Diferenteintegral

En el cálculo fraccionario, un área del análisis matemático, la diferenteintegral (a veces también llamada derivigral) es un operador combinado de diferenciación/integración. Aplicada a una función ƒ, la q-differintegral de f, aquí denotada por

Dqf{displaystyle mathbb {} {f}

es la derivada fraccionaria (si q > 0) o integral fraccionaria (si q < 0). Si q = 0, entonces la q-ésima integral diferente de una función es la función misma. En el contexto de la integración y diferenciación fraccionaria, existen varias definiciones legítimas de la integral diferente.

Definiciones estándar

Las cuatro formas más comunes son:

• El Riemann-Liouville difiereintegral
  Este es el más simple y fácil de usar, y por lo tanto es el más utilizado. Es una generalización de la fórmula Cauchy para la integración repetida al orden arbitrario. Aquí, n=⌈ ⌈ q⌉ ⌉ {displaystyle n=lceil qrceil }.
  aRLDtqf()t)=dqf()t)d()t− − a)q=1.. ()n− − q)dndtn∫ ∫ at()t− − τ τ )n− − q− − 1f()τ τ )dτ τ {displaystyle {begin{aligned}{a}{RL}mathbb {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}}\\f}}\\\fnMicroc} {f}}}\\\\\fnMicroc} {1}{} {fn} {fn} {fn} {fn}n}int _{a} {t} {t} {t-tau)}{n-q-1}f(tau)dtau end{aligned}}}}}}}} {f}}} {f}}}} {f}}}}}}} {

  
• El Grunwald-Letnikov difiereintegral
  El Grunwald-Letnikov diferenciaintegral es una generalización directa de la definición de un derivado. Es más difícil de usar que el Riemann-Liouville diferenteintegral, pero a veces se puede utilizar para resolver problemas que el Riemann-Liouville no puede.
  aGLDtqf()t)=dqf()t)d()t− − a)q=limN→ → JUEGO JUEGO [t− − aN]− − q.. j=0N− − 1()− − 1)j()qj)f()t− − j[t− − aN]){displaystyle {begin{aligned}{a}{GL}mathbb {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}}}\\\\\\cH00}}\\\\\cH00}}\\\\cH00}\cH0cH0}f}}\\cH00}cH00}\cH00}\cH00}cH00}cH00}\cH00}cH00}cH00}\cH00}\cH00}cH00}cH00}\cH00}cH00}\\cH00}\\cH00}\cH00}\cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}\cH00}cH00}cH00}\cH ¿Por qué? {T-a}{-q}sum _{j=0} {N-1}{j}{j}{q} choose j}fleft(t-jleft[{frac {T-A}{N}right)end{aligned}

  
• El Weyl difiereintegral
  Esto es formalmente similar al Riemann-Liouville diferenteintegral, pero se aplica a las funciones periódicas, con cero integral durante un período.
• El Caputo difiereintegral
  En frente del Riemann-Liouville difiereintegral, derivado de Caputo de una constante f()t){displaystyle f(t)} es igual a cero. Además, una forma de la transformación Laplace permite simplemente evaluar las condiciones iniciales mediante la computación de derivados finitos, integer-order en el punto a{displaystyle a}.
  aCDtqf()t)=dqf()t)d()t− − a)q=1.. ()n− − q)∫ ∫ atf()n)()τ τ )()t− − τ τ )q− − n+1dτ τ {displaystyle {begin{aligned}{a}{C}mathbb {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}}\\f}}\\\fnMicroc}}}}\\\\\cH00}\cH00}\fnMicroc} {1}{ {f^{(n)} {tau)}{=t} {f} {tau)}{(t-tau)}{ {q-n+1}}dtau end{aligned}}}}}}}}} {}}}} {}}} {ccH0}}} {ccH0}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}} {c}}}}}} {c}}}} {c}}}}} {c} {cccccccccccccccccccc}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c

  

Definiciones a través de transformaciones

Las definiciones de derivadas fraccionarias dadas por Liouville, Fourier y Grunwald y Letnikov coinciden. Se pueden representar a través de Laplace, transformadas de Fourier o mediante la expansión de la serie de Newton.

Recordar la continua transformación de Fourier, aquí denotado F{displaystyle {fnMithcal}}:

F()⋅ ⋅ )=F{}f()t)}=12π π ∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO f()t)e− − i⋅ ⋅ tdt{f}={f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {sqrt {2pi}}}int} {infty } {infty }f(t)e^{-iomega t},dt}

Usando la transformada continua de Fourier, en el espacio de Fourier, la diferenciación se transforma en una multiplicación:

F[df()t)dt]=i⋅ ⋅ F[f()t)]{displaystyle {mathcal {}left[{frac {df}{dt}}right]=iomega {mathcal {f} {f(t)}}}} {f}}

Entonces,

dnf()t)dtn=F− − 1{}()i⋅ ⋅ )nF[f()t)]}{displaystyle {frac {fn} {fn} {fn}}={mthcal {f}}}m}m {cH00} {fn}} {fn}}} {fn}}}}}}}}}}}}}} {f}}} {f}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {

Dqf()t)=F− − 1{}()i⋅ ⋅ )qF[f()t)]}.{displaystyle mathbb {} } {f} {f} {f} {f} {f}m}m}p {cH00}} {f} {f}}}f}}derecha}} {f}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}}} {m}}}}} {m}}}}} {m}}}}}} {m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {m}}}}} {m}}}}} {m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {m}}}} {m}}}}}}}}}}}}}}}} {m}}}}}}}}}}}}

Bajo la transformación bilateral de Laplace, aquí denotado por L{displaystyle {fnMithcal}} y definidas L[f()t)]=∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO e− − stf()t)dt{fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}, diferenciación se transforma en una multiplicación

L[df()t)dt]=sL[f()t)].{displaystyle {mathcal {}left[{frac {df}{dt}right]=s{mathcal {L}[f(t)].}

Generalización del orden arbitrario y resolución Dqf()t){displaystyle mathbb {} } {}f(t)}, uno obtiene

Dqf()t)=L− − 1{}sqL[f()t)]}.{fnMitcal {fnMitcal {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}

La representación a través de la serie de Newton es la interpolación de Newton sobre órdenes enteros consecutivos:

Dqf()t)=.. m=0JUEGO JUEGO ()qm).. k=0m()mk)()− − 1)m− − kf()k)()x).{displaystyle mathbb [D] ^{q}f(t)=sum ¿Qué? }{binom {q} {m}sum} ¿Qué? {m}{k}(-1)^{m-k}f^{(k)}(x).}

Para las definiciones de derivadas fraccionarias descritas en esta sección, se cumplen las siguientes identidades:

Dq()tn)=.. ()n+1).. ()n+1− − q)tn− − q{displaystyle mathbb {} {fn}={n}={frac {Gamma (n+1)}{Gamma (n+1-q)}t^{n-q}}}} {fn-q}} {fn}}}} {fnf}}

Dq()pecado⁡ ⁡ ()t))=pecado⁡ ⁡ ()t+qπ π 2){displaystyle mathbb {d} {sin(t)=sin left(t+{frac {qpi}{2}right)}

Dq()eat)=aqeat{displaystyle mathbb {} {f} {fn}]=a^{q}e^{at}}

Propiedades formales básicas

• Reglas de linaridad
  Dq()f+g)=Dq()f)+Dq()g){displaystyle mathbb {D} } {f+g)=mathbb {D} ^{q}(f)+mathbb {d} ^{q}(g)}

  

Dq()af)=aDq()f){displaystyle mathbb {} {} {fnMitbb} {f}}

• Regla cero
  D0f=f{displaystyle mathbb {} {}f=f}

  
• Regla de producto
  Dtq()fg)=.. j=0JUEGO JUEGO ()qj)Dtj()f)Dtq− − j()g){displaystyle mathbb {fnK} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnK} [D] _{t} {j}(f)mathbb {D} _{t}{q-j}(g)}

  

En general, la regla de composición (o semigrupo) es una propiedad deseable, pero es difícil de lograr matemáticamente y, por lo tanto, no siempre se satisface por completo con cada operador propuesto; esto forma parte del proceso de toma de decisiones sobre cuál elegir:

• DaDbf=Da+bf{textstyle mathbb Oh, Dios mío. [D] ^{a+b}f} (idealmente)
• DaDbfل ل Da+bf{textstyle mathbb Oh, Dios mío. {D} ^{b}fneq mathbb [D] ^{a+b}f} (en la práctica)