentran con frecuencia en las finanzas.

El modelo de Black-Scholes de valoración de opciones se basa en una distribución normal. Si la distribución es realmente de cola gruesa, entonces el modelo subestimará las opciones que están lejos de ser rentables, ya que un evento de 5 o 7 sigma es mucho más probable de lo que predeciría la distribución normal.

En finanzas, las colas gruesas ocurren a menudo, pero se consideran indeseables debido al riesgo adicional que implican. Por ejemplo, una estrategia de inversión puede tener un rendimiento esperado, después de un año, que sea cinco veces su desviación estándar. Suponiendo una distribución normal, la probabilidad de que fracase (rentabilidad negativa) es inferior a una entre un millón; en la práctica, puede ser mayor. Las distribuciones normales que surgen en finanzas generalmente lo hacen porque los factores que influyen en el valor o el precio de un activo se "comportan bien" matemáticamente, y el teorema del límite central prevé dicha distribución. Sin embargo, el traumático “mundo real” es una realidad. Los acontecimientos (como una crisis petrolera, la quiebra de una gran empresa o un cambio abrupto en una situación política) no suelen comportarse matemáticamente bien.

Los ejemplos históricos incluyen el desplome de Wall Street de 1929, el lunes negro (1987), la burbuja de las puntocom, la crisis financiera de finales de la década de 2000, el desplome repentino de 2010 y el desplome del mercado de valores de 2020. y la desvinculación de algunas monedas.

Las colas anchas en las distribuciones de rendimiento del mercado también tienen algunos orígenes conductuales (optimismo o pesimismo excesivo de los inversores que conducen a grandes movimientos del mercado) y, por lo tanto, se estudian en las finanzas conductuales.

En marketing, la conocida regla 80-20 que se encuentra con frecuencia (por ejemplo, "el 20% de los clientes representa el 80% de los ingresos") es una manifestación de una distribución de cola gruesa subyacente a los datos.

Las "colas gordas" También se observan en los mercados de productos básicos o en la industria discográfica, especialmente en los mercados fonográficos. La función de densidad de probabilidad para el logaritmo de los cambios semanales en las ventas récord es altamente leptocúrtica y se caracteriza por un máximo más grande y estrecho, y por una cola más gruesa que en el caso de la distribución normal. Por otro lado, esta distribución tiene sólo una cola gorda asociada a un aumento en las ventas debido a la promoción de los nuevos discos que entran en las listas.

• Riesgo de enfermedad
• Teoría del cisne negro
• Siete estados de azar
• Distribución de talentos

• Ejemplos de colas grasas en la serie de tiempo financiero
• Distribución de la cola de grasa - John A. Robb Archived 2017-03-17 en la máquina Wayback