Diferencia de dos cuadrados

En matemáticas, la diferencia de dos cuadrados es un número al cuadrado (multiplicado por sí mismo) restado de otro número al cuadrado. Cada diferencia de cuadrados puede factorizarse según la identidad.

${displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$

en álgebra elemental.

Prueba

La prueba de la identidad de factorización es sencilla. Comenzando por el lado derecho, aplique la ley distributiva para obtener

${displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}+ba-ab-b^{2}$

Por la ley conmutativa, los dos términos del medio se cancelan:

${displaystyle ba-ab=0}$

saliendo

${displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

La identidad resultante es una de las más utilizadas en matemáticas. Entre muchos usos, ofrece una prueba sencilla de la desigualdad AM-GM en dos variables.

La prueba se cumple en cualquier anillo conmutativo.

Por el contrario, si esta identidad se cumple en un anillo R para todos los pares de elementos a y b, entonces R i> es conmutativo. Para ver esto, aplique la ley distributiva al lado derecho de la ecuación y obtenga

${displaystyle a^{2}+ba-ab-b^{2}$.

Para que esto sea igual a ${displaystyle a^{2}-b^{2}$, debemos tener

${displaystyle ba-ab=0}$

para todos los pares a, b, por lo que R es conmutativo.

Demostración geométrica

La diferencia de dos plazas también se puede ilustrar geométricamente como la diferencia de dos áreas cuadradas en un plano. En el diagrama, la parte sombreada representa la diferencia entre las áreas de los dos cuadrados, es decir. ${displaystyle a^{2}-b^{2}$. El área de la parte sombreada se puede encontrar agregando las áreas de los dos rectángulos; ${displaystyle a(a-b)+b(a-b)}$, que se puede factorizar ${displaystyle (a+b)(a-b)}$. Por lo tanto, ${displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$.

Otra prueba geométrica procede como sigue: Comenzamos con la figura que se muestra en el primer diagrama a continuación, un gran cuadrado con un cuadrado más pequeño eliminado de él. El lado de toda la plaza es un, y el lado de la pequeña plaza removida es b. El área de la región sombreada es ${displaystyle a^{2}-b^{2}$. Un corte está hecho, dividiendo la región en dos piezas rectangulares, como se muestra en el segundo diagrama. La pieza más grande, en la parte superior, tiene ancho a y altura a-b. La pieza más pequeña, en la parte inferior, tiene ancho a-b y altura b. Ahora la pieza más pequeña se puede separar, girar y colocar a la derecha de la pieza más grande. En este nuevo arreglo, mostrado en el último diagrama de abajo, las dos piezas juntas forman un rectángulo, cuyo ancho es ${displaystyle a+b}$ y cuya altura es ${displaystyle a-b}$. El área de este rectángulo es ${displaystyle (a+b)(a-b)}$. Dado que este rectángulo viene de reorganizar la figura original, debe tener la misma área que la figura original. Por lo tanto, ${displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}$.

Usos

Factorización de polinomios y simplificación de expresiones

La fórmula para la diferencia de dos cuadrados se puede utilizar para factorar polinomios que contienen el cuadrado de una primera cantidad menos el cuadrado de una segunda cantidad. Por ejemplo, el polinomio ${displaystyle x^{4}-1}$ se puede tener en cuenta como sigue:

${displaystyle x^{4}-1=(x^{2}+1)(x^{2}-1)=(x^{2}+1)(x+1)(x-1)}$

Como segundo ejemplo, los dos primeros términos ${displaystyle x^{2}-y^{2}+x-y}$ se puede considerar como ${displaystyle (x+y)(x-y)}$Así que tenemos:

${displaystyle x^{2}-y^{2}+x-y=(x+y)(x-y)+x-y=(x-y)(x+y+1)}$

Además, esta fórmula también se puede utilizar para simplificar expresiones:

${displaystyle (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=(a+b+a-b)(a+b-a+b)=(2a)=4ab}$

Caso de números complejos: suma de dos cuadrados

La diferencia de dos cuadrados se utiliza para encontrar los factores lineales de la suma de dos cuadrados, usando coeficientes de números complejos.

Por ejemplo, las complejas raíces de ${displaystyle z^{2}+4}$ se puede encontrar utilizando la diferencia de dos cuadrados:

${displaystyle z^{2}+4}$

${displaystyle =z^{2}-4i^{2}$ (since ${displaystyle I^{2}=-1}$)

${displaystyle =z^{2}-(2i)}{2}$

${displaystyle =(z+2i)(z-2i)}$

Por lo tanto, los factores lineales son ${displaystyle (z+2i)}$ y ${displaystyle (z-2i)}$.

Dado que los dos factores encontrados con este método son conjugados complejos, podemos usar esto a la inversa como método para multiplicar un número complejo para obtener un número real. Esto se utiliza para obtener denominadores reales en fracciones complejas.

Racionalizando denominadores

La diferencia de dos cuadrados también se puede utilizar para racionalizar denominadores irracionales. Este es un método para eliminar expresiones extrañas (o al menos moverlas), aplicándose a la división por algunas combinaciones que involucran raíces cuadradas.

Por ejemplo: El denominador ${displaystyle {dfrac {5}{sqrt {3}+4}}}$ puede ser racionalizado como sigue:

${displaystyle {dfrac {5}{sqrt {3}+4}}}$

${displaystyle ={dfrac {5}{sqrt {3}+4}times {dfrac {sqrt {3}-4}{sqrt {3}-4}}}$

${displaystyle ={dfrac {5 {sqrt {3}-4)}{({sqrt {3}+4)({sqrt {3}-4)}}}}$

${displaystyle ={dfrac {5 {sqrt {3}-4)}{{sqrt {3}} {2}-4} {2}}}}}$

${displaystyle ={dfrac {5} {3}-4)} {3-16}}}$

${displaystyle =-{dfrac {5} {3}-4)} {13}}}$

Aquí, el denominador irracional ${displaystyle {sqrt {3}+4}$ ha sido racionalizado ${displaystyle 13}$.

Aritmética mental

La diferencia de dos cuadrados también se puede utilizar como un atajo aritmético. Si se multiplican dos números (cuyo promedio es un número que se puede elevar fácilmente al cuadrado), se puede utilizar la diferencia de dos cuadrados para obtener el producto de los dos números originales.

Por ejemplo:

${displaystyle 27times 33=(30-3)(30+3)}$

Usando la diferencia de dos cuadrados, ${displaystyle 27times 33}$ se puede descansar como

${displaystyle a^{2}-b^{2}$ que es ${displaystyle 30^{2}-3^{2}=891}$.

Diferencia de dos cuadrados perfectos consecutivos

La diferencia de dos cuadrados perfectos consecutivos es la suma de las dos bases n y n+1. Esto se puede ver de la siguiente manera:

${displaystyle {begin{array}{lcl}(n+1)}{2}-n^{2} {n+1)+n)(n+1)-n)\\\}}}}}}}$

Por lo tanto, la diferencia de dos cuadrados perfectos consecutivos es un número impar. De manera similar, la diferencia de dos cuadrados perfectos arbitrarios se calcula de la siguiente manera:

${displaystyle {begin{array}{lcl}(n+k)}{2}-n^{2} limit=щ(n+k)+n)(n+k)-n)\\cl= limite(2n+k)end{array}}}}}}}$

Por lo tanto, la diferencia de dos cuadrados perfectos pares es múltiplo de 4 y la diferencia de dos cuadrados perfectos impares es múltiplo de 8.

Factorización de números enteros

Varios algoritmos en teoría de números y criptografía utilizan diferencias de cuadrados para encontrar factores de enteros y detectar números compuestos. Un ejemplo simple es el método de factorización Fermat, que considera la secuencia de números ${displaystyle ¿Qué?$Para ${displaystyle a_{i}:=leftlceil {fnK}derechafnh} #$. Si uno de los ${displaystyle x_{i}}$ igual a un cuadrado perfecto ${displaystyle b^{2}$Entonces ${displaystyle N=a_{i} {2}-b^{2}=(a_{i}+b)(a_{i}-b)}$ es una factorización (potencialmente no-trivial) ${displaystyle N}$.

Este truco puede ser generalizado como sigue. Si ${displaystyle a^{2}equiv b^{2}$ mod ${displaystyle N}$ y ${displaystyle anot equiv pm b}$ mod ${displaystyle N}$Entonces ${displaystyle N}$ se compone de factores no tripulados ${displaystyle gcd(a-b,N)}$ y ${displaystyle gcd(a+b,N)}$. Esto forma la base de varios algoritmos de factorización (como el tamiz cuadrático) y se puede combinar con la prueba de primalidad de Fermat para dar la prueba de primalidad más fuerte Miller–Rabin.

Generalizaciones

La identidad también se cumple en espacios de producto internos sobre el campo de números reales, como para el producto escalar de vectores euclidianos:

${displaystyle {Mathbf} } 'cdot {mathbf {a} }-{mathbf {b} } 'cdot {mathbf {b}=({mathbf {a} }+{mathbf {b})cdot ({mathbf {a} - Sí.$

La prueba es idéntica. Para el caso especial de que a y b tengan normas iguales (lo que significa que sus cuadrados de puntos son iguales), esto demuestra analíticamente el hecho de que dos diagonales de un rombo son perpendiculares. Esto se deduce de que el lado izquierdo de la ecuación es igual a cero, lo que requiere que el lado derecho también sea igual a cero, por lo que la suma vectorial de a + b (la diagonal larga del rombo) punteada por la diferencia vectorial a - b (la diagonal corta del rombo) debe ser igual a cero, lo que indica que las diagonales son perpendiculares.

Diferencia de dos enésimas potencias

Si a y b son dos elementos de un anillo conmutativo REntonces ${displaystyle a^{n}-b^{n}=left(a-bright)left(sum) ¿Por qué?$.

Historia

Históricamente, los babilonios usaban la diferencia de dos cuadrados para calcular multiplicaciones.

Por ejemplo:

93 × 87 = 90² − 3² = 8091

64 × 56 = 60² − 4² = 3584