Dipolo

El campo magnético de una esfera con un polo magnético norte en la parte superior y un polo magnético sur en la parte inferior. En comparación, la Tierra tiene un sur polo magnético cerca de su polo geográfico norte y un norte polo magnético cerca de su polo sur.

En física, un dipolo (del griego δίς (dis) 'dos veces', y < /i>πόλος (polos) 'axis') es un fenómeno electromagnético que ocurre de dos formas:

• Un dipolo eléctrico se ocupa de la separación de las cargas eléctricas positivas y negativas encontradas en cualquier sistema electromagnético. Un ejemplo simple de este sistema es un par de cargos de igual magnitud pero el signo opuesto separado por una distancia típicamente pequeña. (Una dipola eléctrica permanente se llama electret.)
• Un dipolo magnético es la circulación cerrada de un sistema de corriente eléctrica. Un ejemplo simple es un solo bucle de alambre con corriente constante a través de él. Un imán de barra es un ejemplo de un imán con un momento permanente de dipolo magnético.

Los dipolos, ya sean eléctricos o magnéticos, se pueden caracterizar por su momento dipolar, una cantidad vectorial. Para el dipolo eléctrico simple, el momento dipolar eléctrico apunta desde la carga negativa hacia la carga positiva, y tiene una magnitud igual a la fuerza de cada carga multiplicada por la separación entre las cargas. (Para ser precisos: para la definición del momento dipolar, siempre se debe considerar el "límite dipolar", donde, por ejemplo, la distancia de las cargas generadoras debe convergir a 0 mientras que simultáneamente, la intensidad de la carga debería divergir hasta el infinito de tal manera que el producto permanezca como una constante positiva).

Para el bucle de corriente magnético (dipolo), el momento dipolar magnético apunta a través del bucle (de acuerdo con la regla de agarre de la mano derecha), con una magnitud igual a la corriente en el bucle multiplicada por el área del bucle.

Al igual que los bucles de corriente magnética, la partícula de electrones y algunas otras partículas fundamentales tienen momentos dipolares magnéticos, ya que un electrón genera un campo magnético idéntico al generado por un bucle de corriente muy pequeño. Sin embargo, el momento dipolar magnético de un electrón no se debe a un bucle de corriente, sino a una propiedad intrínseca del electrón. El electrón también puede tener un momento dipolar eléctrico aunque aún no se ha observado (ver momento dipolar eléctrico del electrón).

Parcela de contorno del potencial electrostático de un dipolo eléctrico horizontalmente orientado de tamaño infinitesimal. Colores fuertes indican mayor y menor potencial (donde se ubican los cargos opuestos del dipolo).

Un imán permanente, como un imán de barra, debe su magnetismo al momento dipolar magnético intrínseco del electrón. Los dos extremos de un imán de barra se denominan polos (que no deben confundirse con los monopolos, consulte la Clasificación a continuación) y pueden etiquetarse como "norte" y "sur". En términos del campo magnético de la Tierra, son respectivamente "buscadores del norte" y "buscando el sur" polos: si el imán estuviera suspendido libremente en el campo magnético de la Tierra, el polo que busca el norte apuntaría hacia el norte y el polo que busca el sur apuntaría hacia el sur. El momento dipolar de la barra magnética apunta desde su polo sur magnético hasta su polo norte magnético. En una brújula magnética, el polo norte de un imán de barra apunta al norte. Sin embargo, eso significa que el polo norte geomagnético de la Tierra es el polo sur (polo que busca el sur) de su momento dipolar y viceversa.

Los únicos mecanismos conocidos para la creación de dipolos magnéticos son los bucles de corriente o el espín de la mecánica cuántica, ya que nunca se ha demostrado experimentalmente la existencia de monopolos magnéticos.

Clasificación

Líneas de campo eléctrico de dos cargos opuestos separados por una distancia finita.

Líneas de campo magnético de una corriente de anillo de diámetro finito.

Líneas de campo de un dipolo de punto de cualquier tipo, eléctrico, magnético, acústico, etc.

Un dipolo físico consta de dos cargas puntuales iguales y opuestas: en sentido literal, dos polos. Su campo a grandes distancias (es decir, distancias grandes en comparación con la separación de los polos) depende casi por completo del momento dipolar como se definió anteriormente. Un dipolo (eléctrico) puntual es el límite que se obtiene dejando que la separación tienda a 0 manteniendo fijo el momento dipolar. El campo de un dipolo puntual tiene una forma particularmente simple, y el término de orden 1 en el desarrollo multipolar es precisamente el campo del dipolo puntual.

Aunque no se conocen monopolos magnéticos en la naturaleza, existen dipolos magnéticos en forma de espín mecánico-cuántico asociados con partículas como los electrones (aunque la descripción precisa de tales efectos queda fuera del electromagnetismo clásico). Un dipolo puntual magnético teórico tiene un campo magnético de exactamente la misma forma que el campo eléctrico de un dipolo eléctrico puntual. Un bucle muy pequeño que transporta corriente es aproximadamente un dipolo de punto magnético; el momento dipolar magnético de tal lazo es el producto de la corriente que fluye en el lazo y el área (vector) del lazo.

Cualquier configuración de cargas o corrientes tiene un 'momento dipolar', que describe el dipolo cuyo campo es la mejor aproximación, a grandes distancias, al de la configuración dada. Este es simplemente un término en la expansión multipolar cuando la carga total ('momento monopolar') es 0, como siempre para el caso magnético, ya que no hay monopolos magnéticos. El término dipolo es el dominante a grandes distancias: su campo cae en proporción a 1/r³, en comparación con 1/r ⁴ para el siguiente término (cuadrupolo) y potencias superiores de 1/r para términos más altos, o 1/r² para el término monopolo.

Dipolos moleculares

Muchas moléculas tienen tales momentos dipolares debido a distribuciones no uniformes de cargas positivas y negativas en los distintos átomos. Tal es el caso de los compuestos polares como el fluoruro de hidrógeno (HF), donde la densidad de electrones se comparte de manera desigual entre los átomos. Por tanto, el dipolo de una molécula es un dipolo eléctrico con un campo eléctrico inherente que no debe confundirse con un dipolo magnético, que genera un campo magnético.

El químico físico Peter J. W. Debye fue el primer científico en estudiar los dipolos moleculares de forma exhaustiva y, como consecuencia, los momentos dipolares se miden en la unidad ajena al SI llamada debye en su honor.

Para las moléculas hay tres tipos de dipolos:

Dipoles permanentes

Estos ocurren cuando dos átomos en una molécula tienen electronegatividad sustancialmente diferente: Un átomo atrae a electrones más que otro, convirtiéndose en más negativo, mientras que el otro átomo se vuelve más positivo. Una molécula con un momento de dipole permanente se llama polar molécula. Ver atracciones dipole-dipole.

Dipoles instantáneos

Estos ocurren debido a la posibilidad de que los electrones se concentren más en un lugar que en otra molécula, creando un dipolo temporal. Estas dipoles son de menor magnitud que las dipoles permanentes, pero siguen desempeñando un papel importante en la química y la bioquímica debido a su prevalencia. Ver dipolo instantáneo.

Dipoles inducidos

Estos pueden ocurrir cuando una molécula con un dipolo permanente repele los electrones de otra molécula, induciendo un momento dipole en esa molécula. Una molécula es polarizada cuando lleva una dipola inducida. Vea la atracción inducida-dipole.

Más generalmente, un dipolo inducido de cualquier distribución de carga polarizable ρ (recuerde que una molécula tiene una distribución de carga) es causado por un campo eléctrico externo a ρ. Este campo puede, por ejemplo, originarse a partir de un ion o una molécula polar en la vecindad de ρ o puede ser macroscópico (por ejemplo, una molécula entre las placas de un capacitor cargado). El tamaño del momento dipolar inducido es igual al producto de la fuerza del campo externo y la polarizabilidad del dipolo de ρ.

Los valores del momento dipolar se pueden obtener a partir de la medición de la constante dieléctrica. Algunos valores típicos de la fase gaseosa en unidades Debye son:

• dióxido de carbono: 0
• monóxido de carbono: 0.112 D
• ozono: 0,53 D
• fosgeno: 1.17 D
• NH3 tiene un momento dipolo de 1.42 D
• vapor de agua: 1,85 D
• cianuro de hidrógeno: 2.98 D
• cyanamida: 4,27 D
• bromuro de potasio: 10,41 D

La molécula lineal CO₂ tiene un dipolo cero mientras las dos dipoles de bono cancelan.

El bromuro de potasio (KBr) tiene uno de los momentos dipolares más altos porque es un compuesto iónico que existe como molécula en la fase gaseosa.

La molécula doblada H₂O tiene un dipolo neto. Las dos dipoles de bonos no cancelan.

El momento dipolar general de una molécula se puede aproximar como una suma vectorial de los momentos dipolares de enlace. Como suma vectorial, depende de la orientación relativa de los enlaces, por lo que a partir del momento dipolar se puede deducir información sobre la geometría molecular.

Por ejemplo, el dipolo cero del CO₂ implica que los dos momentos dipolares del enlace C=O se cancelan, por lo que la molécula debe ser lineal. Para H₂O, los momentos de enlace O−H no se cancelan porque la molécula está doblada. Para el ozono (O₃), que también es una molécula doblada, los momentos dipolares de enlace no son cero aunque los enlaces O−O se encuentren entre átomos similares. Esto concuerda con las estructuras de Lewis para las formas de resonancia del ozono que muestran una carga positiva en el átomo de oxígeno central.

Cis isomer, dipole moment 1.90 D

Trans isomer, dipole momento cero

Un ejemplo en química orgánica del papel de la geometría en la determinación del momento dipolar son los isómeros cis y trans del 1,2-dicloroeteno. En el isómero cis, los dos enlaces C−Cl polares están en el mismo lado del doble enlace C=C y el momento dipolar molecular es 1,90 D. En el isómero trans, el momento dipolar es cero porque los dos enlaces C−Cl están en lados opuestos de C=C y se cancelan (y los dos momentos de enlace para los enlaces C−H mucho menos polares también se cancelan).

Otro ejemplo del papel de la geometría molecular es el trifluoruro de boro, que tiene tres enlaces polares con una diferencia de electronegatividad mayor que el umbral tradicionalmente citado de 1,7 para el enlace iónico. Sin embargo, debido a la distribución triangular equilátera de los iones de fluoruro centrados en el mismo plano que el catión de boro, la simetría de la molécula hace que su momento dipolar sea cero.

Operador dipolo mecánico cuántico

Considere una colección de N partículas con cargas q_i y vectores de posición r_i. Por ejemplo, esta colección puede ser una molécula formada por electrones, todos con carga −e, y núcleos con carga eZ_i, donde Z_i es el número atómico del núcleo i ésimo. El dipolo observable (cantidad física) tiene el operador dipolo mecánico cuántico:

${displaystyle {Mathfrak}=sum} ¿Qué? - ¿Qué?$

Observe que esta definición es válida solo para átomos o moléculas neutrales, es decir, carga total igual a cero. En el caso ionizado, tenemos

${displaystyle {Mathfrak}=sum} ¿Qué? ¿Qué?$

Donde ${displaystyle mathbf {r} ¿Qué?$ es el centro de masa de la molécula/grupo de partículas.

Dipolos atómicos

Un átomo no degenerado (estado S) solo puede tener un dipolo permanente cero. Este hecho se sigue mecánicamente cuánticamente de la simetría de inversión de los átomos. Los 3 componentes del operador dipolar son antisimétricos bajo inversión con respecto al núcleo,

${fnMicrok}; {fnMicrok} {p};{sfnMithfrak {I} {fn}=- {fnMithfrak}}$

Donde ${displaystyle {Mathfrak}}$ es el operador de dipole y ${displaystyle {fnK}}$ es el operador de inversión.

El momento dipolar permanente de un átomo en un estado no degenerado (ver nivel de energía degenerado) se da como el valor esperado (promedio) del operador dipolar,

${displaystyle leftlangle {Mathfrak {p}rightrangle =leftlangle ,S, sometida{mathfrak {p}Sobreviviente,S,rightrangle}$

Donde ${displaystyle.$ es un S- estado, no degenerado, funcionamiento de onda, que es simétrico o antisimétrico bajo inversión: ${displaystyle {mathfrak {fnMicrosoft Sans Serif},S,rangle =pm.$. Ya que el producto de la función de onda (en el ket) y su complejo conjugado (en el sujetador) siempre es simétrico bajo la inversión y su inverso,

${displaystyle leftlangle {Mathfrak {p}rightrangle =leftlangle ,{mathfrak {I} {fnMicrosoft Sans, inmortales {fnMicrosoft Sans Serif} {I}}{-1}, S,rightrangle =leftlangle,S, arrest{mathfrak {I},{mthfrak {p},{\mthfrak [I]} {-1} sobreviviendo, S,rightrangle =-leftlangle {mathfrak {p}rightrangle }$

sigue que los cambios de valor de expectativa se registran bajo inversión. Usamos aquí el hecho de que ${displaystyle {fnK}}$, ser un operador de simetría, es unitario: ${fnMicrok} {fnK}= {fnMicrok} {I} {fnMicrosoft Sans Serif}$ y por definición el adjoint de Hermitian ${fnMicrosoft Sans Serif}$ puede ser movido de sujetador a ket y luego se convierte ${fnMicrok} {fnK}= {fnMicrok} {\fnK}} {\fnK}} {\fnK}}}\fnK}}\fnK}\\fn\\\fnK}}\\fnK\fnK}}}\\\\fnK}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnK\\fnKh}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {I},}$. Puesto que la única cantidad que es igual a menos en sí es el cero, el valor de expectativa desaparece,

${displaystyle leftlangle {Mathfrak {p}rightrangle =0.}$

En el caso de átomos de capa abierta con niveles de energía degenerados, se podría definir un momento dipolar con la ayuda del efecto Stark de primer orden. Esto da un dipolo que no se desvanece (por definición proporcional a un cambio de Stark de primer orden que no se desvanece) solo si algunas de las funciones de onda que pertenecen a las energías degeneradas tienen paridad opuesta; es decir, tienen un comportamiento diferente bajo inversión. Esto es una ocurrencia rara, pero sucede para el átomo H excitado, donde los estados 2s y 2p son 'accidentalmente'. degenerados (ver el artículo Vector de Laplace-Runge-Lenz para conocer el origen de esta degeneración) y tienen paridad opuesta (2s es par y 2p es impar).

Campo de un dipolo magnético estático

Magnitud

La intensidad de campo lejano, B, de un campo magnético dipolar viene dada por

${displaystyle B(m,r,lambda)={frac {mu _{0}{4pi {fnMicroc} {fnMicrosoft Sans Serif}},}$

dónde

B es la fuerza del campo, medido en teslas

r es la distancia del centro, medida en metros

λ es la latitud magnética (igual a 90°)SilencioDonde Silencio es la colatitud magnética, medida en radios o grados del eje dipole

m es el momento de la dipole, medido en metros cuadrados amperios o joules por tesla

μ₀ es la permeabilidad del espacio libre, medido en henries por metro.

La conversión a coordenadas cilíndricas se logra usando r² = z² + ρ² y

${displaystyle lambda =arcsin left({frac {Z}{2}}derecha)}$

donde ρ es la distancia perpendicular desde el eje z. Después,

${displaystyle B(rhoz)={frac {mu {0}m}{4pileft(z^{2}+rho ^{2}right)^{frac {3}{2}}{sqrt {1+{frac {3z^{2}{2}}}}}}} {c}}}}} {c}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

Forma vectorial

El campo en sí es una cantidad vectorial:

${displaystyle mathbf {B} (mathbf {m}mathbf {r})={frac {mu _{0}{4pi}} {fnh} {fnh}} {fnh}} {fnh}} {fnh}} {fn}} {fnfn} {fnfnh}}} {fnfnfnf}} {fnf}fnH00}fnf}}}} {f}}}}}f}}} {f}f}}} {f}f}f}f}f}f}f}}}}}}f}f}} {f}}}}f}f}}}}}}}f}f}f} {f}}f}} {f}}}}} {f}} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnf}f}f}f}f}}f}}}}} }-Mathbf {m} - Sí.$

dónde

B es el campo

r es el vector desde la posición de la dipole a la posición donde se mide el campo

r es el valor absoluto de r: la distancia de la dipole

r̂ = r/r es el vector de unidad paralelo a r;

m es el momento de la dipole (vector)

μ₀ es la permeabilidad del espacio libre

Este es exactamente el campo de un dipolo puntual, exactamente el término dipolar en la expansión multipolar de un campo arbitrario, y aproximadamente el campo de cualquier configuración tipo dipolo a grandes distancias.

Potencial de vector magnético

El potencial vectorial A de un dipolo magnético es

${displaystyle mathbf {A} (mathbf {r})={frac {mu _{0}{4pi {fnMitbf {fnMicrosoft Sans Serif} {}} {} {}}}} {}}}} {}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}} {}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {} {}} {}}}}}}}}} {} {}} {}} {}}}} {}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}} {} {}}}} {}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

con las mismas definiciones que arriba.

Campo de un dipolo eléctrico

El potencial electrostático en la posición r debido a un dipolo eléctrico en el origen viene dado por:

${displaystyle Phi (mathbf {r})={frac {1}{4pi epsilon _{0}}},{frac {mathbf {p} cdot {hat {mathbf {r} {}} {} {}}}} {}}}} {}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}} {}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {} {}} {}}}}}}}}} {} {}} {}} {}}}} {}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}} {} {}}}} {}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

donde p es el momento dipolar (vectorial) y є₀ es la permitividad del espacio libre.

Este término aparece como el segundo término en la expansión multipolar de un potencial electrostático arbitrario Φ(r). Si la fuente de Φ(r) es un dipolo, como se supone aquí, este término es el único término que no desaparece en la expansión multipolar de Φ(r). El campo eléctrico de un dipolo se puede encontrar a partir del gradiente de este potencial:

${displaystyle mathbf {E} =-nabla Phi ={frac {1}{4pi epsilon _{0}\fn} {fnK} {f}} {fnK}}} {fnh}} {f}} {f} {fn}}} {fn}} {fnf}} {fnfnfnf}} {fnH0}} {fnfnH00}}}} {f}f}f}f}}}}} {f}f}}}}}f}}f}}}}}}}} { {fnMicrosoft} }{3epsilon - Sí.$

Tiene la misma forma que la expresión del campo magnético de un dipolo magnético puntual, ignorando la función delta. Sin embargo, en un dipolo eléctrico real, las cargas están físicamente separadas y el campo eléctrico diverge o converge en las cargas puntuales. Esto es diferente al campo magnético de un dipolo magnético real que es continuo en todas partes. La función delta representa el fuerte campo que apunta en la dirección opuesta entre las cargas puntuales, que a menudo se omite ya que uno rara vez está interesado en el campo en la posición del dipolo. Para obtener más información sobre el campo interno de los dipolos, consulte o Momento magnético # Campo magnético interno de un dipolo.

Par en un dipolo

Dado que la dirección de un campo eléctrico se define como la dirección de la fuerza sobre una carga positiva, las líneas del campo eléctrico se alejan de una carga positiva y apuntan hacia una carga negativa.

Cuando se coloca en un campo eléctrico o magnético homogéneo, surgen fuerzas iguales pero opuestas en cada lado del dipolo creando un par τ}:

${displaystyle {boldsymbol {tau }=mathbf {p} times mathbf {E}$

para un momento dipolar eléctrico p (en coulomb-metros), o

${displaystyle {boldsymbol {tau }=mathbf {m} times mathbf {B}$

para un momento dipolar magnético m (en amperios-metros cuadrados).

El par resultante tenderá a alinear el dipolo con el campo aplicado, que en el caso de un dipolo eléctrico produce una energía potencial de

${displaystyle U=-mathbf {p} cdot mathbf {E}$.

La energía de un dipolo magnético es similar

${displaystyle U=-mathbf {m} cdot mathbf {B}$.

Radiación dipolar

Modulo del vector Poynting para un dipolo eléctrico oscilante (solución exacta). Los dos cargos se muestran como dos puntos negros pequeños.

Además de los dipolos en electrostática, también es común considerar un dipolo eléctrico o magnético que oscila en el tiempo. Es una extensión, o un próximo paso más físico, a la radiación de onda esférica.

En particular, considere un dipolo eléctrico que oscila armónicamente, con una frecuencia angular ω y un momento dipolar p₀ a lo largo del ẑ dirección del formulario

${displaystyle mathbf {p} (mathbf {r}t)=mathbf {p} (mathbf {r})e^{-iomega {fnMicrosoft Sans Serif} }e^{-iomega t}$

En el vacío, el campo exacto producido por este dipolo oscilante se puede derivar usando la formulación de potencial retardado como:

${displaystyle {begin{aligned}mathbf {E}={frac} {1}{4pi varepsilon {fnK} {fnMitbf {}fnMitbf {f}fnMicrosoft Sans Serif} {fnMitbf {f}fnMitbf {f}fnMicrosoft {f}fnMicrosoft {f}fnMicrosoft {f}fnMicrosoft {f}f}f}f}fnMicrosoft}f}fnMicrosoft {f}f}fnMicrosoft {f}f}fnMicrosoft}fnMis {fnMicrosoft}fnMis {f}f}fnMicrosoft {fnMis {fnMis {fnMis {fnMis}f}f}fnMicrosoft}fnMicrosoft}fnMicrosoft}fnMicrosoft}fnMicrosoft}f}fn {f} {f} {f} {f} {f} {f}f}}m}}}m} {cr}} {f} {f} {f} {f} {f}cHFF}}}cdotmathb} {m} {cH00}cH00}cH0}cH00}cH00}cH0}cH0}cH00}cH00} {cH00} {cH00} {cH00} {cH00}cH00}cH00}cH00}cH00} {ccH00}cH00}cH00} {cH00}}cH00}cH00}cH00}cH00} {cH00}cH00}cH00}}ccH00}}cH00}}}}}}}}c {B}={f} {fnK} {fnK} {fnK}} {fnK}} {f}} {f}}} {f}} {fnK}}} {f}}} {f}}} {f}}} {f} {f}}f}}}}}} {f}f}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}}}}f}f}}}}}}}}}}}}}}}f}}}f}}} {f} {f}}f}}}}}}f}f}f} {f} {f}}f}}f}f}}}}}}}}}}}}}f}}}}}}}}} ###times mathbf {p}]left(1-{frac {c}{iomega r}right){frac {e^{iomega {fnMiega t} {}}}$

Para rω/< /span>c ≫ 1, el campo lejano toma la forma más simple de una radiación "esférica" onda, pero con dependencia angular incrustada en el producto cruzado:

${displaystyle {begin{aligned}mathbf {B}={frac {omega ^{2}{4pivarepsilon _{0}c^{3}}} {hat {mathbf {r}}times mathbf {p}{0} {frac {e^{iomega (r/c-t)}}{r}{} {fracf} {f} {f} {f}} {f}}}} {f}}}} {f}}} {f} {f}}}}f}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}f}f}f}}f} {f} {f}f}}}}}}f}f} {f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}}}=-{frac {omega ^{2}mu ################################################################################################################################################################################################################################################################ "Mathbf" {B} times {hat {mathbf {r} }=-{frac {omega ^{2}mu {0}p_{0} {4pi}}sin(theta)left({hat {phi }times mathbf {hat {hat {}} {right){frac {e^{iomega (r/c-t)}}}{frac {omega }{2}mu)}} {m}}}}} {f}} {f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnMitf}f}f}fnMitf}f}f}fnMitfnMitfnMitf}fnKf}fnKf}f}fn {fnK} {fnK} {fnK}} {fnK}}} {fnK}}} {fn}} {theta}}}end{aligned}}}$

El vector de Poynting promediado en el tiempo

${displaystyle langle mathbf {S} rangle =left({frac {mu} ## {0}p_{0} {2}omega {fnMicrosoft Sans Serif}$

no se distribuye isotrópicamente, sino que se concentra alrededor de las direcciones perpendiculares al momento dipolar, como resultado de las ondas eléctricas y magnéticas no esféricas. De hecho, la función armónica esférica (sen θ) responsable de tal distribución angular toroidal es precisamente la l = 1 "p" onda.

La potencia total promedio en el tiempo radiada por el campo se puede derivar del vector de Poynting como

${displaystyle P={frac {fnMicroc} ################################################################################################################################################################################################################################################################ ^{4}p_{0}{2}{12pi }$

Tenga en cuenta que la dependencia de la potencia de la cuarta potencia de la frecuencia de la radiación está de acuerdo con la dispersión de Rayleigh y los efectos subyacentes por los que el cielo se compone principalmente de color azul.

Un dipolo polarizado circular se describe como una superposición de dos dipolos lineales.