Diferencia simétrica

En matemáticas, la diferencia simétrica de dos conjuntos, también conocidos como sindical disjuntiva, es el conjunto de elementos que están en cualquiera de los conjuntos, pero no en su intersección. Por ejemplo, la diferencia simétrica de los conjuntos {}1,2,3}{displaystyle {1,2,3}} y {}3,4}{displaystyle {3,4}} es {}1,2,4}{displaystyle{1,2,4}}.

La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es comúnmente denotado por A⊖ ⊖ B,{displaystyle Aominus B,} o A  ⁡ ⁡ B.{displaystyle Aoperatorname {triangle } B.}

El conjunto potencia de cualquier conjunto se convierte en un grupo abeliano bajo la operación de diferencia simétrica, con el conjunto vacío como el elemento neutral del grupo y cada elemento en este grupo siendo su propio inverso. El conjunto potencia de cualquier conjunto se convierte en un anillo booleano, con la diferencia simétrica como la suma del anillo y la intersección como la multiplicación del anillo.

Propiedades

Diagrama de Venn ()A  B)  C{displaystyle ~(Atriangle B)triangle C}   {displaystyle ~triangle ~ ={displaystyle ~=~

La diferencia simétrica es equivalente a la unión de ambos complementos relativos, es decir:

A  B=()A∖ ∖ B)∪ ∪ ()B∖ ∖ A),{displaystyle A,triangle ,B=left(Asetminus Bright)cup left(Bsetminus Aright),}

La diferencia simétrica también se puede expresar mediante la operación XOR ⊕ en los predicados que describen los dos conjuntos en notación de creación de conjuntos:

A  B={}x:()x▪ ▪ A)⊕ ⊕ ()x▪ ▪ B)}.{displaystyle Amathbin {triangle } B={x:(xin A)oplus (xin B)}.}

El mismo hecho se puede decir como la función indicadora (denotado aquí por χ χ {displaystyle chi }) de la diferencia simétrica, siendo la XOR (o la adición mod 2) de las funciones indicadoras de sus dos argumentos: χ χ ()A  B)=χ χ A⊕ ⊕ χ χ B{displaystyle chi _{(A,triangle ,B)}=chi ¿Por qué? o usando la notación del soporte de Iverson [x▪ ▪ A  B]=[x▪ ▪ A]⊕ ⊕ [x▪ ▪ B]{displaystyle [xin A,triangle ,B]=[xin A]oplus [xin B]}.

La diferencia simétrica también se puede expresar como la unión de los dos conjuntos, menos su intersección:

A  B=()A∪ ∪ B)∖ ∖ ()A∩ ∩ B),{displaystyle A,triangle ,B=(Acup B)setminus (Acap B),}

En particular, A  B⊆ ⊆ A∪ ∪ B{displaystyle Amathbin {triangle } Bsubseteq Acup B}; la igualdad en esta inclusión no limitada ocurre si y sólo si A{displaystyle A} y B{displaystyle B} son conjuntos descompuestos. Furthermore, denoting D=A  B{displaystyle D=Amathbin {triangle } B} y I=A∩ ∩ B{displaystyle I=Acap B}, entonces D{displaystyle D} y I{displaystyle Yo... siempre están deshonrados, así que D{displaystyle D} y I{displaystyle Yo... partición A∪ ∪ B{displaystyle Acup B}. En consecuencia, asumiendo la intersección y la diferencia simétrica como operaciones primitivas, la unión de dos conjuntos puede estar bien definida en términos de diferencia simétrica por el lado derecho de la igualdad

A∪ ∪ B=()A  B)  ()A∩ ∩ B){displaystyle A,cup ,B=(A,triangle ,B),triangle ,(Acap B)}.

La diferencia simétrica es conmutativa y asociativa:

A  B=B  A,()A  B)  C=A  ()B  C).{displaystyle {begin{aligned}A,triangle ,B Puls=B,triángulo ,A,\(A,triángulo ,B),triángulo ,C paciente=A,triángulo ,(B,triángulo ,C).end{aligned}}}}}

El conjunto vacío es neutral, y cada conjunto es su propio inverso:

A  ∅ ∅ =A,A  A=∅ ∅ .{displaystyle {begin{aligned}A,triangle ,varnothing > A,A,triangle ,A {cH00}}}

Así, el conjunto potencia de cualquier conjunto X se convierte en un grupo abeliano bajo la operación de diferencia simétrica. (Más generalmente, cualquier campo de conjuntos forma un grupo con la diferencia simétrica como operación). Un grupo en el que cada elemento es su propio inverso (o, de manera equivalente, en el que cada elemento tiene orden 2) a veces se denomina grupo booleano; la diferencia simétrica proporciona un ejemplo prototípico de tales grupos. A veces, el grupo booleano en realidad se define como la operación de diferencia simétrica en un conjunto. En el caso de que X tenga solo dos elementos, el grupo así obtenido es el grupo de cuatro de Klein.

De manera equivalente, un grupo booleano es un grupo abeliano elemental de 2. En consecuencia, el grupo inducido por la diferencia simétrica es de hecho un espacio vectorial sobre el campo con 2 elementos Z₂. Si X es finito, entonces los singletons forman una base de este espacio vectorial, y su dimensión es por lo tanto igual al número de elementos de X. Esta construcción se utiliza en teoría de grafos para definir el espacio de ciclo de un gráfico.

De la propiedad de los inversos en un grupo booleano, se deduce que la diferencia simétrica de dos diferencias simétricas repetidas es equivalente a la diferencia simétrica repetida de la unión de los dos conjuntos múltiples, donde para cada conjunto doble se pueden eliminar ambos. En particular:

()A  B)  ()B  C)=A  C.{displaystyle (A,triangle ,B),triangle ,(B,triangle ,C)=A,triangle ,C.}

Esto implica desigualdad triangular: la diferencia simétrica de A y C está contenida en la unión de la diferencia simétrica de A y B y la de B y C.

La intersección se distribuye sobre la diferencia simétrica:

A∩ ∩ ()B  C)=()A∩ ∩ B)  ()A∩ ∩ C),{displaystyle Acap (B,triangle ,C)=(Acap B),triangle ,(Acap C),}

y esto muestra que el conjunto potencia de X se convierte en un anillo, con la diferencia simétrica como suma y la intersección como multiplicación. Este es el ejemplo prototípico de un anillo booleano.

Otras propiedades de la diferencia simétrica incluyen:

• A  B=∅ ∅ {displaystyle Amathbin {triangle } B=emptyset } si A=B{displaystyle A=B..
• A  B=Ac  Bc{displaystyle Amathbin {triangle } B=A^{c}mathbin {triangle } B^{c}, donde Ac{displaystyle A^{c}, Bc{displaystyle B^{c} es A{displaystyle A}'s complemento, B{displaystyle B}'s complemento, respectivamente, relativo a cualquier conjunto (fijo) que contenga ambos.
• ()⋃ ⋃ α α ▪ ▪ IAα α )  ()⋃ ⋃ α α ▪ ▪ IBα α )⊆ ⊆ ⋃ ⋃ α α ▪ ▪ I()Aα α   Bα α ){fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}A_ {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft}fnMicrosoft}, donde I{displaystyle {fnMithcal}} es un conjunto arbitrario de índices no vacíos.
• Si f:S→ → T{displaystyle f:Srightarrow T} es cualquier función y A,B⊆ ⊆ T{displaystyle A,Bsubseteq T} son cualquier conjunto en f{displaystyle f}'s codomain, entonces f− − 1()A  B)=f− − 1()A)  f− − 1()B).{displaystyle f^{-1}left(Amathbin {triangle } Bright)=f^{-1}left(Aright)mathbin {triangle } f^{-1}left(Bright). }

La diferencia simétrica se puede definir en cualquier álgebra booleana, escribiendo

x  Sí.=()xAlternativa Alternativa Sí.)∧ ∧ ¬ ¬ ()x∧ ∧ Sí.)=()x∧ ∧ ¬ ¬ Sí.)Alternativa Alternativa ()Sí.∧ ∧ ¬ ¬ x)=x⊕ ⊕ Sí..{displaystyle x,triangle ,y=(xlor y)land lnot (xland y)=(xland lnot y)lor (yland lnot x)=xoplus y.}

Esta operación tiene las mismas propiedades que la diferencia simétrica de conjuntos.

Diferencia simétrica N-aria

La diferencia simétrica repetida es, en cierto sentido, equivalente a una operación en un conjunto múltiple de conjuntos que da el conjunto de elementos que están en un número impar de conjuntos.

Como arriba, la diferencia simétrica de una colección de conjuntos contiene solo elementos que están en un número impar de los conjuntos de la colección:

  M={}a▪ ▪ ⋃ ⋃ M:Silencio{}A▪ ▪ M:a▪ ▪ A}SilencioEs extraño.}.{displaystyle triangle M=left{ain bigcup M:left arrest{Ain M:ain A}right sobre la vida {text{ is odd}right}}}

Evidentemente, esto está bien definido sólo cuando cada elemento de la unión ⋃ ⋃ M{textstyle bigcup M. es contribuido por un número finito de elementos M{displaystyle M}.

Suppose M={}M1,M2,...... ,Mn}{displaystyle M=left{1},M_{2},ldotsM_{n}right} es un multiset n≥ ≥ 2{displaystyle ngeq 2}. Entonces hay una fórmula para Silencio  MSilencio{displaystyle Silencio., el número de elementos en   M{displaystyle triangle M}, dado únicamente en términos de intersección de elementos de M{displaystyle M}:

Diferencia simétrica en espacios de medida

Mientras haya una noción de "cuán grande" un conjunto es, la diferencia simétrica entre dos conjuntos se puede considerar una medida de cuán "distanciados" ellos son.

Primero considere un conjunto finito S y la medida de conteo en subconjuntos dada por su tamaño. Ahora considere dos subconjuntos de S y establezca su distancia como el tamaño de su diferencia simétrica. Esta distancia es de hecho una métrica, lo que hace que la potencia establecida en S sea un espacio métrico. Si S tiene n elementos, entonces la distancia desde el conjunto vacío a S es n, y esta es la distancia máxima para cualquier par de subconjuntos.

Usando las ideas de la teoría de la medida, la separación de conjuntos medibles se puede definir como la medida de su diferencia simétrica. Si μ es una medida σ-finita definida en un σ-álgebra Σ, la función

dμ μ ()X,Y)=μ μ ()X  Y){displaystyle d_{mu }(X,Y)=mu (X,triangle ,Y)}

es un seudométrico en la bah. d_μ se convierte en una métrica si se considera que la X ~ Y si μ μ ()X  Y)=0{displaystyle mu (X,triangle ,Y)=0}. A veces se llama métrica Fréchet-Nikodym. El espacio métrico resultante es separable si y sólo si L2(μ) es separable.

Si <math alttext="{displaystyle mu (X),mu (Y)μ μ ()X),μ μ ()Y).JUEGO JUEGO {displaystyle mu (X),mu (Y)<img alt="mu (X),mu (Y), tenemos: Silencioμ μ ()X)− − μ μ ()Y)Silencio≤ ≤ μ μ ()X  Y){displaystyle Silenciomu (X)-mu (Y) (X,triangle ,Y)}. De hecho,

Silencioμ μ ()X)− − μ μ ()Y)Silencio=Silencio()μ μ ()X∖ ∖ Y)+μ μ ()X∩ ∩ Y))− − ()μ μ ()X∩ ∩ Y)+μ μ ()Y∖ ∖ X))Silencio=Silencioμ μ ()X∖ ∖ Y)− − μ μ ()Y∖ ∖ X)Silencio≤ ≤ Silencioμ μ ()X∖ ∖ Y)Silencio+Silencioμ μ ()Y∖ ∖ X)Silencio=μ μ ()X∖ ∖ Y)+μ μ ()Y∖ ∖ X)=μ μ ()()X∖ ∖ Y)∪ ∪ ()Y∖ ∖ X))=μ μ ()X  Y){fnMicrosoft Sans Serif}

Si S=()Ω Ω ,A,μ μ ){displaystyle S=left(Omega{mathcal {A},muright)} es un espacio de medida y F,G▪ ▪ A{displaystyle F,Gin {cH00} son conjuntos mensurables, entonces su diferencia simétrica es también mensurable: F  G▪ ▪ A{displaystyle Ftriángulo Gin {fnK}. Uno puede definir una relación de equivalencia en conjuntos mensurables dejando F{displaystyle F} y G{displaystyle G. estar relacionado si μ μ ()F  G)=0{displaystyle mu left(Ftriangle Gright)=0}. Esta relación es denotada F=G[A,μ μ ]{displaystyle F=Gleft[{mathcal {A},muright]}.

Dado D,E⊆ ⊆ A{displaystyle {fnMithcal {} {fnMithcal {}fnMitcal {fnh}} {f}}, uno escribe D⊆ ⊆ E[A,μ μ ]{displaystyle {mathcal {}subseteq {mathcal {}left[{mathcal {A}},muright]} si a cada uno D▪ ▪ D{displaystyle Din {fn} hay algunos E▪ ▪ E{displaystyle Ein {fn} tales que D=E[A,μ μ ]{displaystyle D=Eleft[{mathcal {A},muright]}. La relación "⊆ ⊆ [A,μ μ ]{displaystyle subseteq left[{mathcal {A},mu right]}"es un orden parcial en la familia de subconjuntos de A{displaystyle {fnMithcal}}.

Escribimos D=E[A,μ μ ]{displaystyle {mathcal {}={mathcal {E}left[{mathcal {A},muright]} si D⊆ ⊆ E[A,μ μ ]{displaystyle {mathcal {}subseteq {mathcal {}left[{mathcal {A}},muright]} y E⊆ ⊆ D[A,μ μ ]{displaystyle {mathcal {}subseteq {mathcal {}left[{mathcal {A}},muright]}. La relación "=[A,μ μ ]{displaystyle =left[{mathcal {A},muright]}" es una relación de equivalencia entre los subconjuntos de A{displaystyle {fnMithcal}}.

El cierre simétrico de D{displaystyle {fnMithcal}} es la colección de todos A{displaystyle {fnMithcal}}- conjuntos mensurables =[A,μ μ ]{displaystyle =left[{mathcal {A},muright]} a algunos D▪ ▪ D{displaystyle Din {fn}. El cierre simétrico de D{displaystyle {fnMithcal}} contiene D{displaystyle {fnMithcal}}. Si D{displaystyle {fnMithcal}} es un sub-σ σ {displaystyle sigma }- álgebra de A{displaystyle {fnMithcal}}, así es el cierre simétrico de D{displaystyle {fnMithcal}}.

F=G[A,μ μ ]{displaystyle F=Gleft[{mathcal {A},muright]} Sip Silencio1F− − 1GSilencio=0{displaystyle left durablemathbf {1} {1} {cHFF}derecho} [A,μ μ ]{displaystyle left[{mathcal {A},muright]} casi en todas partes.

Distancia de Hausdorff frente a diferencia simétrica

La distancia de Hausdorff y (el área de la) diferencia simétrica son pseudométricas en el conjunto de formas geométricas medibles. Sin embargo, se comportan de manera muy diferente. La figura de la derecha muestra dos secuencias de formas, "Rojo" y "Rojo ∪ Verde". Cuando la distancia de Hausdorff entre ellos se vuelve más pequeña, el área de la diferencia simétrica entre ellos se vuelve más grande, y viceversa. Al continuar estas secuencias en ambas direcciones, es posible obtener dos secuencias tales que la distancia de Hausdorff entre ellas converja a 0 y la distancia simétrica entre ellas diverja, o viceversa.