Dígito numérico

Un dígito numérico (a menudo abreviado como dígito) es un símbolo único que se usa solo (como "1") o en combinaciones (como como "15"), para representar números en un sistema de numeración posicional. El nombre "dígito" proviene del hecho de que los diez dígitos (latín digiti que significa dedos) de las manos corresponden a los diez símbolos del sistema numérico de base común 10, es decir, el decimal (adjetivo latino antiguo decim que significa diez) dígitos.

Para un sistema numérico dado con una base entera, el número de dígitos diferentes requeridos viene dado por el valor absoluto de la base. Por ejemplo, el sistema decimal (base 10) requiere diez dígitos (del 0 al 9), mientras que el sistema binario (base 2) requiere dos dígitos (0 y 1).

Resumen

En un sistema digital básico, un número es una secuencia de dígitos, que puede tener una longitud arbitraria. Cada posición en la secuencia tiene un valor posicional y cada dígito tiene un valor. El valor del número se calcula multiplicando cada dígito de la secuencia por su valor posicional y sumando los resultados.

Valores digitales

Cada dígito en un sistema numérico representa un número entero. Por ejemplo, en decimal el dígito "1" representa el entero uno, y en el sistema hexadecimal, la letra "A" representa el número diez. Un sistema numérico posicional tiene un dígito único para cada número entero desde cero hasta, pero sin incluir, la raíz del sistema numérico.

Así, en el sistema decimal posicional, los números del 0 al 9 se pueden expresar usando sus respectivos numerales "0" a "9" en las "unidades" más a la derecha posición. El número 12 se puede expresar con el numeral "2" en la posición de las unidades, y con el numeral "1" en las "decenas" posición, a la izquierda del "2" mientras que el número 312 se puede expresar con tres números: "3" en los "cientos" posición, "1" en las "decenas" posición y "2" en las "unidades" posición.

Cálculo de valores posicionales

El sistema de numeración decimal usa un separador decimal, comúnmente un punto en inglés, o una coma en otros idiomas europeos, para indicar el "lugar de las unidades" o "unidades de lugar", que tiene un valor posicional uno. Cada lugar sucesivo a la izquierda de este tiene un valor de lugar igual al valor de lugar del dígito anterior multiplicado por la base. De manera similar, cada lugar sucesivo a la derecha del separador tiene un valor de lugar igual al valor de lugar del dígito anterior dividido por la base. Por ejemplo, en el numeral 10,34 (escrito en base 10),

el 0 es inmediatamente a la izquierda del separador, por lo que es en el lugar de las unidades o, y se llama el unidades dígitos o dígitos;

el 1 a la izquierda del lugar está en el lugar de los diez, y se llama el diez dígitos;

el 3 es a la derecha de los lugares, así que está en el lugar de las décimas, y se llama el 10 dígitos;

el 4 a la derecha del décimo lugar está en el lugar de los centésimos, y es llamado cientos de dígitos.

El valor total del número es 1 decena, 0 unidades, 3 décimas y 4 centésimas. El cero, que no aporta ningún valor al número, indica que el 1 está en el lugar de las decenas en lugar de en el de las unidades.

El valor posicional de cualquier dígito dado en un numeral se puede dar mediante un cálculo simple, que en sí mismo es un complemento a la lógica detrás de los sistemas numéricos. El cálculo involucra la multiplicación del dígito dado por la base elevada por el exponente n − 1, donde n representa el posición del dígito del separador; el valor de n es positivo (+), pero esto es solo si el dígito está a la izquierda del separador. Y a la derecha, el dígito se multiplica por la base elevada por un negativo (-) n. Por ejemplo, en el número 10,34 (escrito en base 10),

el 1 es segundo a la izquierda del separador, así que basado en el cálculo, su valor es,

n− − 1=2− − 1=1{displaystyle n-1=2-1=1}

1× × 101=10{displaystyle 1times 10^{1}=10}

el 4 es segundo a la derecha del separador, así que basado en el cálculo su valor es,

n=− − 2{displaystyle N=-2

4× × 10− − 2=4100{displaystyle 4times 10^{-2}={frac {4}{100}}

Historia

El primer sistema de numeración posicional verdaderamente escrito se considera el sistema de numeración hindú-árabe. Este sistema se estableció en el siglo VII en la India, pero aún no estaba en su forma moderna porque el uso del dígito cero aún no había sido ampliamente aceptado. En lugar de un cero, a veces los dígitos se marcaban con puntos para indicar su significado, o se usaba un espacio como marcador de posición. El primer uso ampliamente reconocido del cero fue en 876. Los números originales eran muy similares a los modernos, incluso hasta los glifos utilizados para representar dígitos.

En el siglo XIII, los números arábigos occidentales fueron aceptados en los círculos matemáticos europeos (Fibonacci los usó en su Liber Abaci). Comenzaron a entrar en uso común en el siglo XV. A finales del siglo XX, prácticamente todos los cálculos no computarizados del mundo se hacían con números arábigos, que han reemplazado a los sistemas de numeración nativos en la mayoría de las culturas.

Otros sistemas numéricos históricos que utilizan dígitos

La edad exacta de los números mayas no está clara, pero es posible que sea más antigua que el sistema hindú-árabe. El sistema era vigesimal (base 20), por lo que tiene veinte dígitos. Los mayas usaban un símbolo de concha para representar el cero. Los números se escribieron verticalmente, con las unidades en la parte inferior. Los mayas no tenían un equivalente del moderno separador decimal, por lo que su sistema no podía representar fracciones.

El sistema de numeración tailandés es idéntico al sistema de numeración hindú-árabe, excepto por los símbolos que se usan para representar los dígitos. El uso de estos dígitos es menos común en Tailandia que antes, pero todavía se usan junto con los números arábigos.

Los números de barra, las formas escritas de las barras de conteo que alguna vez usaron los matemáticos chinos y japoneses, son un sistema posicional decimal capaz de representar no solo el cero sino también los números negativos. Las propias varillas de conteo son anteriores al sistema de numeración hindú-árabe. Los números de Suzhou son variantes de los números de varilla.

Números de varilla (vertical)

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
-0	–1	-2	-3	–4	-5	–6	–7	–8	–9

Sistemas digitales modernos

En informática

Los sistemas binario (base 2), octal (base 8) y hexadecimal (base 16), ampliamente utilizados en informática, siguen las convenciones del sistema de numeración hindú-árabe. El sistema binario usa solo los dígitos "0" y "1", mientras que el sistema octal usa los dígitos de "0" hasta "7". El sistema hexadecimal utiliza todos los dígitos del sistema decimal, más las letras "A" hasta la "F", que representan los números del 10 al 15 respectivamente. Cuando se utiliza el sistema binario, el término "bit(s)" se usa típicamente como una alternativa para "dígito(s)", siendo un acrónimo del término "dígito binario". Existen términos similares para otros sistemas numéricos, como "trit(s)" para un sistema ternario y "dit(s) para el sistema decimal, aunque se usa con menos frecuencia.

Sistemas inusuales

A veces se han utilizado los sistemas ternario y ternario equilibrado. Ambos son sistemas de base 3.

El ternario equilibrado es inusual porque tiene los valores de dígitos 1, 0 y –1. El ternario equilibrado resulta tener algunas propiedades útiles y el sistema se ha utilizado en las computadoras experimentales rusas Setun.

Varios autores en los últimos 300 años han notado una facilidad de notación posicional que equivale a una representación decimal modificada. Se citan algunas ventajas del uso de dígitos numéricos que representan valores negativos. En 1840, Augustin-Louis Cauchy abogó por el uso de la representación de números con dígitos con signo, y en 1928 Florian Cajori presentó su colección de referencias para números negativos. El concepto de representación de dígitos con signo también se ha adoptado en el diseño de computadoras.

Dígitos en matemáticas

A pesar del papel esencial de los dígitos en la descripción de los números, son relativamente poco importantes para las matemáticas modernas. Sin embargo, existen algunos conceptos matemáticos importantes que hacen uso de la representación de un número como una secuencia de dígitos.

Raíces digitales

La raíz digital es el número de un solo dígito que se obtiene sumando los dígitos de un número dado, luego sumando los dígitos del resultado y así sucesivamente hasta obtener un número de un solo dígito.

Echar nueves

Repartir nueves es un procedimiento para comprobar la aritmética hecha a mano. Para describirlo, déjelo f()x){displaystyle f(x)} representan la raíz digital x{displaystyle x}, como se describe anteriormente. Repartir nueves hace uso del hecho de que si A+B=C{displaystyle A+B=C}, entonces f()f()A)+f()B))=f()C){displaystyle f(f(A)+f(B))=f(C)}. En el proceso de fundición de nueves, ambos lados de la última ecuación se computan, y si no son iguales, la adición original debe haber sido defectuosa.

Repuntes y repdigitos

Los repunits son números enteros que se representan solo con el dígito 1. Por ejemplo, 1111 (mil ciento once) es un repunit. Repdigits son una generalización de repunits; son números enteros representados por instancias repetidas del mismo dígito. Por ejemplo, 333 es un repdigito. La primalidad de las repeticiones es de interés para los matemáticos.

Números palindrómicos y números de Lychrel

Los números palindrómicos son números que se leen igual cuando se invierten sus dígitos. Un número de Lychrel es un número entero positivo que nunca produce un número palindrómico cuando se somete al proceso iterativo de sumarse a sí mismo con los dígitos invertidos. La cuestión de si hay números de Lychrel en base 10 es un problema abierto en las matemáticas recreativas; el candidato más pequeño es 196.

Historia de los números antiguos

Las ayudas para contar, especialmente el uso de partes del cuerpo (contar con los dedos), ciertamente se usaron en tiempos prehistóricos como en la actualidad. Hay muchas variaciones. Además de contar diez dedos, algunas culturas han contado los nudillos, el espacio entre los dedos de las manos y de los pies, además de los dedos de las manos. La cultura Oksapmin de Nueva Guinea utiliza un sistema de 27 ubicaciones en la parte superior del cuerpo para representar números.

Para preservar la información numérica, se han utilizado cuentas talladas en madera, hueso y piedra desde tiempos prehistóricos. Las culturas de la edad de piedra, incluidos los antiguos grupos indígenas americanos, usaban cuentas para juegos de azar, servicios personales y bienes comerciales.

Los sumerios inventaron un método para conservar la información numérica en arcilla entre el 8000 y el 3500 a. C. Esto se hacía con pequeñas fichas de arcilla de varias formas que se ensartaban como cuentas en un hilo. A partir del año 3500 a. C., las fichas de arcilla fueron reemplazadas gradualmente por signos numéricos impresos con un estilo redondo en diferentes ángulos en tablillas de arcilla (originalmente recipientes para fichas) que luego se horneaban. Hacia el 3100 a. C., los números escritos se disociaron de las cosas que se contaban y se convirtieron en números abstractos.

Entre 2700 y 2000 a. C., en Sumer, el lápiz redondo fue reemplazado gradualmente por un lápiz de caña que se usaba para imprimir signos cuneiformes en forma de cuña en arcilla. Estos signos de números cuneiformes se parecían a los signos de números redondos que reemplazaron y conservaron la notación de valor de signo aditivo de los signos de números redondos. Estos sistemas convergieron gradualmente en un sistema numérico sexagesimal común; este era un sistema de valor posicional que constaba de solo dos marcas impresas, la cuña vertical y el cheurón, que también podían representar fracciones. Este sistema de numeración sexagesimal se desarrolló por completo al comienzo del período de la Antigua Babilonia (alrededor de 1950 a. C.) y se convirtió en estándar en Babilonia.

Los números sexagesimales eran un sistema de base mixta que conservaba la base 10 y la base 6 alternas en una secuencia de cuñas verticales cuneiformes y chevrones. En 1950 a. C., este era un sistema de notación posicional. Los números sexagesimales se utilizaron ampliamente en el comercio, pero también se utilizaron en cálculos astronómicos y de otro tipo. Este sistema se exportó de Babilonia y se usó en toda Mesopotamia, y por todas las naciones mediterráneas que usaban unidades de medida y conteo estándar de Babilonia, incluidos los griegos, los romanos y los egipcios. La numeración sexagesimal al estilo babilónico todavía se usa en las sociedades modernas para medir el tiempo (minutos por hora) y los ángulos (grados).

Historia de los números modernos

En China, los ejércitos y las provisiones se contaron utilizando conteos modulares de números primos. Números únicos de tropas y medidas de arroz aparecen como combinaciones únicas de estas cuentas. Una gran ventaja de la aritmética modular es que es fácil de multiplicar. Esto hace que el uso de la aritmética modular para provisiones sea especialmente atractivo. Las cuentas convencionales son bastante difíciles de multiplicar y dividir. En los tiempos modernos, la aritmética modular se usa a veces en el procesamiento de señales digitales.

El sistema griego más antiguo era el de los números áticos, pero en el siglo IV a. C. comenzaron a utilizar un sistema alfabético cuasidecimal (ver números griegos). Los judíos comenzaron a usar un sistema similar (números hebreos), y los ejemplos más antiguos conocidos son monedas de alrededor del año 100 a.

El imperio romano usó cuentas escritas en cera, papiro y piedra, y siguió aproximadamente la costumbre griega de asignar letras a varios números. El sistema de números romanos siguió siendo de uso común en Europa hasta que la notación posicional pasó a ser de uso común en el siglo XVI.

Los mayas de América Central usaban un sistema mixto de base 18 y base 20, posiblemente heredado de los olmecas, que incluía características avanzadas como la notación posicional y un cero. Utilizaron este sistema para realizar cálculos astronómicos avanzados, incluidos cálculos muy precisos de la duración del año solar y la órbita de Venus.

El Imperio Inca manejaba una gran economía dirigida usando quipu, cuentas hechas al anudar fibras de colores. El conocimiento de las codificaciones de los nudos y los colores fue suprimido por los conquistadores españoles en el siglo XVI y no ha sobrevivido, aunque en la región andina todavía se utilizan dispositivos de registro simples similares a quipu.

Algunas autoridades creen que la aritmética posicional comenzó con el amplio uso de las varillas de conteo en China. Los primeros registros posicionales escritos parecen ser resultados de cálculo de barras en China alrededor del año 400. Brahmagupta utilizó por primera vez el cero en India en el siglo VII d.C.

El moderno sistema de numeración arábiga posicional fue desarrollado por matemáticos en India y pasó a los matemáticos musulmanes, junto con tablas astronómicas traídas a Bagdad por un embajador indio alrededor de 773.

Desde la India, el próspero comercio entre los sultanes islámicos y África llevó el concepto a El Cairo. Los matemáticos árabes ampliaron el sistema para incluir fracciones decimales, y Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī escribió un importante trabajo al respecto en el siglo IX. Los números arábigos modernos se introdujeron en Europa con la traducción de esta obra en el siglo XII en España y el Liber Abaci de Leonardo de Pisa de 1201. En Europa, el sistema indio completo con el cero se derivó de los árabes en el siglo XII.

El sistema binario (base 2) fue propagado en el siglo XVII por Gottfried Leibniz. Leibniz había desarrollado el concepto al principio de su carrera y lo había revisado cuando revisó una copia del I Ching de China. Los números binarios se volvieron de uso común en el siglo XX debido a las aplicaciones informáticas.

Números en los sistemas más populares

West Arabic	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Asomiya (Assamese); Bengali	০	১	২	৩	৪	৫	৬	৭	৮	৯
Devanagari	०	१	२	३	४	५	६	७	८	९
East Arabic	٠	١	٢	٣	٤	٥	٦	٧	٨	٩
Persa	٠	١	٢	٣	۴	.	.	٧	٨	٩
Gurmukhi	੦	੧	੨	੩	੪	੫	੬	੭	੮	੯
Urdu
Chino (todo el día)	〇	.	INF	.	.	.	.	七	八	▪
Chino (tradicional)	.	壹	貳	叄	肆	伍	陸	柒	捌	玖
Chino (Simplificado)	.	壹	贰	叁	肆	伍	.	柒	捌	玖
Chino (Suzhou)	〇	〡	〢	〣	〤	〥	〦	〧	〨	〩
Dios (Etiopía)		፩	፪	፫	፬	፭	፮	፯	፰	፱
Gujarati	૦	૧	૨	૩	૪	૫	૬	૭	૮	૯
Hieroglyphic egipcio		𓏺	𓏻	𓏼	𓏽	𓏾	𓏿	𓐀	𓐁	𓐂
japonés	./〇	.	INF	.	.	.	.	七	八	▪
Kannada	೦	೧	೨	೩	೪	೫	೬	೭	೮	೯
Khmer (Camboya)	០	១	២	៣	៤	៥	៦	៧	៨	៩
Lao	໐	໑	໒	໓	໔	໕	໖	໗	໘	໙
Limbu	᥆	᥇	᥈	᥉	᥊	᥋	᥌	᥍	᥎	᥏
Malayalam	൦	൧	൨	൩	൪	൫	൬	൭	൮	൯
Mongolia	᠐	᠑	᠒	᠓	᠔	᠕	.	᠗	᠘	᠙
Burmese	၀	၁	၂	၃	၄	၅	၆	၇	၈	၉
Oriya	୦	୧	୨	୩	୪	୫	୬	୭	୮	୯
Roman		I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX
Shan	႐	႑	႒	႓	႔	႕	႖	႗	႘	႙
Sinhala		𑇡	𑇢	𑇣	𑇤	𑇥	𑇦	𑇧	𑇨	𑇩
Tamil	௦	௧	௨	௩	௪	௫	௬	௭	௮	௯
Telugu	౦	౧	౨	౩	౪	౫	౬	౭	౮	౯
Tailandia	.	๑	๒	๓	๔	๕	๖	๗	๘	๙
Tibetan	༠	༡	༢	༣	༤	༥	༦	༧	༨	༩
New Tai Lue	᧐	᧑	᧒	᧓	᧔	᧕	᧖	᧗	᧘	᧙
Javanese	꧐	꧑	꧒	꧓	꧔	꧕	꧖	꧗	꧘	꧙

Números adicionales