Diferencia de temperatura media logarítmica

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Método de cálculo de transferencia de calor en sistemas de flujo

En ingeniería térmica, la diferencia media de temperatura logarítmica (LMTD) se utiliza para determinar la fuerza impulsora de la temperatura para la transferencia de calor en sistemas de flujo, especialmente en intercambiadores de calor. El LMTD es un promedio logarítmico de la diferencia de temperatura entre las alimentaciones fría y caliente en cada extremo del intercambiador de doble tubería. Para un intercambiador de calor dado con área y coeficiente de transferencia de calor constantes, cuanto mayor sea el LMTD, más calor se transfiere. El uso del LMTD surge directamente del análisis de un intercambiador de calor con caudal constante y propiedades térmicas del fluido.

Definición

Asumimos que un intercambiador de calor genérico tiene dos extremos (que llamamos "A" y "B") en los que las corrientes fría y caliente entran o salen por cada lado; entonces, el LMTD se define mediante la media logarítmica de la siguiente manera:

{displaystyle mathrm {LMTD} ={frac {Delta T_{A}-Delta T_{B}}{ln left({frac {Delta T_{A}}{Delta T_{B}}}right)}}={frac {Delta T_{A}-Delta T_{B}}{ln Delta T_{A}-ln Delta T_{B}}}}

Donde $Δ T A$ es la diferencia de temperatura entre las dos corrientes al final $A$ , y $Δ T B$ es la diferencia de temperatura entre las dos corrientes al final $B$ . Cuando las dos diferencias de temperatura son iguales, esta fórmula no resuelve directamente, por lo que el LMTD se toma convencionalmente para igualar su valor límite, que es en este caso trivialmente igual a las dos diferencias.

Con esta definición, el LMTD se puede utilizar para encontrar el calor intercambiado en un intercambiador de calor:

{displaystyle Q=Utimes Atimes mathrm {LMTD} }

donde (en unidades SI):

$Q$ es el servicio de calor intercambiado (vatios),
$U$ es el coeficiente de transferencia de calor (vatios por kelvin por metro cuadrado),
$A$ es el área de intercambio.

Tenga en cuenta que estimar el coeficiente de transferencia de calor puede ser bastante complicado.

Esto es válido tanto para el flujo a favor de la corriente, donde las corrientes entran por el mismo extremo, como para el flujo a contracorriente, donde entran por diferentes extremos.

En un flujo cruzado, en el que un sistema, normalmente el disipador de calor, tiene la misma temperatura nominal en todos los puntos de la superficie de transferencia de calor, se mantiene una relación similar entre el calor intercambiado y el LMTD, pero con un factor de corrección. También se requiere un factor de corrección para otras geometrías más complejas, como un intercambiador de carcasa y tubos con deflectores.

Derivación

Supongamos que la transferencia de calor se produce en un intercambiador de calor a lo largo de un eje $z$ , desde la coordenada genérica $A$ a $B$ , entre dos fluidos, identificados como $1$ y $2$ , cuyas temperaturas a lo largo de $z$ son $T 1 (z)$ y $T 2 (z)$ .

El flujo de calor intercambiado local en $z$ es proporcional a la diferencia de temperatura:

{displaystyle q(z)=U(T_{2}(z)-T_{1}(z))=U;Delta T(z)}

El calor que sale de los fluidos provoca un gradiente de temperatura según la ley de Fourier:

{displaystyle {begin{aligned}{frac {d,T_{1}}{dz}}&=k_{a}(T_{1}(z)-T_{2}(z))=-k_{a},Delta T(z)\[4pt]{frac {d,T_{2}}{dz}}&=k_{b}(T_{2}(z)-T_{1}(z))=k_{b},Delta T(z)end{aligned}}}

donde $k a, k b$ son las conductividades térmicas del material intermedio en los puntos $A$ y $B$ respectivamente. En conjunto, esto se convierte en

{displaystyle {frac {dDelta T}{dz}}={frac {d(T_{2}-T_{1})}{dz}}={frac {d,T_{2}}{dz}}-{frac {d,T_{1}}{dz}}=KDelta T(z)}

donde $K = k a + k b$ .

La energía total intercambiada se encuentra integrando la transferencia de calor local $q$ de $A$ a $B$ :

{displaystyle Q=Dint _{A}^{B}q(z)dz=UDint _{A}^{B}Delta T(z)dz=UDint _{A}^{B}Delta T,dz,}

donde $D$ es la distancia entre los dos fluidos.

Utilice el hecho de que el área del intercambiador de calor $Ar$ es la longitud de la tubería $B - A$ multiplicado por la distancia entre tuberías $D$ :

{displaystyle Q={frac {UAr}{B-A}}int _{A}^{B}Delta T,dz={frac {UArdisplaystyle int _{A}^{B}Delta T,dz}{displaystyle int _{A}^{B},dz}}}

En ambas integrales, haga un cambio de variables de $z$ a $Δ T$ :

{displaystyle Q={frac {UArdisplaystyle int _{Delta T(A)}^{Delta T(B)}Delta T{frac {dz}{dDelta T}},d(Delta T)}{displaystyle int _{Delta T(A)}^{Delta T(B)}{frac {dz}{dDelta T}},d(Delta T)}}}

Con la relación para $Δ T$ que se encuentra arriba, esto se convierte en

{displaystyle Q={frac {UArdisplaystyle int _{Delta T(A)}^{Delta T(B)}{frac {1}{K}},d(Delta T)}{displaystyle int _{Delta T(A)}^{Delta T(B)}{frac {1}{KDelta T}},d(Delta T)}}}

La integración en este punto es trivial y finalmente da:

{displaystyle Q=Utimes Artimes {frac {Delta T(B)-Delta T(A)}{ln left({frac {Delta T(B)}{Delta T(A)}}right)}}}

de donde se desprende la definición de LMTD.

Sumas y limitaciones

Se ha asumido que la tasa de cambio para la temperatura de ambos fluidos es proporcional a la diferencia de temperatura; esta suposición es válida para fluidos con un calor específico constante, que es una buena descripción de fluidos que cambian la temperatura sobre un rango relativamente pequeño. Sin embargo, si el calor cambia, el enfoque LMTD ya no será preciso.
Un caso particular para el LMTD son condensadores y reboilers, donde el calor latente asociado al cambio de fase es un caso especial de la hipótesis. Para un condensador, la temperatura de entrada de líquido caliente es entonces equivalente a la temperatura de salida del fluido caliente.
También se ha asumido que el coeficiente de transferencia de calor (U) es constante, y no una función de temperatura. Si este no es el caso, el enfoque LMTD de nuevo será menos válido
El LMTD es un concepto estable y no se puede utilizar en análisis dinámicos. En particular, si el LMTD se aplicara sobre un transitorio en el que, por un breve tiempo, la diferencia de temperatura tenía diferentes signos en los dos lados del intercambiador, el argumento a la función de logaritmo sería negativo, que no es permitible.
No hay cambio de fase durante la transferencia de calor
Se descuidan los cambios en la energía cinética y la energía potencial

Diferencia de presión media logarítmica

Una cantidad relacionada, la diferencia de presión media logarítmica o LMPD, se utiliza a menudo en la transferencia de masa para disolventes estancados con solutos diluidos para simplificar el problema del flujo masivo.

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