Dimensión Krull

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En matemáticas, dimensión de un anillo

En álgebra conmutativa, la dimensión de Krull de un anillo conmutativo R, llamado así por Wolfgang Krull, es el supremo de las longitudes de todas las cadenas de ideales primos. La dimensión de Krull no tiene por qué ser finita ni siquiera para un anillo noetheriano. De manera más general, la dimensión de Krull se puede definir para módulos sobre anillos posiblemente no conmutativos como la desviación del conjunto de submódulos.

La dimensión de Krull se introdujo para proporcionar una definición algebraica de la dimensión de una variedad algebraica: la dimensión de la variedad afín definida por un ideal I en un anillo polinomial R es la dimensión de Krull de R/I.

Un campo k tiene dimensión Krull 0; más generalmente, k[x₁,..., x_n] tiene dimensión Krull n. Un dominio ideal principal que no es un campo tiene dimensión Krull 1. Un anillo local tiene dimensión Krull 0 si y solo si cada elemento de su ideal máximo es nilpotente.

Hay varias otras formas que se han utilizado para definir la dimensión de un anillo. La mayoría de ellos coinciden con la dimensión Krull para los anillos noetherianos, pero pueden diferir para los anillos no noetherianos.

Explicación

Decimos que una cadena de ideales primos de la forma ${mathfrak {p}}_{0}subsetneq {mathfrak {p}}_{1}subsetneq ldots subsetneq {mathfrak {p}}_{n}$ tiene longitud n. Es decir, la longitud es el número de inclusiones estrictas, no el número de primos; estos difieren por 1. Definimos el Dimensión de Krull de $R$ para ser el supremum de las longitudes de todas las cadenas de ideales primos en $R$ .

Dado un primo ${mathfrak {p}}$ dentro R, definimos el altura de ${mathfrak {p}}$ , escrito $operatorname {ht} ({mathfrak {p}})$ , ser el supremum de las longitudes de todas las cadenas de ideales primos contenidos en ${mathfrak {p}}$ , significa que ${mathfrak {p}}_{0}subsetneq {mathfrak {p}}_{1}subsetneq ldots subsetneq {mathfrak {p}}_{n}={mathfrak {p}}$ . En otras palabras, la altura de ${mathfrak {p}}$ es la dimensión Krull de la localización de R a ${mathfrak {p}}$ . Un ideal primo tiene la altura cero si y sólo si es un ideal primario mínimo. La dimensión Krull de un anillo es el supremum de las alturas de todos los ideales maximales, o los de todos los ideales primos. La altura también se llama a veces la codimensión, rango o altitud de un ideal primario.

En un anillo noetheriano, cada ideal principal tiene altura finita. Sin embargo, Nagata dio un ejemplo de un anillo noetheriano de dimensión infinita de Krull. Un anillo se llama catenario si hay alguna inclusión ${mathfrak {p}}subset {mathfrak {q}}$ de ideales primos se puede ampliar a una cadena máxima de ideales primos entre ${mathfrak {p}}$ y ${mathfrak {q}}$ , y cualquier dos cadenas máximas entre ${mathfrak {p}}$ y ${mathfrak {q}}$ tienen la misma longitud. Un anillo se llama universalmente catenario si cualquier álgebra generada finitamente sobre él es catenario. Nagata dio un ejemplo de un anillo noetheriano que no es catenario.

En un anillo noetheriano, un ideal primo tiene altura como máximo n si y solo si es un ideal primo mínimo sobre un ideal generado por n elementos (Krull&# 39; s teorema de la altura y su inversa). Implica que la condición de la cadena descendente se cumple para los ideales primos de tal manera que las longitudes de las cadenas que descienden de un ideal primo están limitadas por el número de generadores del primo.

Más generalmente, la altura de un ideal I es el infimum de las alturas de todos los ideales primos que contienen I. En el lenguaje de la geometría algebraica, esta es la codimensión de la subvariedad de la especie( $R$ ) correspondiente a I.

Esquemas

Se sigue fácilmente desde la definición del espectro de un anillo Spec(R), el espacio de ideales primos de R equipado con la topología de Zariski, que la dimensión de Krull R es igual a la dimensión de su espectro como un espacio topológico, que significa el supremum de las longitudes de todas las cadenas de subconjuntos cerrados irreducibles. Esto se deriva inmediatamente de la conexión Galois entre ideales de R y subconjuntos cerrados de Spec(R) y la observación que, por la definición de Spec(R), cada ideal primo ${mathfrak {p}}$ de R corresponde a un punto genérico del subconjunto cerrado asociado a ${mathfrak {p}}$ por la conexión Galois.

Ejemplos

La dimensión de un anillo polinomio sobre un campo k[x₁,... x_n] es el número de variables n. En el lenguaje de la geometría algebraica, esto dice que el espacio afinado de la dimensión n sobre un campo tiene dimensión nComo se esperaba. En general, si R es un anillo noetheriano de dimensión n, entonces la dimensión de R[x] es n + 1. Si la hipótesis noetheriana es bajada, entonces R[xPuede tener dimensión en cualquier lugar entre n + 1 y 2n + 1.
Por ejemplo, el ideal ${displaystyle {mathfrak {p}}=(y^{2}-x,y)subset mathbb {C} [x,y]}$ tiene la altura 2 ya que podemos formar la cadena ascendente máxima de ideales primos ${displaystyle (0)={mathfrak {p}}_{0}subsetneq (y^{2}-x)={mathfrak {p}}_{1}subsetneq (y^{2}-x,y)={mathfrak {p}}_{2}={mathfrak {p}}}$ .
Dado un polinomio irreducible ${displaystyle fin mathbb {C} [x,y,z]}$ , el ideal ${displaystyle I=(f^{3})}$ no es primo (ya ${displaystyle fcdot f^{2}in I}$ , pero ninguno de los factores son), pero podemos calcular fácilmente la altura desde el ideal primario más pequeño que contiene $I$ es sólo $(f)$ .
El anillo de los enteros Z tiene dimensión 1. Más generalmente, cualquier dominio ideal principal que no sea un campo tiene dimensión 1.
Un dominio integral es un campo si y sólo si su dimensión Krull es cero. Los dominios dedekind que no son campos (por ejemplo, anillos de valoración discretos) tienen dimensión uno.
La dimensión Krull del anillo cero se define normalmente para ser o $-infty$ o $-1$ . El anillo cero es el único anillo con una dimensión negativa.
Un anillo es Artiniano si y sólo si es Noetherian y su dimensión Krull es ≤0.
Una extensión integral de un anillo tiene la misma dimensión que el anillo.
Vamos R ser un álgebra sobre un campo k que es un dominio integral. Luego la dimensión de Krull R es inferior o igual al grado de trascendencia del campo de fracciones de R sobre k. La igualdad sostiene si R se genera finitamente como álgebra (por ejemplo, por el lemma de normalización de Noether).
Vamos R ser un anillo noetheriano, I ideal $operatorname {gr} _{I}(R)=oplus _{0}^{infty }I^{k}/I^{k+1}$ ser el anillo de grado asociado (geómetros lo llaman el anillo del cono normal de I.) Entonces... $operatorname {dim} operatorname {gr} _{I}(R)$ es el supremum de las alturas de ideales maximales de R que contiene I.
Un anillo noetheriano de Krull dimensión cero es un producto directo de un número finito (posiblemente uno) de anillos locales de Krull dimensión cero.
Un anillo local noetheriano se llama un anillo Cohen-Macaulay si su dimensión es igual a su profundidad. Un anillo local regular es un ejemplo de tal anillo.
Un dominio integral Noetherian es un dominio de factorización único si y sólo si cada altura 1 ideal primario es principal.
Para un anillo noetheriano conmutativo las tres condiciones siguientes son equivalentes: ser un anillo reducido de la dimensión cero Krull, siendo un campo o un producto directo de campos, siendo regular von Neumann.

De un módulo

Si R es un anillo conmutativo y M es un módulo R, definimos la dimensión de Krull de M sea la dimensión de Krull del cociente de R haciendo M un módulo fiel. Es decir, lo definimos por la fórmula:

{displaystyle dim _{R}M:=dim(R/operatorname {Ann} _{R}(M))}

donde Ann_R(M), la aniquiladora, es el núcleo del mapa natural R → End_R(M) de R en el anillo de endomorfismos lineales R de M.

En el lenguaje de los esquemas, los módulos generados finitamente se interpretan como haces coherentes o haces de vectores de rango finito generalizados.

Para anillos no conmutativos

La dimensión Krull de un módulo sobre un anillo posiblemente no conmutativo se define como la desviación del conjunto de submódulos ordenados por inclusión. Para los anillos conmutativos de Noether, esto es lo mismo que la definición que usa cadenas de ideales primos. Las dos definiciones pueden ser diferentes para anillos conmutativos que no son noetherianos.

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