Dinámica de vuelo de aeronaves

Dinámica de vuelo es la ciencia de la orientación y el control de vehículos aéreos en tres dimensiones. Los tres parámetros críticos de la dinámica de vuelo son los ángulos de rotación en tres dimensiones sobre el centro de gravedad (cg) del vehículo, conocidos como cabeceo, balanceo y guiñada. Éstos se conocen colectivamente como actitud de la aeronave, a menudo principalmente en relación con el marco atmosférico en vuelo normal, pero también en relación con el terreno durante el despegue o el aterrizaje, o cuando se opera a baja altura. El concepto de actitud no es específico de las aeronaves de ala fija, sino que también se extiende a aeronaves giratorias como helicópteros y dirigibles, donde la dinámica de vuelo involucrada en el establecimiento y control de la actitud es completamente diferente.

Los sistemas de control ajustan la orientación de un vehículo sobre su centro de gravedad. Un sistema de control incluye superficies de control que, cuando se desvían, generan un momento (o un par de alerones) alrededor del centro de gravedad que hace girar la aeronave en cabeceo, balanceo y guiñada. Por ejemplo, un momento de cabeceo proviene de una fuerza aplicada a una distancia hacia adelante o hacia atrás del centro de gravedad, lo que hace que la aeronave se lance hacia arriba o hacia abajo.

Roll, cabeceo y guiñada se refieren a rotaciones sobre los ejes respectivos a partir de un estado de equilibrio de vuelo estable definido. El ángulo de balanceo de equilibrio se conoce como nivel de alas o ángulo de alabeo cero.

La convención aeronáutica más común define el balanceo como actuando sobre el eje longitudinal, positivo con el ala de estribor (derecha) hacia abajo. La guiñada es sobre el eje vertical del cuerpo, positivo con el morro a estribor. El cabeceo se refiere a un eje perpendicular al plano longitudinal de simetría, con el morro positivo hacia arriba.

Un avión de ala fija aumenta o disminuye la sustentación generada por las alas cuando inclina el morro hacia arriba o hacia abajo aumentando o disminuyendo el ángulo de ataque (AOA). El ángulo de balanceo también se conoce como ángulo de alabeo en un avión de ala fija, que generalmente se 'ladea'. para cambiar la dirección horizontal del vuelo. Un avión está aerodinámico desde el morro hasta la cola para reducir la resistencia, lo que hace que sea ventajoso mantener el ángulo de deslizamiento lateral cerca de cero, aunque un avión puede 'deslizarse lateralmente' deliberadamente. para aumentar la velocidad de arrastre y descenso durante el aterrizaje, para mantener el mismo rumbo de la aeronave que el rumbo de la pista durante los aterrizajes con viento cruzado y durante el vuelo con potencia asimétrica.

Yaw

lanzamiento

rollo

yaw o encabezado de definición de ángulo

Definición del ángulo del campo

Definición de ángulo

Introducción

Marcos de referencia

Tres sistemas de coordenadas cartesianas diestras se utilizan con frecuencia en la dinámica de vuelo. El primer sistema de coordenadas tiene un origen fijo en el marco de referencia de la Tierra:

• Marco de la Tierra
  • Origen - arbitrario, fijo relativo a la superficie de la Tierra
  • x_E axis - positivo en la dirección del norte
  • Sí._E axis - positivo en la dirección del este
  • z_E axis - positivo hacia el centro de la Tierra

En muchas aplicaciones de dinámica de vuelo, se supone que el marco de la Tierra es inercial con un plano x_E,y_E-plane, aunque el marco de la Tierra también puede considerarse un sistema de coordenadas esféricas con origen en el centro de la Tierra.

Los otros dos marcos de referencia están fijos en el cuerpo, con orígenes que se mueven junto con la aeronave, generalmente en el centro de gravedad. Para una aeronave que es simétrica de derecha a izquierda, los marcos se pueden definir como:

• Marco corporal
  • Origen - centro de aviación de gravedad
  • x_b axis - positivo la nariz de la aeronave en el plano de la simetría de la aeronave
  • z_b axis - perpendicular al x_b axis, en el plano de la simetría de la aeronave, positivo debajo del avión
  • Sí._b axis - perpendicular al x_b,z_b-plano, positivo determinado por la regla de la derecha (generalmente, positivo fuera del ala derecha)
• Marco de viento
  • Origen - centro de aviación de gravedad
  • x_w axis - positivo en la dirección del vector de velocidad del avión relativo al aire
  • z_w axis - perpendicular al x_w axis, en el plano de la simetría de la aeronave, positivo debajo del avión
  • Sí._w axis - perpendicular al x_w,z_w-plano, positivo determinado por la regla de la mano derecha (generalmente, positivo a la derecha)

Los aviones asimétricos tienen marcos fijos de cuerpo análogos, pero se deben usar diferentes convenciones para elegir las direcciones precisas de los ejes x y z.

El marco de la Tierra es un marco conveniente para expresar la cinemática de traslación y rotación de aeronaves. El marco de la Tierra también es útil porque, bajo ciertas suposiciones, se puede aproximar como inercial. Además, una fuerza que actúa sobre la aeronave, el peso, se fija en la dirección +z_E.

La estructura del cuerpo suele ser de interés porque el origen y los ejes permanecen fijos en relación con la aeronave. Esto significa que la orientación relativa de la Tierra y los marcos del cuerpo describen la actitud de la aeronave. Además, la dirección de la fuerza de empuje generalmente se fija en el marco del cuerpo, aunque algunos aviones pueden variar esta dirección, por ejemplo, mediante la vectorización de empuje.

El marco de viento es un marco conveniente para expresar las fuerzas aerodinámicas y los momentos que actúan sobre un avión. En particular, la fuerza aerodinámica neta se puede dividir en componentes a lo largo de los ejes del marco del viento, con la fuerza de arrastre en la dirección −x_w y la fuerza de sustentación en la dirección −z_w.

Mnemonics para recordar nombres de ángulo

Además de definir los marcos de referencia, se puede determinar la orientación relativa de los marcos de referencia. La orientación relativa se puede expresar en una variedad de formas, que incluyen:

• Matrices de rotación
• Dirección cosines
• Ángulos de Euler
• Quaternions

Los diversos ángulos de Euler que relacionan los tres marcos de referencia son importantes para la dinámica de vuelo. Existen muchas convenciones de ángulo de Euler, pero todas las secuencias de rotación que se presentan a continuación utilizan la convención z-y'-x". Esta convención corresponde a un tipo de ángulos de Tait-Bryan, que comúnmente se conocen como ángulos de Euler. Esta convención se describe en detalle a continuación para los ángulos de Euler de balanceo, cabeceo y guiñada que describen la orientación del marco del cuerpo en relación con el marco de la Tierra. Los otros conjuntos de ángulos de Euler se describen a continuación por analogía.

Transformaciones (ángulos de Euler)

De la estructura de la Tierra a la estructura del cuerpo

• Primero, girar los ejes del marco de la Tierra x_E y Sí._E alrededor de la z_E axis por el Yaw ángulo ↑. Esto resulta en un marco de referencia intermedio con ejes denotados x',y',z', donde z'=z_E.
• Segundo, girar el x' y z' ejes alrededor de Sí.' axis por el lanzamiento ángulo Silencio. Esto resulta en otro marco de referencia intermedio con ejes denotados x",y,z", donde Sí.'.
• Por último, girar el Sí. y z ejes alrededor de x" axis por el rollo ángulo φ. El marco de referencia que resulta después de las tres rotaciones es el marco del cuerpo.

Basado en las convenciones de ejes y rotaciones anteriores:

• Yaw. ángulo : ángulo entre el norte y la proyección del eje longitudinal del avión sobre el plano horizontal;
• Pitch ángulo θ: ángulo entre el eje longitudinal del avión y el eje horizontal;
• Roll ángulo φ: rotación alrededor del eje longitudinal del avión después de girar por el yaw y el campo.

De marco terrestre a marco de viento

• Heading ángulo σ: ángulo entre el norte y el componente horizontal del vector de velocidad, que describe qué dirección se mueve el avión en relación con las direcciones cardinales.
• Vía de vuelo ángulo γ: es el ángulo entre horizontal y el vector de velocidad, que describe si el avión está escalando o descendiendo.
• Ángulo bancario μ: representa una rotación de la fuerza de elevación alrededor del vector de velocidad, que puede indicar si el avión está girando.

Al realizar las rotaciones descritas anteriormente para obtener el marco del cuerpo del marco de la Tierra, existe esta analogía entre ángulos:

• σ,  (cabezando vs yaw)
• γ, θ (Flight path vs pitch)
• μ, φ (Bank vs Roll)

De la estructura del viento a la estructura de la carrocería

• ángulo lateral β: ángulo entre el vector de velocidad y la proyección del eje longitudinal del avión sobre el x_w,y_w-plano, que describe si hay un componente lateral de la velocidad del avión

• ángulo de ataque α: ángulo entre el x_w,Sí._w-plano y el eje longitudinal del avión y, entre otras cosas, es una variable importante para determinar la magnitud de la fuerza de elevación

Al realizar las rotaciones descritas anteriormente para obtener el marco del cuerpo del marco de la Tierra, existe esta analogía entre los ángulos:

• β,  (sideslip vs yaw)
• α, Silencio (ataque vs pitch)
• (φ = 0) (Nada vs roll)

Analogías

Entre los tres marcos de referencia existen, por tanto, estas analogías:

• Yaw / Heading / Sideslip (Z axis, vertical)
• Pitch / Camino de vuelo / Ángulo de ataque (Y eje, ala)
• Roll / Bank / nada (X eje, nariz)

Cajas de diseño

Al analizar la estabilidad de una aeronave, es habitual considerar perturbaciones sobre un estado de vuelo estacionario nominal. Entonces el análisis se aplicaría, por ejemplo, suponiendo:

Vuelo directo y nivel

Gire a velocidad constante

Enfoque y aterrizaje

Despacho

La velocidad, la altura y el ángulo de ataque son diferentes para cada condición de vuelo, además, la aeronave se configurará de manera diferente, p. a baja velocidad, los flaps pueden desplegarse y el tren de aterrizaje puede estar abajo.

A excepción de los diseños asimétricos (o diseños simétricos con deslizamiento lateral significativo), las ecuaciones de movimiento longitudinales (que involucran fuerzas de cabeceo y sustentación) pueden tratarse independientemente del movimiento lateral (que involucra balanceo y guiñada).

Lo siguiente considera perturbaciones sobre una trayectoria de vuelo nominal recta y nivelada.

Para mantener el análisis (relativamente) simple, las superficies de control se suponen fijas durante todo el movimiento, esto es estabilidad fija. El análisis sin stick requiere la complicación adicional de tener en cuenta el movimiento de las superficies de control.

Además, se supone que el vuelo se realiza con aire en calma y la aeronave se trata como un cuerpo rígido.

Fuerzas de vuelo

Tres fuerzas actúan sobre un avión en vuelo: el peso, el empuje y la fuerza aerodinámica.

Fuerza aerodinámica

Componentes de la fuerza aerodinámica

La expresión para calcular la fuerza aerodinámica es:

FA=∫ ∫ .. ()− − Δ Δ pn+f)dσ σ {displaystyle mathbf {F} _{A}=int _{Sigma }(-Delta pmathbf {n} +mathbf {f},dsigma }

donde:

Δ Δ p↑ ↑ {displaystyle Delta pequiv } Diferencia entre presión estática y presión de corriente libre

n↑ ↑ {displaystyle mathbf {n} equiv } vector exterior normal del elemento del área

f↑ ↑ {displaystyle mathbf {f} equiv } vector de estrés tangencial practicado por el aire en el cuerpo

.. ↑ ↑ {displaystyle Sigma equiv } superficie de referencia adecuada

proyectado sobre ejes de viento obtenemos:

FA=− − ()iwD+jwQ+kwL){displaystyle mathbf {F} _{A}=-(mathbf {i} ¿Por qué?

donde:

D↑ ↑ {displaystyle Dequiv } Drag

Q↑ ↑ {displaystyle Qequiv } Fuerza posterior

L↑ ↑ {displaystyle Lequiv } Ascensor

Coeficientes aerodinámicos

Presión dinámica de la corriente libre ↑ ↑ q=12*** *** V2{displaystyle equiv q={tfrac {1}{2},rho ,V^{2}

Superficie de referencia adecuada (superficie de producción, en caso de planos) ↑ ↑ S{displaystyle equiv S}

Coeficiente de presión ↑ ↑ Cp=p− − pJUEGO JUEGO q{displaystyle equiv C_{p}={dfrac {p-p_{infty } {q}}

Coeficiente de fricción ↑ ↑ Cf=fq{displaystyle equiv C_{f}={dfrac {f}}}

Coeficiente de arrastre ↑ ↑ Cd=DqS=− − 1S∫ ∫ .. [()− − Cp)n∙ ∙ iw+Cft∙ ∙ iw]dσ σ {displaystyle equiv C_{d}={dfrac {D}=-{dfrac} {1}{S}int _{Sigma }[(-C_{p}mathbf {n} bullet mathbf {} #C_{f}mathbf {t} bullet mathbf {} ♪,dsigma }

Coeficiente de la fuerza posterior ↑ ↑ CQ=QqS=− − 1S∫ ∫ .. [()− − Cp)n∙ ∙ jw+Cft∙ ∙ jw]dσ σ {displaystyle equiv C_{Q}={dfrac {Q}}=-{dfrac {1}{S}int _{Sigma }[(-C_{p}mathbf {n} bullet mathbf {J_{w} ##C_{f}mathbf {t} bullet mathbf {j_{w},dsigma }

Coeficiente de elevación ↑ ↑ CL=LqS=− − 1S∫ ∫ .. [()− − Cp)n∙ ∙ kw+Cft∙ ∙ kw]dσ σ {displaystyle equiv C_{L}={dfrac {L}{qS}=-{dfrac {1}{S}int _{Sigma }[(-C_{p}mathbf {n} bullet mathbf {k_{w} ¿Qué? ♪,dsigma }

Es necesario conocer C_p y C_f en cada punto de la superficie considerada.

Parámetros adimensionales y regímenes aerodinámicos

En ausencia de efectos térmicos, hay tres números adimensionales notables:

• Compresibilidad del flujo:

Número de máquina ↑ ↑ M=Va{displaystyle equiv M={dfrac {V}{a}}

• Viscosidad del flujo:

Número de Reynolds ↑ ↑ Re=*** *** Vlμ μ {displaystyle equiv Re={dfrac {rho Vl}{mu} }

• Rarafacción del flujo:

Knudsen number ↑ ↑ Kn=λ λ l{displaystyle equiv Kn={dfrac {lambda}{l}}} {}}}

donde:

a=kRSilencio Silencio ↑ ↑ {displaystyle a={sqrt {k Rtheta }equiv } velocidad de sonido

k↑ ↑ {displaystyle kequiv} ratio de calor específico

R↑ ↑ {displaystyle Requiv } gas constante por unidad de masas

Silencio Silencio ↑ ↑ {displaystyle theta equiv } temperatura absoluta

λ λ =μ μ *** *** π π 2RSilencio Silencio =MRekπ π 2↑ ↑ {displaystyle lambda ={dfrac {fnh} {fnh00} {fnh00} {fnh00} {fnh00} {fnfnfnh00}} {fnfnh00}}} {fnfnfnfnh00}} {\fnfnh00fnh00fnh00fnh00}}}}}} {fnfn\\\\fnh00fnh00fnh00fnh00fnh00fnh00fnh00fnh00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\fn\\\fn\\\fnh00fn\\\\fnfnh00fnh00\ ♪ }{2 Rtheta }={dfrac {fn} {fn} {fnK} {fnK}}} {fnK} {fn}} {fn}} {fn} {fn}}}}} {fnfnfn}} {fn}}} {f}fnfnfnf}fnfnf}}}}}}}}}} {fnf}}fnfnfnfnfnfnfnfn\fnf}\fnfnfnfnf}}}}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn\fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn\fn}}\\fn } {2}equiv } camino libre

Según λ existen tres posibles grados de rarefacción y sus correspondientes movimientos se denominan:

• Corriente continua (extrafacción insignificante): MRe≪ ≪ 1{displaystyle {dfrac {}{Re}ll} 1}
• Transition current (moderate rarefaction): MRe.. 1{displaystyle {dfrac {}{Re}approx 1}
• Corriente molecular libre (alta rarafacción): MRe≫ ≫ 1{displaystyle {dfrac {cH00}g}g}g} 1}

El movimiento de un cuerpo a través de un flujo se considera, en dinámica de vuelo, como corriente continua. En la capa exterior del espacio que rodea al cuerpo la viscosidad será despreciable. Sin embargo, los efectos de la viscosidad deberán tenerse en cuenta al analizar el flujo en la proximidad de la capa límite.

Dependiendo de la compresibilidad del flujo, se pueden considerar diferentes tipos de corrientes:

• Corriente subsónica incompresible: <math alttext="{displaystyle 0<M0.M.0.3{displaystyle 0 0 0 0<img alt="0<M
• Corriente subsónica comprimible: <math alttext="{displaystyle 0.3<M0.3.M.0,8{displaystyle 0,3 x 0,8}<img alt="0.3<M
• Corriente transónica: <math alttext="{displaystyle 0.8<M0,8.M.1.2{displaystyle 0.8<img alt="0.8<M
• Corriente supersónica: <math alttext="{displaystyle 1.2<M1.2.M.5{displaystyle 1.2 madeM 0}<img alt="1.2<M
• Corriente hipersónica: <math alttext="{displaystyle 55.M{displaystyle 5<img alt="5

Ecuación del coeficiente de arrastre y eficiencia aerodinámica

Si la geometría del cuerpo es fija y en caso de vuelo simétrico (β=0 y Q=0), los coeficientes de presión y fricción son funciones que dependen de:

Cp=Cp()α α ,M,Re,P){displaystyle C_{p}=C_{p}(alphaM,Re,P)}

Cf=Cf()α α ,M,Re,P){displaystyle C_{f}=C_{f}(alphaM,Re,P)}

donde:

α α ↑ ↑ {displaystyle alpha equiv } ángulo de ataque

P↑ ↑ {displaystyle Pequiv } considerado punto de la superficie

En estas condiciones, los coeficientes de arrastre y sustentación son funciones que dependen exclusivamente del ángulo de ataque del cuerpo y los números de Mach y Reynolds. La eficiencia aerodinámica, definida como la relación entre los coeficientes de sustentación y arrastre, también dependerá de esos parámetros.

{}CD=CD()α α ,M,Re)CL=CL()α α ,M,Re)E=E()α α ,M,Re)=CLCD{displaystyle {begin{cases}C_{D}=C_{D}(alphaM,Re)\C_{L}=C_{L}(alphaM,Re)E=E(alphaM,Re)={dfrac {C_{L} {C_{D}}\\end{cases}} {fnMicrosoft Sans Serif}

También es posible obtener la dependencia del coeficiente de arrastre con respecto al coeficiente de sustentación. Esta relación se conoce como la ecuación del coeficiente de arrastre:

CD=CD()CL,M,Re)↑ ↑ {displaystyle C_{D}=C_{D}(C_{L},M,Re)equiv } ecuación del coeficiente de arrastre

La eficiencia aerodinámica tiene un valor máximo, E_max, con respecto a C_L donde la línea tangente desde el origen de coordenadas toca la gráfica de la ecuación del coeficiente de arrastre.

El coeficiente de arrastre, C_D, se puede descomponer de dos maneras. La primera descomposición típica separa los efectos de presión y fricción:

CD=CDf+CDp{}CDf=DqS=− − 1S∫ ∫ .. Cft∙ ∙ iwdσ σ CDp=DqS=− − 1S∫ ∫ .. ()− − Cp)n∙ ∙ iwdσ σ {displaystyle C_{D}=C_{Dp}{begin{cases}C_{Df}={dfrac {D}=-{dfrac} {1}{S}int ¿Qué? Sigma }C_{f}mathbf {t} bullet mathbf {i_{w} ,dsigma \C_{Dp}={dfrac {D}=-{dfrac} {1}{S}int _{Sigma }(-C_{p})mathbf {n} bullet mathbf {i_{w} ,dsigma end{cases}}

Hay una segunda descomposición típica que tiene en cuenta la definición de la ecuación del coeficiente de arrastre. Esta descomposición separa el efecto del coeficiente de sustentación en la ecuación, obteniendo dos términos C_D0 y C_Di. C_D0 se conoce como el coeficiente de arrastre parásito y es el coeficiente de arrastre base con elevación cero. C_Di se conoce como el coeficiente de arrastre inducido y es producido por la elevación de la carrocería.

CD=CD0+CDi{}CD0=()CD)CL=0CDi{displaystyle ¿Por qué?

Coeficiente de arrastre genérico y parabólico

Un buen intento para el coeficiente de arrastre inducido es asumir una dependencia parabólica de la sustentación

CDi=kCL2⇒ ⇒ CD=CD0+kCL2{displaystyle ¿Qué? Derecho ¿Qué?

La eficiencia aerodinámica ahora se calcula como:

E=CLCD0+kCL2⇒ ⇒ {}Emax=12kCD0()CL)Emax=CD0k()CDi)Emax=CD0{displaystyle E={dfrac {C_{L} {C_{D0}+kC_{L}}f}}\cH0} Rightarrow {begin{cases}E_{max}={dfrac {1}{2{sqrt {kC_{D0}}}(C_{L})_{Emax}={sqrt {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {f} {f}}}}}f}f}}}f}f}}f}f}fnMicrob}fnMicrob}fnMicrob}fnKf}fnKf}}}}f}f}}f}f}}}}}}}}f}}}}}}}}}\\fnK\fnMicrob}fnKfnMicrob}}fnMicrob}fnKfnMicrob}}}}}}}fnMi

Si la configuración del avión es simétrica con respecto al plano XY, el coeficiente de arrastre mínimo es igual al arrastre parásito del avión.

CDmin=()CD)CL=0=CD0{displaystyle C_{Dmin}=(C_{D})_{CL=0}=C_{D0}

En caso de que la configuración sea asimétrica con respecto al plano XY, sin embargo, la resistencia mínima difiere de la resistencia parásita. En estos casos, se puede trazar una nueva ecuación de arrastre parabólica aproximada dejando el valor de arrastre mínimo en valor de elevación cero.

CDmin=CDMل ل ()CD)CL=0{displaystyle C_{Dmin}=C_{DM}neq (C_{D}_{CL=0}

CD=CDM+k()CL− − CLM)2{displaystyle C_{D}=C_{DM}+k(C_{L}-C_{LM}{2}

Variación de parámetros con el número de Mach

El coeficiente de presión varía con el número de Mach según la relación que se indica a continuación:

Cp=Cp0Silencio1− − MJUEGO JUEGO 2Silencio{displaystyle C_{p}={frac {C_{p0}{sqrt {1-00cH00FF} }} {2}

dónde

• C_p es el coeficiente de presión compresible
• C_p0 es el coeficiente de presión incompresible
• M_JUEGO es el número gratuito de Mach.

Esta relación es razonablemente precisa para 0,3 < M < 0.7 y cuando M = 1 se convierte en ∞ que es una situación física imposible y se llama singularidad de Prandtl-Glauert.

Fuerza aerodinámica en una atmósfera específica

ver Fuerza aerodinámica

Estabilidad

La estabilidad es la capacidad de la aeronave para contrarrestar las perturbaciones en su trayectoria de vuelo.

Según David P. Davies, hay seis tipos de estabilidad de aeronaves: estabilidad de velocidad, estabilidad longitudinal estática libre de palos, estabilidad lateral estática, estabilidad direccional, estabilidad oscilatoria y estabilidad en espiral.

Estabilidad de velocidad

Un avión en vuelo de crucero suele tener una velocidad estable. Si aumenta la velocidad, aumenta la resistencia, lo que reducirá la velocidad de regreso al equilibrio para su configuración y ajuste de empuje. Si la velocidad disminuye, la resistencia disminuye y la aeronave acelerará de regreso a su velocidad de equilibrio donde el empuje es igual a la resistencia.

Sin embargo, en vuelo lento, debido a la resistencia inducida por la sustentación, a medida que la velocidad disminuye, la resistencia aumenta (y viceversa). Esto se conoce como la "parte posterior de la curva de arrastre". La velocidad del avión será inestable, porque una disminución en la velocidad provocará una mayor disminución en la velocidad.

Estabilidad estática y control

Estabilidad estática longitudinal

La estabilidad longitudinal se refiere a la estabilidad de una aeronave en cabeceo. Para una aeronave estable, si la aeronave cabecea hacia arriba, las alas y la cola crean un momento de cabeceo hacia abajo que tiende a restaurar la aeronave a su actitud original. Para una aeronave inestable, una perturbación en el cabeceo conducirá a un momento de cabeceo cada vez mayor. La estabilidad estática longitudinal es la capacidad de una aeronave para recuperarse de una perturbación inicial. La estabilidad dinámica longitudinal se refiere a la amortiguación de estos momentos estabilizadores, lo que evita oscilaciones persistentes o crecientes en el tono.

Estabilidad direccional

La estabilidad direccional o veleta se refiere a la estabilidad estática del avión sobre el eje z. Al igual que en el caso de la estabilidad longitudinal, es deseable que la aeronave tienda a volver a una condición de equilibrio cuando se somete a alguna forma de perturbación de guiñada. Para ello, la pendiente de la curva del momento de guiñada debe ser positiva. Un avión que posea este modo de estabilidad siempre apuntará hacia el viento relativo, de ahí el nombre de estabilidad de veleta.

Estabilidad dinámica y control

Modos longitudinales

Es una práctica común derivar una ecuación característica de cuarto orden para describir el movimiento longitudinal y luego factorizarla aproximadamente en un modo de alta frecuencia y un modo de baja frecuencia. El enfoque adoptado aquí utiliza el conocimiento cualitativo del comportamiento de las aeronaves para simplificar las ecuaciones desde el principio, llegando al resultado por una ruta más accesible.

Los dos movimientos longitudinales (modos) se denominan oscilación de tono de período corto (SPPO) y phugoide.

Oscilación de tono de período corto

Una entrada corta (en la terminología de los sistemas de control, un impulso) en el cabeceo (generalmente a través del elevador en un avión de ala fija de configuración estándar) generalmente conducirá a sobreimpulsos sobre la condición compensada. La transición se caracteriza por un movimiento armónico simple amortiguado sobre el nuevo acabado. Hay muy poco cambio en la trayectoria durante el tiempo que tarda la oscilación en amortiguarse.

Por lo general, esta oscilación es de alta frecuencia (por lo tanto, de período corto) y se amortigua durante un período de unos pocos segundos. Un ejemplo del mundo real implicaría que un piloto seleccione una nueva actitud de ascenso, por ejemplo, 5° de morro hacia arriba desde la actitud original. Se puede usar un tirón corto y brusco en la columna de control, y generalmente dará lugar a oscilaciones sobre la nueva condición de compensación. Si las oscilaciones están mal amortiguadas, la aeronave tardará mucho tiempo en establecerse en la nueva condición, lo que podría provocar una oscilación inducida por el piloto. Si el modo de período corto es inestable, generalmente será imposible que el piloto controle la aeronave de manera segura durante cualquier período de tiempo.

Este movimiento armónico amortiguado se llama oscilación de campo de corto período; surge de la tendencia de un avión estable a apuntar en la dirección general del vuelo. Es muy similar en la naturaleza al modo Weathercock de configuraciones de misiles o cohetes. El movimiento implica principalmente la actitud de lanzamiento Silencio Silencio {displaystyle theta } (teta) e incidencia α α {displaystyle alpha } (alfa). La dirección del vector de velocidad, relativa a los ejes inerciales es Silencio Silencio − − α α {displaystyle theta -alpha }. El vector de velocidad es:

uf=U#⁡ ⁡ ()Silencio Silencio − − α α ){displaystyle u_{f}=Ucos(theta -alpha)}

wf=Upecado⁡ ⁡ ()Silencio Silencio − − α α ){displaystyle w_{f}=Usin(theta -alpha)}

Donde uf{displaystyle u_{f},wf{displaystyle w_{f} son los componentes de ejes inerciales de velocidad. Según la Segunda Ley de Newton, las aceleraciónes son proporcionales a las fuerzas, por lo que las fuerzas en ejes inerciales son:

Xf=mdufdt=mdUdt#⁡ ⁡ ()Silencio Silencio − − α α )− − mUd()Silencio Silencio − − α α )dtpecado⁡ ⁡ ()Silencio Silencio − − α α ){displaystyle X_{f}=m{frac {f} {f}}=m{frac} {dU} {dt}cos(theta -alpha)-mU{frac {d(theta -alpha)}{dt}}sin(theta -alpha)}}}

Zf=mdwfdt=mdUdtpecado⁡ ⁡ ()Silencio Silencio − − α α )+mUd()Silencio Silencio − − α α )dt#⁡ ⁡ ()Silencio Silencio − − α α ){displaystyle Z_{f}=m{frac {f} {f}}=m{frac} {dU} {dt}sin(theta -alpha)+mU{frac {d(theta -alpha)}{dt}cos(theta) - Alfa.

Donde m es la masa. Por la naturaleza del movimiento, la variación de velocidad mdUdt{displaystyle m{frac {dt}}} es insignificante durante el período de la oscilación, por lo que:

Xf=− − mUd()Silencio Silencio − − α α )dtpecado⁡ ⁡ ()Silencio Silencio − − α α ){displaystyle X_{f}=-mU{frac {d(theta -alpha)} {dt}sin(theta -alpha)}

Zf=mUd()Silencio Silencio − − α α )dt#⁡ ⁡ ()Silencio Silencio − − α α ){displaystyle Z_{f}=mU{frac {d(theta -alpha)}{dt}cos(theta) - Alfa.

Pero las fuerzas son generadas por la distribución de presión en el cuerpo y se refieren al vector de velocidad. Pero el conjunto de ejes de velocidad (viento) no es un marco inercial, por lo que debemos resolver las fuerzas de los ejes fijos en ejes de viento. Además, solo nos interesa la fuerza a lo largo del eje z:

Z=− − Zf#⁡ ⁡ ()Silencio Silencio − − α α )+Xfpecado⁡ ⁡ ()Silencio Silencio − − α α ){displaystyle Z=-Z_{f}cos(theta -alpha)+X_{f}sin(theta -alpha)}

O:

Z=− − mUd()Silencio Silencio − − α α )dt{displaystyle Z=-mU{frac {d(theta -alpha)}{dt}}}

En palabras, la fuerza de los ejes del viento es igual a la aceleración centrípeta.

La ecuación del momento es la derivada temporal del momento angular:

M=Bd2Silencio Silencio dt2{displaystyle M=B{frac {d^{2}theta } {dt^{2}}}

donde M es el momento de lanzamiento, y B es el momento de inercia sobre el eje de lanzamiento. Deja: dSilencio Silencio dt=q{displaystyle {frac {dtheta } {dt}=q}, la tasa de lanzamiento. Las ecuaciones del movimiento, con todas las fuerzas y momentos referidos a los ejes del viento son, por lo tanto:

dα α dt=q+ZmU{displaystyle {frac {fnMicroc}dalpha } {dt}=q+{frac {Z}{mU}}

dqdt=MB{displaystyle {frac {fnK} {fnMicroc}}= {fnMicroc} {M} {B}}

Sólo nos preocupan las perturbaciones en fuerzas y momentos, debido a las perturbaciones en los estados α α {displaystyle alpha } y q, y sus derivados del tiempo. Estos se caracterizan por los derivados de la estabilidad determinados por la condición de vuelo. Los posibles derivados de la estabilidad son:

Zα α {displaystyle Z_{alpha } Ascensor debido a la incidencia, esto es negativo porque el eje z es descendente mientras que la incidencia positiva causa una fuerza ascendente.

Zq{displaystyle Z_{q} Ascensor debido a la tasa de lanzamiento, surge del aumento de la incidencia de cola, por lo tanto también es negativo, pero pequeño comparado con Zα α {displaystyle Z_{alpha }.

Mα α {displaystyle M_{alpha } Hora de perforación debido a la incidencia - el término de estabilidad estática. La estabilidad estática requiere que esto sea negativo.

Mq{displaystyle M_{q} Momento de puntuación debido a la tasa de lanzamiento - el término de amortiguación del campo, esto siempre es negativo.

Dado que la cola está operando en el campo de flujo del ala, los cambios en la incidencia del ala provocan cambios en la corriente descendente, pero hay un retraso para que el cambio en el campo de flujo del ala afecte la sustentación de la cola, esto se representa como un momento proporcional a la tasa de cambio de incidencia:

Mα α Í Í {displaystyle M_{dot {alpha }

El efecto retardado de lavado da a la cola más ascensor y produce un momento de caída de la nariz, por lo que Mα α Í Í {displaystyle M_{dot {alpha } se espera que sea negativo.

Las ecuaciones de movimiento, con pequeñas fuerzas de perturbación y momentos se convierten en:

dα α dt=()1+ZqmU)q+Zα α mUα α {displaystyle {frac {fnMicroc}dalpha } {dt}=left(1+{frac {Z_{q}{mU}right)q+{frac {Z_{ccHFF} } {mU}alpha }

dqdt=MqBq+Mα α Bα α +Mα α Í Í Bα α Í Í {displaystyle {frac {fnK} {fnMicroc}}= {fnMicroc} [M_{q}{B}q+{frac {M_{lpha } {B}alpha {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} } {B} {fn} {fnh}} {fnh}}} {fn}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}} {fn}}}}} {fn}} {fn}}} {f}}}}}}}} { {fnMicrosoft} }

Estos pueden ser manipulados para producir como segunda ecuación diferencial lineal de orden en α α {displaystyle alpha }:

d2α α dt2− − ()Zα α mU+MqB+()1+ZqmU)Mα α Í Í B)dα α dt+()Zα α mUMqB− − Mα α B()1+ZqmU))α α =0{displaystyle {fnMicroc {fnMicrosoft}fnMicrosoft}fnMicrosoft {f}f}fnK} }{dt^{2}}-left({frac {Z_{ccHFF} } {mU}+{frac {fnK} {fn} {fnK}} {fn}} {fnK}} {fnfn}} {fnf}} {fnfnfnfnfnfnfnfnfnf}}fnfnfnK}fnfnf}}}fnfnK}}}}}}}\\\\\fn\fnK\fnfn\\fnK\\fnK\fnKfnKfnKfnK}}}\\\\fnKfnKfnMinK}fnK\cfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnK\\cH00}}}}}}}}}}}}fn {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} }{dt}+left({frac {Z_{alpha } {mU}{frac {M_{q}{B} {frac} {M_{fncH00} {fnMicroc {Z_{q}{mU})right)alpha =0}

Esto representa un movimiento armónico simple amortiguado.

Deberíamos esperar ZqmU{displaystyle {frac {Z_{q}{mU}} {fnK}} {fnK}} {fn}}}} {fn}}} {fnK}}}}}}} {fnK}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}} ser pequeño comparado con la unidad, por lo que el coeficiente α α {displaystyle alpha } (el término 'estiffness') será positivo, proporcionado <math alttext="{displaystyle M_{alpha }Mα α .Zα α mUMq{displaystyle M_{alpha - No. - Sí.<img alt="M_{alpha }. Esta expresión está dominada por Mα α {displaystyle M_{alpha }, que define la estabilidad estática longitudinal de la aeronave, debe ser negativa para la estabilidad. El término de amortiguación se reduce por el efecto de lavado, y es difícil diseñar un avión con respuesta natural rápida y amortiguación pesada. Por lo general, la respuesta es insuficiente pero estable.

Phugoide

Si el palo se mantiene fijo, el avión no mantendrá vuelo recto y nivel (excepto en el caso improbable que resulta ser perfectamente recortado para el vuelo de nivel a su altura actual y el ajuste de empuje), pero comenzará a bucear, nivelar y subir de nuevo. Repetirá este ciclo hasta que el piloto intervenga. Este largo período oscilación en velocidad y altura se llama el modo phugoid. Esto se analiza asumiendo que la SSPO realiza su función adecuada y mantiene el ángulo de ataque cerca de su valor nominal. Los dos estados que están principalmente afectados son el ángulo de la ruta del vuelo γ γ {displaystyle gamma } (gamma) y velocidad. Las pequeñas ecuaciones de perturbación del movimiento son:

mUdγ γ dt=− − Z{displaystyle mU{frac {dgamma } {dt}=-Z}

lo que significa que la fuerza centrípeta es igual a la perturbación en la fuerza de sustentación.

Para la velocidad, resolviendo a lo largo de la trayectoria:

mdudt=X− − mgγ γ {displaystyle m{frac {dt}=X-mggamma }

donde g es la aceleración debido a la gravedad en la superficie de la Tierra. La aceleración a lo largo de la trayectoria es igual a la fuerza neta x-wise menos el componente de peso. No debemos esperar que derivados aerodinámicos significativos dependan del ángulo de la trayectoria del vuelo, así que sólo Xu{displaystyle X_{u} y Zu{displaystyle Z_{u} necesita ser considerado. Xu{displaystyle X_{u} es el aumento de arrastre con mayor velocidad, es negativo, igualmente Zu{displaystyle Z_{u} es el aumento de elevación debido al aumento de velocidad, también es negativo porque el elevador actúa en el sentido opuesto al eje z.

Las ecuaciones de movimiento se convierten en:

mUdγ γ dt=− − Zuu{displaystyle mU{frac {dgamma } {dt}=-Z_{u}u}

mdudt=Xuu− − mgγ γ {displaystyle m{}=X_{u}u-mggamma }

Estos pueden expresarse como una ecuación de segundo orden en el ángulo de la trayectoria de vuelo o la perturbación de la velocidad:

d2udt2− − Xumdudt− − ZugmUu=0{displaystyle {frac {f} {f} {f}} {f}} {f}} {f} {X_{u}{m}{frac} {f} {f}} {f}} {f}} {f}} {f}}} {f}}} {f}}}}}}} {f}}} {f}}}}} {f}}}}} {fnMic}}}} {f}}}}} {f}}}}}}} {f}}}} {f}f}}}}f}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f}}f}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}f}f}f} {f}f}f}f}}}f}f}f}f}f}}}}}} {}{dt}-{frac} {Z_{u}g}}u=0}

Ahora la elevación es casi igual al peso:

Z=12*** *** U2cLSw=W{displaystyle Z={frac}{2}rho U^{2}c_{L}S_{w}=W}

Donde *** *** {displaystyle rho } es la densidad del aire, Sw{displaystyle S_{w} es el área del ala, W el peso y cL{displaystyle C_{L} es el coeficiente de elevación (supuesta constante porque la incidencia es constante), tenemos, aproximadamente:

Zu=2WU=2mgU{displaystyle ¿Qué?

El periodo del fugoide, T, se obtiene del coeficiente de u:

2π π T=2g2U2{displaystyle {frac {2fnMicroc} } {fn} {fn}} {fnK}}} {f}}}} {f}}}

O:

T=2π π U2g{displaystyle T={frac} U'{sqrt {2}g}}

Dado que la sustentación es mucho mayor que la resistencia, el fugoide está, en el mejor de los casos, ligeramente amortiguado. Una hélice con velocidad fija ayudaría. Una fuerte amortiguación de la rotación del tono o una gran inercia rotacional aumentan el acoplamiento entre los modos de período corto y fugoide, de modo que estos modificarán el fugoide.

Modos laterales

El Antonov An-225 tenía alas anhedral, que lo hacen menos estable pero más maniobrable

Con un cohete o misil simétrico, la estabilidad direccional en guiñada es la misma que la estabilidad en cabeceo; se parece a la oscilación de cabeceo de período corto, con equivalentes en el plano de guiñada a las derivadas de estabilidad del plano de cabeceo. Por esta razón, la estabilidad direccional de cabeceo y guiñada se conoce colectivamente como la "veleta" estabilidad del misil.

Las aeronaves carecen de simetría entre cabeceo y guiñada, por lo que la estabilidad direccional en guiñada se deriva de un conjunto diferente de derivadas de estabilidad. El plano de guiñada equivalente a la oscilación de cabeceo de período corto, que describe la estabilidad direccional del plano de guiñada, se denomina giro holandés. A diferencia de los movimientos del plano de cabeceo, los modos laterales implican tanto el movimiento de balanceo como el de guiñada.

Rollo holandés

Es habitual derivar las ecuaciones de movimiento mediante manipulación formal en lo que, para el ingeniero, equivale a un juego de manos matemático. El enfoque actual sigue el análisis del plano de paso al formular las ecuaciones en términos de conceptos que son razonablemente familiares.

La aplicación de un impulso a través de los pedales del timón debe inducir el balanceo holandés, que es la oscilación en balanceo y guiñada, con el movimiento de balanceo retrasado en la guiñada en un cuarto de ciclo, de modo que las puntas de las alas sigan trayectorias elípticas con respecto a la aeronave.

La ecuación de traslación del plano de guiñada, como en el plano de cabeceo, iguala la aceleración centrípeta a la fuerza lateral.

dβ β dt=YmU− − r{displaystyle {frac {beta } {dt}={frac {Y}{m} ¿Sí?

Donde β β {displaystyle beta } (beta) es el ángulo lateral, Y la fuerza lateral y r la tasa de yaw.

Las ecuaciones de momento son un poco más complicadas. La condición de compensación es con la aeronave en un ángulo de ataque con respecto al flujo de aire. El eje x del cuerpo no se alinea con el vector de velocidad, que es la dirección de referencia para los ejes del viento. En otras palabras, los ejes del viento no son ejes principales (la masa no se distribuye simétricamente alrededor de los ejes de guiñada y balanceo). Considere el movimiento de un elemento de masa en la posición -z, x en la dirección del eje y, es decir, en el plano del papel.

Si la velocidad de balanceo es p, la velocidad de la partícula es:

v=− − pz+xr{displaystyle v=-pz+xr}

Compuesta por dos términos, la fuerza sobre esta partícula es primero proporcional a la tasa de cambio de v, la segunda se debe al cambio de dirección de este componente de la velocidad a medida que el cuerpo se mueve. Este último término da lugar a productos cruzados de pequeñas cantidades (pq, pr, qr), que luego se descartan. En este análisis, se descartan desde el principio en aras de la claridad. En efecto, asumimos que la dirección de la velocidad de la partícula debido a las tasas simultáneas de balanceo y guiñada no cambia significativamente a lo largo del movimiento. Con esta suposición simplificadora, la aceleración de la partícula se convierte en:

dvdt=− − dpdtz+drdtx{displaystyle {frac {} {fnMicroc}= {dp}{dt}z+{frac} {dr} {dt}x}

El momento de guiñada está dado por:

δ δ mxdvdt=− − dpdtxzδ δ m+drdtx2δ δ m{displaystyle delta mx{frac {dv} {dt}=-{frac} {dp}{dt}xzdelta m+{2}delta m}

Hay un momento adicional de coser debido a la compensación de la partícula en la dirección y:drdtSí.2δ δ m{displaystyle {frac {dr}y}{2}delta m}

El momento de guiñada se encuentra sumando todas las partículas del cuerpo:

N=− − dpdt∫ ∫ xzdm+drdt∫ ∫ x2+Sí.2dm=− − Edpdt+Cdrdt{displaystyle N=-{frac} {dt}in xzdm+{frac {dr} {dt}int x^{2}+y^{2}dm=-E{frac {dp}{dt}+C{frac} {dr} {dt}}

donde N es el momento de guiñada, E es un producto de inercia y C es el momento de inercia sobre el eje de guiñada. Un razonamiento similar produce la ecuación de balanceo:

L=Adpdt− − Edrdt{displaystyle L=A{frac {dp} {dt}-E{frac} {dr} {dt}}

donde L es el momento de balanceo y A el momento de inercia de balanceo.

Derivados de estabilidad lateral y longitudinal

Los estados son β β {displaystyle beta } (sideslip), r (tamaño de salida) y p (tamaño de inscripción), con los momentos N (yaw) y L (rollo), y la fuerza Y (siempre). Hay nueve derivados de estabilidad relevantes para este movimiento, lo siguiente explica cómo se originan. Sin embargo, una mejor comprensión intuitiva es ser ganada simplemente jugando con un avión modelo, y teniendo en cuenta cómo las fuerzas en cada componente se ven afectadas por los cambios en el clip lateral y la velocidad angular:

Yβ β {displaystyle Y_{beta}} Fuerza lateral debido al deslizamiento lateral (en ausencia de yaw).

Sideslip genera una fuerza lateral de la aleta y el fuselaje. Además, si el ala tiene dihedral, el deslizamiento lateral en un ángulo de rodamiento positivo aumenta la incidencia en el ala de estribor y la reduce en el lado del puerto, lo que resulta en un componente de fuerza neta directamente frente a la dirección lateral. El remolino de las alas tiene el mismo efecto en la incidencia, pero dado que las alas no están inclinadas en el plano vertical, el retroceso solo no afecta Yβ β {displaystyle Y_{beta}}. Sin embargo, el anhedral se puede utilizar con ángulos de retroceso altos en aviones de alto rendimiento para compensar los efectos de incidencia de alas del clip lateral. Extrañamente esto no revierte el signo de la contribución de la configuración del ala a Yβ β {displaystyle Y_{beta}} (en comparación con el caso dihedral).

Yp{displaystyle Y... Fuerza lateral debido a la velocidad de rodamiento.

La tasa de balanceo causa incidencia en la aleta, lo que genera una fuerza lateral correspondiente. Además, el balanceo positivo (ala de estribor hacia abajo) aumenta la sustentación en el ala de estribor y la reduce en babor. Si el ala tiene diedro, esto resultará en una fuerza lateral que se opondrá momentáneamente a la tendencia de deslizamiento lateral resultante. Las configuraciones de ala anédrica o estabilizador pueden hacer que el signo de la fuerza lateral se invierta si el efecto de aleta se inunda.

Yr{displaystyle Y... Fuerza lateral debido a la tasa de yaw.

La guiñada genera fuerzas laterales debido a la incidencia en el timón, la aleta y el fuselaje.

Nβ β {displaystyle N_{beta } Yawing moment due to sideslip forces.

Sideslip en ausencia de entrada de timón causa incidencia en el fuselaje y el emperatamiento, creando así un momento de bostezo contrarrestado sólo por la rigidez direccional que tendería a apuntar la nariz del avión de vuelta al viento en condiciones de vuelo horizontales. Bajo condiciones laterales en un ángulo de giro dado Nβ β {displaystyle N_{beta } tenderá a apuntar la nariz a la dirección del clip lateral incluso sin entrada del timón, causando un vuelo en espiral hacia abajo.

Np{displaystyle N_{p} Momento de costura debido a la velocidad de rodadura.

La velocidad del rodillo genera un elevador de aletas causando un momento de bostezo y también altera diferencialmente el ascensor en las alas, afectando así la contribución de arrastre inducida de cada ala, causando una (pequeña) contribución del momento de coser. El rollo positivo generalmente causa positivo Np{displaystyle N_{p} valores a menos que el empennage es anhedral o aleta está debajo del eje del rollo. Los componentes de fuerza lateral resultantes de dihedral o anhedral de elevación de alas tienen poco efecto en Np{displaystyle N_{p} porque el eje del ala se alinea normalmente con el centro de gravedad.

Nr{displaystyle N_{r} Yawing moment due to yaw rate.

La entrada de la velocidad de la mandíbula en cualquier ángulo de rodadura genera vectores de fuerza de forraje, aleta y fuselaje que dominan el momento de coser resultante. Yawing también aumenta la velocidad del ala de fuerabordante al frenar el ala inboard, con los cambios correspondientes en la arrastre causando un (pequeño) momento opuesto de yaw. Nr{displaystyle N_{r} se opone a la rigidez direccional inherente que tiende a apuntar la nariz del avión de vuelta al viento y siempre coincide con el signo de la entrada de la tasa de yaw.

Lβ β {displaystyle L_{beta } Momento de rodaje debido al clip lateral.

Un ángulo de giro positivo genera incidencia de empennage que puede causar un momento de giro positivo o negativo dependiendo de su configuración. Para cualquier alas dihedral de ángulo lateral no cero causa un momento de rodadura que tiende a devolver el avión a la horizontal, al igual que las alas arrastradas. Con alas muy barridas el momento de rodadura resultante puede ser excesivo para todos los requisitos de estabilidad y anhedral se podría utilizar para compensar el efecto del momento de rodadura inducido del barrido de alas.

Lr{displaystyle L_{r} Momento de rodadura debido a la tasa de yaw.

La guiñada aumenta la velocidad del ala exterior mientras reduce la velocidad del ala interior, provocando un momento de balanceo hacia el lado interior. La contribución de la aleta normalmente apoya este efecto de balanceo hacia adentro a menos que sea compensado por un estabilizador anédrico sobre el eje de balanceo (o diedro debajo del eje de balanceo).

Lp{displaystyle L_{p} Momento de rodaje debido a la velocidad de rodadura.

Roll crea fuerzas contrarrevolucionarias tanto a estribor como alas portuarias, mientras que también generan tales fuerzas en el empennage. Estos efectos de momento de rodamiento opuesto tienen que ser superados por la entrada de aileron para mantener la velocidad de rodamiento. Si el rollo se detiene en un ángulo de giro no cero Lβ β {displaystyle L_{beta } arriba el momento de rodamiento inducido por el lateral de ensueño debe devolver el avión a la horizontal a menos que sea superado a su vez por el hacia abajo Lr{displaystyle L_{r} momento de rodamiento resultante de la velocidad de yaw inducida por el clip lateral. La estabilidad longitudinal puede garantizarse o mejorarse reduciendo al mínimo el último efecto.

Ecuaciones de movimiento

Dado que el redoble holandés es un modo de manejo, análogo a la oscilación de tono de período corto, se puede ignorar cualquier efecto que pueda tener en la trayectoria. La tasa de cuerpo r se compone de la tasa de cambio del ángulo de deslizamiento lateral y la tasa de giro. Tomando este último como cero, asumiendo que no hay efecto en la trayectoria, con el propósito limitado de estudiar el rollo holandés:

dβ β dt=− − r{displaystyle {frac {beta } {dt}=-r

Las ecuaciones de guiñada y balanceo, con las derivadas de estabilidad, se convierten en:

Cdrdt− − Edpdt=Nβ β β β − − Nrdβ β dt+Npp{displaystyle C{frac {dt}-E{frac} {dp}{dt}=N_{beta }beta -N_{r}{frac {dbeta } {dt}+N_{p}p} (yaw)

Adpdt− − Edrdt=Lβ β β β − − Lrdβ β dt+Lpp{displaystyle ¿Qué? {dr} {dt}=L_{beta }beta -L_{r}{frac {dbeta } {dt}+L_{p}p} (roll)

El momento de inercia debido a la aceleración del balanceo se considera pequeño en comparación con los términos aerodinámicos, por lo que las ecuaciones se convierten en:

− − Cd2β β dt2=Nβ β β β − − Nrdβ β dt+Npp{displaystyle -C{frac {d^{2}beta ### {beta} }beta -N_{r}{frac {dbeta } {dt}+N_{p}p}

Ed2β β dt2=Lβ β β β − − Lrdβ β dt+Lpp{displaystyle E{f}beta } {dt^{2}=L_{beta }beta -L_{r}{frac {dbeta } {dt}+L_{p}p}

Esto se convierte en una ecuación de segundo orden que rige la velocidad de balanceo o el deslizamiento lateral:

()NpCEA− − LpA)d2β β dt2+()LpANrC− − NpCLrA)dβ β dt− − ()LpANβ β C− − Lβ β ANpC)β β =0{displaystyle left({frac {N_{p}{C}{frac} {f} {f}} {f}} {f}} {f}} {f}}}} {f}} {f}}} {f}}} {f}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}}}}} {f}f}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f}}}}}}}} {f} {f} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}f} {f}f} {f} {f}f}f}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}}}}}}}}}} {E} {E}-{frac} {L_{p}{A}right){frac {d^{2}beta ¿Qué? {L_{p}{A}{frac} {f} {f}} {f}} {f}}} {f}} {f}}} {f}}}} {f}}}}} {f}} {f}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}} {f}f}f}}}}}}}}f}f}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} {f} {f} {f}f}f} {f}f}f}}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnMicroc}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {N_{r} {C} {fnMic} {N_{p}{C}{frac} {f} {f}} {f}} {f}} {f}} {f}}}} {f}} {f}}} {f}}} {f}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}}}}} {f}f}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f}}}}}}}} {f} {f} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}f} {f}f} {f} {f}f}f}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}}}}}}}}}} {fnh} {fnK}}derecho) {fnMicroc {dbeta } {dt}-left({frac {fnh} {fnh} {fnh00} {fnh00} {fnh} {fnh}} {fnh} {fnfnh}}} {fn}}}} {fnf}fnh} {f}fnfnh00} {fnfnf}fnh}}}}}}}}}fnh}}}f}fnfnf}fnfnfnhfnh}fnhfnfnfnfnf}fnfnhfnfnfnfnfnh}fnhnh}fnfnfnhfnfnfnh}fnh}fnh}fnhfnh}fnfnh}fnh}f}}fn {fnK} {fnMicroc {fnK}} {f}} {f}} {f} {f}} {fnMicroc {f}} {f}}} {f}}} {f}} {f} {f}f}f}fnMicroc} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnf}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} } {A}{frac Vale. =0}

La ecuación para la velocidad del rollo es idéntica. Pero el ángulo del rollo, φ φ {displaystyle phi } (phi) is given by:

dφ φ dt=p{displaystyle {frac {fnMicroc}dphi } {dt}=p}

Si p es un movimiento armónico simple húmedo, así que φ φ {displaystyle phi }, pero el rollo debe estar en cuadrícula con la velocidad del rollo, y por lo tanto también con el clip lateral. La moción consiste en oscilaciones en rollo y sierra, con el movimiento de rodadura que oscila 90 grados detrás del yaw. Las puntas del ala rastrean caminos elípticos.

La estabilidad requiere la "rigidez" y "amortiguación" términos para ser positivos. Estos son:

LpANrC− − NpCLrANpCEA− − LpA{fnMicroc {fnMicroc} {L_{p}{A}{frac} {f} {f}} {f}} {f}}} {f}} {f}}} {f}}}} {f}}}}} {f}} {f}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}} {f}f}f}}}}}}}}f}f}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} {f} {f} {f}f}f} {f}f}f}}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnMicroc}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {N_{r} {C} {fnMic} {N_{p}{C}{frac} {f} {f}} {f}} {f}} {f}} {f}}}} {f}} {f}}} {f}}} {f}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}}}}} {f}f}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f}}}}}}}} {f} {f} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}f} {f}f} {f} {f}f}f}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}}}}}}}}}} {fnK}} {fnMicroc}} {fnK}} {fnK}}} {f}} {f}}}} {fn}} {f}}}} {fn}}} {fn}}}} {f}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}}}}}}}} {f}}}} {f}}}} {f} {f}}} {f} {f}}}}}}}}} {f} {f} {f}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}} {N_{p}{C}{frac} {f} {f}} {f}} {f}} {f}} {f}}}} {f}} {f}}} {f}}} {f}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}}}}} {f}f}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f}}}}}}}} {f} {f} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}f} {f}f} {f} {f}f}f}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}}}}}}}}}} {E} {E}-{frac} {L_{p} {f}}}}} (Damping)

Lβ β ANpC− − LpANβ β CNpCEA− − LpA{fnMicroc {fnMicroc {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {f} {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicroc {\\fnMicrosoft {\\\fnMicrocH\\\\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrocH\fnMicrosoft {\\\\\\\fnMicrocH\\\\\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\\\\\fnMicrosoft {\fnMicro } {A}{frac {N_{p} {C} {fnMic} {fnh} {fnh} {fnh00} {fnh00}} {fnh} {fnh}} {fnh}} {fnfnh00}} {fnfnh}}} {fnh}} {fnh}}} {fnf}fnfnfnfnh}}}}}}fnfnfnfnh}fnf}fnfnfnfnh}f}fnfnfnKfnfnf}fnhfnhfnfnfnfnhfnfnhfnh00}fnh}fnfnfnh}fnh}}fnhnh}fnh}fnfnh}fnfnh}}}fnh } {C} {fnMicroc} {N_{p}{C}{frac} {f} {f}} {f}} {f}} {f}} {f}}}} {f}} {f}}} {f}}} {f}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}}}}} {f}f}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f}}}}}}}} {f} {f} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}f} {f}f} {f} {f}f}f}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}}}}}}}}}} {E} {E}-{frac} {L_{p} {f}}}}} (estiffness)

El denominador está dominado por Lp{displaystyle L_{p}, el derivado de amortiguación de rollos, que siempre es negativo, por lo que los denominadores de estas dos expresiones serán positivos.

Considerando el término "estiffness": − − LpNβ β {displaystyle -L_{p}N_{beta } será positivo porque Lp{displaystyle L_{p} es siempre negativo Nβ β {displaystyle N_{beta } es positivo por el diseño. Lβ β {displaystyle L_{beta } es generalmente negativo, mientras Np{displaystyle N_{p} es positivo. Excesivo dihedral puede desestabilizar el rollo holandés, por lo que las configuraciones con alas muy barridas requieren anhedral para compensar la contribución de barrido de ala para Lβ β {displaystyle L_{beta }.

El término de amortiguación está dominado por el producto de la amortiguación de balanceo y las derivadas de la amortiguación de guiñada, ambas negativas, por lo que su producto es positivo. Por lo tanto, el rollo holandés debe amortiguarse.

El movimiento está acompañado por un ligero movimiento lateral del centro de gravedad y un análisis más "exacto" introducirá términos en Yβ β {displaystyle Y_{beta}} etc. En vista de la exactitud con que se pueden calcular los derivados de la estabilidad, se trata de una pedanía innecesaria, que sirve para ocultar la relación entre la geometría y el manejo de aeronaves, que es el objetivo fundamental de este artículo.

Hundimiento del rollo

Mover la palanca hacia un lado y devolverla al centro provoca un cambio neto en la orientación del balanceo.

El movimiento de balanceo se caracteriza por la ausencia de estabilidad natural, no existen derivadas de estabilidad que generen momentos en respuesta al ángulo de balanceo inercial. Una perturbación de balanceo induce una velocidad de balanceo que solo se cancela con la intervención del piloto o del piloto automático. Esto ocurre con cambios insignificantes en el deslizamiento lateral o la velocidad de guiñada, por lo que la ecuación de movimiento se reduce a:

Adpdt=Lpp.{displaystyle A{frac {dp}=L_{p}

Lp{displaystyle L_{p} es negativo, por lo que la tasa de rodamiento se desintegrará con el tiempo. La velocidad del rodillo se reduce a cero, pero no hay control directo sobre el ángulo del rodillo.

Modo espiral

Simplemente manteniendo quieta la palanca, al comenzar con las alas casi niveladas, una aeronave generalmente tendrá una tendencia a desviarse gradualmente hacia un lado de la ruta de vuelo recta. Este es el (ligeramente inestable) modo espiral.

Trayectoria en modo espiral

Al estudiar la trayectoria, es la dirección del vector de velocidad, más que la del cuerpo, que es de interés. La dirección del vector de velocidad cuando se proyecta a la horizontal se llamará la pista, denotada μ μ {displaystyle mu } (mu). La orientación corporal se llama el rumbo, denotado ↑ ↑ {displaystyle psi } (psi). La ecuación de fuerza del movimiento incluye un componente de peso:

dμ μ dt=YmU+gUφ φ {displaystyle {frac {fnMicroc} } {dt}={frac {Y}{mU}+{frac} {g} {U}phi }

donde g es la aceleración gravitatoria y U es la velocidad.

Incluyendo los derivados de estabilidad:

dμ μ dt=Yβ β mUβ β +YrmUr+YpmUp+gUφ φ {displaystyle {frac {fnMicroc} } {dt}={frac {Y_beta} } {mU}beta +{frac {fnh} {fnh}r+{frac} {Y_{p} {f}p+{frac} {g} {U}phi }

Se espera que las tasas de rodamiento y las tasas de yaw sean pequeñas, por lo que las contribuciones Yr{displaystyle Y... y Yp{displaystyle Y... será ignorado.

La tasa de deslizamiento lateral y balanceo varía gradualmente, por lo que se ignoran sus derivados de tiempo. Las ecuaciones de guiñada y balanceo se reducen a:

Nβ β β β +Nrdμ μ dt+Npp=0{displaystyle N_{beta}beta +N_{r}{frac {dmu - ¿Qué? (yaw)

Lβ β β β +Lrdμ μ dt+Lpp=0{displaystyle L_{beta}beta +L_{r}{frac {dmu } {dt}+L_{p}p=0} (roll)

Solving for β β {displaystyle beta } y p:

β β =()LrNp− − LpNr)()LpNβ β − − NpLβ β )dμ μ dt{displaystyle beta ={frac (L_{r}N_{p}-L_{p}N_{r}{(L_{p}N_{beta) ¿Qué? } {dt}}

p=()Lβ β Nr− − LrNβ β )()LpNβ β − − NpLβ β )dμ μ dt{displaystyle p={frac [L_{beta] No. ¿Qué? } {dt}}

Al sustituir el deslizamiento lateral y la tasa de balanceo en la ecuación de fuerza, se obtiene una ecuación de primer orden en el ángulo de balanceo:

dφ φ dt=mg()Lβ β Nr− − Nβ β Lr)mU()LpNβ β − − NpLβ β )− − Yβ β ()LrNp− − LpNr)φ φ {displaystyle {frac {fnMicroc}dphi } {dt}=mg{frac [L_{beta] No. U(L_{p}N_{beta - Sí. ################################################################################################################################################################################################################################################################

Esto es un crecimiento exponencial o decadencia, dependiendo de si el coeficiente φ φ {displaystyle phi } es positivo o negativo. El denominador suele ser negativo, lo que requiere N_{beta }L_{r}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Lβ β Nr■Nβ β Lr{displaystyle L_{beta No.N_{beta }L_{r}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1ce90f80c9edfffdcd245e9c347f25e52457f2" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.292ex; height:2.843ex;"/> (ambos productos son positivos). Esto está en conflicto directo con el requisito de estabilidad de los rodillos holandeses, y es difícil diseñar un avión para el cual tanto el modo de rodamiento holandés como el modo espiral son inherentemente estables.

Dado que el modo espiral tiene una constante de tiempo prolongada, el piloto puede intervenir para estabilizarlo de manera efectiva, pero un avión con un balanceo holandés inestable sería difícil de volar. Es habitual diseñar el avión con un modo de balanceo holandés estable, pero un modo espiral ligeramente inestable.