Diofanto

Título de la edición original 1621 de la traducción latina por Claude Gaspard Bachet de Méziriac de Diophantus Arithmetica

Diofanto de Alejandría (griego antiguo: Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς; nacido probablemente entre los años 200 y 214 d. C.; muerto alrededor de los 84 años, probablemente en algún momento entre el 284 y el 298 d.C.) fue un matemático alejandrino, autor de una serie de libros llamados Arithmetica, muchos de los cuales ahora se han perdido. Sus textos tratan sobre la resolución de ecuaciones algebraicas. Las ecuaciones diofánticas ("geometría diofántica") y las aproximaciones diofánticas son áreas importantes de la investigación matemática. Diofanto acuñó el término παρισότης (parisotes) para referirse a una igualdad aproximada. Este término se tradujo como adaequalitas en latín, y se convirtió en la técnica de adecuación desarrollada por Pierre de Fermat para encontrar máximos para funciones y líneas tangentes a curvas. Diofanto fue el primer matemático griego que reconoció las fracciones como números; así permitió números racionales positivos para los coeficientes y soluciones. En el uso moderno, las ecuaciones diofánticas suelen ser ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros, para las que se buscan soluciones enteras.

Biografía

Poco se sabe sobre la vida de Diofanto. Vivió en Alejandría, Egipto, durante la era romana, probablemente entre el 200 y el 214 d. C. hasta el 284 o 298. Los historiadores han descrito a Diofanto de diversas formas como griego, posiblemente egipcio helenizado o babilónico helenizado. Las dos últimas identificaciones puede deberse a una confusión con el retórico del siglo IV Diofanto el árabe. Gran parte de nuestro conocimiento sobre la vida de Diofanto se deriva de una antología griega del siglo V de juegos de números y acertijos creados por Metrodoro. Uno de los problemas (a veces llamado su epitafio) dice:

Aquí está Diophantus, la maravilla.

A través del arte algebraico, la piedra dice lo viejo:

Dios le dio su infancia una sexta parte de su vida,

Una duodécima más cuando los silbidos crecieron rife;

Y luego comenzó el matrimonio de la séptima época;

En cinco años vino un nuevo hijo.

Alas, el querido hijo de maestro y sabio

Después de alcanzar la mitad de la medida de la vida fría de su padre le tomó el destino. Después de consolar su destino por la ciencia de los números durante cuatro años, terminó su vida. '

Este rompecabezas implica que Diofanto' edad x se puede expresar como

x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4

lo que le da a x un valor de 84 años. Sin embargo, no se puede confirmar la exactitud de la información.

En la cultura popular, este acertijo era el Acertijo n.° 142 en El profesor Layton y la caja de Pandora como uno de los acertijos más difíciles de resolver del juego, que debía desbloquearse resolviendo otros rompecabezas primero.

Aritmética

Arithmetica es el trabajo principal de Diofanto y el trabajo más destacado sobre álgebra en las matemáticas griegas. Es una colección de problemas que dan soluciones numéricas de ecuaciones determinadas e indeterminadas. De los trece libros originales de los que constaba Arithmetica, sólo han sobrevivido seis, aunque hay quienes creen que cuatro libros árabes descubiertos en 1968 también son de Diofanto. Algunos problemas diofánticos de Arithmetica se han encontrado en fuentes árabes.

Debe mencionarse aquí que Diofanto nunca usó métodos generales en sus soluciones. Hermann Hankel, renombrado matemático alemán, hizo el siguiente comentario con respecto a Diofanto.

“Nuestro autor (Diophantos) no es perceptible ni el más mínimo rastro de un método general y completo; cada problema requiere algún método especial que se niega a funcionar incluso para los problemas más estrechamente relacionados. Por esta razón, es difícil para el erudito moderno resolver el problema 101 incluso después de haber estudiado 100 de las soluciones de Diofanto”.

Historia

Al igual que muchos otros tratados matemáticos griegos, Diofanto fue olvidado en Europa occidental durante la Edad Media, ya que el estudio del griego antiguo y la alfabetización en general habían disminuido considerablemente. Sin embargo, la parte de la Arithmetica griega que sobrevivió, como todos los textos griegos antiguos transmitidos al mundo moderno temprano, fue copiada por eruditos bizantinos medievales y, por lo tanto, conocida por ellos. Los escolios sobre Diofanto del erudito griego bizantino John Chortasmenos (1370-1437) se conservan junto con un comentario completo escrito por el erudito griego anterior Maximos Planudes (1260-1305), quien produjo una edición de Diofanto dentro de la biblioteca del Monasterio de Chora en Constantinopla bizantina. Además, una parte de la Arithmetica probablemente sobrevivió en la tradición árabe (ver arriba). En 1463, el matemático alemán Regiomontanus escribió:

“Nadie ha traducido aún del griego al latín los trece libros de Diophantus, en los que se esconde la misma flor de toda la aritmética... ”

Arithmetica fue traducida por primera vez del griego al latín por Bombelli en 1570, pero la traducción nunca se publicó. Sin embargo, Bombelli tomó prestados muchos de los problemas para su propio libro Álgebra. La editio princeps de Arithmetica fue publicada en 1575 por Xylander. La traducción latina de Arithmetica de Bachet en 1621 se convirtió en la primera edición latina que estuvo ampliamente disponible. Pierre de Fermat poseía una copia, la estudió y tomó notas en los márgenes. Se dijo que una traducción latina posterior de 1895 de Paul Tannery fue una mejora de Thomas L. Heath, quien la usó en la segunda edición de 1910 de su traducción al inglés.

Escrito al margen por Fermat y Chortasmenos

Problema II.8 en el Arithmetica (edición de 1670), anotado con el comentario de Fermat que se convirtió en el último teorema de Fermat.

La edición de 1621 de Arithmetica de Bachet ganó fama después de que Pierre de Fermat escribiera su famoso "Último teorema" en los márgenes de su copia:

“Si un entero n es mayor que 2, entonces aⁿ + bⁿ = cⁿ no tiene soluciones en enteros no cero a, b, y c. Tengo una prueba realmente maravillosa de esta propuesta que este margen es demasiado estrecho para contener. ”

Nunca se encontró la prueba de Fermat, y el problema de encontrar una prueba para el teorema permaneció sin resolver durante siglos. Andrew Wiles finalmente encontró una prueba en 1994 después de trabajar en ella durante siete años. Se cree que Fermat en realidad no tenía la prueba que decía tener. Aunque la copia original en la que Fermat escribió esto se ha perdido hoy, el hijo de Fermat editó la siguiente edición de Diofanto, publicada en 1670. Aunque el texto es por lo demás inferior a la edición de 1621, las anotaciones de Fermat, incluidas el "Último Teorema"—fueron impresos en esta versión.

Fermat no fue el primer matemático tan movido a escribir en sus propias notas marginales a Diofanto; el erudito bizantino John Chortasmenos (1370-1437) había escrito "Tu alma, Diofanto, esté con Satanás debido a la dificultad de tus otros teoremas y particularmente del presente teorema" junto al mismo problema.

Otras obras

Diophantus escribió varios otros libros además de Arithmetica, pero muy pocos de ellos han sobrevivido.

Los Porismos

El mismo Diofanto se refiere a una obra que consiste en una colección de lemas llamada Los Porismos (o Porismata), pero este libro está completamente perdido.

Aunque Los Porismos se ha perdido, conocemos tres lemas allí contenidos, ya que Diofanto se refiere a ellos en la Aritmética. Un lema establece que la diferencia de los cubos de dos números racionales es igual a la suma de los cubos de otros dos números racionales, es decir, dada cualquier a y b, con a > b, existen c y d, todos positivos y racionales, tal que

a³ − b³ = c³ + d³.

Números poligonales y elementos geométricos

También se sabe que Diofanto escribió sobre números poligonales, un tema de gran interés para Pitágoras y pitagóricos. Se conservan fragmentos de un libro que trata sobre números poligonales.

Un libro llamado Preliminaries to the Geometric Elements se ha atribuido tradicionalmente a Héroe de Alejandría. Ha sido estudiado recientemente por Wilbur Knorr, quien sugirió que la atribución a Hero es incorrecta y que el verdadero autor es Diofanto.

Influencia

Diofanto' El trabajo ha tenido una gran influencia en la historia. Las ediciones de Arithmetica ejercieron una profunda influencia en el desarrollo del álgebra en Europa a finales del siglo XVI y durante los siglos XVII y XVIII. Diofanto y sus obras también influyeron en las matemáticas árabes y fueron de gran fama entre los matemáticos árabes. Diofanto' El trabajo creó una base para el trabajo en álgebra y, de hecho, gran parte de las matemáticas avanzadas se basan en el álgebra. Cuánto afectó a la India es un tema de debate.

Diofanto es a menudo llamado "el padre del álgebra" porque contribuyó en gran medida a la teoría de números, la notación matemática y porque Arithmetica contiene el uso más antiguo conocido de notación sincopada.

Análisis diofántico

Hoy en día, el análisis diofántico es el área de estudio donde se buscan soluciones enteras (números enteros) para las ecuaciones, y las ecuaciones diofánticas son ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros para las que solo se buscan soluciones enteras. Por lo general, es bastante difícil saber si una ecuación diofántica dada es solucionable. La mayoría de los problemas de Aritmética conducen a ecuaciones cuadráticas. Diofanto observó 3 tipos diferentes de ecuaciones cuadráticas: ax² + bx = c, hacha² = bx + c, y ax² + c = bx. La razón por la que hubo tres casos para Diofanto, mientras que hoy tenemos un solo caso, es que él no tenía ninguna noción del cero y evitaba los coeficientes negativos considerando los números dados a , b, c a todos ser positivos en cada uno de los tres casos anteriores. Diofanto siempre estuvo satisfecho con una solución racional y no requería un número entero, lo que significa que aceptaba las fracciones como solución a sus problemas. Diofanto consideraba que las soluciones de raíces cuadradas negativas o irracionales eran 'inútiles', 'sin sentido' e incluso 'absurdas'. Para dar un ejemplo específico, llama a la ecuación 4 = 4x + 20 'absurda' porque conduciría a un valor negativo para x. Una solución fue todo lo que buscó en una ecuación cuadrática. No hay evidencia que sugiera que Diofanto se dio cuenta de que podría haber dos soluciones para una ecuación cuadrática. También consideró ecuaciones cuadráticas simultáneas.

Notación matemática

Diofanto hizo importantes avances en la notación matemática y se convirtió en la primera persona conocida en utilizar la notación algebraica y el simbolismo. Antes de él, todos escribieron ecuaciones por completo. Diofanto introdujo un simbolismo algebraico que usaba una notación abreviada para operaciones frecuentes y una abreviatura para lo desconocido y para los poderes de lo desconocido. El historiador matemático Kurt Vogel afirma:

“El simbolismo que Diophantus introdujo por primera vez, y sin duda se diseñó, proporcionó un corto y fácilmente comprensible medio de expresar una ecuación... Dado que una abreviatura también se emplea para la palabra "igualdad", Diophantus dio un paso fundamental desde el álgebra verbal hacia el álgebra simbólica. ”

Aunque Diofanto hizo importantes avances en el simbolismo, todavía carecía de la notación necesaria para expresar métodos más generales. Esto hizo que su trabajo se preocupara más por problemas particulares que por situaciones generales. Algunas de las limitaciones de Diofanto' notación son que solo tenía notación para una incógnita y, cuando los problemas involucraban más de una incógnita, Diofanto se reducía a expresar 'primera incógnita', 'segunda incógnita', etc. en palabras. También carecía de un símbolo para un número general n. Donde escribiríamos 12 + 6n/n² − 3, Diofanto tiene que recurrir a construcciones como: "... un número séxtuple aumentado en doce, que se divide por la diferencia en que el cuadrado del número excede a tres". El álgebra todavía tenía un largo camino por recorrer antes de que los problemas muy generales pudieran escribirse y resolverse de manera sucinta.