Diagrama del espacio-tiempo

Un diagrama espacio-temporal es una ilustración gráfica de las ubicaciones en el espacio en distintos momentos, especialmente en la teoría especial de la relatividad. Los diagramas espacio-temporales pueden mostrar la geometría subyacente a fenómenos como la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud sin ecuaciones matemáticas.

La historia de la ubicación de un objeto a través del tiempo traza una línea o curva en un diagrama espacio-temporal, denominada línea del mundo del objeto. Cada punto en un diagrama espacio-temporal representa una posición única en el espacio y el tiempo y se denomina evento.

La clase más conocida de diagramas espacio-temporales son los llamados diagramas de Minkowski, desarrollados por Hermann Minkowski en 1908. Los diagramas de Minkowski son gráficos bidimensionales que representan eventos que suceden en un universo que consta de una dimensión espacial y una dimensión temporal. A diferencia de un gráfico de distancia-tiempo normal, la distancia se muestra en el eje horizontal y el tiempo en el eje vertical. Además, las unidades de medida de tiempo y espacio se eligen de tal manera que un objeto que se mueve a la velocidad de la luz se representa siguiendo un ángulo de 45° con los ejes del diagrama.

En el estudio de la cinemática unidimensional, los gráficos de posición versus tiempo (llamados gráficos x-t para abreviar) proporcionan un medio útil para describir el movimiento. Las características cinemáticas además de la posición del objeto son visibles por la pendiente y la forma de las líneas. En la Figura 1-1, el objeto representado se aleja del origen a una velocidad constante positiva (1,66 m/s) durante 6 segundos, se detiene durante 5 segundos y luego regresa al origen durante un período de 7 segundos a una velocidad no constante (pero con velocidad negativa).

En su nivel más básico, un diagrama de espacio-tiempo es simplemente un gráfico de tiempo versus posición, con las direcciones de los ejes en un gráfico p-t habitual intercambiadas; es decir, el eje vertical se refiere a valores de coordenadas temporales y el eje horizontal a espaciales. Especialmente cuando se utilizan en relatividad especial (SR), los ejes temporales de un diagrama de espacio-tiempo suelen escalarse con la velocidad de la luz c, y por lo tanto suelen etiquetarse como ct. Esto cambia la dimensión de la cantidad física abordada de <Tiempo> a <Longitud>, de acuerdo con la dimensión asociada con el eje espacial, que con frecuencia se etiqueta como x.

Para comprender mejor cómo se comparan entre sí las coordenadas del espacio-tiempo medidas por observadores en diferentes marcos de referencia, es útil estandarizar y simplificar la configuración. Dos marcos de referencia galileanos (es decir, marcos de referencia convencionales de 3 espacios), S y S′ (pronunciado "S prima"), cada uno con observadores O y O′ en reposo en sus respectivos marcos, pero midiendo al otro como moviéndose con velocidades ±v, se dice que están en configuración estándar, cuando:

• El x, Sí., z ejes de marco S están orientados paralelamente a los ejes primos respectivos del marco S′.
• Los orígenes de los marcos S y S′ coinciden a la vez t = 0 en el marco S y también en t′ = 0 en el marco S′.
• Frame S′ se mueve en el x-dirección del marco S con velocidad v medida en el marco S.

Esta configuración espacial se muestra en la figura 1-2, en la que las coordenadas temporales se anotan por separado como cantidades t y t'.

En un paso más de simplificación, a menudo es suficiente considerar sólo la dirección del movimiento observado e ignorar los otros dos componentes espaciales, lo que permite representar gráficamente x y ct en diagramas espacio-temporales bidimensionales, como se presentó anteriormente.

Los ejes negros etiquetados como x y ct en la Fig. 1-3 son el sistema de coordenadas de un observador, al que se hace referencia como en reposo, y que está posicionado en x = 0. La línea del mundo de este observador es idéntica al eje del tiempo ct. Cada línea paralela a este eje correspondería también a un objeto en reposo pero en otra posición. La línea azul describe un objeto que se mueve con velocidad constante v hacia la derecha, como un observador en movimiento.

Esta línea azul, denominada ct′, puede interpretarse como el eje temporal del segundo observador. Junto con el eje x, que es idéntico para ambos observadores, representa su sistema de coordenadas. Como los sistemas de referencia están en configuración estándar, ambos observadores coinciden en la ubicación del origen de sus sistemas de coordenadas. Los ejes del observador en movimiento no son perpendiculares entre sí y la escala en su eje temporal está estirada. Para determinar las coordenadas de un determinado acontecimiento, se deben construir dos líneas, cada una paralela a uno de los dos ejes, que pasen por el acontecimiento y leer sus intersecciones con los ejes.

La determinación de la posición y el tiempo del evento A, como se muestra en el ejemplo del diagrama, conduce al mismo tiempo para ambos observadores, como se esperaba. Solo para la posición resultan valores diferentes, porque el observador en movimiento se ha acercado a la posición del evento A desde que t = 0. En términos generales, todos los eventos en una línea paralela al eje x ocurren simultáneamente para ambos observadores. Solo existe un tiempo universal t = t′, lo que modela la existencia de un eje de posición común. Por otro lado, debido a dos ejes de tiempo diferentes, los observadores generalmente miden coordenadas diferentes para el mismo evento. Esta traducción gráfica de x y t a x′ y t′ y viceversa se describe matemáticamente mediante la llamada transformación galileana.

El término diagrama de Minkowski se refiere a una forma específica de diagrama de espacio-tiempo que se utiliza con frecuencia en la relatividad especial. Un diagrama de Minkowski es una representación gráfica bidimensional de una porción del espacio de Minkowski, generalmente donde el espacio se ha reducido a una sola dimensión. Las unidades de medida en estos diagramas se toman de manera que el cono de luz en un evento consiste en las líneas de pendiente más o menos uno que pasan por ese evento. Las líneas horizontales corresponden a la noción habitual de eventos simultáneos para un observador estacionario en el origen.

Un diagrama de Minkowski particular ilustra el resultado de una transformación de Lorentz. La transformación de Lorentz relaciona dos marcos de referencia inerciales, donde un observador estacionario en el evento (0, 0) realiza un cambio de velocidad a lo largo del eje x. Como se muestra en la Fig. 2-1, el nuevo eje de tiempo del observador forma un ángulo α con el eje de tiempo anterior, con α < ⁠π/4⁠. En el nuevo marco de referencia, los eventos simultáneos se encuentran paralelos a una línea inclinada α respecto a las líneas de simultaneidad anteriores. Este es el nuevo eje x. Tanto el conjunto original de ejes como el conjunto de ejes primarios tienen la propiedad de ser ortogonales con respecto al producto interno de Minkowski o producto escalar relativista. La posición original en su línea de tiempo (ct) es perpendicular a la posición A, la posición original en su línea de tiempo mutua (x) donde (t) es cero. Esta línea de tiempo donde las líneas de tiempo se unen se ubican entonces en la misma línea de tiempo incluso cuando hay 2 posiciones diferentes. Las 2 posiciones están en la línea de Evento de 45 grados en la posición original de A. Por lo tanto, la posición A y la posición A' en la línea de Evento y (t)=0, reubican A' nuevamente en la posición A.

Cualquiera que sea la magnitud de α, la línea ct = x forma la bisectriz universal, como se muestra en la figura 2-2.

Con frecuencia se encuentran diagramas de Minkowski en los que las unidades de medida del tiempo se escalan por un factor de c de modo que una unidad de x es igual a una unidad de t. Un diagrama de este tipo puede tener unidades de

• Longitud aproximada de 30 centímetros y nanosegundos
• Unidades astronómicas y intervalos de unos 8 minutos y 19 segundos (499 segundos)
• Años y años luz
• Segundo y segundo

De esta manera, las trayectorias de la luz se representan mediante líneas paralelas a la bisectriz entre los ejes.

El ángulo α entre los ejes x y x′ será idéntico al que existe entre los ejes de tiempo ct y ct′. Esto se desprende del segundo postulado de la relatividad especial, que dice que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores, independientemente de su movimiento relativo (véase más abajo). El ángulo α está dado por

$${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {v}=\beta.}$$

El impulso correspondiente de x y t a x′ y t′ y viceversa se describe matemáticamente mediante la transformación de Lorentz, que puede escribirse

$${\displaystyle {\begin{aligned}ct' limit=\gamma (ct-\beta x),\x'ciendo=\gamma (x-\beta ct)\end{aligned}}}$$

Donde ${\textstyle \gamma =\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$ Es el factor Lorentz. Al aplicar la transformación de Lorentz, los ejes espaciales obtenidos para un marco impulsado siempre se corresponden con diámetros conjugados de un par de hiperbolas.

Como se ilustra en la Fig. 2-3, los ejes del espacio-tiempo potenciados y no potenciados tendrán, en general, longitudes unitarias desiguales. Si U es la longitud unitaria en los ejes de ct y x respectivamente, la longitud unitaria en los ejes de ct′ y x′ es:

$${\displaystyle ¿Qué?$$

El eje ct representa la línea de tiempo de un reloj que reposa en S, donde U representa la duración entre dos eventos que suceden en esta línea de tiempo, también llamada el tiempo propio entre estos eventos. La longitud U sobre el eje x representa la longitud en reposo o la longitud propia de una varilla que reposa en S. La misma interpretación puede aplicarse también a la distancia U′ sobre los ejes ct′ y x′ para relojes y varillas que descansan en S′.

Albert Einstein anunció su teoría de la relatividad especial en 1905, y Hermann Minkowski proporcionó su representación gráfica en 1908.

En el documento de 1908 de Minkowski había tres diagramas, primero para ilustrar la transformación de Lorentz, luego la partición del plano por la luz-cono, y finalmente la ilustración de las mundanas. El primer diagrama utilizó una rama de la unidad hiperbola ${\textstyle t^{2}-x^{2}=1}$ mostrar el locus de una unidad de tiempo adecuado dependiendo de la velocidad, lo que ilustra la dilatación del tiempo. El segundo diagrama mostró la hiperbola conjugada para calibrar el espacio, donde un estiramiento similar deja la impresión de la contracción FitzGerald. En 1914 Ludwik Silberstein incluyó un diagrama de "la representación de Minkowski de la transformación de Lorentz". Este diagrama incluyó la unidad hiperbola, su conjugado, y un par de diámetros conjugados. Desde la década de 1960, una versión de esta configuración más completa se conoce como El Diagrama de Minkowski, y se utiliza como ilustración estándar de la geometría de transformación de la relatividad especial. E. T. Whittaker ha señalado que el principio de relatividad equivale a la arbitrariedad de lo que el hiperbola radius se selecciona por tiempo en el diagrama de Minkowski. En 1912 Gilbert N. Lewis y Edwin B. Wilson aplicaron los métodos de geometría sintética para desarrollar las propiedades del plano no euclidiano que tiene diagramas de Minkowski.

Cuando Taylor y Wheeler escribieron La física del espacio-tiempo (1966), no utilizaron el término diagrama de Minkowski para su geometría del espacio-tiempo. En su lugar, incluyeron un reconocimiento a la contribución de Minkowski a la filosofía mediante la totalidad de su innovación de 1908.

Mientras que un sistema en reposo en un diagrama de Minkowski tiene ejes espacio-temporales ortogonales, un sistema en movimiento con respecto al sistema en reposo en un diagrama de Minkowski tiene ejes espacio-temporales que forman un ángulo agudo. Esta asimetría de los diagramas de Minkowski puede ser engañosa, ya que la relatividad especial postula que dos sistemas de referencia inerciales cualesquiera deben ser físicamente equivalentes. El diagrama de Loedel es un diagrama espacio-temporal alternativo que hace mucho más manifiesta la simetría de los sistemas de referencia inerciales.

Fig. 3-1: Vista en el marco de mediana

Fig. 3-2: Diagrama simétrico

Varios autores demostraron que hay un marco de referencia entre los que descansan y se mueven donde su simetría sería evidente ("marco intermedio"). En este marco, los otros dos marcos se mueven en direcciones opuestas con igual velocidad. Usando estas coordenadas hace las unidades de longitud y tiempo iguales para ambos ejes. Si β = ⁠v/c⁠ y ${\textstyle \gamma =\left(1-\beta ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$ se dan entre ${\displaystyle S.$ y ${\displaystyle S^{\prime}$, entonces estas expresiones están conectadas con los valores en su marco de mediana S₀ como sigue:

$${\displaystyle {\begin{aligned} {\beta={\frac {2\beta {0}{1+{\beta ################################################################################################################################################################################################################################################################ {\beta\beta\gamma}\end{aligned}}$$

Por ejemplo, si β = 0,5 entre ${\textstyle S}$ y ${\textstyle S^{\prime }$, entonces por (2) se mueven en su marco de mediana S₀ con aproximadamente ±0,268c cada uno en direcciones opuestas. Por otro lado, si β₀ = 0,5 dentro S₀, entonces por (1) la velocidad relativa entre ${\displaystyle S.$ y ${\displaystyle S^{\prime}$ en sus propios marcos de descanso es 0,8c. La construcción de los ejes de ${\textstyle S}$ y ${\textstyle S^{\prime }$ se realiza de acuerdo con el método ordinario utilizando # α = β₀ con respecto a los ejes ortogonales del marco medio (Fig. 3–1).

Sin embargo, resulta que al dibujar tal diagrama simétrico, es posible derivar las relaciones del diagrama incluso sin mencionar el marco mediano y β₀ Para nada. En cambio, la velocidad relativa β = ⁠v/c⁠ entre ${\textstyle S}$ y ${\textstyle S^{\prime }$ se puede utilizar directamente en la siguiente construcción, proporcionando el mismo resultado:

Si φ es el ángulo entre los ejes de ct′ y ct (o entre x y x′), y θ entre los ejes de x′ y ct′, se da:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \varphi =\cos \theta=\beta\\cos \varphi =\sin \theta &={\frac {1}{\gamma }},\tan \varphi =\cot \theta &=\beta \gamma.\end{aligned}}}}}}$$

De la figura 3-2 se desprenden claramente dos métodos de construcción: el eje x se dibuja perpendicular al eje ct′, los ejes x′ y ct se añaden en un ángulo φ; y el eje x′ se dibuja en un ángulo θ con respecto al eje ct′, el eje x se añade perpendicular al eje ct′ y el eje ct perpendicular al eje x′.

En un diagrama de Minkowski, las longitudes de la página no pueden compararse directamente entre sí, debido al factor de calentamiento entre las longitudes de la unidad de los ejes en un diagrama de Minkowski. En particular, si ${\textstyle U}$ y ${\textstyle U^{\prime }$ son las longitudes de la unidad de los ejes del marco de reposo y ejes del marco móvil, respectivamente, en un diagrama de Minkowski, entonces las dos longitudes de la unidad se advierten en relación entre sí a través de la fórmula:

$${\displaystyle U^{\prime }=U{\sqrt {\frac {1+\beta ^{2}{1-\beta ^{2}}}$$

Por el contrario, en un diagrama simétrico de Loedel, ambos el ${\textstyle S}$ y ${\textstyle S^{\prime }$ los ejes de marco son advertidos por el mismo factor relativo al marco de mediana y por lo tanto tienen longitudes de unidad idénticas. Esto implica que, para un diagrama de tiempo espacio de Loedel, podemos comparar directamente las longitudes de espacio entre diferentes marcos como aparecen en la página; no es necesario escalar/conversión de longitud de unidad entre marcos debido a la naturaleza simétrica del diagrama de Loedel.

• Max Born (1920) dibuja los diagramas de Minkowski colocando el ct.-eje casi perpendicular al x-eje, así como el ct-eje al x.-eje, para demostrar la contracción de longitud y dilatación de tiempo en el caso simétrico de dos varillas y dos relojes que se mueven en dirección opuesta.
• Dmitry Mirimanoff (1921) demostró que siempre hay un marco medio con respecto a dos marcos relativamente móviles, y deriva las relaciones entre ellos de la transformación de Lorentz. Sin embargo, no dio una representación gráfica en un diagrama.
• Los diagramas simétricos fueron desarrollados sistemáticamente por Paul Gruner en colaboración con Josef Sauter en dos documentos en 1921. Los efectos relativos como la contracción de longitud y la dilatación de tiempo y algunas relaciones con vectores covariantes y contravariantes fueron demostradas por ellos. Gruner extendió este método en documentos posteriores (1922-1924), y dio crédito al tratamiento de Mirimanoff también.
• La construcción de diagramas de Minkowski simétricos fue posteriormente redescubierta independientemente por varios autores. Por ejemplo, a partir de 1948, Enrique Loedel Palumbo publicó una serie de artículos en español, presentando los detalles de este enfoque. En 1955, Henri Amar también publicó un documento que presenta esas relaciones, y le dio crédito a Loedel en un documento posterior en 1957. Algunos autores de libros de texto usan diagramas de Minkowski simétricos, denotando como Diagramas de carrete.

La dilatación relativista del tiempo se refiere al hecho de que un reloj (que indica su tiempo propio en su marco de referencia en reposo) que se mueve en relación con un observador se observa que funciona más lento. La situación se representa en los diagramas de Loedel simétricos de la figura 4-1. Nótese que podemos comparar las longitudes del espacio-tiempo en la página directamente entre sí, debido a la naturaleza simétrica del diagrama de Loedel.

En la figura 4-2, se supone que el observador cuyo marco de referencia está dado por los ejes negros se mueve desde el origen O hacia A. El reloj en movimiento tiene el marco de referencia dado por los ejes azules y se mueve de O a B. Para el observador negro, todos los eventos que suceden simultáneamente con el evento en A están ubicados en una línea recta paralela a su eje espacial. Esta línea pasa por A y B, por lo que A y B son simultáneos desde el marco de referencia del observador con ejes negros. Sin embargo, el reloj que se mueve en relación con el observador negro marca el tiempo a lo largo del eje de tiempo azul. Esto está representado por la distancia de O a B. Por lo tanto, el observador en A con los ejes negros nota que su reloj marca la distancia de O a A mientras observa que el reloj se mueve en relación con él para leer la distancia de O a B. Debido a que la distancia de O a B es menor que la distancia de O a A, concluye que el tiempo transcurrido en el reloj que se mueve en relación con él es menor que el transcurrido en su propio reloj.

Un segundo observador, que se ha desplazado junto con el reloj desde O hasta B, argumentará que el reloj del eje negro acaba de llegar a C y, por tanto, funciona más despacio. La razón de estas afirmaciones aparentemente paradójicas es la diferente determinación de los acontecimientos que suceden sincrónicamente en diferentes lugares. Debido al principio de relatividad, la pregunta de quién tiene razón no tiene respuesta y no tiene sentido.

La contracción relativista de la longitud se refiere al hecho de que una regla (que indica su longitud adecuada en su sistema de referencia en reposo) que se mueve en relación con un observador se contrae o se acorta. La situación se representa en diagramas de Loedel simétricos en la figura 4-3. Nótese que podemos comparar las longitudes del espacio-tiempo en la página directamente entre sí, debido a la naturaleza simétrica del diagrama de Loedel.

En la Fig. 4-4, se supone que el observador se mueve nuevamente a lo largo del eje ct. Se supone que las líneas del universo de los puntos finales de un objeto que se mueve en relación con él se mueven a lo largo del eje ct′ y la línea paralela que pasa por A y B. Para este observador, los puntos finales del objeto en t = 0 son O y A. Para un segundo observador que se mueve junto con el objeto, de modo que para él el objeto está en reposo, tiene la longitud propia OB en t′ = 0. Debido a OA < OB, el objeto está contraído para el primer observador.

El segundo observador argumentará que el primer observador ha evaluado los puntos finales del objeto en O y A respectivamente y, por lo tanto, en diferentes momentos, lo que lleva a un resultado erróneo debido a su movimiento mientras tanto. Si el segundo observador investiga la longitud de otro objeto con puntos finales que se mueven a lo largo del eje ct y una línea paralela que pasa por C y D, concluye de la misma manera que este objeto se contrae de OD a OC. Cada observador estima que los objetos que se mueven con el otro observador se contraen. Esta situación aparentemente paradójica es nuevamente una consecuencia de la relatividad de la simultaneidad, como lo demuestra el análisis mediante el diagrama de Minkowski.

Por todas estas consideraciones se supuso que ambos observadores tienen en cuenta la velocidad de la luz y su distancia a todos los eventos que ven para determinar los momentos reales en que estos eventos ocurren desde su punto de vista.

Otro postulado de la relatividad especial es la constancia de la velocidad de la luz. Dice que cualquier observador en un sistema de referencia inercial que mida la velocidad de la luz en el vacío con respecto a sí mismo obtiene el mismo valor independientemente de su propio movimiento y del de la fuente de luz. Esta afirmación parece paradójica, pero se deduce inmediatamente de la ecuación diferencial que la produce, y el diagrama de Minkowski concuerda. Explica también el resultado del experimento de Michelson-Morley, que se consideraba un misterio antes de que se descubriera la teoría de la relatividad, cuando se pensaba que los fotones eran ondas a través de un medio indetectable.

Para las líneas de universo de fotones que pasan por el origen en direcciones diferentes, se cumple x = ct y x = −ct. Esto significa que cualquier posición en dicha línea de universo corresponde a pasos en los ejes x y ct de igual valor absoluto. De la regla para leer coordenadas en un sistema de coordenadas con ejes inclinados se deduce que las dos líneas de universo son las bisectrices de los ejes x y ct. Como se muestra en la figura 4-5, el diagrama de Minkowski los ilustra como bisectrices de los ejes x′ y ct′ también. Eso significa que ambos observadores miden la misma velocidad c para ambos fotones.

En este diagrama de Minkowski se pueden añadir nuevos sistemas de coordenadas correspondientes a observadores con velocidades arbitrarias. Para todos estos sistemas ambas líneas de fotones representan los bisectores de ángulo de los ejes. Cuanto más la velocidad relativa se acerca a la velocidad de la luz más los ejes se acercan al bisector del ángulo correspondiente. El ${\textstyle x}$ El eje es siempre más plano y el eje del tiempo más empinado que las líneas del mundo del fotones. Las escalas en ambos ejes son siempre idénticas, pero generalmente diferentes de las de los otros sistemas de coordenadas.

Las líneas rectas que pasan por el origen y que son más empinadas que las dos líneas del universo de los fotones corresponden a objetos que se mueven más lentamente que la velocidad de la luz. Si esto se aplica a un objeto, se aplica desde el punto de vista de todos los observadores, porque las líneas del universo de estos fotones son las bisectrices de los ángulos para cualquier sistema de referencia inercial. Por lo tanto, cualquier punto por encima del origen y entre las líneas del universo de ambos fotones se puede alcanzar con una velocidad menor que la de la luz y puede tener una relación de causa y efecto con el origen. Esta área es el futuro absoluto, porque cualquier evento que ocurra allí ocurre más tarde en comparación con el evento representado por el origen, independientemente del observador, lo que es obvio gráficamente a partir del diagrama de Minkowski en la figura 4-6.

Siguiendo el mismo argumento, el rango por debajo del origen y entre las líneas del mundo de los fotones es el pasado absoluto relativo al origen. Cualquier evento que ocurra allí pertenece definitivamente al pasado y puede ser la causa de un efecto en el origen.

La relación entre estos pares de eventos se denomina temporal, porque tienen una distancia temporal mayor que cero para todos los observadores. Una línea recta que conecta estos dos eventos es siempre el eje temporal de un posible observador para el que ocurren en el mismo lugar. Dos eventos que pueden relacionarse simplemente con la velocidad de la luz se denominan luminosos.

En principio, al diagrama de Minkowski se le puede añadir una dimensión espacial adicional, lo que da lugar a una representación tridimensional. En este caso, los rangos de futuro y pasado se convierten en conos cuyos vértices se tocan en el origen. Se denominan conos de luz.

Siguiendo el mismo argumento, todas las líneas rectas que pasan por el origen y que son más cercanas a la horizontal que las líneas del universo de los fotones, corresponderían a objetos o señales que se mueven más rápido que la luz, independientemente de la velocidad del observador. Por lo tanto, ningún evento fuera de los conos de luz puede ser alcanzado desde el origen, ni siquiera por una señal de luz, ni por ningún objeto o señal que se mueva a una velocidad menor que la de la luz. Tales pares de eventos se llaman espaciales porque tienen una distancia espacial finita distinta de cero para todos los observadores. Por otra parte, una línea recta que conecta tales eventos es siempre el eje de coordenadas espaciales de un posible observador para el cual ocurren al mismo tiempo. Mediante una ligera variación de la velocidad de este sistema de coordenadas en ambas direcciones, siempre es posible encontrar dos sistemas de referencia inerciales cuyos observadores estiman que el orden cronológico de estos eventos es diferente.

Dado un objeto que se mueve más rápido que la luz, por ejemplo de O a A en la figura 4-7, entonces para cualquier observador que observe el objeto moverse de O a A, se puede encontrar otro observador (que se mueve a una velocidad menor que la de la luz con respecto al primero) para quien el objeto se mueve de A a O. La pregunta de qué observador tiene razón no tiene una respuesta única y, por lo tanto, no tiene sentido físico. Cualquier objeto o señal en movimiento violaría el principio de causalidad.

Además, cualquier medio técnico general para enviar señales más rápidas que la luz permitiría enviar información al pasado del emisor. En el diagrama, un observador en O en el sistema x-ct envía un mensaje que se mueve más rápido que la luz a A. En A, es recibido por otro observador, que se mueve de manera que está en el sistema x′-ct′, que lo envía de vuelta, también más rápido que la luz, y llega a B. Pero B está en el pasado en relación con O. Lo absurdo de este proceso se hace evidente cuando ambos observadores confirman posteriormente que no recibieron ningún mensaje, sino que todos los mensajes estaban dirigidos al otro observador, como se puede ver gráficamente en el diagrama de Minkowski. Además, si fuera posible acelerar un observador a la velocidad de la luz, sus ejes de espacio y tiempo coincidirían con su bisectriz de ángulo. El sistema de coordenadas colapsaría, en concordancia con el hecho de que debido a la dilatación del tiempo, el tiempo dejaría de pasar para ellos.

Estas consideraciones muestran que la velocidad de la luz como límite es una consecuencia de las propiedades del espacio-tiempo, y no de las propiedades de objetos como naves espaciales tecnológicamente imperfectas. La prohibición de moverse a velocidades superiores a las de la luz, por lo tanto, no tiene nada que ver en particular con las ondas electromagnéticas o la luz, sino que es una consecuencia de la estructura del espacio-tiempo.

A menudo se afirma, incorrectamente, que la relatividad especial no puede manejar partículas aceleradas o sistemas de referencia acelerados. En realidad, las partículas aceleradas no presentan ninguna dificultad en la relatividad especial. Por otra parte, los sistemas de referencia acelerados sí requieren un tratamiento especial. Sin embargo, mientras se trate de un espacio-tiempo plano, minkowskiano, la relatividad especial puede manejar la situación. Sólo en presencia de la gravedad se requiere la relatividad general.

La aceleración de 4 vectores de una partícula en aceleración es la derivada con respecto al tiempo propio de su 4-velocidad. No es una situación difícil de manejar. Los sistemas de referencia acelerados requieren que uno comprenda el concepto de un sistema de referencia comóvil momentáneamente (MCRF), es decir, un sistema que viaja a la misma velocidad instantánea de una partícula en cualquier instante dado.

Considere la animación de la figura 5-1. La línea curva representa la línea del universo de una partícula que experimenta una aceleración continua, incluidos cambios completos de dirección en las direcciones x positiva y negativa. Los ejes rojos son los ejes de la frecuencia de refracción de masas para cada punto a lo largo de la trayectoria de la partícula. Las coordenadas de los eventos en el marco no primario (estacionario) se pueden relacionar con sus coordenadas en cualquier marco primario que se mueva momentáneamente en conjunto utilizando las transformaciones de Lorentz.

La Figura 5-2 ilustra las cambiantes opiniones de la hora espacial a lo largo de la línea mundial de una partícula que acelera rápidamente. El ${\textstyle ct'}$ el eje (no dibujado) es vertical, mientras que el ${\textstyle x'}$ El eje (no dibujado) es horizontal. La línea desgarrada es la trayectoria espacial ("línea del mundo") de la partícula. Las bolas se colocan a intervalos regulares de tiempo adecuado a lo largo de la línea mundial. Las líneas diagonales sólidas son los conos de luz para el evento actual del observador, y se intersectan en ese evento. Los puntos pequeños son otros eventos arbitrarios en la hora espacial.

La pendiente de la línea del universo (desviación de la verticalidad) es la velocidad de la partícula en esa sección de la línea del universo. Las curvas en la línea del universo representan la aceleración de la partícula. A medida que la partícula se acelera, su visión del espacio-tiempo cambia. Estos cambios de visión están regidos por las transformaciones de Lorentz. Observe también que:

• las bolas en la línea del mundo antes/después de las aceleraciones futuras/pastas están más espaciadas debido a la dilatación del tiempo.
• eventos simultáneos antes de una aceleración (eventos horizontalmente espaciados) son en diferentes momentos después debido a la relatividad de la simultaneidad,
• los eventos pasan por las líneas de cono ligero debido a la progresión del tiempo adecuado, pero no debido al cambio de opiniones causado por las aceleraciones, y
• la línea del mundo siempre permanece dentro de los conos luz futuros y pasados del evento actual.

Si imaginamos que cada evento es el destello de una luz, entonces los eventos que están dentro del cono de luz pasado del observador son los eventos visibles para el observador. La pendiente de la línea del universo (desviación de la verticalidad) indica la velocidad relativa al observador.

Las líneas del mundo de fotones se determinan utilizando la métrica con ${\textstyle d\tau =0}$. Los conos de luz se deforman según la posición. En un marco de referencia inercial una partícula libre tiene una línea recta del mundo. En un marco de referencia no inercial se curva la línea mundial de una partícula libre.

Tome el ejemplo de la caída de un objeto caído sin la velocidad inicial de un cohete. El cohete tiene un movimiento uniformemente acelerado con respecto a un marco de referencia inercial. Como se puede ver en la Fig 6-2 de un diagrama de Minkowski en un marco de referencia no inercial, el objeto una vez caído, gana velocidad, alcanza un máximo, y luego ve su disminución de velocidad y cancela asintoticamente en el horizonte donde su tiempo adecuado se congela a ${\textstyle t_{\text{H}}$. La velocidad es medida por un observador en reposo en el cohete acelerado.

• Espacio de Minkowski
• Diagrama de pene
• Rapidez

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