Distancia angular

Distancia angular o separación angular es la medida del ángulo entre la orientación de dos rectas, rayos o vectores en el espacio tridimensional, o el ángulo central subtendido por los radios que pasan por dos puntos de una esfera. Cuando los rayos son líneas de visión desde un observador hacia dos puntos en el espacio, se conoce como distancia aparente o separación aparente.

La distancia angular aparece en matemáticas (en particular geometría y trigonometría) y en todas las ciencias naturales (por ejemplo, cinemática, astronomía y geofísica). En la mecánica clásica de objetos en rotación, aparece junto a la velocidad angular, la aceleración angular, el momento angular, el momento de inercia y el par.

Usar

El término distancia angular (o separación) es técnicamente sinónimo de ángulo en sí, pero pretende sugerir la distancia lineal entre objetos ( por ejemplo, un par de estrellas observadas desde la Tierra).

Medición

Dado que la distancia angular (o separación) es conceptualmente idéntica a un ángulo, se mide en las mismas unidades, como grados o radianes, utilizando instrumentos como goniómetros o instrumentos ópticos especialmente diseñados para apuntar en direcciones bien definidas y registrar los ángulos correspondientes (como los telescopios).

Formulación

Para derivar la ecuación que describe la separación angular de dos puntos situados en la superficie de una esfera como se ve desde el centro de la esfera, utilizamos el ejemplo de dos objetos astronómicos ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ observado desde la Tierra. Los objetos ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ son definidos por sus coordenadas celestiales, a saber, sus ascensiones derechas (RA), ${\displaystyle (\alpha _{A},\alpha _{B}\in [0,2\pi]$; y declinaciones (dec), ${\displaystyle (\delta _{A},\delta _{B}\in [-\pi /2,\pi /2]}$. Vamos. ${\displaystyle O.$ indicar el observador en la Tierra, asumido estar situado en el centro de la esfera celestial. El producto de puntos de los vectores ${\displaystyle \mathbf {OA}$ y ${\displaystyle \mathbf {OB}$ es igual a:

${\displaystyle \mathbf {OA} \cdot \mathbf {OB} =R^{2}\cos \theta }$

que equivale a:

${\displaystyle \mathbf {n_{A} \cdot \mathbf {n_{B} =\cos \theta }$

En el ${\displaystyle (x,y,z)}$ frame, the two unitary vectors are decomposed into:

$${\displaystyle \mathbf {n_{A} ={\begin{pmatrix}\cos \delta ¿Por qué? ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ {\qquad and\qquad} \mathbf {n_{B} ={\begin{pmatrix}\cos \delta _{B}\cos \alpha ¿Por qué? _{B}\sin \alpha _{B}\\\\\sin \delta ¿Qué?$$

$${\displaystyle \mathbf {n_{A} \cdot \mathbf {n_{B} =\cos \delta ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Por qué? _{B}+\cos \delta ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? _{B}\sin \alpha _{B}+\sin \delta _{A}\sin \delta ¿Por qué?$$

${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left[\sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Por qué?$

Aproximación de distancia angular pequeña

La expresión anterior es válida para cualquier posición de A y B en la esfera. En la astronomía, a menudo ocurre que los objetos considerados están muy cerca en el cielo: estrellas en un campo de visión telescopio, estrellas binarias, los satélites de los planetas gigantes del sistema solar, etc. En el caso en que ${\displaystyle \theta \ll 1}$ radian, implicando ${\displaystyle \alpha ¿Qué? ¿Qué?$ y ${\displaystyle \delta _{A}-\delta ¿Qué?$, podemos desarrollar la expresión anterior y simplificarla. En la aproximación del ángulo pequeño, en segundo orden, la expresión anterior se convierte en:

${\displaystyle \cos \theta \approx 1-{\frac {\theta ^{2}{2}}\approx \sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta ¿Por qué? ¿Por qué?$

significado

${\displaystyle 1-{\theta ^{2}{2}\approx \cos(\delta _{A}-\delta _{B})-\cos \delta ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Qué?$

por lo tanto

${\displaystyle 1-{\frac {\theta ^{2}{2}\approx 1-{\frac {\delta ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Qué?$.

Dado que ${\displaystyle \delta _{A}-\delta ¿Qué?$ y ${\displaystyle \alpha ¿Qué? ¿Qué?$, en un desarrollo de segundo orden se convierte que ${\displaystyle \cos \delta ¿Por qué? ¿Por qué? - ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Qué?$Así que

${\displaystyle \theta \approx {\sqrt {\left[(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?$

Distancia angular pequeña: aproximación plana

Si consideramos un detector de imágenes un pequeño campo de cielo (dimensión mucho menos de un radio) con el ${\displaystyle y}$-eje apuntando, paralelo al meridiano de la ascensión derecha ${\displaystyle \alpha }$, y ${\displaystyle x}$-eje a lo largo del paralelo de declinación ${\displaystyle \delta }$, la separación angular se puede escribir como:

${\displaystyle \theta \approx {\sqrt {\delta x^{2}+\delta - Sí.$

Donde ${\displaystyle \delta x=(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta ¿Qué?$ y ${\displaystyle \delta y=\delta _{A}-\delta ¿Qué?$.

Note que ${\displaystyle y}$-eje es igual a la declinación, mientras que el ${\displaystyle x}$-eje es la ascensión correcta modulada por ${\displaystyle \cos \delta ¿Qué?$ porque la sección de una esfera de radio ${\displaystyle R.$ en la declinación (latitud) ${\displaystyle \delta }$ es ${\displaystyle R'=R\cos \delta ¿Qué?$ (ver Figura).