Distribución de Bernoulli

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En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli, llamada así por el matemático suizo Jacob Bernoulli, es la distribución de probabilidad discreta de una variable aleatoria que toma el valor 1 con probabilidad $pag$ y el valor 0 con probabilidad ${ estilo de visualización q = 1-p}$ . Menos formalmente, se puede considerar como un modelo para el conjunto de posibles resultados de cualquier experimento único que haga una pregunta de sí o no. Estas preguntas conducen a resultados con valores booleanos: un solo bit cuyo valor es éxito/sí/verdadero/uno con probabilidad p y falla/no/falso/cero con probabilidad q. Se puede usar para representar un lanzamiento de moneda (posiblemente sesgado) donde 1 y 0 representarían "cara" y "cruz", respectivamente, y psería la probabilidad de que la moneda caiga en cara (o viceversa, donde 1 representaría cruz y p sería la probabilidad de cruz). En particular, las monedas injustas habrían ${displaystyle pneq 1/2.}$

La distribución de Bernoulli es un caso especial de la distribución binomial donde se realiza un solo ensayo (por lo que n sería 1 para tal distribución binomial). También es un caso especial de la distribución de dos puntos, para la cual los resultados posibles no necesitan ser 0 y 1.

Propiedades

Si $X$ es una variable aleatoria con esta distribución, entonces: ${displaystyle Pr(X=1)=p=1-Pr(X=0)=1-q.}$

La función de masa de probabilidad $F$ de esta distribución, sobre los posibles resultados k, es ${displaystyle f(k;p)={begin{casos}p&{text{si}}k=1,\q=1-p&{text{si}}k=0.end{casos }}}$

Esto también se puede expresar como ${displaystyle f(k;p)=p^{k}(1-p)^{1-k}quad {text{para }}kin {0,1}}$

o como ${displaystyle f(k;p)=pk+(1-p)(1-k)quad {text{for }}kin {0,1}.}$

La distribución de Bernoulli es un caso especial de la distribución binomial con ${ estilo de visualización n = 1.}$

La curtosis llega al infinito para valores altos y bajos de $pag,$ pero para $p=1/2$ las distribuciones de dos puntos, incluida la distribución de Bernoulli, tienen un exceso de curtosis más bajo que cualquier otra distribución de probabilidad, a saber, −2.

Las distribuciones de Bernoulli $0leq pleq 1$ forman una familia exponencial.

El estimador de máxima verosimilitud $pag$ basado en una muestra aleatoria es la media muestral.

Significar

El valor esperado de una variable aleatoria de Bernoulli $X$ es ${ estilo de visualización nombre del operador {E} izquierda (X derecha) = p}$

Esto se debe a que para una variable aleatoria distribuida de Bernoulli $X$ con ${ estilo de visualización Pr (X = 1) = p}$ y ${ estilo de visualización Pr (X = 0) = q}$ encontramos ${displaystyle operatorname {E} [X]=Pr(X=1)cdot 1+Pr(X=0)cdot 0=pcdot 1+qcdot 0=p.}$

Diferencia

La varianza de una distribución de Bernoulli $X$ es $nombre del operador {Var} [X]=pq=p(1-p)$

Primero encontramos ${displaystyle operatorname {E} [X^{2}]=Pr(X=1)cdot 1^{2}+Pr(X=0)cdot 0^{2}=pcdot 1 ^{2}+qcdot 0^{2}=p=nombre del operador {E} [X]}$

De esto se sigue ${displaystyle operatorname {Var} [X]=operatorname {E} [X^{2}]-operatorname {E} [X]^{2}=operatorname {E} [X]-operatorname { E} [X]^{2}=pp^{2}=p(1-p)=pq}$

Con este resultado es fácil probar que, para cualquier distribución de Bernoulli, su varianza tendrá un valor dentro de ${ estilo de visualización [0,1/4]}$ .

Oblicuidad

El sesgo es ${frac {qp}{sqrt {pq}}}={frac {1-2p}{sqrt {pq}}}$ . Cuando tomamos la variable aleatoria distribuida estandarizada de Bernoulli ${frac {X-nombre del operador {E} [X]}{sqrt {nombre del operador {Var} [X]}}}$ , encontramos que esta variable aleatoria alcanza ${frac{q}{sqrt {pq}}}$ con probabilidad $pag$ y alcanza $-{frac{p}{sqrt {pq}}}$ con probabilidad $q$ . Así obtenemos ${displaystyle {begin{alineado}gamma _{1}&=operatorname {E} left[left({frac {X-operatorname {E} [X]}{sqrt {operatorname { Var} [X]}}}right)^{3}right]\&=pcdot left({frac {q}{sqrt {pq}}}right)^{3}+ qcdot left(-{frac {p}{sqrt {pq}}}right)^{3}\&={frac {1}{{sqrt {pq}}^{3} }}left(pq^{3}-qp^{3}right)\&={frac {pq}{{sqrt {pq}}^{3}}}(qp)\&= {frac {qp}{sqrt {pq}}}.end{alineado}}}$

Momentos superiores y cumulantes

Los momentos crudos son todos iguales debido al hecho de que ${ estilo de visualización 1 ^ {k} = 1}$ y ${ estilo de visualización 0 ^ {k} = 0}$ . ${displaystyle operatorname {E} [X^{k}]=Pr(X=1)cdot 1^{k}+Pr(X=0)cdot 0^{k}=pcdot 1 +qcdot 0=p=nombre del operador {E} [X].}$

El momento central de orden $k$ está dado por ${displaystyle mu _{k}=(1-p)(-p)^{k}+p(1-p)^{k}.}$

Los primeros seis momentos centrales son ${displaystyle {begin{alineado}mu _{1}&=0,\mu _{2}&=p(1-p),\mu _{3}&=p(1- p)(1-2p),\mu _{4}&=p(1-p)(1-3p(1-p)),\mu _{5}&=p(1-p))(1-2p)(1-2p(1-p)),\mu _{6}&=p(1-p)(1-5p(1-p)(1-p(1-p)))).end{alineado}}}$

Los momentos centrales superiores se pueden expresar de manera más compacta en términos de $mu _{2}$ y $mu _{3}$ ${displaystyle {begin{alineado}mu_{4}&=mu_{2}(1-3mu_{2}),\mu_{5}&=mu_{3} }(1-2mu _{2}),\mu _{6}&=mu _{2}(1-5mu _{2}(1-mu _{2})).end{alineado}}}$

Los primeros seis cumulantes son ${displaystyle {begin{alineado}kappa_{1}&=p,\kappa_{2}&=mu_{2},\kappa_{3}&=mu_{ 3},\kappa _{4}&=mu _{2}(1-6mu _{2}),\kappa _{5}&=mu _{3}(1- 12mu _{2}),\kappa _{6}&=mu _{2}(1-30mu _{2}(1-4mu _{2})).end {alineado}}}$

Distribuciones relacionadas

Si $X_{1},puntos,X_{n}$ son variables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas (iid), todas las pruebas de Bernoulli con probabilidad de éxito p, entonces su suma se distribuye de acuerdo con una distribución binomial con parámetros n y p: ${displaystyle sum _{k=1}^{n}X_{k}sim operatorname {B} (n,p)}$ (Distribución binomial).

La distribución de Bernoulli es simplemente ${ estilo de visualización nombre del operador {B} (1, p)}$ , también escrita como ${estilo de texto mathrm {Bernoulli} (p).}$

La distribución categórica es la generalización de la distribución de Bernoulli para variables con cualquier número constante de valores discretos.
La distribución Beta es la previa conjugada de la distribución de Bernoulli.
La distribución geométrica modela el número de ensayos de Bernoulli independientes e idénticos necesarios para obtener un éxito.
Si ${textstyle Ysim mathrm {Bernoulli} left({frac {1}{2}}right)}$ , entonces ${ estilo de texto 2Y-1}$ tiene una distribución de Rademacher.

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