Dimensión (espacio vectorial)

En matemáticas, la dimensión de un espacio vectorial V es la cardinalidad (es decir, el número de vectores) de una base de V sobre su campo base. A veces se le llama dimensión de Hamel (después de Georg Hamel) o dimensión algebraica para distinguirla de otros tipos de dimensión.

Para cada espacio vectorial existe una base, y todas las bases de un espacio vectorial tienen igual cardenalidad; como resultado, la dimensión de un espacio vectorial es únicamente definida. Dijimos V{displaystyle V} es finito-dimensional si la dimensión de V{displaystyle V} es finito, y infinite-dimensional si su dimensión es infinita.

La dimensión del espacio vectorial V{displaystyle V} sobre el terreno F{displaystyle F} puede ser escrito como dimF⁡ ⁡ ()V){displaystyle dim _{F}(V)} o como [V:F],{displaystyle [V:F],} read "dimension of V{displaystyle V} sobre F{displaystyle F}". Cuando F{displaystyle F} se puede inferir de contexto, dim⁡ ⁡ ()V){displaystyle dim(V)} típicamente escrito.

Ejemplos

El espacio vectorial R3{displaystyle mathbb {R} {} {}}} tiene

{}()100),()010),()001)}{end{pmatrix}},{begin{pmatrix}0end{pmatrix}},{begin{pmatrix}01end{pmatrix}},{begin{pmatrix}01end{pmatrix}}}}s}}}}}m} {s}}}}}m}}m}}}}m}}}m} {m}}}}}}}}m}m}}}}m}}}}}}}}mmm}}m}mmm}}}m}pmpm}pmcpmcmcmcpmccpm}ccccccccccccccc

dimR⁡ ⁡ ()R3)=3.{displaystyle dim _{mathbb {R}(mathbb {R} {3})=3.}

dimR⁡ ⁡ ()Rn)=n,{displaystyle dim _{mathbb {R} {fn} {fn}=n}

dimF⁡ ⁡ ()Fn)=n{displaystyle dim _{F}(F^{n}n}

F.{displaystyle F.}

Los números complejos C{displaystyle mathbb {C} son un espacio vectorial real y complejo; tenemos dimR⁡ ⁡ ()C)=2{displaystyle dim _{mathbb {R}(mathbb {C}=2} y dimC⁡ ⁡ ()C)=1.{displaystyle dim _{mathbb {C}(mathbb {C}=1.} Así que la dimensión depende del campo base.

El único espacio vectorial con dimensión 0{displaystyle 0} es {}0},{displaystyle {0},} el espacio vectorial que consiste sólo de su elemento cero.

Propiedades

Si W{displaystyle W. es un subespacio lineal V{displaystyle V} entonces dim⁡ ⁡ ()W)≤ ≤ dim⁡ ⁡ ()V).{displaystyle dim(W)leq dim(V).}

Para demostrar que dos espacios vectoriales de dimensiones finitas son iguales, se puede utilizar el siguiente criterio: si V{displaystyle V} es un espacio vectorial finito y W{displaystyle W. es un subespacio lineal V{displaystyle V} con dim⁡ ⁡ ()W)=dim⁡ ⁡ ()V),{displaystyle dim(W)=dim(V),} entonces W=V.{displaystyle W=V.}

El espacio Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} tiene la base estándar {}e1,...... ,en},{displaystyle left{e_{1},ldotse_{n}right} Donde ei{displaystyle E_{i} es i{displaystyle i}-la columna de la matriz de identidad correspondiente. Por lo tanto, Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} tiene dimensión n.{displaystyle n.}

Cualquier dos espacios vectoriales dimensionales finitos sobre F{displaystyle F} con la misma dimensión son isomorfos. Cualquier mapa bijetivo entre sus bases se puede ampliar únicamente a un mapa lineal bijetivo entre los espacios vectoriales. Si B{displaystyle B} es un conjunto, un espacio vectorial con dimensión SilencioBSilencio{displaystyle ¦ sobre F{displaystyle F} se puede construir de la siguiente manera: to the set F()B){displaystyle F(B)} de todas las funciones f:B→ → F{displaystyle f:Bto F} tales que f()b)=0{displaystyle f(b)=0} para todos, pero finitamente muchos b{displaystyle b} dentro B.{displaystyle B.} Estas funciones se pueden añadir y multiplicar con elementos F{displaystyle F} para obtener el deseado F{displaystyle F}-Espacio del vencedor.

El teorema de rango-nulidad para mapas lineales proporciona un resultado importante sobre las dimensiones.

Si F/K{displaystyle F/K} es una extensión de campo, entonces F{displaystyle F} es en particular un espacio vectorial sobre K.{displaystyle K.} Además, todos F{displaystyle F}- Espacio de vehículos V{displaystyle V} es también un K{displaystyle K}-Espacio del vencedor. Las dimensiones están relacionadas con la fórmula

dimK⁡ ⁡ ()V)=dimK⁡ ⁡ ()F)dimF⁡ ⁡ ()V).{displaystyle dim _{K}(V)=dim _{K}(F)dim _{F}(V).}

n{displaystyle n}

2n.{displaystyle 2n.}

Algunas fórmulas relacionan la dimensión de un espacio vectorial con la cardinalidad del campo base y la cardinalidad del espacio mismo. Si V{displaystyle V} es un espacio vectorial sobre un campo F{displaystyle F} entonces y si la dimensión de V{displaystyle V} es denotado por dim⁡ ⁡ V,{displaystyle dim V,} entonces:

Si dim V{displaystyle V} es finito entonces SilencioVSilencio=SilencioFSilenciodim⁡ ⁡ V.{displaystyle Новововывывые ные ных неных наных ных неных неных ных V}

Si dim V{displaystyle V} es infinito entonces SilencioVSilencio=max()SilencioFSilencio,dim⁡ ⁡ V).{displaystyle tenciónV habit=max(Sobrevivir,dim V).}

Generalizaciones

Un espacio vectorial puede verse como un caso particular de un matroide, y en este último hay una noción bien definida de dimensión. La longitud de un módulo y el rango de un grupo abeliano tienen varias propiedades similares a la dimensión de los espacios vectoriales.

La dimensión Krull de un anillo conmutativo, que lleva el nombre de Wolfgang Krull (1899–1971), se define como el número máximo de inclusiones estrictas en una cadena creciente de ideales primos en el anillo.

Rastrear

La dimensión de un espacio vectorial puede caracterizarse alternativamente como el rastro del operador de identidad. Por ejemplo, tr⁡ ⁡ idR2=tr⁡ ⁡ ()1001)=1+1=2.{displaystyle operatorname {tr} 'operatorname {id} ¿Qué? [R} ^{2}=operatorname {tr} left({begin{smallmatrix}1 limit0 limit1end{smallmatrix}}right)=1+1=2.} Esto parece ser una definición circular, pero permite generalizaciones útiles.

En primer lugar, permite una definición de una noción de dimensión cuando uno tiene un rastro pero no sentido natural de la base. Por ejemplo, uno puede tener un álgebra A{displaystyle A} con mapas .. :K→ → A{displaystyle eta:Kto A} (la inclusión de los escalares, llamada unidad) y un mapa ε ε :A→ → K{displaystyle epsilon:Ato K} (correspondiendo a la traza, llamada el counit). La composición ε ε ∘ ∘ .. :K→ → K{displaystyle epsilon circ eta:Kto K} es un escalar (ser un operador lineal en un espacio 1-dimensional) corresponde a "trace de identidad", y da una noción de dimensión para un álgebra abstracta. En la práctica, en bialgebras, este mapa es necesario para ser la identidad, que se puede obtener mediante la normalización de la counidad dividiendo por dimensión (ε ε :=1ntr{displaystyle epsilon:=textstyle {frac {1}}operatorname {tr}), así que en estos casos la constante normalizadora corresponde a la dimensión.

Alternativamente, puede ser posible tomar el rastro de los operadores en un espacio de dimensión infinita; en este caso se define una traza (finita), aunque no existe una dimensión (finita), y da una noción de "dimensión del operador". Estos caen bajo la rúbrica de "operadores de clase de seguimiento" en un espacio de Hilbert, o más generalmente operadores nucleares en un espacio de Banach.

Una generalización más sutil es considerar el rastro de una familia de operadores como una especie de dimensión "twisted". Esto ocurre significativamente en la teoría de la representación, donde el carácter de una representación es el trazo de la representación, por lo tanto una función de valor escalar en un grupo χ χ :G→ → K,{displaystyle chi:Gto K,} cuyo valor sobre la identidad 1▪ ▪ G{displaystyle 1in G} es la dimensión de la representación, ya que una representación envía la identidad en el grupo a la matriz de identidad: χ χ ()1G)=tr⁡ ⁡ IV=dim⁡ ⁡ V.{displaystyle chi (1_{G}=operatorname {tr} # I_{V}=dim V.} Los otros valores χ χ ()g){displaystyle chi (g)} del personaje se puede ver como dimensiones "twisted", y encontrar analogías o generalizaciones de declaraciones sobre dimensiones a declaraciones sobre personajes o representaciones. Un ejemplo sofisticado de esto ocurre en la teoría de la luna monstruosa: el j{displaystyle j}- invariante es la dimensión clasificada de una representación de grado infinito del grupo de monstruos, y reemplazar la dimensión con el personaje da la serie McKay-Thompson para cada elemento del grupo Monster.