Dispersión Compton

La dispersión de Compton, descubierta por Arthur Holly Compton, es la dispersión de un fotón de alta frecuencia después de una interacción con una partícula cargada, normalmente un electrón. Si resulta en una disminución de la energía (aumento de la longitud de onda) del fotón (que puede ser un fotón de rayos X o de rayos gamma), se denomina efecto Compton. Parte de la energía del fotón se transfiere al electrón que retrocede. La dispersión Compton inversa se produce cuando una partícula cargada transfiere parte de su energía a un fotón.

Introducción

Fig. 1: Esquema del experimento de Compton. La dispersión compton se produce en el blanco grafito de la izquierda. La abertura pasa fotones de rayos X dispersados en un ángulo seleccionado. La energía de un fotón esparcido se mide usando Bragg dispersando en el cristal de la derecha en conjunto con la cámara de ionización; la cámara podría medir la energía total depositada con el tiempo, no la energía de fotones esparcidos únicos.

La dispersión de Compton es un ejemplo de dispersión elástica de la luz por una partícula cargada libre, donde la longitud de onda de la luz dispersada es diferente de la de la radiación incidente. En el experimento original de Compton (ver Fig. 1), la energía del fotón de rayos X (≈17 keV) era significativamente mayor que la energía de enlace del electrón atómico, por lo que los electrones podían tratarse como libres después de la dispersión.. La cantidad en la que cambia la longitud de onda de la luz se denomina desplazamiento de Compton. Aunque existe la dispersión de Compton del núcleo, la dispersión de Compton generalmente se refiere a la interacción que involucra solo a los electrones de un átomo. El efecto Compton fue observado por Arthur Holly Compton en 1923 en la Universidad de Washington en St. Louis y posteriormente verificado por su estudiante graduado Y. H. Woo en los años siguientes. Compton ganó el Premio Nobel de Física de 1927 por el descubrimiento.

El efecto es significativo porque demuestra que la luz no puede explicarse únicamente como un fenómeno ondulatorio. La dispersión de Thomson, la teoría clásica de una onda electromagnética dispersada por partículas cargadas, no puede explicar los cambios en la longitud de onda a baja intensidad: clásicamente, la luz de suficiente intensidad para que el campo eléctrico acelere una partícula cargada a una velocidad relativista provocará el retroceso de la presión de radiación y un desplazamiento Doppler asociado de la luz dispersada, pero el efecto sería arbitrariamente pequeño a intensidades de luz suficientemente bajas independientemente de la longitud de onda. Por lo tanto, si vamos a explicar la dispersión Compton de baja intensidad, la luz debe comportarse como si estuviera formada por partículas. O la suposición de que el electrón puede tratarse como libre no es válida, lo que da como resultado una masa de electrones efectivamente infinita igual a la masa nuclear (ver, por ejemplo, el comentario a continuación sobre la dispersión elástica de los rayos X debido a ese efecto). El experimento de Compton convenció a los físicos de que la luz puede tratarse como una corriente de objetos similares a partículas (cuantos llamados fotones), cuya energía es proporcional a la frecuencia de la onda de luz.

Como se muestra en la Fig. 2, la interacción entre un electrón y un fotón da como resultado que el electrón recibe parte de la energía (haciéndolo retroceder) y un fotón de la energía restante se emite en una dirección diferente a la original, por lo que también se conserva la cantidad de movimiento total del sistema. Si el fotón disperso todavía tiene suficiente energía, el proceso puede repetirse. En este escenario, el electrón se trata como libre o débilmente ligado. La verificación experimental de la conservación del impulso en los procesos individuales de dispersión de Compton por parte de Bothe y Geiger, así como de Compton y Simon, ha sido importante para refutar la teoría BKS.

La dispersión de Compton es uno de los cuatro procesos en competencia cuando los fotones interactúan con la materia. A energías de unos pocos eV a unos pocos keV, correspondientes a la luz visible a través de rayos X suaves, un fotón puede absorberse por completo y su energía puede expulsar un electrón de su átomo huésped, un proceso conocido como efecto fotoeléctrico. Los fotones de alta energía de 1,022 MeV y superiores pueden bombardear el núcleo y hacer que un electrón y un positrón se formarse, un proceso llamado producción de pares; fotones de energía aún más alta (más allá de un umbral de energía de al menos 1,670 MeV, dependiendo de los núcleos involucrado), puede expulsar un nucleón o una partícula alfa del núcleo en un proceso llamado fotodesintegración. La dispersión de Compton es la interacción más importante en la región de energía intermedia, a energías de fotones mayores que las típicas del efecto fotoeléctrico pero menores que el umbral de producción de pares.

Descripción del fenómeno

Fig. 2: Fotones de longitud de onda ${displaystyle lambda }$ viene de la izquierda, colides con un objetivo en reposo, y un nuevo foton de longitud de onda ${displaystyle lambda}$ emerge en un ángulo ${displaystyle theta }$. El objetivo retrocede, llevando una cantidad que depende del ángulo de la energía del incidente.

A principios del siglo XX, la investigación sobre la interacción de los rayos X con la materia estaba bien en marcha. Se observó que cuando los rayos X de una longitud de onda conocida interactúan con los átomos, los rayos X se dispersan a través de un ángulo ${displaystyle theta }$ y emerger en una longitud de onda diferente relacionada con ${displaystyle theta }$. Aunque el electromagnetismo clásico predijo que la longitud de onda de los rayos dispersos debe ser igual a la longitud de onda inicial, múltiples experimentos habían encontrado que la longitud de onda de los rayos dispersos era más larga (correspondiendo a la energía inferior) que la longitud de onda inicial.

En 1923, Compton publicó un artículo en Physical Review que explicaba el desplazamiento de los rayos X al atribuir un impulso similar a una partícula a los cuantos de luz (Einstein había propuesto los cuantos de luz en 1905 al explicar la foto- efecto eléctrico, pero Compton no se basó en el trabajo de Einstein). La energía de los cuantos de luz depende únicamente de la frecuencia de la luz. En su artículo, Compton derivó la relación matemática entre el cambio de longitud de onda y el ángulo de dispersión de los rayos X asumiendo que cada fotón de rayos X disperso interactuaba con un solo electrón. Su artículo concluye informando sobre experimentos que verificaron su relación derivada:

$${displaystyle lambda '-lambda ={frac {h}{m_{e}(1-cos {theta }}}$$

• ${displaystyle lambda }$ es la longitud de onda inicial,
• ${displaystyle lambda}$ es la longitud de onda después de la dispersión,
• ${displaystyle h}$ es la constante Planck,
• ${displaystyle m_{e}$ es la masa de reposo de electrones,
• ${displaystyle c}$ es la velocidad de la luz, y
• ${displaystyle theta }$ es el ángulo de dispersión.

La cantidad h/ m_ec se conoce como la longitud de onda Compton del electrón; es igual a 2.43×10⁻¹² m. El cambio de longitud de onda λ′ − λ es al menos cero (para θ = 0°) y como máximo el doble de la longitud de onda Compton del electrón (para θ = 180°).

Compton descubrió que algunos rayos X no experimentaron un cambio de longitud de onda a pesar de estar dispersos en ángulos grandes; en cada uno de estos casos, el fotón no pudo expulsar un electrón. Por lo tanto, la magnitud del cambio no está relacionada con la longitud de onda Compton del electrón, sino con la longitud de onda Compton del átomo completo, que puede ser hasta 10000 veces menor. Esto se conoce como "coherente" dispersando todo el átomo ya que el átomo permanece intacto, sin ganar excitación interna.

En los experimentos originales de Compton el cambio de longitud de onda dado anteriormente era el observable directamente mensurable. En experimentos modernos es convencional medir las energías, no las longitudes de onda, de los fotones dispersos. Para un determinado incidente de energía ${displaystyle E_{gamma }=hc/lambda }$, la energía de fotones del estado final, ${displaystyle E_{gamma }}$, se da por

$${displaystyle E_{gamma ^{prime }={frac {E_{gamma ##{1+(E_{gamma }/m_{e}c^{2})(1-cos theta)}}}$$

Derivación de la fórmula de dispersión

Fig. 3: Energias de un fotón a 500 keV y un electrón después de la dispersión de Compton.

Un fotón γ con longitud de onda λ choca con un electrón e en un átomo, que se trata como si estuviera en reposo. La colisión hace que el electrón retroceda y un nuevo fotón γ' con longitud de onda λ' emerge en un ángulo θ desde la ruta de entrada del fotón. Sea e' denote el electrón después de la colisión. Compton admitió la posibilidad de que la interacción a veces aceleraría el electrón a velocidades lo suficientemente cercanas a la velocidad de la luz como para requerir la aplicación de la teoría de la relatividad especial de Einstein para describir adecuadamente su energía y momento.

Al final del documento de Compton de 1923, reportó resultados de experimentos confirmando las predicciones de su fórmula de dispersión, apoyando así la suposición de que los fotones llevan impulso y energía cuantitativa. Al comienzo de su derivación, había postulado una expresión para el impulso de un fotón de equiparar la ya establecida relación masa-energía de Einstein ${displaystyle E=mc^{2}$ a las energías fotones cuantificadas ${displaystyle hf}$, que Einstein había postulado por separado. Si ${displaystyle mc^{2}=hf}$, la masa equivalente de fotones debe ser ${displaystyle hf/c^{2}$. El impulso del foton es entonces simplemente este tiempo efectivo de masa la velocidad invariante del foton c. Para un fotón, su impulso ${displaystyle p=hf/c}$, y así h puede sustituirse pc para todos los términos de impulso fotones que surgen en el curso de la derivación abajo. La derivación que aparece en el papel de Compton es más terse, pero sigue la misma lógica en la misma secuencia que la derivación siguiente.

La conservación de la energía ${displaystyle E}$ simplemente equipara la suma de las energías antes y después de la dispersión.

${displaystyle E_{gamma }+E_{e}=E_{gamma - ¿Qué?$

Compton postuló que los fotones llevan impulso; por lo tanto, a partir de la conservación del momento, los momentos de las partículas deberían estar relacionados de manera similar por

${displaystyle mathbf {p} _{gamma }=Mathbf {p} _{gamma "Mathbf [p] "$

en los que${displaystyle {}}$) se omitió en el supuesto de que es efectivamente cero.

Las energías de los fotones están relacionadas con las frecuencias por

${displaystyle E_{gamma }=hf}$

${displaystyle E_{gamma '=hf'$

donde h es la constante de Planck.

Antes del evento de dispersión, el electron es tratado lo suficientemente cerca de estar en reposo que su energía total consiste enteramente en la equivalencia de masa-energía de su masa (resto) ${displaystyle m_{e}$,

${displaystyle E_{e}=m_{e}c^{2}$

Después de la dispersión, la posibilidad de que el electrón se acelere a una fracción significativa de la velocidad de la luz requiere que su energía total se represente utilizando la relación relativista energía-cantidad

${displaystyle ¿Qué?$

Sustituyendo estas cantidades en la expresión de la conservación de la energía se obtiene

${displaystyle hf+m_{e}c^{2}=hf'+{sqrt {(p_{e'}c)^{2}+(m_{e}c^{2}}}}}}$

Esta expresión se puede usar para encontrar la magnitud del momento del electrón disperso,

$${displaystyle ¿Qué?$$

()1)

Tenga en cuenta que esta magnitud del impulso adquirido por el electrón (antes cero) supera la energía/c perdida por el foton,

${displaystyle {frac {}{c}{sqrt {hf-hf'+m_{e}c^{2}} {2}-m_{e}{2} {4}}} {f}} {f}}} {f}}}} {f}f} {hf-hf'}~}$

La ecuación (1) relaciona las diversas energías asociadas con la colisión. El cambio de momento del electrón implica un cambio relativista en la energía del electrón, por lo que no está simplemente relacionado con el cambio de energía que ocurre en la física clásica. El cambio de la magnitud del impulso del fotón no solo está relacionado con el cambio de su energía; implica también un cambio de dirección.

Resolviendo la expresión de conservación de la cantidad de movimiento para la cantidad de movimiento del electrón disperso se obtiene

${displaystyle mathbf {p} ¿Por qué? _{gamma '}$

Haciendo uso del producto escalar se obtiene el cuadrado de su magnitud,

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {p}_{e'}cdot mathbf {p}=(mathbf {p} _{gamma }-mathbf {p} _{gamma '})cdot (mathbf {p} _{gamma }-mathbf {p} ################################################################################################################################################################################################################################################################ }{,2}+p_{gamma ## {fnMicrosoft Sans Serif} },p_{gammacos theta.end{aligned}}$

En previsión de ${displaystyle p_{gamma }c}$ ser reemplazado por ${displaystyle hf}$, multiplicar ambos lados por ${displaystyle c^{2}$,

${displaystyle ¿Por qué? }{,2}c^{2}+p_{gamma ¿Qué? - ¿Qué?$

Después de reemplazar los términos del impulso de fotones ${displaystyle hf/c}$, obtenemos una segunda expresión para la magnitud del impulso del electrón dispersa,

$$[displaystyle p_{e'}{,2}c^{2}=(hf)^{2}+(hf')^{2}-2(hf)(hf')cos {theta }~$$

()2)

Igualar las expresiones alternativas para este impulso da

$[displaystyle (hf-hf'+m_{e}c^{2} {2}-m_{e}^{,2}c^{4}=left(hfright)^{2}+left(hf'right)^{2}-2h^{2}ff'cos {theta }$

que, después de evaluar el cuadrado y cancelar y reorganizar los términos, da como resultado

${displaystyle 2hfm_{e}c^{2}-2hf'm_{e}c^{2}=2h^{2}ff'left(1-cos theta right). }$

Dividir ambos lados por ${displaystyle 2hff'm_{e}c}$ rendimientos

${displaystyle {frac} {f}-{frac} {c}{f}={frac} {h}{m_{e}}left(1-cos theta right). }$

Finalmente, dado que fλ = f ' λ' = c,

$${displaystyle lambda '-lambda ={frac {h}{m_{e}(1-cos {theta)~.}$$

()3)

Además, se puede ver que el ángulo φ del electrón saliente con la dirección del fotón entrante está especificado por

$${displaystyle cot varphi =left(1+{frac {hf}{m_{e}c^{2}}}right)tan(theta /2)~}$$

()4)

Aplicaciones

Dispersión Compton

La dispersión de Compton es de suma importancia para la radiobiología, ya que es la interacción más probable de los rayos gamma y los rayos X de alta energía con los átomos en los seres vivos y se aplica en radioterapia.

La dispersión Compton es un efecto importante en la espectroscopia gamma que da lugar al borde Compton, ya que es posible que los rayos gamma se dispersen fuera de los detectores utilizados. La supresión de Compton se utiliza para detectar rayos gamma dispersos para contrarrestar este efecto.

Dispersión Compton magnética

La dispersión de Compton magnético es una extensión de la técnica mencionada anteriormente que implica la magnetización de una muestra de cristal golpeada con fotones polarizados circularmente de alta energía. Mediante la medición de la energía de los fotones dispersos y la inversión de la magnetización de la muestra, se generan dos perfiles Compton diferentes (uno para spin up momenta y otro para spin down momenta). Tomando la diferencia entre estos dos perfiles da el perfil magnético Compton (MCP), dado por ${displaystyle J_{text{mag}(mathbf {p} _{z}}$ - una proyección unidimensional de la densidad de giro electrones.

$${displaystyle J_{text{mag}(mathbf {p} _{z}={frac {1}{mu} }iint _{-infty }(n_{uparrow }(mathbf {p})-n_{downarrow }(mathbf {p}) ♪ Mathbf {p ♪ ¿Qué?$$

${displaystyle mu }$

${displaystyle n_{uparrow }(mathbf {p})}$

${displaystyle n_{downarrow }(mathbf {p})}$

Dado que este proceso de dispersión es incoherente (no existe una relación de fase entre los fotones dispersos), el MCP es representativo de las propiedades generales de la muestra y es una prueba del estado fundamental. Esto significa que el MCP es ideal para la comparación con técnicas teóricas como la teoría funcional de la densidad. El área bajo el MCP es directamente proporcional al momento de espín del sistema y, por lo tanto, cuando se combina con métodos de medición de momento total (como la magnetometría SQUID), se puede usar para aislar las contribuciones orbitales y de espín al momento total de un sistema.. La forma del MCP también da una idea del origen del magnetismo en el sistema.

Dispersión Compton inversa

La dispersión Compton inversa es importante en astrofísica. En astronomía de rayos X, se supone que el disco de acreción que rodea un agujero negro produce un espectro térmico. Los fotones de energía más baja producidos a partir de este espectro son dispersados a energías más altas por electrones relativistas en la corona circundante. Se supone que esto causa el componente de la ley de potencia en los espectros de rayos X (0,2–10 keV) de los agujeros negros en acreción.

El efecto también se observa cuando los fotones del fondo cósmico de microondas (CMB) se mueven a través del gas caliente que rodea un cúmulo de galaxias. Los fotones CMB son dispersados a energías más altas por los electrones en este gas, lo que resulta en el efecto Sunyaev-Zel'dovich. Las observaciones del efecto Sunyaev-Zel'dovich proporcionan un medio casi independiente del corrimiento al rojo para detectar cúmulos de galaxias.

Algunas instalaciones de radiación de sincrotrón dispersan la luz láser del haz de electrones almacenado. Esta retrodispersión de Compton produce fotones de alta energía en el rango de MeV a GeV que se utilizan posteriormente para experimentos de física nuclear.

Dispersión Compton inversa no lineal

La dispersión Compton inversa no lineal (NICS) es la dispersión de múltiples fotones de baja energía, dada por un campo electromagnético intenso, en un fotón de alta energía (rayos X o rayos gamma) durante la interacción con una partícula cargada, como un electrón. También se denomina dispersión Compton no lineal y dispersión Compton multifotónica. Es la versión no lineal de la dispersión Compton inversa en la que se alcanzan las condiciones de absorción multifotónica por parte de la partícula cargada debido a un campo electromagnético muy intenso, por ejemplo el producido por un láser.

La dispersión Compton inversa no lineal es un fenómeno interesante para todas las aplicaciones que requieren fotones de alta energía, ya que NICS es capaz de producir fotones con energía comparable a la energía en reposo de las partículas cargadas y superior. Como consecuencia, los fotones NICS se pueden usar para desencadenar otros fenómenos, como la producción de pares, la dispersión de Compton, las reacciones nucleares, y se pueden usar para probar efectos cuánticos no lineales y QED no lineales.