Dinámica de poblaciones

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La dinámica de poblaciones o dinámica poblacional es el tipo de matemática utilizada para modelar y estudiar el tamaño y la composición por edad de las poblaciones como sistemas dinámicos.

Historia

La dinámica de poblaciones ha sido tradicionalmente la rama dominante de la biología matemática, que tiene una historia de más de 220 años, aunque durante el último siglo el alcance de la biología matemática se ha ampliado considerablemente.

El comienzo de la dinámica de la población es ampliamente considerado como el trabajo de Malthus, formulado como el modelo de crecimiento maltusiano. Según Malthus, suponiendo que las condiciones (el medio ambiente) permanezcan constantes (ceteris paribus), una población crecerá (o disminuirá) exponencialmente. Este principio proporcionó la base para las teorías predictivas posteriores, como los estudios demográficos como el trabajo de Benjamin Gompertz y Pierre François Verhulst a principios del siglo XIX, quienes refinaron y ajustaron el modelo demográfico malthusiano.

FJ Richards propuso una formulación de modelo más general en 1959, ampliada aún más por Simon Hopkins, en la que los modelos de Gompertz, Verhulst y también Ludwig von Bertalanffy se cubren como casos especiales de la formulación general. Las ecuaciones depredador-presa de Lotka-Volterra son otro ejemplo famoso, así como las ecuaciones alternativas de Arditi-Ginzburg.

Función logística

Los modelos de población simplificados generalmente comienzan con cuatro variables clave (cuatro procesos demográficos) que incluyen muerte, nacimiento, inmigración y emigración. Los modelos matemáticos utilizados para calcular los cambios en la evolución y la demografía de la población sostienen el supuesto ('hipótesis nula') de que no hay influencia externa. Los modelos pueden ser más complejos matemáticamente donde "... varias hipótesis en competencia se confrontan simultáneamente con los datos". Por ejemplo, en un sistema cerrado donde no hay inmigración ni emigración, la tasa de cambio en el número de individuos en una población se puede describir como:

{displaystyle {frac {dN}{dT}}=BD=bN-dN=(bd)N=rN,}

donde N es el número total de individuos en la población experimental específica que se estudia, B es el número de nacimientos y D es el número de muertes por individuo en un experimento o modelo particular. Los símbolos algebraicos b, d y r representan las tasas de natalidad, muerte y la tasa de cambio por individuo en la población general, la tasa intrínseca de aumento. Esta fórmula se puede leer como la tasa de cambio en la población (dN / dT) es igual a los nacimientos menos las muertes (B − D).

Usando estas técnicas, el principio de crecimiento de la población de Malthus se transformó más tarde en un modelo matemático conocido como ecuación logística:

{displaystyle {frac {dN}{dT}}=aNleft(1-{frac {N}{K}}right),}

donde N es la densidad de biomasa, a es la tasa máxima de cambio per cápita y K es la capacidad de carga de la población. La fórmula se puede leer de la siguiente manera: la tasa de cambio en la población (dN / dT) es igual al crecimiento (aN) que está limitado por la capacidad de carga (1 − N / K). A partir de estos principios matemáticos básicos, la disciplina de la ecología de poblaciones se expande hacia un campo de investigación que consulta la demografía de poblaciones reales y contrasta estos resultados con los modelos estadísticos. El campo de la ecología de poblaciones a menudo utiliza datos sobre la historia de la vida y el álgebra matricial para desarrollar matrices de proyección sobre la fecundidad y la supervivencia. Esta información se utiliza para administrar las poblaciones de vida silvestre y establecer cuotas de captura.

Tasa intrínseca de aumento

La tasa a la que aumenta el tamaño de una población si no hay fuerzas dependientes de la densidad que la regulen se conoce como tasa intrínseca de aumento. Está

donde la derivada $dN/dt$ es la tasa de aumento de la población, N es el tamaño de la población y r es la tasa intrínseca de aumento. Por lo tanto, r es la tasa máxima teórica de aumento de una población por individuo, es decir, la tasa máxima de crecimiento de la población. El concepto se usa comúnmente en ecología o manejo de poblaciones de insectos para determinar cómo los factores ambientales afectan la velocidad a la que aumentan las poblaciones de plagas. Véase también crecimiento demográfico exponencial y crecimiento demográfico logístico.

Epidemiología

La dinámica de la población se superpone con otra área activa de investigación en biología matemática: la epidemiología matemática, el estudio de las enfermedades infecciosas que afectan a las poblaciones. Se han propuesto y analizado varios modelos de propagación viral, que arrojan resultados importantes que pueden aplicarse a las decisiones de política sanitaria.

Poblaciones geométricas

La siguiente fórmula matemática se puede utilizar para modelar poblaciones geométricas. Las poblaciones geométricas crecen en períodos reproductivos discretos entre intervalos de abstinencia, a diferencia de las poblaciones que crecen sin períodos designados para la reproducción. Digamos que N denota el número de individuos en cada generación de una población que se reproducirá.

{displaystyle N_{t+1}=N_{t}+B_{t}+I_{t}-D_{t}-E_{t}}

donde N _t es el tamaño de la población en la generación t, y N _{t +1} es el tamaño de la población en la generación inmediatamente posterior a N _t; B _t es la suma de los nacimientos en la población entre las generaciones t y t + 1 (es decir, la tasa de natalidad); Es _la suma de inmigrantes añadidos a la población entre generaciones; D _t es la suma de muertes entre generaciones (tasa de mortalidad); y E _t es la suma de los emigrantes que salen de la población entre generaciones.

Cuando no hay migración hacia o desde la población,

{displaystyle N_{t+1}=N_{t}+B_{t}-D_{t}.}

Suponiendo en este caso que las tasas de natalidad y mortalidad son constantes, entonces la tasa de natalidad menos la tasa de mortalidad es igual a R, la tasa geométrica de aumento.

{displaystyle {begin{alineado}N_{t+1}&=N_{t}+RN_{t}\N_{t+1}&=left(1+Rright)N_{t} N_{t+1}&=lambda N_{t}end{alineado}}}

donde λ = 1 + R es la tasa finita de aumento.

En t + 1	norte _{t +1} = λN _t
En t + 2	norte _{t +2} = λN _{t +1} = λλN _t = λ norte _t
En t + 3	norte _{t +3} = λ norte _t₊₂ = λλ norte _t = λ norte _t

Por lo tanto:

donde λ es la tasa finita de aumento elevada a la potencia del número de generaciones (por ejemplo, para t + 2 [dos generaciones] → λ, para t + 1 [una generación] → λ = λ, y para t [antes de cualquier generación - en el tiempo cero] → λ = 1

Doblando tiempo

El tiempo de duplicación (t _d) de una población es el tiempo necesario para que la población crezca al doble de su tamaño. Podemos calcular el tiempo de duplicación de una población geométrica usando la ecuación: N _t = λ N ₀ aprovechando nuestro conocimiento del hecho de que la población (N) es el doble de su tamaño (2 N) después del tiempo de duplicación.

{displaystyle {begin{alineado}N_{t_{d}}&=lambda_{t_{d}}N_{0}\2N_{0}&=lambda_{t_{d}}N_{ 0}\lambda _{t_{d}}&=2end{alineado}}}

El tiempo de duplicación se puede encontrar tomando logaritmos. Por ejemplo:

{displaystyle t_{d}log _{2}(lambda)=log _{2}(2)=1implica t_{d}={frac {1}{log _{2}(lambda)}}}

{displaystyle t_{d}ln(lambda)=ln(2)implica t_{d}={frac {ln(2)}{ln(lambda)}}={frac { 0,693...}{ln(lambda)}}}

Por lo tanto:

{displaystyle t_{d}={frac {1}{log _{2}(lambda)}}={frac {0,693...}{ln(lambda)}}}

Vida media de poblaciones geométricas

La vida media de una población es el tiempo que tarda la población en disminuir a la mitad de su tamaño. Podemos calcular la vida media de una población geométrica usando la ecuación: N _t = λ N ₀ aprovechando nuestro conocimiento del hecho de que la población (N) tiene la mitad de su tamaño (0.5 N) después de una vida media.

{displaystyle N_{t_{1/2}}=lambda ^{t_{1/2}}N_{0}implica {frac {1}{2}}N_{0}=lambda ^{t_ {1/2}}N_{0}implica lambda ^{t_{1/2}}={frac {1}{2}}}

donde t _1/2 es la vida media.

La vida media se puede calcular tomando logaritmos (ver arriba).

{displaystyle t_{1/2}={frac {1}{log _{0,5}(lambda)}}={frac {ln(0,5)}{ln(lambda)}}}

Constante de crecimiento geométrico (R)

{displaystyle {begin{alineado}N_{t+1}&=N_{t}+RN_{t}\N_{t+1}-N_{t}&=RN_{t}\N_{t +1}-N_{t}&=Delta Nend{alineado}}}

donde Δ N es el cambio en el tamaño de la población entre dos generaciones (entre la generación t + 1 y t).

{displaystyle Delta N=RN_{t}implica {frac {Delta N}{N_{t}}}=T}

Constante de crecimiento finito (λ)

{ estilo de visualización 1 + R = lambda}

{displaystyle N_{t+1}=lambda N_{t}implica lambda ={frac {N_{t+1}}{N_{t}}}}

Relación matemática entre poblaciones geométricas y logísticas

En poblaciones geométricas, R y λ representan constantes de crecimiento (ver 2 y 2.3). Sin embargo, en poblaciones logísticas, la tasa de crecimiento intrínseca, también conocida como tasa de crecimiento intrínseca (r), es la constante de crecimiento relevante. Dado que las generaciones de reproducción en una población geométrica no se superponen (por ejemplo, se reproducen una vez al año) pero sí en una población exponencial, las poblaciones geométrica y exponencial suelen considerarse mutuamente excluyentes. Sin embargo, ambos conjuntos de constantes comparten la siguiente relación matemática.

La ecuación de crecimiento para poblaciones exponenciales es

donde e es el número de Euler, una constante universal aplicable a menudo en ecuaciones logísticas, y r es la tasa de crecimiento intrínseco.

Para encontrar la relación entre una población geométrica y una población logística, asumimos que el N _t es el mismo para ambos modelos y desarrollamos la siguiente igualdad:

{displaystyle {begin{alineado}N_{0}e^{rt}&=N_{0}lambda ^{t}\e^{rt}&=lambda ^{t}\rt&=t ln(lambda)end{alineado}}}

Dándonos

{ estilo de visualización r = ln ( lambda)}

{ estilo de visualización lambda = e^ {r}.}

Teoría de los juegos evolutivos

La teoría de los juegos evolutivos fue desarrollada por primera vez por Ronald Fisher en su artículo de 1930 La teoría genética de la selección natural. En 1973 John Maynard Smith formalizó un concepto central, la estrategia evolutivamente estable.

La dinámica de la población se ha utilizado en varias aplicaciones de la teoría del control. La teoría de juegos evolutiva se puede utilizar en diferentes contextos industriales o de otro tipo. Industrialmente, se usa principalmente en sistemas de múltiples entradas, múltiples salidas (MIMO), aunque se puede adaptar para su uso en sistemas de una sola entrada, una sola salida (SISO). Algunos otros ejemplos de aplicaciones son campañas militares, distribución de agua, despacho de generadores distribuidos, experimentos de laboratorio, problemas de transporte, problemas de comunicación, entre otros.

Trivialidades

El juego de computadora SimCity, Sim Earth y el MMORPG Ultima Online, entre otros, intentaron simular algunas de estas dinámicas de población.

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