Distancia

Una tabla que muestra distancias cerca de Visakhapatnam

Distancia es una medida numérica u ocasionalmente cualitativa de qué tan separados están los objetos o puntos. En física o en el uso cotidiano, la distancia puede referirse a una longitud física o una estimación basada en otros criterios (p. ej., "dos condados más"). Dado que la cognición espacial es una rica fuente de metáforas conceptuales en el pensamiento humano, el término también se usa metafóricamente con frecuencia para referirse a una medida de la cantidad de diferencia entre dos objetos similares (como la distancia estadística entre distribuciones de probabilidad o la distancia de edición entre cadenas de texto) o un grado de separación (como lo ejemplifica la distancia entre las personas en una red social). La mayoría de estas nociones de distancia, tanto físicas como metafóricas, se formalizan en matemáticas utilizando la noción de espacio métrico.

En las ciencias sociales, distancia puede referirse a una medida cualitativa de separación, como la distancia social o la distancia psicológica.

Distancias en física y geometría

La distancia entre ubicaciones físicas se puede definir de diferentes maneras en diferentes contextos.

Distancia en línea recta o euclidiana

La distancia entre dos puntos en el espacio físico es la longitud de una línea recta entre ellos, que es el camino más corto posible. Este es el significado habitual de distancia en la física clásica, incluida la mecánica newtoniana.

La distancia recta-line se formaliza matemáticamente como la distancia euroclidiana en el espacio de dos y tres dimensiones. En la geometría euclidiana, la distancia entre dos puntos A y B a menudo se denota SilencioABSilencio{displaystyle Silencioso. En la geometría coordinada, la distancia euclideana se calcula utilizando el teorema pitagórico. La distancia entre puntos ()x₁, Sí.₁) y ()x₂, Sí.₂) en el plano es dado por:

d=()Δ Δ x)2+()Δ Δ Sí.)2=()x2− − x1)2+()Sí.2− − Sí.1)2.{displaystyle d={sqrt {Delta x)}{2}+( Delta y)^{2}}={sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}

d=()Δ Δ x)2+()Δ Δ Sí.)2+()Δ Δ z)2=()x2− − x1)2+()Sí.2− − Sí.1)2+()z2− − z1)2.{displaystyle d={sqrt {Delta x)}{2}+( Delta y)^{2}+(Delta z)}}={2}={2}+(z_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1}}}}}}}

Medición

Hay muchas formas de medir distancias en línea recta. Por ejemplo, se puede hacer directamente usando una regla, o indirectamente con un radar (para distancias largas) o interferometría (para distancias muy cortas). La escalera de distancia cósmica es un conjunto de formas de medir distancias extremadamente largas.

Distancia del camino más corto en una superficie curva

Las rutas aéreas entre Los Ángeles y Tokio siguen aproximadamente una ruta de gran círculo directo (top), pero usan el chorro (bottom) cuando se dirige hacia el este. La ruta más corta aparece como una curva en lugar de una línea recta porque la proyección del mapa no escala todas las distancias en comparación con la superficie esférica real de la Tierra.

La distancia en línea recta entre dos puntos en la superficie de la Tierra no es muy útil para la mayoría de los propósitos, ya que no podemos hacer un túnel directamente a través del manto de la Tierra. En cambio, normalmente se mide el camino más corto a lo largo de la superficie de la Tierra, en línea recta. Esto se aproxima matemáticamente por la distancia del gran círculo en una esfera.

De manera más general, el camino más corto entre dos puntos a lo largo de una superficie curva se conoce como geodésica. La longitud del arco de las geodésicas brinda una forma de medir la distancia desde la perspectiva de una hormiga u otra criatura no voladora que vive en esa superficie.

Efectos de la relatividad

En la teoría de la relatividad, debido a fenómenos como la contracción de la longitud y la relatividad de la simultaneidad, las distancias entre los objetos dependen de la elección del marco de referencia inercial. En escalas galácticas y mayores, la medida de la distancia también se ve afectada por la expansión del universo. En la práctica, en cosmología se utilizan varias medidas de distancia para cuantificar tales distancias.

Otras distancias espaciales

Distancia de Manhattan en una cuadrícula

Las definiciones inusuales de distancia pueden ser útiles para modelar ciertas situaciones físicas, pero también se usan en matemáticas teóricas:

• En la práctica, a menudo uno está interesado en la distancia de viaje entre dos puntos a lo largo de las carreteras, en lugar de cuando el cuervo vuela. En un plan de rejilla, la distancia de viaje entre las esquinas de la calle es dada por la distancia de Manhattan: el número de bloques este-oeste y norte-sur hay que atravesar entre esos dos puntos.
• Distancia de pizarra, formalizada como distancia de Chebyshev, es el número mínimo de movimientos que un rey debe hacer en un tablero de ajedrez para viajar entre dos plazas.

Distancias metafóricas

Muchas nociones abstractas de distancia utilizadas en matemáticas, ciencias e ingeniería representan un grado de diferencia o separación entre objetos similares. Esta página da algunos ejemplos.

Distancias estadísticas

En estadística y geometría de la información, las distancias estadísticas miden el grado de diferencia entre dos distribuciones de probabilidad. Hay muchos tipos de distancias estadísticas, típicamente formalizadas como divergencias; estos permiten entender un conjunto de distribuciones de probabilidad como un objeto geométrico llamado variedad estadística. La más elemental es la distancia euclidiana al cuadrado, que se minimiza por el método de los mínimos cuadrados; esta es la divergencia de Bregman más básica. La más importante en la teoría de la información es la entropía relativa (divergencia de Kullback-Leibler), que permite estudiar geométricamente la estimación de máxima verosimilitud de forma análoga; este es un ejemplo tanto de una divergencia f como de una divergencia de Bregman (y, de hecho, el único ejemplo que es ambos). Las variedades estadísticas correspondientes a las divergencias de Bregman son variedades planas en la geometría correspondiente, lo que permite utilizar un análogo del teorema de Pitágoras (que se cumple para la distancia euclidiana al cuadrado) para problemas lineales inversos en la inferencia mediante la teoría de la optimización.

Otras distancias estadísticas importantes incluyen la distancia de Mahalanobis y la distancia de energía.

Editar distancias

En informática, una distancia de edición o una métrica de cadena entre dos cadenas mide qué tan diferentes son. Por ejemplo, las palabras "perro" y "punto", que difieren en una sola letra, están más cerca que "perro" y "gato", que no tienen letras en común. Esta idea se usa en los correctores ortográficos y en la teoría de la codificación, y se formaliza matemáticamente de varias maneras diferentes, incluidas la distancia de Levenshtein, la distancia de Hamming, la distancia de Lee y la distancia de Jaro-Winkler.

Distancia en teoría de grafos

En un gráfico, la distancia entre dos vértices se mide por la longitud del camino de borde más corto entre ellos. Por ejemplo, si el gráfico representa una red social, entonces la idea de seis grados de separación puede interpretarse matemáticamente como que la distancia entre dos vértices es como máximo seis. De manera similar, el número de Erdős y el número de Bacon, el número de relaciones de colaboración a las que se encuentra una persona del prolífico matemático Paul Erdős y el actor Kevin Bacon, respectivamente, son distancias en los gráficos cuyos bordes representan colaboraciones matemáticas o artísticas.

En las ciencias sociales

En psicología, geografía humana y ciencias sociales, la distancia a menudo se teoriza no como una medida numérica objetiva, sino como una descripción cualitativa de una experiencia subjetiva. Por ejemplo, la distancia psicológica es "las diferentes formas en que un objeto puede ser retirado de" el yo a lo largo de dimensiones tales como "tiempo, espacio, distancia social e hipotética". En sociología, la distancia social describe la separación entre individuos o grupos sociales en la sociedad a lo largo de dimensiones tales como clase social, raza/etnicidad, género o sexualidad.

Formalización matemática

La mayoría de las nociones de distancia entre dos puntos u objetos descritas anteriormente son ejemplos de la idea matemática de una métrica. Una métrica o función de distancia es una función d que toma pares de apunta u objetos a números reales y satisface las siguientes reglas:

1. La distancia entre un objeto y sí mismo es siempre cero.
2. La distancia entre objetos distintos es siempre positiva.
3. La distancia es simétrica: la distancia desde x a Sí. es siempre igual a la distancia desde Sí. a x.
4. La distancia satisface la desigualdad del triángulo: si x, Sí., y z son tres objetos, entonces
   d()x,z)≤ ≤ d()x,Sí.)+d()Sí.,z).{displaystyle d(x,z)leq d(x,y)+d(y,z). }

   
   Esta condición puede describirse informalmente como "las paradas intermedias no pueden acelerarlo".

Como excepción, muchas de las divergencias utilizadas en las estadísticas no son métricas.

Distancia entre conjuntos

Las distancias entre estos tres conjuntos no satisfacen la desigualdad del triángulo:

d(A,C)+d(C,B)}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">d()A,B)■d()A,C)+d()C,B){displaystyle d(A,B) títulod(A,C)+d(C,B)}

d(A,C)+d(C,B)}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c30d1db0082ceb2240ec12e1c1bd88d37154dce" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.663ex; height:2.843ex;"/>

Hay varias formas de medir la distancia física entre objetos que constan de más de un punto:

• Uno puede medir la distancia entre puntos representativos como el centro de masa; esto se utiliza para distancias astronómicas como la distancia Tierra-Moon.
• Uno puede medir la distancia entre los puntos más cercanos de los dos objetos; en este sentido, la altitud de un avión o nave espacial es su distancia de la Tierra. El mismo sentido de distancia se utiliza en la geometría euclidiana para definir la distancia de un punto a una línea, distancia de un punto a un plano, o, más generalmente, distancia perpendicular entre subespacios affine.

Aún más generalmente, esta idea se puede utilizar para definir la distancia entre dos subconjuntos de un espacio métrico. La distancia entre conjuntos A y B es el infimum de las distancias entre cualquiera de sus dos puntos respectivos:

d()A,B)=infx▪ ▪ A,Sí.▪ ▪ Bd()x,Sí.).{displaystyle d(A,B)=inf _{xin A,yin B}d(x,y). }

Esto no define una métrica en el conjunto de tales subconjuntos: la distancia entre los conjuntos superpuestos es cero, y esta distancia no satisface la desigualdad del triángulo para cualquier espacio métrico con dos o más puntos (considerar el triple de conjuntos consistentes en dos singletons distintos y su unión).

• La distancia Hausdorff entre dos subconjuntos de un espacio métrico se puede pensar en medir hasta qué punto están de superposición perfecta. Algo más precisamente, la distancia Hausdorff entre A y B es o la distancia A hasta el punto más lejano B, o la distancia de B hasta el punto más lejano A, lo que sea más grande. (Aquí "punto más lejano" debe ser interpretado como un supremum.) La distancia Hausdorff define una métrica en el conjunto de subconjuntos compactos de un espacio métrico.

Ideas relacionadas

La palabra distancia también se usa para conceptos relacionados que no están incluidos en la descripción "una medida numérica de qué tan separados están los puntos u objetos".

Distancia recorrida

La distancia recorrida por un objeto es la longitud de un camino específico recorrido entre dos puntos, como la distancia recorrida mientras se navega por un laberinto. Incluso puede ser una distancia cerrada a lo largo de una curva cerrada que comienza y termina en el mismo punto, como una pelota lanzada hacia arriba o la Tierra cuando completa una órbita. Esto se formaliza matemáticamente como la longitud del arco de la curva.

La distancia recorrida también se puede firmar: un "adelante" la distancia es positiva y un "hacia atrás" la distancia es negativa

Distancia circular es la distancia recorrida por un punto en la circunferencia de una rueda, lo que puede ser útil a la hora de diseñar vehículos o engranajes mecánicos (ver también odometría). La circunferencia de la rueda es 2π × radio; si el radio es 1, cada revolución de la rueda hace que un vehículo viaje 2π radianes.

Desplazamiento y distancia dirigida

Distancia a lo largo de un camino comparado con el desplazamiento. La distancia euroclidiana es la longitud del vector de desplazamiento.

El desplazamiento en la física clásica mide el cambio de posición de un objeto durante un intervalo de tiempo. Mientras que la distancia es una cantidad escalar, o una magnitud, el desplazamiento es una cantidad vectorial con magnitud y dirección. En general, el vector que mide la diferencia entre dos ubicaciones (la posición relativa) a veces se denomina distancia dirigida. Por ejemplo, la distancia dirigida desde el asta de la bandera de la Biblioteca Principal de la Ciudad de Nueva York hasta el asta de la bandera de la Estatua de la Libertad tiene:

• Un punto de partida: barra de bandera de la biblioteca
• Un punto final: barra de bandera de estatua
• Una dirección: -38°
• Una distancia: 8.72 km

Distancia con signo

Apoyo bibliotecario

• Python (lengua de programación)
  • Interspace -Un paquete para encontrar la distancia entre dos vectores, números y cadenas.
  • Sci Py - Computaciones de distancia ()scipy.spatial.distance)
• Julia (lengua de programación)
  • Julia Estadísticas Distancia -Un paquete Julia para evaluar distancias (métricas) entre vectores.