Disco aireado

En óptica, el disco Airy (o disco Airy) y el patrón Airy son descripciones del punto de luz mejor enfocado que un Se pueden fabricar lentes perfectas con una apertura circular, limitada por la difracción de la luz. El disco de Airy es de importancia en física, óptica y astronomía.

El patrón de difracción resultante de una apertura circular uniformemente iluminada tiene una región central brillante, conocida como disco de Airy, que junto con la serie de anillos concéntricos alrededor se denomina patrón de Airy. Ambos llevan el nombre de George Biddell Airy. El fenómeno del disco y los anillos se conocía antes de Airy; John Herschel describió la apariencia de una estrella brillante vista a través de un telescopio con gran aumento para un artículo sobre la luz de 1828 para la Enciclopedia Metropolitana:

...la estrella se ve entonces (en circunstancias favorables de ambiente tranquilo, temperatura uniforme, etc.) como un disco planetario perfectamente redondo, bien definido, rodeado de dos, tres, o más alternativamente oscuro y brillante anillos, que, si se examinan atentamente, se ven ligeramente coloreados en sus fronteras. Se suceden casi a intervalos iguales alrededor del disco central...

Airy escribió el primer tratamiento teórico completo que explica el fenómeno (su 1835 "Sobre la difracción de un objeto de vidrio con apertura circular").

Matemáticamente, el patrón de difracción se caracteriza por la longitud de onda de la luz que ilumina la apertura circular y el tamaño de la apertura. La apariencia del patrón de difracción se caracteriza además por la sensibilidad del ojo u otro detector utilizado para observar el patrón.

La aplicación más importante de este concepto es en cámaras, microscopios y telescopios. Debido a la difracción, el punto más pequeño en el que una lente o espejo puede enfocar un haz de luz es el tamaño del disco de Airy. Incluso si uno fuera capaz de hacer una lente perfecta, todavía existe un límite en la resolución de una imagen creada por dicha lente. Un sistema óptico en el que la resolución ya no está limitada por imperfecciones en las lentes sino sólo por la difracción se dice que está limitada por la difracción.

Tamaño

Lejos de la apertura, el ángulo en el que se produce el primer mínimo, medido desde la dirección de la luz entrante, viene dado por la fórmula aproximada:

$${displaystyle sin theta approx 1.22{frac {fnMicrode } {d}}$$

o, para ángulos pequeños, simplemente

$${displaystyle theta approx 1.22{frac {lambda } {d},}$$

Donde ${displaystyle theta }$ está en radians, ${displaystyle lambda }$ es la longitud de onda de la luz en metros, y ${displaystyle {d}$ es el diámetro de la abertura en metros. El ancho completo a medio máximo es dado por ${displaystyle theta _{mathrm [FWHM]=1.025{frac {lambda } {d}}$

Airy escribió esta relación como

$${displaystyle s={frac {2.76}{a}}$$

Donde ${displaystyle {}$ fue el ángulo del primer mínimo en segundos de arco, ${displaystyle {a}$ era el radio de la abertura en pulgadas, y la longitud de onda de la luz se suponía que eran 0.000022 pulgadas (560 nm; la media de longitudes de onda visibles). Esto es igual a la resolución angular de una abertura circular. El criterio de Rayleigh para apenas resolver dos objetos que son fuentes de luz de punto, como estrellas vistas a través de un telescopio, es que el centro del disco Airy para el primer objeto ocurre en el primer mínimo del disco Airy del segundo. Esto significa que la resolución angular de un sistema limitado por la difracción es dada por la misma fórmula.

Sin embargo, mientras que el ángulo en el que se produce el primer mínimo (que a veces se describe como el radio del disco de Airy) depende sólo de la longitud de onda y el tamaño de la apertura, la apariencia del patrón de difracción variará con la intensidad (brillo) de la fuente de luz. Debido a que cualquier detector (ojo, película, digital) utilizado para observar el patrón de difracción puede tener un umbral de intensidad para la detección, es posible que el patrón de difracción completo no sea evidente. En astronomía, los anillos exteriores frecuentemente no son visibles ni siquiera en una imagen muy ampliada de una estrella. Puede ser que ninguno de los anillos sea aparente, en cuyo caso la imagen de la estrella aparece como un disco (sólo el máximo central) en lugar de un patrón de difracción completo. Además, las estrellas más débiles aparecerán como discos más pequeños que las estrellas más brillantes, porque menos de su máximo central alcanza el umbral de detección. Aunque en teoría todas las estrellas u otras "fuentes puntuales" de una longitud de onda determinada y vistas a través de una apertura determinada tienen el mismo radio de disco de Airy caracterizado por la ecuación anterior (y el mismo tamaño de patrón de difracción), y difieren sólo en la intensidad, la apariencia es que las fuentes más débiles aparecen como discos más pequeños y las fuentes más brillantes aparecen como discos más grandes. Esto fue descrito por Airy en su trabajo original:

La rápida disminución de la luz en los anillos sucesivos explicará suficientemente la visibilidad de dos o tres anillos con una estrella muy brillante y la no visibilidad de anillos con una estrella débil. La diferencia de los diámetros de los puntos centrales (o discos espurios) de diferentes estrellas... también se explica por completo. Así el radio del disco espurioso de una estrella débil, donde la luz de menos de la mitad de la intensidad de la luz central no hace ninguna impresión en el ojo, es determinado por [s = 1.17/a], mientras que el radio del disco espurio de una estrella brillante, donde la luz de 1/10 la intensidad de la luz central es sensible, es determinado por [s = 1.97/a].

A pesar de esta característica del trabajo de Airy, el radio del disco de Airy a menudo se da simplemente como el ángulo del primer mínimo, incluso en los libros de texto estándar. En realidad, el ángulo del primer mínimo es un valor límite para el tamaño del disco de Airy y no un radio definido.

Ejemplos

Cámaras

Si dos objetos fotografiados por una cámara están separados por un ángulo lo suficientemente pequeño como para que sus discos Airy en el detector de la cámara comiencen a superponerse, los objetos ya no se pueden separar claramente en la imagen y comienzan a difuminarse. Se dice que dos objetos están recién resueltos cuando el máximo del primer patrón de Airy cae encima del primer mínimo del segundo patrón de Airy (el criterio de Rayleigh).

Por lo tanto, la separación angular más pequeña que pueden tener dos objetos antes de que se desdibujen significativamente está dada como se indicó anteriormente por

$${displaystyle sin theta =1.22,{frac {fnMicrode } {d}}$$

Por lo tanto, la capacidad del sistema para resolver detalles está limitada por la relación de λ/d. Cuanto mayor sea la apertura para una longitud de onda determinada, más finos serán los detalles que se pueden distinguir en la imagen.

Esto también se puede expresar como

$${displaystyle {frac {x}=1.22,{frac {lambda }{d}}}}$$

${displaystyle x}$

${displaystyle f}$

$${displaystyle x=1.22,{frac {fnMicrode {f}}}$$

${displaystyle {f} {f}} {f}} {f}}} {f}}} {f}}$

${displaystyle x}$

El ojo humano

El número f más rápido para el ojo humano es aproximadamente 2,1, lo que corresponde a una función de dispersión de puntos limitada por difracción con aproximadamente 1 μm de diámetro. Sin embargo, con este número f, la aberración esférica limita la agudeza visual, mientras que un diámetro de pupila de 3 mm (f/5,7) se aproxima a la resolución alcanzada por el ojo humano. La densidad máxima de conos en la fóvea humana es de aproximadamente 170.000 por milímetro cuadrado, lo que implica que la separación de los conos en el ojo humano es de aproximadamente 2,5 μm, aproximadamente el diámetro de la función de dispersión de puntos en f/5.

Rayo láser enfocado

Un rayo láser circular con intensidad uniforme a lo largo del círculo (un rayo de superficie plana) enfocado por una lente formará un patrón de disco de Airy en el foco. El tamaño del disco Airy determina la intensidad del láser en el foco.

Mira de puntería

Algunas miras para apuntar armas (por ejemplo, FN FNC) requieren que el usuario alinee una mira (mira trasera, cercana, es decir, que estará desenfocada) con una punta (que debe estar enfocada y superpuesta al objetivo) en el extremo del cañón. Al mirar a través de la mirilla, el usuario notará un disco Airy que ayudará a centrar la mira sobre el pasador.

Condiciones de observación

La luz procedente de una apertura circular uniformemente iluminada (o de un haz uniforme y plano) exhibirá un patrón de difracción de Airy lejos de la apertura debido a la difracción de Fraunhofer (difracción de campo lejano).

Las condiciones para estar en el campo lejano y exhibir un patrón Airy son: la luz entrante iluminando la abertura es una onda plana (sin variación de fase a través de la abertura), la intensidad es constante sobre el área de la abertura, y la distancia ${displaystyle R.$ desde la abertura donde se observa la luz difractada (la distancia de la pantalla) es grande en comparación con el tamaño de la abertura, y el radio ${displaystyle a}$ de la abertura no es demasiado mayor que la longitud de onda ${displaystyle lambda }$ de la luz. Las dos últimas condiciones pueden ser escritas formalmente ${displaystyle R títuloa.$

En la práctica, las condiciones para una iluminación uniforme se pueden cumplir colocando la fuente de iluminación lejos de la apertura. Si no se cumplen las condiciones para el campo lejano (por ejemplo, si la apertura es grande), el patrón de difracción Airy de campo lejano también se puede obtener en una pantalla mucho más cercana a la apertura utilizando una lente justo después de la apertura (o la lente). sí mismo puede formar la apertura). El patrón Airy se formará entonces en el foco de la lente en lugar de en el infinito.

Por lo tanto, el punto focal de un rayo láser circular uniforme (un rayo plano) enfocado por una lente también será un patrón de Airy.

En una cámara o sistema de imágenes, la lente del objetivo refleja un objeto lejano en la película o en el plano del detector, y el patrón de difracción del campo lejano se observa en el detector. La imagen resultante es una convolución de la imagen ideal con el patrón de difracción de Airy debido a la difracción de la apertura del iris o al tamaño finito de la lente. Esto conduce a la resolución finita de un sistema de lentes descrito anteriormente.

Formulación matemática

La intensidad del patrón de Airy sigue el patrón de difracción de Fraunhofer de una apertura circular, dado por el módulo cuadrado de la transformada de Fourier de la apertura circular:

$${displaystyle I(theta)=I_{0}left [{frac {2J_{1}(k,asin theta)}{k,asintheta }right]}{2}=I_{0}left[{2J_{1}(x}}{x}}right]}{2}{0}}}}}}}{0}}}}}}}}}}}}}{2}}}}}}}}}}}}}}{2}}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}} {}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$$

Donde ${displaystyle I_{0}$ es la intensidad máxima del patrón en el centro de disco Airy, ${displaystyle J_{1}$ es la función Bessel del primer tipo de orden uno, ${displaystyle k={2pi }/{lambda }$ es el número de onda, ${displaystyle a}$ es el radio de la abertura, y ${displaystyle theta }$ es el ángulo de observación, es decir, el ángulo entre el eje de la abertura circular y la línea entre el centro de apertura y el punto de observación. ${displaystyle x=kasin theta ={frac {2ccH00} a}{lambda }{frac {q} {R}},}$ Donde q es la distancia radial del punto de observación al eje óptico y R es su distancia a la abertura. Tenga en cuenta que el disco Airy dado por la expresión anterior sólo es válido para grande R, donde se aplica la difracción de Fraunhofer; el cálculo de la sombra en el campo cercano debe ser manejado usando la difracción de Fresnel.

Sin embargo, el patrón Airy exacto aparece a una distancia finita si se coloca una lente en la apertura. Entonces, el patrón Airy estará perfectamente enfocado a la distancia dada por la distancia focal de la lente (suponiendo que la luz colimada incida en la apertura) dada por las ecuaciones anteriores.

Los ceros de ${displaystyle J_{1}(x)}$ están en ${displaystyle x=kasin theta approx 3.8317,7.0156,10.1735,13.3237,16.4706dots.}$ De esto, sigue que el primer anillo oscuro en el patrón de difracción ocurre donde ${displaystyle kasin {theta }=3.8317dots}$ o

$${displaystyle sin theta approx {frac {3.83}{ka}={frac {3.83lambda }{2pi a}=1.22{frac {lambda ## {2a}=1.22{frac {fnMicrode } {d}}$$

Si se utiliza una lente para enfocar el patrón Airy a una distancia finita, entonces el radio ${displaystyle q_{1}$ del primer anillo oscuro en el plano focal se da solamente por la abertura numérica A (cercamente relacionado con el número f) por

$${displaystyle q_{1}=Rsin theta ################################################################################################################################################################################################################################################################ 1.22{R}{frac {lambda {}}=1.22 {frac {lambda}{2A}}$$

donde la apertura numérica A es igual al radio de apertura d/2 dividido por R', la distancia desde el centro de Airy patrón hasta el borde de la apertura. Viendo la apertura de radio d/2 y la lente como una cámara (ver diagrama arriba) proyectando una imagen en un plano focal a una distancia f, la apertura numérica A está relacionado con el número f comúnmente citado N= f/d (relación entre la distancia focal y el diámetro de la lente) según

$${displaystyle A={frac {f} {f}}={f}}}={f} {f} {f}} {f} {f}} {f} {f}}}}} {f} {f}}}}} {f}}}} {f}} {f}}}}} {f}f}f}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}f}f}}}f}}}}}}}}}}}}f}f}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f}} {f}f}} {f} {f}f} {f}}f}}}}}}}}f}f}}}f}}}}}}f}}}}}}}}} {1}{sqrt {4N^{2}+1}}}} {} {c}} {c} {c}}} {c}}} {c}}} {c}}} {c}}}}} {c}}}} {ccc}}}} {c}}}}}}}}}}} {$$

para N≫1 es simplemente aproximado ${textstyle Aapprox 1/2N.}$ Esto muestra que la mejor resolución de imagen posible de una cámara está limitada por la abertura numérica (y por lo tanto f-número) de su lente debido a la difusión.

El medio máximo del disco central de Airy (donde ${displaystyle 2J_{1}(x)/x=1/{sqrt {2}}$) ocurre en ${displaystyle x=1.61633995dots;}$ 1/e² punto (donde ${displaystyle 2J_{1}(x)/x=1/{e}$) ocurre en ${displaystyle x=2.583899dots}$ y el máximo del primer anillo se produce en ${displaystyle x=5.13562230dots.}$

La intensidad ${displaystyle I_{0}$ en el centro del patrón de difracción está relacionado con el poder total ${displaystyle P_{0}$ incidente en la abertura por

$${displaystyle I_{0}={frac {mathrm {E} ¿Qué? {fnK}A}{fnMicrosoft}.$$

Donde ${displaystyle mathrm {E}$ es la fuerza fuente por área unidad en la abertura, A es el área de la abertura (${displaystyle A=pi a^{2}$) y R es la distancia de la abertura. En el plano focal de una lente, ${displaystyle I_{0}=(P_{0}A)/(lambda ^{2}f^{2}). }$ La intensidad al máximo del primer anillo es alrededor del 1,75% de la intensidad en el centro del disco Airy.

La expresión ${displaystyle I(theta)}$ arriba se puede integrar para dar la potencia total contenida en el patrón de difracción dentro de un círculo de tamaño dado:

$${displaystyle P(theta)=P_{0}[1-J_{0} {2}(kasin theta)-J_{1}{2}(kasin theta)}}$$

Donde ${displaystyle J_{0}$ y ${displaystyle J_{1}$ son funciones de Bessel. De ahí las fracciones del poder total contenidas en los anillos primero, segundo y tercero oscuro (donde ${displaystyle J_{1}(kasin theta)=0}$) son 83,8%, 91,0% y 93,8% respectivamente.

Aproximación utilizando un perfil gaussiano

El patrón Airy cae bastante lentamente hasta cero a medida que aumenta la distancia desde el centro, y los anillos exteriores contienen una parte significativa de la intensidad integrada del patrón. Como resultado, el tamaño del punto de raíz cuadrática media (RMS) no está definido (es decir, es infinito). Una medida alternativa del tamaño del punto es ignorar los anillos exteriores relativamente pequeños del patrón de Airy y aproximar el lóbulo central con un perfil gaussiano, de modo que

$${displaystyle I(q)approx I'_{0}exp left({frac {-2q^{2}{omega ¿Qué?$$

Donde ${displaystyle Yo...$ es la irradiancia en el centro del patrón, ${displaystyle q}$ representa la distancia radial del centro del patrón, y ${textstyle omega ¿Qué?$ es el ancho Gaussian RMS (en una dimensión). Si equiparamos la amplitud máxima del patrón Airy y el perfil gaisiano, es decir, ${displaystyle Yo...$ y encontrar el valor ${textstyle omega ¿Qué?$ dar la aproximación óptima al patrón, obtenemos

${textstyle omega ################################################################################################################################################################################################################################################################ No.$

donde N es el número f. Si, por otro lado, deseamos hacer cumplir que el perfil gaussiano tenga el mismo volumen que el patrón Airy, entonces esto se convierte en

${textstyle omega ################################################################################################################################################################################################################################################################ N.}$

En la teoría de la aberración óptica, es común describir un sistema de imagen como Difracción limitada si el radio de disco Airy es más grande que el tamaño del RMS determinado de la localización de rayos geométricos (ver diseño de lente óptica). La aproximación del perfil gausiano proporciona un medio alternativo de comparación: usando la aproximación anterior muestra que la cintura gausiana ${textstyle omega ¿Qué?$ de la aproximación Gaussiana al disco Airy es aproximadamente dos tercios del radio de disco Airy, es decir. ${displaystyle 0,84lambda N.$ en contra ${displaystyle 1.22lambda N.}$

Patrón Airy oscurecido

También se pueden derivar ecuaciones similares para el patrón de difracción de Airy oscurecido, que es el patrón de difracción de una apertura o haz anular, es decir, una apertura (haz) circular uniforme oscurecida por un bloque circular en el centro. Esta situación es relevante para muchos diseños de telescopios reflectores comunes que incorporan un espejo secundario, incluidos los telescopios newtonianos y los telescopios Schmidt-Cassegrain.

$${displaystyle I(R)={frac {I_{0}{(1-epsilon ^{2} {2}}left({2J_{1}(x)}{x}}-{frac {2epsilon J_{1}(epsilon x)}{x}}}}derecha)}{2}}}}}}}}}}}}}{2}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}} {}}}}}}}{2}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$$

Donde ${displaystyle epsilon }$ es la relación de obscuración de abertura anular, o la relación del diámetro del disco oscurante y el diámetro de la abertura (beam). ${displaystyle left(0leq epsilon),1right),}$ y x se define como arriba: ${displaystyle x=kasin(theta)approx {fnMicroc} R}{lambda No.$ Donde ${displaystyle R.$ es la distancia radial en el plano focal del eje óptico, ${displaystyle lambda }$ es la longitud de onda y ${displaystyle N}$ es el número f del sistema. La energía fraccionada (la fracción de la energía total contenida en un círculo de radio) ${displaystyle R.$ centrado en el eje óptico en el plano focal) se da por:

$${displaystyle E(R)={1}{(1-epsilon ^{2}}left} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$$

Para ${displaystyle epsilon rightarrow 0}$ las fórmulas reducen a las versiones no comprobadas arriba.

El efecto práctico de tener una obstrucción central en un telescopio es que el disco central se vuelve ligeramente más pequeño y el primer anillo brillante se vuelve más brillante a expensas del disco central. Esto se vuelve más problemático con telescopios de distancia focal corta que requieren espejos secundarios más grandes.

Comparación con el enfoque del haz gaussiano

Un rayo láser circular con perfil de intensidad uniforme, enfocado por una lente, formará un patrón Airy en el plano focal de la lente. La intensidad en el centro del foco será ${displaystyle I_{0,Airy}=(P_{0}A)/(lambda ^{2}f^{2}}$ Donde ${displaystyle P_{0}$ es el poder total de la viga, ${displaystyle A=pi D^{2}/4}$ es el área de la viga (${displaystyle D}$ es el diámetro del haz), ${displaystyle lambda }$ es la longitud de onda, y ${displaystyle f}$ es la longitud focal de la lente.

Se cortará un haz Gaussiano transmitido a través de una abertura dura. La energía se pierde y la difracción del borde se produce efectivamente aumentando la divergencia. Debido a estos efectos hay un diámetro de haz Gaussiano que maximiza la intensidad en el campo lejano. Esto ocurre cuando ${displaystyle 1/e^{2}$ el diámetro del Gaussian es el 89% del diámetro de la abertura, y la intensidad del eje en el campo lejano será el 81% de la que se produce por un perfil de intensidad uniforme.

Notas y referencias