Distancia de Chebyshev

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
	a	b	c	d	e	f	g	h

La distancia discreta de Chebyshev entre dos espacios en un tablero de ajedrez da el número mínimo de movimientos que un rey requiere moverse entre ellos. Esto se debe a que un rey puede moverse diagonalmente, de modo que los saltos para cubrir la distancia más pequeña paralela a una fila o columna es efectivamente absorbido en los saltos que cubren el mayor. Arriba están las distancias de Chebyshev de cada cuadrado de la plaza f6.

En matemáticas, distancia de Chebyshev (o distancia de Tchebychev), métrica máxima o L_∞ métrica es una métrica definida en un espacio de coordenadas real donde la distancia entre dos puntos es la mayor de sus diferencias a lo largo de cualquier dimensión de coordenadas. Lleva el nombre de Pafnuty Chebyshev.

También se conoce como distancia del tablero, ya que en el juego de ajedrez el número mínimo de movimientos que necesita un rey para pasar de una casilla a otra de un tablero es igual a la distancia de Chebyshev entre los centros. de los cuadrados, si los cuadrados tienen una longitud de lado uno, como se representa en coordenadas espaciales 2-D con ejes alineados con los bordes del tablero. Por ejemplo, la distancia de Chebyshev entre f6 y e2 es igual a 4.

Definición

La distancia Chebyshev entre dos vectores o puntos x y Sí., con coordenadas estándar ${\displaystyle x_{i}}$ y ${\displaystyle Y...$, respectivamente, es

${\displaystyle D_{\rm {Chebyshev}(x,y):=\max _{i}(privx_{i}-y_{i}?\ }$

Esto equivale al límite de las métricas Lp:

${\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\bigg }\sum ¿Por qué?$

de ahí que también se la conozca como métrica L_∞.

Matemáticamente, la distancia de Chebyshev es una métrica inducida por la norma suprema o norma uniforme. Es un ejemplo de métrica inyectiva.

En dos dimensiones, es decir, geometría de plano, si los puntos p y q tienen coordenadas cartesianas ${\displaystyle (x_{1},y_{1}$ y ${\displaystyle (x_{2},y_{2}$su distancia Chebyshev

${\displaystyle D_{\rm {Chebyshev}=\max \left(\left endurex_{2}-x_{1}\justo,\left durabley_{2}-y_{1}\justo.}$

Bajo esta métrica, un círculo de radio r, que es el conjunto de puntos con la distancia Chebyshev r desde un punto central, es un cuadrado cuyos lados tienen la longitud 2r y son paralelos a los ejes de coordenadas.

En un tablero de ajedrez, donde se utiliza una distancia de Chebyshev discreta, en lugar de una continua, el círculo de radio r es un cuadrado de longitud de lado 2r, midiendo desde los centros de los cuadrados, y por lo tanto cada lado contiene 2r+1 cuadrados; por ejemplo, el círculo de radio 1 en un tablero de ajedrez es un cuadrado de 3×3.

Propiedades

En una dimensión, todas las métricas L_p son iguales: son simplemente el valor absoluto de la diferencia.

La distancia bidimensional de Manhattan tiene "círculos" es decir, conjuntos de niveles en forma de cuadrados, con lados de longitud √2 r, orientado en un ángulo de π/4 (45°) con respecto a los ejes de coordenadas, por lo que la distancia plana de Chebyshev puede verse como equivalente mediante rotación y escala a ( es decir, una transformación lineal de) la distancia plana de Manhattan.

Sin embargo, esta equivalencia geométrica entre las métricas L₁ y L_∞ no se generaliza a dimensiones superiores. Una esfera formada usando la distancia de Chebyshev como métrica es un cubo con cada cara perpendicular a uno de los ejes de coordenadas, pero una esfera formada usando la distancia de Manhattan es un octaedro: estos son poliedros duales, pero entre los cubos, solo el cuadrado (y 1 -segmento de línea dimensional) son politopos autoduales. Sin embargo, es cierto que en todos los espacios de dimensión finita las métricas L₁ y L_∞ son matemáticamente duales entre sí.

En una cuadrícula (como un tablero de ajedrez), los puntos a una distancia de Chebyshev de 1 de un punto son la vecindad de Moore de ese punto.

La distancia Chebyshev es el caso limitante del orden-${\displaystyle p}$ Minkowski distancia, cuando ${\displaystyle p}$ alcanza el infinito.

Aplicaciones

La distancia de Chebyshev se utiliza a veces en la logística de almacenes, ya que mide eficazmente el tiempo que tarda una grúa puente en mover un objeto (ya que la grúa puede moverse en los ejes xey al mismo tiempo pero a la misma velocidad en cada uno de ellos). eje).

También es muy utilizado en aplicaciones electrónicas de Fabricación Asistida por Computadora (CAM), en particular, en algoritmos de optimización para estas. Muchas herramientas, como las máquinas trazadoras o perforadoras, los fototrazadores, etc. que funcionan en el avión, suelen estar controladas por dos motores en las direcciones x e y, similares a los puentes grúa.

Generalizaciones

Para el espacio de secuencia de secuencias de longitudes infinitas de números reales o complejos, la distancia Chebyshev se generaliza a los ${\displaystyle \ell ^{\infty}$-norm; esta norma a veces se llama la norma Chebyshev. Para el espacio de funciones (real o complejas), la distancia Chebyshev se generaliza a la norma uniforme.