Dilatación del tiempo gravitacional

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Dilatación del tiempo debida a la gravedad

Dilatación de tiempo gravitacional es una forma de dilatación del tiempo, una diferencia real del tiempo transcurrido entre dos eventos, medida por observadores situados a distancias variables de una masa gravitatoria. Cuanto menor sea el potencial gravitatorio (cuanto más cerca está el reloj a la fuente de la gravedad), más lento pasa el tiempo, acelerando a medida que aumenta el potencial gravitacional (el reloj se aleja de la fuente de la gravedad). Albert Einstein predijo originalmente esto en su teoría de la relatividad, y desde entonces ha sido confirmado por pruebas de relatividad general.

Este efecto se ha demostrado al observar que los relojes atómicos a diferentes altitudes (y, por lo tanto, a diferentes potenciales gravitacionales) eventualmente mostrarán diferentes horas. Los efectos detectados en estos experimentos realizados en la Tierra son extremadamente pequeños y las diferencias se miden en nanosegundos. En relación con la edad de la Tierra en miles de millones de años, el núcleo de la Tierra es, de hecho, 2,5 años más joven que su superficie. Demostrar efectos mayores requeriría mediciones a mayores distancias de la Tierra o una fuente gravitacional más grande.

La dilatación del tiempo gravitacional fue descrita por primera vez por Albert Einstein en 1907 como consecuencia de la relatividad especial en marcos de referencia acelerados. En la relatividad general, se considera una diferencia en el paso del tiempo propio en diferentes posiciones como lo describe un tensor métrico del espacio-tiempo. La existencia de dilatación del tiempo gravitacional fue confirmada directamente por primera vez por el experimento de Pound-Rebka en 1959, y luego refinada por Gravity Probe A y otros experimentos.

La dilatación del tiempo gravitacional está estrechamente relacionada con el corrimiento al rojo gravitacional, en el que cuanto más cerca está un cuerpo que emite luz de frecuencia constante de un cuerpo gravitacional, más se ralentiza su tiempo por la dilatación del tiempo gravitacional, y menor (más " desplazado al rojo") parecería ser la frecuencia de la luz emitida, medida por un observador fijo.

Definición

Los relojes que están lejos de cuerpos masivos (o con potenciales gravitacionales más altos) funcionan más rápidamente, y los relojes cerca de cuerpos masivos (o con potenciales gravitacionales más bajos) funcionan más lentamente. Por ejemplo, considerando el lapso de tiempo total de la Tierra (4.600 millones de años), un reloj colocado en una posición geoestacionaria a una altitud de 9.000 metros sobre el nivel del mar, como quizás en la cima del Monte Everest (prominencia 8.848 m), se adelantaría unas 39 horas a un reloj fijado al nivel del mar. Esto se debe a que la dilatación del tiempo gravitacional se manifiesta en sistemas de referencia acelerados o, en virtud del principio de equivalencia, en el campo gravitacional de objetos masivos.

Según la relatividad general, la masa inercial y la masa gravitacional son iguales, y todos los sistemas de referencia acelerados (como un sistema de referencia que gira uniformemente con su dilatación del tiempo adecuada) son físicamente equivalentes a un campo gravitacional de la misma fuerza.

Considere a una familia de observadores a lo largo de una línea "vertical" recta, cada uno de los cuales experimenta una fuerza g distinta constante dirigida a lo largo de esta línea (por ejemplo, una nave espacial acelerada larga, un rascacielos, un eje en un planeta). Vamos. ${displaystyle g(h)}$ ser la dependencia de la fuerza g de "altura", una coordinación a lo largo de la línea mencionada. La ecuación con respecto a un observador de base en ${displaystyle h=0}$ es

{displaystyle T_{d}(h)=exp left[{frac {1}{c^{2}}}int _{0}^{h}g(h')dh'right]}

Donde ${displaystyle T_{d}(h)}$ es total dilatación de tiempo en una posición distante ${displaystyle h}$ , ${displaystyle g(h)}$ es la dependencia de la fuerza g de "altura" ${displaystyle h}$ , ${displaystyle c}$ es la velocidad de la luz, y ${displaystyle exp }$ denota exponenciación por e.

Para la simplicidad, en la familia de observadores de Rindler en un espacio plano, la dependencia sería

{displaystyle g(h)=c^{2}/(H+h)}

con constante ${displaystyle H}$ , que rinde

{displaystyle T_{d}(h)=e^{ln(H+h)-ln H}={tfrac {H+h}{H}}}

Por otro lado, cuando ${displaystyle g}$ es casi constante y ${displaystyle gh}$ es mucho más pequeño que ${displaystyle c^{2}}$ , la aproximación lineal "campo débil" ${displaystyle T_{d}=1+gh/c^{2}}$ también se puede utilizar.

Consulte la paradoja de Ehrenfest para conocer la aplicación de la misma fórmula a un sistema de referencia giratorio en el espacio-tiempo plano.

Fuera de una esfera no giratoria

Una ecuación común utilizada para determinar la dilatación del tiempo gravitacional se deriva de la métrica de Schwarzschild, que describe el espacio-tiempo en las proximidades de un objeto masivo esféricamente simétrico que no gira. La ecuación es

<math alttext="{displaystyle t_{0}=t_{f}{sqrt {1-{frac {2GM}{rc^{2}}}}}=t_{f}{sqrt {1-{frac {r_{rm {s}}}{r}}}}=t_{f}{sqrt {1-{frac {v_{e}^{2}}{c^{2}}}}}=t_{f}{sqrt {1-beta _{e}^{2}}}t0=tf1− − 2GMrc2=tf1− − rsr=tf1− − ve2c2=tf1− − β β e2c)tf{displaystyle {f}} {f} {f} {f} {f} {f}}}} {f} {f} {f}} {f}sqrt}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f}\\f}sqt}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\sq\\\\\\sqt}\\sqt} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\sq\\sq\\\\\\sq\\\\\\\\\\\\\\\\\\\sqsq}}}}}} [1-{frac {r_{rm {}} {f} {f} {f} {f}} {f}}} {f}}} {f} {f} {f}} {f} {f}} {f}}}}}} {f}}}}} {f}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} { t} { t} { t} { t} { t} {f} { t} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}}}}}} {f} {f} {f} {f}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}} {f} {f} {f} {f}} {f} {1-{frac {f} {f} {f}}} {f}} {f}}} {f}}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}} {f}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}} {c}}}}}}}}}}} {c}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}} {}}}}}} { t} { t} { t} { t} { t} { t}} {f}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}} {f} {1-beta - ¿Qué?<img alt="{displaystyle t_{0}=t_{f}{sqrt {1-{frac {2GM}{rc^{2}}}}}=t_{f}{sqrt {1-{frac {r_{rm {s}}}{r}}}}=t_{f}{sqrt {1-{frac {v_{e}^{2}}{c^{2}}}}}=t_{f}{sqrt {1-beta _{e}^{2}}}

dónde

${displaystyle t_{0}}$ es el momento adecuado entre dos eventos para un observador cerca de la esfera masiva, es decir, profundo dentro del campo gravitacional
${displaystyle t_{f}}$ es el tiempo de coordinación entre los eventos para un observador a una distancia arbitrariamente grande del objeto masivo (esto supone que el observador lejano está utilizando las coordenadas Schwarzschild, un sistema de coordenadas donde un reloj a infinita distancia de la esfera masiva se marcaría en un segundo por segundo de tiempo de coordenadas, mientras que los relojes más cercanos marcarían a menos de ese tipo),
${displaystyle G}$ es la constante gravitacional,
${displaystyle M}$ es la masa del objeto creando el campo gravitacional,
${displaystyle r}$ es la coordinación radial del observador dentro del campo gravitacional (esta coordinación es análoga a la distancia clásica del centro del objeto, pero es en realidad una coordinación Schwarzschild; la ecuación en esta forma tiene soluciones reales para $r_{rm {s}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■rs{displaystyle r confíar_{rm {}}r_{rm {s}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/481b997c89fc5fa541e2fd433c2b60ce67de634b" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.076ex; height:2.176ex;"/>$ ),
${displaystyle c}$ es la velocidad de la luz,
${displaystyle r_{rm {s}}=2GM/c^{2}}$ es el radio de Schwarzschild ${displaystyle M}$ ,
${displaystyle v_{e}={sqrt {frac {2GM}{r}}}}$ es la velocidad de escape, y
${displaystyle beta _{e}=v_{e}/c}$ es la velocidad de escape, expresada como una fracción de la velocidad de la luz c.

Para ilustrar entonces, sin tener en cuenta los efectos de la rotación, la proximidad al pozo gravitacional de la Tierra hará que un reloj en la superficie del planeta acumule alrededor de 0,0219 segundos menos durante un período de un año de lo que lo haría. el reloj de un observador distante. En comparación, un reloj en la superficie del Sol acumulará alrededor de 66,4 segundos menos en un año.

Órbitas circulares

En el Schwarzschild objetos métricos y de caída libre pueden estar en órbitas circulares si el radio orbital es mayor que el ${displaystyle {tfrac {3}{2}}r_{s}}$ (el radio de la esfera de fotones). La fórmula para un reloj en reposo se da arriba; la fórmula siguiente da la dilatación general del tiempo relativista para un reloj en una órbita circular:

{displaystyle t_{0}=t_{f}{sqrt {1-{frac {3}{2}}!cdot !{frac {r_{rm {s}}}{r}}}},.}

Ambas dilaciones se muestran en la figura siguiente.

Características importantes de la dilatación del tiempo gravitacional

Según la teoría general de la relatividad, la dilatación del tiempo gravitacional es copresente con la existencia de un marco de referencia acelerado. Además, todos los fenómenos físicos en circunstancias similares experimentan dilatación de tiempo igual según el principio de equivalencia utilizado en la teoría general de la relatividad.
La velocidad de la luz en un lugar es siempre igual a c según el observador que está allí. Es decir, cada región infinitesimal de tiempo espacial puede ser asignada su propio tiempo apropiado, y la velocidad de la luz según el tiempo apropiado en esa región es siempre c. Este es el caso de que una región determinada sea ocupada o no por un observador. Se puede medir un retraso en el tiempo para fotones que se emiten desde la Tierra, se curvan cerca del Sol, viajan a Venus, y luego regresan a la Tierra por un camino similar. No hay violación de la constancia de la velocidad de la luz aquí, ya que cualquier observador observando la velocidad de los fotones en su región encontrará la velocidad de esos fotones para ser c, mientras que la velocidad a la que observamos distancias finitas de viaje ligero en las proximidades del Sol difiere de c.
Si un observador es capaz de rastrear la luz en un lugar remoto y distante que intercepta a un observador remoto y dilatado más cerca de un cuerpo más masivo, ese primer observador rastrea que tanto la luz remota como ese observador remoto dilatado tienen un reloj de tiempo más lento que otra luz que viene al primer observador en c, como toda otra luz el primer observador Realmente puede observar (en su propia ubicación). Si la otra luz remota eventualmente intercepta al primer observador, también se medirá a c por el primer observador.
Dilatación de tiempo gravitacional ${displaystyle T}$ en un pozo gravitacional es igual a la dilatación del tiempo de velocidad para una velocidad que se necesita para escapar de ese pozo gravitacional (aunque la métrica es de la forma ${displaystyle g=(dt/T(x))^{2}-g_{space}}$ , es decir, es tiempo invariante y no hay términos de "movimiento" ${displaystyle dxdt}$ ). Para mostrar eso, se puede aplicar el teorema de Noether a un cuerpo que cae libremente en el pozo del infinito. Entonces la invariancia del tiempo de la métrica implica la conservación de la cantidad ${displaystyle g(v,dt)=v^{0}/T^{2}}$ , donde ${displaystyle v^{0}}$ es el componente de tiempo de la 4-velocidad ${displaystyle v}$ del cuerpo. En el infinito ${displaystyle g(v,dt)=1}$ , entonces ${displaystyle v^{0}=T^{2}}$ , o, en coordenadas ajustadas a la dilación horaria local, ${displaystyle v_{loc}^{0}=T}$ ; es decir, la dilatación del tiempo debido a la velocidad adquirida (como medida en la posición del cuerpo caída) equivale a la dilatación del tiempo gravitacional en el pozo en el que cayó el cuerpo. Aplicando este argumento más generalmente se obtiene que (bajo las mismas suposiciones en la métrica) la dilatación relativa del tiempo gravitacional entre dos puntos equivale a la dilatación del tiempo debido a la velocidad necesaria para subir desde el punto inferior al superior.

Confirmación experimental

La dilatación del tiempo gravitacional se ha medido experimentalmente utilizando relojes atómicos en aviones, como el experimento Hafele-Keating. Los relojes a bordo de los aviones eran ligeramente más rápidos que los relojes en tierra. El efecto es lo suficientemente significativo como para que sea necesario corregir los relojes de los satélites artificiales del Sistema de Posicionamiento Global.

Además, se han verificado experimentalmente en el laboratorio dilataciones del tiempo debidas a diferencias de altura inferiores a un metro.

La dilatación del tiempo gravitacional en forma de corrimiento al rojo gravitacional también ha sido confirmada por el experimento de Pound-Rebka y las observaciones del espectro de la enana blanca Sirio B.

La dilatación del tiempo gravitacional se ha medido en experimentos con señales horarias enviadas hacia y desde el módulo de aterrizaje Viking 1 en Marte.

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