Diagrama de Feynman

En este diagrama Feynman, un electrón (e−) y un positron (e+) aniquilado, produciendo un fotón (γ, representado por la onda sine azul) que se convierte en un par quark-antiquark (quark q, anticuario q), después de lo cual el antiquark irradia un gluón (g, representado por el helix verde).

Richard Feynman en 1984

En física teórica, un diagrama de Feynman es una representación gráfica de las expresiones matemáticas que describen el comportamiento y la interacción de las partículas subatómicas. El esquema lleva el nombre del físico estadounidense Richard Feynman, quien introdujo los diagramas en 1948. La interacción de las partículas subatómicas puede ser compleja y difícil de entender; Los diagramas de Feynman dan una visualización simple de lo que de otro modo sería una fórmula arcana y abstracta. Según David Kaiser, "Desde mediados del siglo XX, los físicos teóricos han recurrido cada vez más a esta herramienta para ayudarlos a realizar cálculos críticos. Los diagramas de Feynman han revolucionado casi todos los aspectos de la física teórica." Si bien los diagramas se aplican principalmente a la teoría cuántica de campos, también se pueden usar en otros campos, como la teoría del estado sólido. Frank Wilczek escribió que los cálculos que le valieron el Premio Nobel de Física en 2004 "habrían sido literalmente impensables sin los diagramas de Feynman, al igual que los cálculos [de Wilczek] que establecieron una ruta para la producción y observación de la partícula de Higgs."

Feynman utilizó la interpretación de Ernst Stueckelberg del positrón como si fuera un electrón retrocediendo en el tiempo. Por lo tanto, las antipartículas se representan moviéndose hacia atrás a lo largo del eje del tiempo en los diagramas de Feynman.

El cálculo de las amplitudes de probabilidad en la física de partículas teórica requiere el uso de integrales bastante grandes y complicadas sobre un gran número de variables. Los diagramas de Feynman pueden representar gráficamente estas integrales.

Un diagrama de Feynman es una representación gráfica de una contribución perturbativa a la amplitud de transición o función de correlación de una teoría de campo estadística o mecánica cuántica. Dentro de la formulación canónica de la teoría cuántica de campos, un diagrama de Feynman representa un término en la expansión de Wick de la matriz S perturbativa. Alternativamente, la formulación de la integral de trayectoria de la teoría cuántica de campos representa la amplitud de transición como una suma ponderada de todas las historias posibles del sistema desde el estado inicial hasta el final, en términos de partículas o campos. A continuación, la amplitud de transición se proporciona como el elemento de matriz de la matriz S entre los estados inicial y final del sistema cuántico.

Motivación e historia

En este diagrama, un kaon, hecho de un antiquark alto y extraño, decae débil y fuertemente en tres piones, con pasos intermedios que implican un bosón W y un gluón, representado por la onda sine azul y espiral verde, respectivamente.

Al calcular las secciones transversales de dispersión en la física de partículas, la interacción entre las partículas se puede describir a partir de un campo libre que describe las partículas entrantes y salientes, e incluye una interacción hamiltoniana para describir cómo las partículas se desvían entre sí. La amplitud de la dispersión es la suma de cada posible historia de interacción sobre todos los posibles estados intermedios de partículas. El número de veces que actúa la interacción hamiltoniana es el orden de la expansión de la perturbación, y la teoría de la perturbación dependiente del tiempo para los campos se conoce como serie de Dyson. Cuando los estados intermedios en tiempos intermedios son estados propios de energía (conjuntos de partículas con un momento definido), la serie se denomina teoría de perturbaciones a la antigua (o teoría de perturbaciones dependiente del tiempo/ordenada en el tiempo).

La serie de Dyson se puede reescribir alternativamente como una suma sobre los diagramas de Feynman, donde en cada vértice se conservan tanto la energía como el momento, pero donde la longitud del cuatro vector energía-momento no es necesariamente igual a la masa, es decir, las partículas intermedias se denominan fuera de la cáscara. Los diagramas de Feynman son mucho más fáciles de seguir que los diagramas "anticuados" términos, porque la forma antigua trata las contribuciones de partículas y antipartículas como separadas. Cada diagrama de Feynman es la suma exponencial de muchos términos antiguos, porque cada línea interna puede representar por separado una partícula o una antipartícula. En una teoría no relativista, no hay antipartículas y no hay duplicación, por lo que cada diagrama de Feynman incluye solo un término.

Feynman dio una receta para calcular la amplitud (las reglas de Feynman, a continuación) para cualquier diagrama dado a partir de una teoría de campo Lagrangiana. Cada línea interna corresponde a un factor del propagador de la partícula virtual; cada vértice donde se encuentran las líneas da un factor derivado de un término de interacción en el Lagrangiano, y las líneas entrantes y salientes llevan energía, impulso y giro.

Además de su valor como herramienta matemática, los diagramas de Feynman proporcionan una comprensión física profunda de la naturaleza de las interacciones de las partículas. Las partículas interactúan en todas las formas disponibles; de hecho, se permite que las partículas virtuales intermedias se propaguen más rápido que la luz. La probabilidad de cada estado final se obtiene luego sumando todas esas posibilidades. Esto está estrechamente relacionado con la formulación integral funcional de la mecánica cuántica, también inventada por Feynman; consulte la formulación integral de trayectoria.

La aplicación ingenua de tales cálculos a menudo produce diagramas cuyas amplitudes son infinitas, porque las interacciones de partículas de corta distancia requieren un procedimiento de limitación cuidadoso, para incluir las interacciones propias de las partículas. La técnica de renormalización, sugerida por Ernst Stueckelberg y Hans Bethe e implementada por Dyson, Feynman, Schwinger y Tomonaga, compensa este efecto y elimina los molestos infinitos. Después de la renormalización, los cálculos que utilizan diagramas de Feynman coinciden con los resultados experimentales con una precisión muy alta.

El diagrama de Feynman y los métodos de integral de trayectoria también se utilizan en mecánica estadística e incluso se pueden aplicar a la mecánica clásica.

Nombres alternativos

Murray Gell-Mann siempre se refirió a los diagramas de Feynman como diagramas de Stueckelberg, en honor a un físico suizo, Ernst Stueckelberg, quien ideó una notación similar muchos años antes. Stueckelberg estaba motivado por la necesidad de un formalismo manifiestamente covariante para la teoría cuántica de campos, pero no proporcionó una forma automatizada de manejar los factores de simetría y los bucles, aunque fue el primero en encontrar la interpretación física correcta en términos de partícula hacia adelante y hacia atrás en el tiempo. caminos, todos sin la ruta-integral.

Históricamente, como dispositivo de contabilidad de la teoría de la perturbación covariante, las gráficas se llamaban diagramas de Feynman-Dyson o gráficas de Dyson, porque la integral de trayectoria no era familiar cuando se introdujeron, y la derivación de Freeman Dyson de la teoría de la perturbación pasada de moda tomada de las expansiones perturbativas en la mecánica estadística fue más fácil de seguir para los físicos capacitados en métodos anteriores. Feynman tuvo que presionar mucho para obtener los diagramas, lo que confundió a los físicos del establecimiento entrenados en ecuaciones y gráficos.

Representación de la realidad física

En sus presentaciones de interacciones fundamentales, escritas desde la perspectiva de la física de partículas, Gerard 't Hooft y Martinus Veltman dieron buenos argumentos para tomar los diagramas de Feynman originales, no regularizados, como la representación más sucinta de nuestro conocimiento actual sobre la física de la dispersión cuántica de partículas fundamentales. Sus motivaciones son consistentes con las convicciones de James Daniel Bjorken y Sidney Drell:

Los gráficos y reglas del cálculo Feynman resumen la teoría del campo cuántico en un formulario en contacto cercano con los números experimentales que uno quiere entender. Aunque la afirmación de la teoría en términos de gráficos puede implicar la teoría de la perturbación, el uso de métodos gráficos en el problema de muchos cuerpos muestra que este formalismo es lo suficientemente flexible para tratar con fenómenos de caracteres no permanentes... Alguna modificación de las reglas de cálculo Feynman bien puede sobrevivir la estructura matemática elaborada de la teoría local canónica de campo cuántico...

Actualmente, no hay opiniones contrarias. En las teorías cuánticas de campos, los diagramas de Feynman se obtienen a partir de un Lagrangiano mediante reglas de Feynman.

La regularización dimensional es un método para regularizar integrales en la evaluación de diagramas de Feynman; les asigna valores que son funciones meromórficas de un parámetro complejo auxiliar d, llamado dimensión. La regularización dimensional escribe una integral de Feynman como una integral según la dimensión del espacio-tiempo d y los puntos del espacio-tiempo.

Interpretación de trayectoria de partículas

Un diagrama de Feynman es una representación de los procesos de la teoría cuántica de campos en términos de interacciones de partículas. Las partículas están representadas por las líneas del diagrama, que pueden ser onduladas o rectas, con una flecha o sin ella, según el tipo de partícula. Un punto donde las líneas se conectan con otras líneas es un vértice, y aquí es donde las partículas se encuentran e interactúan: emitiendo o absorbiendo nuevas partículas, desviándose entre sí o cambiando de tipo.

Hay tres tipos diferentes de líneas: líneas internas conectan dos vértices, líneas entrantes se extienden desde "el pasado" a un vértice y representan un estado inicial, y las líneas salientes se extienden desde un vértice hasta "el futuro" y representan el estado final (los dos últimos también se conocen como líneas externas). Tradicionalmente, la parte inferior del diagrama es el pasado y la parte superior el futuro; otras veces, el pasado está a la izquierda y el futuro a la derecha. Al calcular funciones de correlación en lugar de amplitudes de dispersión, no hay pasado ni futuro y todas las líneas son internas. Luego, las partículas comienzan y terminan en pequeñas x, que representan las posiciones de los operadores cuya correlación se calcula.

Los diagramas de Feynman son una representación pictórica de una contribución a la amplitud total de un proceso que puede ocurrir de varias maneras diferentes. Cuando un grupo de partículas entrantes se dispersan entre sí, se puede pensar en el proceso como uno en el que las partículas viajan por todos los caminos posibles, incluidos los caminos que retroceden en el tiempo.

Los diagramas de Feynman a menudo se confunden con los diagramas de espacio-tiempo y las imágenes de la cámara de burbujas porque todos describen la dispersión de partículas. Los diagramas de Feynman son gráficos que representan la interacción de partículas en lugar de la posición física de la partícula durante un proceso de dispersión. A diferencia de una imagen de cámara de burbujas, solo la suma de todos los diagramas de Feynman representa cualquier interacción de partículas dada; las partículas no eligen un diagrama particular cada vez que interactúan. La ley de la suma está de acuerdo con el principio de superposición: cada diagrama contribuye a la amplitud total del proceso.

Descripción

Características generales del proceso de dispersión A + B → C + D:
• líneas internas (red) para partículas y procesos intermedios, que tienen un factor propagador ("prop"), líneas externas (orange) para las partículas entrantes y salientes a/desde vértices (negro),
• en cada vértice hay 4-momentum conservación utilizando funciones delta, 4-momenta entrando en el vértice son positivos mientras que los que salen son negativos, los factores en cada vértice y línea interna se multiplican en la amplitud integral,
• espacio x y tiempo t Los ejes no siempre se muestran, las direcciones de las líneas externas corresponden al paso del tiempo.

Un diagrama de Feynman representa una contribución perturbativa a la amplitud de una transición cuántica desde un estado cuántico inicial a un estado cuántico final.

Por ejemplo, en el proceso de aniquilación electrón-positrón, el estado inicial es un electrón y un positrón, el estado final: dos fotones.

A menudo se supone que el estado inicial está a la izquierda del diagrama y el estado final a la derecha (aunque también se usan otras convenciones con bastante frecuencia).

Un diagrama de Feynman consta de puntos, llamados vértices, y líneas unidas a los vértices.

Las partículas en el estado inicial se representan mediante líneas que sobresalen en la dirección del estado inicial (por ejemplo, hacia la izquierda), las partículas en el estado final se representan mediante líneas que sobresalen en la dirección del estado final (ej., a la derecha).

En QED hay dos tipos de partículas: partículas de materia como electrones o positrones (llamadas fermiones) y partículas de intercambio (llamadas bosones de calibre). Se representan en los diagramas de Feynman de la siguiente manera:

1. El electrón en el estado inicial está representado por una línea sólida, con una flecha que indica el giro de la partícula, por ejemplo apuntando hacia el vértice (→•).
2. El electrón en el estado final está representado por una línea, con una flecha que indica el giro de la partícula, por ejemplo, apuntando lejos del vértice: (•→).
3. Positron en el estado inicial está representado por una línea sólida, con una flecha que indica el giro de la partícula, por ejemplo señalando lejos del vértice: (←•).
4. Positron en el estado final está representado por una línea, con una flecha que indica el giro de la partícula, por ejemplo apuntando hacia el vértice: (•←).
5. Photon virtual en el estado inicial y final está representado por una línea ondulada (línea ondulada)~• y •).

En QED, un vértice siempre tiene tres líneas unidas a él: una línea bosónica, una línea fermiónica con una flecha hacia el vértice y una línea fermiónica con una flecha que se aleja del vértice.

Los vértices pueden estar conectados por un propagador bosónico o fermiónico. Un propagador bosónico está representado por una línea ondulada que conecta dos vértices (•~•). Un propagador fermiónico se representa mediante una línea continua (con una flecha en una u otra dirección) que conecta dos vértices, (•←•).

El número de vértices da el orden del término en la expansión de la serie de perturbaciones de la amplitud de transición.

Ejemplo de aniquilación electrón-positrón

Diagrama Feynman de aniquilación electron/positron

La interacción de aniquilación electrón-positrón:

e⁺ + e⁻ → 2γ

tiene una contribución del diagrama de Feynman de segundo orden que se muestra al lado:

En el estado inicial (en la parte inferior; tiempo temprano) hay un electrón (e⁻) y un positrón (e⁺) y en el estado final (en la parte superior; tiempo tardío) hay dos fotones (γ).

Formulación de cuantificación canónica

La amplitud de probabilidad para una transición de un sistema cuántico (entre estados asintóticamente libres) desde el estado inicial |i⟩ al estado final | f ⟩ está dada por el elemento de la matriz

${displaystyle S_{rm {fi}=langle mathrm {f} ←S sobrevivirmathrm {i} rangle ;}$

donde S es la matriz S. En términos del operador de evolución temporal U, es simplemente

${displaystyle S=lim ¿Por qué? +infty }lim ¿Qué?$

En la imagen de interacción, esto se expande a

${displaystyle S={mathcal {T}e^{-iint ¿Qué?$

donde H_V es la interacción estilo hamiltoniano y T significa el producto de operadores ordenado por tiempo. La fórmula de Dyson expande la matriz exponencial ordenada en el tiempo en una serie de perturbaciones en las potencias de la interacción densidad hamiltoniana,

${displaystyle S=sum _{n=0}{infty }{frac {(-i)^{n}{n}}}left(prod) ¿Qué? {4}x_{j}derecha){mthcal {T}left{prod ¿Qué? {H}_{V}left(x_{j}right)equiv sum _{n=0}{infty }S^{(n)};}$

Equivalentemente, con la interacción Lagrangiana L_V, es

${displaystyle S=sum ¿Qué? {fn} {fn}}left(prod ¿Qué? {4}x_{j}derecha){mthcal {T}left{prod ¿Qué? {L}_{V}left(x_{j}right)equiv sum _{n=0}{infty }S^{(n)};}$

Un diagrama de Feynman es una representación gráfica de un solo sumando en la expansión de Wick del producto ordenado por tiempo en el n término de tercer orden S⁽ⁿ⁾ de la serie Dyson de la matriz S,

${displaystyle {fnMitcal}prod} ¿Qué? {L}_{V}left(x_{j}right)=sum _{text{A}(pm){mathcal {N}prod _{j=1}{n}{mathcal {L}_{V}left(x_{j}right);,}$

donde N significa el producto ordenado normal de los operadores y (±) tiene cuidado del posible cambio de signo al conmutar los operadores fermiónicos para unirlos en una contracción (un propagador) y A< /span> representa todas las contracciones posibles.

Reglas de Feynman

Los diagramas se dibujan de acuerdo con las reglas de Feynman, que dependen de la interacción Lagrangiana. Para la interacción QED Lagrangiana

${displaystyle ¿Qué? }psi A_{mu }$

describiendo la interacción de un campo fermiónico ψ con un campo bosónico de calibre A_μ, las reglas de Feynman se pueden formular en el espacio de coordenadas de la siguiente manera:

1. Cada integración coordina x_j está representado por un punto (a veces llamado vértice);
2. Un propagador bosónico está representado por una línea wiggly que conecta dos puntos;
3. Un propagador fermiónico está representado por una línea sólida que conecta dos puntos;
4. Un campo bosónico ${displaystyle A_{mu}(x_{i})}$ está representado por una línea de wiggly adjunta al punto x_i;
5. Un campo fermiónico ↑()x_i) está representado por una línea sólida adjunta al punto x_i con una flecha hacia el punto;
6. Un campo anti-fermiónico ↑()x_i) está representado por una línea sólida adjunta al punto x_i con una flecha lejos del punto;

Ejemplo: procesos de segundo orden en QED

El término de perturbación de segundo orden en la matriz S es

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft ] {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans,fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}f}fnMicrosoft Sans,fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serif}$

Dispersión de fermiones

El diagrama Feynman del término ${displaystyle N{bar {psi }(x)iegamma ^{mu }psi (x){bar {psi}(x')iegamma ^{nu }psi (x')A_{mu }(x)A_{nu }(x')}$

La expansión del integrando de Wick da (entre otros) el siguiente término

${displaystyle N{bar}(x)gamma ^{mu }psi (x){bar {psi }(x')gamma ^{nu }psi (x'){compline {mu }(x)A_{nu }(x')};};$

dónde

${displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicroc {fnK}{4pi)}}{4}}}{frac {-ig_{munu ¿Qué?$

es la contracción electromagnética (propagador) en el calibre de Feynman. Este término está representado por el diagrama de Feynman a la derecha. Este diagrama da contribuciones a los siguientes procesos:

1. e⁻ e⁻ dispersión (Estado inicial a la derecha, estado final a la izquierda del diagrama);
2. e⁺ e⁺ dispersión (estado inicial a la izquierda, estado final a la derecha del diagrama);
3. e⁻ e⁺ Esparcimiento (Estado inicial en la parte inferior/ superior, estado final en la parte superior/abajo del diagrama).

Dispersión Compton y aniquilación/generación de pares e− e+

Otro término interesante en la expansión es

${displaystyle N{bar {psi }(x),gamma ^{mu },{underline {psi (x),{bar {psi }}(x')},gamma ^nu },psi (x'),A_{mu }(x),A_{nu } {nu } {s}fnfnfnfnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMientras me dijo:fnMinMientras me dijo:i}$

dónde

${displaystyle {underline {psi (x){bar {psi }}=int {fnMicroc} {fnK} {fnK} {fnK}}} {fnMicroc {fnK}}e^{-ip(x-x')}}}$

es la contracción fermiónica (propagador).

Formulación integral de trayectoria

En una integral de trayectoria, el lagrangiano de campo, integrado sobre todas las historias de campo posibles, define la amplitud de probabilidad para pasar de una configuración de campo a otra. Para que tenga sentido, la teoría del campo debe tener un estado fundamental bien definido, y la integral debe realizarse un poco rotada en un tiempo imaginario, es decir, una rotación de Wick. El formalismo de la integral de trayectoria es completamente equivalente al formalismo del operador canónico anterior.

Campo escalar Lagrangiano

Un ejemplo sencillo es el campo escalar relativista libre en dimensiones d, cuya integral de acción es:

${displaystyle S=int {tfrac}{2}partial _{mu} }phi partial ^{mu }phi ,d^{d}x,}$

La amplitud de probabilidad para un proceso es:

${displaystyle int _{B}e^{iS},Dphi ,}$

donde A y B< /span> son hipersuperficies similares al espacio que definen las condiciones de contorno. La colección de todos los φ(A) en la hipersuperficie inicial da el valor inicial del campo, análogo al la posición inicial de una partícula puntual y los valores de campo φ(B) en cada punto de la hipersuperficie final define la valor de campo final, que se permite variar, dando una amplitud diferente para terminar en valores diferentes. Esta es la amplitud de transición de campo a campo.

La integral de trayectoria da el valor esperado de los operadores entre el estado inicial y final:

${displaystyle int ¿Por qué? Brightrangle ,}$

y en el límite de que A y B retroceden al pasado infinito y al futuro infinito, la única contribución que importa es la del estado fundamental (esto solo es rigurosamente cierto si la integral de trayectoria se define ligeramente rotada en un tiempo imaginario). La integral de trayectoria se puede considerar como análoga a una distribución de probabilidad, y es conveniente definirla de modo que multiplicando por una constante no cambie nada:

${displaystyle {frac {displaystyle int e^{iS}phi (x_{1})cdots phi (x_{n}),Dphi }{displaystyle int e^{iS},Dphi }=leftlangle 0left WordPressphi (x_{1})cdotangle$

El factor de normalización en la parte inferior se denomina función de partición para el campo, y coincide con la función de partición mecánica estadística a temperatura cero cuando se rota en un tiempo imaginario.

Las amplitudes de inicial a final están mal definidas si uno piensa en el límite continuo desde el principio, porque las fluctuaciones en el campo pueden volverse ilimitadas. Por lo tanto, se puede pensar en la integral de ruta como en una red cuadrada discreta, con espaciado de red a y el límite a → 0 debe tomarse con cuidado. Si los resultados finales no dependen de la forma de la red o del valor de a, entonces existe el límite continuo.

Sobre una celosía

En una red, (i), el campo se puede expandir en modos de Fourier:

${displaystyle phi (x)=int {frac {dk}{(2pi)}}phi (k)e^{ikcdot x}=int _{k}phi (k)e^{ikx},}$

Aquí el dominio de integración está sobre k restringido a un cubo de longitud lateral 2π/a, por lo que los valores grandes de k no son permitió. Es importante tener en cuenta que la medida k contiene los factores de 2π de las transformadas de Fourier, esta es la mejor convención estándar para k-integrales en QFT. La red significa que las fluctuaciones en grandes k no pueden contribuir de inmediato, solo comienzan a contribuir en el límite a → 0. A veces, en lugar de un entramado, los modos de campo simplemente se cortan en valores altos de k.

También es conveniente de vez en cuando considerar que el volumen del espacio-tiempo es finito, de modo que los modos k también son un enrejado. Esto no es estrictamente tan necesario como el límite de celosía espacial, porque las interacciones en k no están localizadas, pero es conveniente para mantener seguimiento de los factores delante de las integrales k y las funciones delta de conservación del impulso que surgirán.

En un enrejado, (ii), la acción necesita ser discretizada:

${displaystyle S=sum _{langle x,yrangle }{tfrac {1}{2}{big (}phi (x)-phi (y){big)}{2},}$

donde ⟨x,y⟩ es un par de vecinos de celosía más cercanos x y y. La discretización debe considerarse como una definición de lo que significa la derivada ∂_μφ.

En términos de los modos de Fourier de celosía, la acción se puede escribir:

${displaystyle S=int {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {big} {big} {big]}cdots +{big (}1-cos(k_{d}) {big)}{Big}f}f} {f}f} {f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnKf}fnKf}fnKf}f}f}fnKfnKf}fnKf}f}f}}fnKf}f}fnKfnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMi$

Para k cerca de cero, esto es:

${displaystyle S=int _{k}{tfrac {1}{2}k^{2}left uponphi (k)right forever^{2},}$

Ahora tenemos la transformada continua de Fourier de la acción original. En volumen finito, la cantidad d^dk no es infinitesimal, sino que se convierte en el volumen de una caja hecho por modos vecinos de Fourier, o (2π/V< big>)^d
< sub style="font-size:inherit;line-height:inherit;vertical-align:baseline"> .

El campo φ tiene valor real, por lo que la transformada de Fourier obedece:

${displaystyle phi (k)^{*}=phi (-k),}$

En términos de partes reales e imaginarias, la parte real de φ(k) es una función par de k, mientras que la parte imaginaria es impar. La transformada de Fourier evita la doble contabilidad, por lo que se puede escribir:

${displaystyle S=int _{k}{tfrac {1}{2}k^{2}phi (k)phi (-k)}$

sobre un dominio de integración que se integra sobre cada par (k,−k) exactamente una vez.

Para un campo escalar complejo con acción

${displaystyle S=int {tfrac}{2}partial _{mu} }phi ^{*}partial ^{mu }phi ,d^{d}x}$

la transformada de Fourier no tiene restricciones:

${displaystyle S=int _{k}{tfrac {1}{2}k^{2}left uponphi (k)right forever^{2}$

y la integral es sobre todo k.

Integrar sobre todos los valores diferentes de φ(x) es equivalente a integrar sobre todos los modos de Fourier, porque tomando una transformada de Fourier es una transformación lineal unitaria de coordenadas de campo. Cuando cambias las coordenadas en una integral multidimensional por una transformación lineal, el valor de la nueva integral viene dado por el determinante de la matriz de transformación. Si

${displaystyle Y...$

entonces

${displaystyle det(A)int Dx_{1},dx_{2}cdots ################################################################################################################################################################################################################################################################ dy. ¿Qué?$

Si A es una rotación, entonces

${displaystyle A^{mathrm {T}A=I}$

de modo que det A = ±1, y el signo depende de si la rotación incluye un reflejo o no.

La matriz que cambia las coordenadas de φ(x) a φ(k) se puede leer a partir de la definición de una transformada de Fourier.

${displaystyle A_{kx}=e^{ikx},}$

y el teorema de la inversión de Fourier te dice lo contrario:

${displaystyle ¿Qué?$

que es el conjugado-transpuesto complejo, hasta factores de 2π. En una red de volumen finito, el determinante es distinto de cero e independiente de los valores del campo.

${displaystyle det A=1,}$

y la integral de ruta es un factor separado en cada valor de k.

${displaystyle int exp left({frac {I}{2}sum ¿Por qué? {I}{2}k^{2}left foreverphi ¿Qué?$

El factor d^dk es el volumen infinitesimal de una celda discreta en k-space, en una caja de celosía cuadrada

${displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ {1} {fn}fnMicrosoft Sans Serif}$

donde L es la longitud lateral de la caja. Cada factor separado es un gaussiano oscilatorio, y el ancho del gaussiano diverge a medida que el volumen tiende al infinito.

En tiempo imaginario, la acción euclidiana se convierte en definida positiva y puede interpretarse como una distribución de probabilidad. La probabilidad de que un campo tenga valores φ_k es

${displaystyle e^{int _{k}-{tfrac {1}{2}k^{2}phi} ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué?$

El valor esperado del campo es el valor esperado estadístico del campo cuando se elige de acuerdo con la distribución de probabilidad:

${displaystyle leftlangle phi (x_{1})cdots phi (x_{n})rightrangle ={frac {displaystyle int e^{-S}phi (x_{1})cdots phi (x_{n}),Dphi }{displaystyle \ e^ {$

Dado que la probabilidad de φ_k es un producto, el valor de φ_k en cada valor separado de k tiene una distribución gaussiana independiente. La varianza de Gaussian es 1/k²d^dk, que es formalmente infinito, pero eso solo significa que las fluctuaciones son ilimitadas en un volumen infinito. En cualquier volumen finito, la integral se reemplaza por una suma discreta, y la varianza de la integral es V/k².

Montecarlo

La integral de trayectoria define un algoritmo probabilístico para generar una configuración de campo escalar euclidiana. Elija aleatoriamente las partes real e imaginaria de cada modo de Fourier en el número de onda k para que sea una variable aleatoria gaussiana con varianza 1/k². Esto genera una configuración φ_C(k) al azar, y la transformada de Fourier da φ_C(x). Para campos escalares reales, el algoritmo debe generar solo uno de cada par φ(k), φ(−k), y hacer del segundo el complejo conjugado del primero.

Para encontrar cualquier función de correlación, genere un campo una y otra vez mediante este procedimiento y encuentre el promedio estadístico:

${displaystyle leftlangle phi (x_{1})cdots phi (x_{n})rightrangle =lim _{Principio de la vidaderechainfty }{frac {displaystyle sum _{C}f}(x_{1})cdots phi _{C}{} {} {c} {} {} {c} {c} {cdot} {c} {c} {c} {c} {} {c} {c} {c} {cdot} {c} {c} {c} {c}} {c} {cdot} {cdot} {c} {c} {c} {cdot} {cdot} {c} {c} {c} {cdot}}} {cdot} {cdot}}}}}}}}}$

donde |C| es el número de configuraciones, y la suma es el producto de los valores de campo en cada configuración. La función de correlación euclidiana es igual a la función de correlación en estadística o mecánica estadística. Las funciones de correlación de la mecánica cuántica son una continuación analítica de las funciones de correlación euclidiana.

Para campos libres con una acción cuadrática, la distribución de probabilidad es una gaussiana de alta dimensión y el promedio estadístico viene dado por una fórmula explícita. Pero el método de Monte Carlo también funciona bien para las teorías de campos interactivos bosónicos donde no existe una forma cerrada para las funciones de correlación.

Propagadora escalar

Cada modo tiene una distribución gaussiana independiente. La expectativa de los modos de campo es fácil de calcular:

${displaystyle leftlangle phi _{k}phi ¿Qué?$

para k ≠ k′, ya que entonces las dos variables aleatorias gaussianas son independientes y ambas tienen media cero.

${displaystyle leftlangle phi ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?$

en volumen finito V, cuando los dos k coinciden, ya que esta es la varianza de la Gaussiana. En el límite de volumen infinito,

${displaystyle leftlangle phi (k)phi (k')rightrangle =delta (k-k'){frac {1}{k^{2}}}$

Estrictamente hablando, esto es una aproximación: el propagador de celosía es:

${displaystyle leftlanglephi (k')rightrangle =delta (k-k'){frac {1}{2big (}d-cos(k_{1})+cos(k_{2})cdots +cos(k_{d}){big}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$

Pero cerca de k = 0, para fluctuaciones de campo largas en comparación con el espaciado de la red, las dos formas coinciden.

Es importante recalcar que las funciones delta contienen factores de 2π, de modo que cancelan el 2π factores en la medida de k integrales.

${displaystyle delta (k)=(2pi)^{d}delta ¿Por qué? ¿Por qué?$

donde δ_D(k) es el delta de Dirac unidimensional ordinario función. Esta convención para las funciones delta no es universal: algunos autores conservan los factores de 2π en las funciones delta (y en el < span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">k-integration) explícito.

Ecuación de movimiento

La forma del propagador se puede encontrar más fácilmente usando la ecuación de movimiento del campo. Del lagrangiano, la ecuación de movimiento es:

${displaystyle partial _{mu }partial ^{mu }phi =0,}$

y en un valor esperado, esto dice:

${displaystyle partial _{mu }partial ^{mu }leftlangle phi (x)phi (y)rightrangle =0}$

Donde las derivadas actúan sobre x, y la identidad es verdadera en todas partes excepto cuando x y y coinciden, y el orden de los operadores importa. La forma de la singularidad puede entenderse a partir de las relaciones canónicas de conmutación como una función delta. Definiendo el (euclidiano) propagador de Feynman Δ como la transformada de Fourier de la función de dos puntos ordenada en el tiempo (la que proviene de la integral de trayectoria):

${displaystyle partial ^{2}Delta (x)=idelta (x),}$

Para que:

${displaystyle Delta (k)={frac {}{k^{2}}}$

Si las ecuaciones de movimiento son lineales, el propagador siempre será el recíproco de la matriz de forma cuadrática que define el Lagrangiano libre, ya que esto da las ecuaciones de movimiento. Esto también es fácil de ver directamente desde la integral de trayectoria. El factor de i desaparece en la teoría euclidiana.

Teorema de la mecha

Debido a que cada modo de campo es un gaussiano independiente, los valores esperados para el producto de muchos modos de campo obedecen al teorema de Wick:

${displaystyle leftlangle phi (k_{1})phi (k_{2})cdots phi (k_{n})rightrangle }$

es cero a menos que los modos de campo coincidan en pares. Esto significa que es cero para un número impar de φ, y para un número par de φ, es igual a una contribución de cada par por separado, con una función delta.

${displaystyle leftlangle phi (k_{1})cdots phi (k_{2n})rightrangle =sum prod _{i,j}{frac {delta left (k_{i}-k_{j}}} {k_{i}}}}$

donde la suma es sobre cada partición de los modos de campo en pares, y el producto es sobre los pares. Por ejemplo,

${displaystyle leftlangle phi (k_{1})phi (k_{2})phi (k_{3})phi (k_{4})rightrangle ={frac {delta (k_{1}-k_{2}}{k_{1}}{2} {frac}} {f}} {f}} {fnK}}} {f}}}}} {fnK}}} {fnK}}}} {fnK}}}}}}} {f}}}} {f}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}} {f}}} {f}}}}}} {f}} {f}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f}}}}}}}}}}} {delta (k_{3}-k_{4}} {k_{3}}}+{frac} {delta (k_{1}-k_{3} {k_{3}}{2}{frac} {delta (k_{2}-k_{4}} {k_{2}}}+{frac} {delta (k_{1}-k_{4}} {k_{1}}{2}{frac}} {frac} {delta (k_{2}-k_{3}} {k_{2}}}}$

Una interpretación del teorema de Wick es que cada inserción de campo se puede considerar como una línea colgante, y el valor esperado se calcula vinculando las líneas en pares, poniendo un factor de función delta que asegura que el impulso de cada socio en el par es igual, y se divide por el propagador.

Momentos gaussianos superiores: completando el teorema de Wick

Hay un punto sutil que queda antes de que se pruebe el teorema de Wick, y si más de dos de los ${displaystyle phi }$¿Tiene el mismo impulso? Si es un número extraño, la integral es cero; los valores negativos cancelan con los valores positivos. Pero si el número es incluso, el integral es positivo. La manifestación anterior supuso que ${displaystyle phi }$s sólo encajaría en pares.

Pero el teorema es correcto incluso cuando arbitrariamente muchos de los ${displaystyle phi }$ son iguales, y esta es una propiedad notable de la integración gausiana:

${displaystyle I=int e^{-ax^{2}/2}dx={sqrt {frac} {2pi}{a}}}} {2pi} {}}} {}}} {}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}} {}}}}} {}}}}} {}}}}} {}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${fnK}I=nt {fnh00}fnh}I=nt {fnfn} {x^{2n} {2} {fn}}e^{-ax^{2}dx={frac} {1cdot 3cdot 5ldots cdots (2n-1)}{2cdot 2cdot 2ldots ;;;;;;cdot 2;;;;;;;;;}{sqrt {2pi}fnMicroc {2n+1}{2}}}}$

Dividiendo por I,

${displaystyle leftlangle x^{2n}rightrangle ={frac {displaystyle int x^{2n}e^{-ax^{2}/2}{displaystyle int e^{-ax^{2}}}=1cdot 3cdot 5cdots cdot (2n-1){frac}{a} {}{a} {} {} {} {} {} {} {} {}}} {} {}}}} {}}}}}} {}}} {} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${displaystyle leftlangle x^{2}rightrangle ={frac {1}{a}}$

Si el teorema de Wick fuera correcto, los momentos más altos estarían dados por todos los pares posibles de una lista de 2n diferentes < abarcan clase="texhtml mvar" style="font-style:italic;">x:

${displaystyle leftlangle x_{1}x_{2}x_{3}cdots x_{2n}rightrangle }$

donde x son todas la misma variable, el índice es solo para realizar un seguimiento de la cantidad de formas de emparejarlas. El primer x se puede emparejar con 2n − 1< /span> otros, dejando 2n − 2. El siguiente x no emparejado se puede emparejar con 2n − 3 diferentes x dejando 2n − 4< /span>, y así sucesivamente. Esto significa que el teorema de Wick, sin corregir, dice que el valor esperado de x²ⁿ debe ser:

${displaystyle leftlangle x^{2n}rightrangle =(2n-1)cdot (2n-3)ldots cdot 5cdot 3cdot 1leftlangle x^{2}rightrangle ^{n}}$

y esta es, de hecho, la respuesta correcta. Entonces, el teorema de Wick se cumple sin importar cuántos momentos de las variables internas coincidan.

Interacción

Las interacciones se representan mediante contribuciones de orden superior, ya que las contribuciones cuadráticas son siempre gaussianas. La interacción más simple es la auto-interacción cuartica, con una acción:

${displaystyle S=int partial ^{mu }phi partial _{mu }phi +{frac {fnMicrode } {4!}phi ^{4}$

¡La razón del factor combinatorio 4! será claro pronto. Escribiendo la acción en términos de los modos de Fourier reticulares (o continuos):

${displaystyle S=int _{k}k^{2}left durablephi (k)right sometida^{2}+{frac {lambda ¡Intenta! ¿Por qué? (k_{1})phi (k_{2})phi (k_{3})phi (k_{4})delta (k_{1}+k_{2}+k_{3})=S_{F}+X.}$

Donde S_F es la acción libre, cuyas funciones de correlación están dadas por Wick's teorema. La exponencial de S en la integral de ruta se puede expandir en potencias de λ, dando una serie de correcciones a la acción libre.

${displaystyle e^{-S}=e^{-S_{F}left(1+X+{frac} ¡XX+{frac! {1}{3!}XXX+cdots right)}$

La integral de trayectoria para la acción interactiva es entonces una serie de potencias de correcciones a la acción libre. El término representado por X debe considerarse como cuatro medias líneas, una para cada factor de φ(k). Las semirrectas se encuentran en un vértice, lo que contribuye con una función delta que asegura que la suma de los momentos sea igual.

Para calcular una función de correlación en la teoría de interacción, hay una contribución de los términos X ahora. Por ejemplo, la integral de ruta para el correlacionador de cuatro campos:

${displaystyle leftlangle phi (k_{1})phi (k_{2})phi (k_{3})phi (k_{4})rightrangle ={frac {displaystyle int e^{-S}phi (k_{1})phi (k_{2})phi (k_{3})f)f } {Z}}$

que en el campo libre solo era distinto de cero cuando los momentos k eran iguales en pares, ahora es distinto de cero para todos los valores de k. Los momentos de las inserciones φ(k_i) ahora pueden coincidir con los momentos de las Xs en la expansión. Las inserciones también deben considerarse como medias líneas, cuatro en este caso, que tienen un impulso k, pero uno que es no integrado.

La contribución de menor orden proviene del primer término no trivial e^−S_F X en la expansión de Taylor de la acción. El teorema de Wick requiere que los momentos en las semilíneas X, < i>φ(k) factores en X, deben coincidir con los momentos de las medias líneas externas en pares La nueva contribución es igual a:

${displaystyle lambda {frac {1}{2} {f} {f}} {fnK}}} {f}}} {f}}} {f}}}} {fn}}} {f}}}} {f}}} {f} {f}} {f}} {f}}}}} {f}}} {f} {f}} {f} {f}} {f}f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}} {f} {f}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {1}{2}{2}}{frac {1}{3}{2}}{frac} {f} {f} {f}} {f}} {f}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}} {f}}}}}} {f}}}} {f} {f} {f} {f}}} {f}}} {f}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}f} {f} {f} {f}}f}f}}}}}}}}}}}}}}} {1}{4}},}$

¡Los 4! ¡dentro de X se cancela porque hay exactamente 4! formas de hacer coincidir las medias líneas en X con las medias líneas externas. Cada una de estas diferentes formas de hacer coincidir las medias líneas en pares contribuye exactamente una vez, independientemente de los valores de k_{1,2,3,4< /sub>}, por el teorema de Wick.

Diagramas de Feynman

La expansión de la acción en potencias de X da una serie de términos con un número progresivamente mayor de Xs. La contribución del término con exactamente n Xs se llama nth order.

Los términos de nésimo orden tienen:

1. 4n medios internos, que son los factores φ()k) de la Xs. Todo esto termina en un vértice, y están integrados sobre todo lo posible k.
2. medio-líneas externas, que son el proveniente de φ()k) inserciones en la integral.

Según el teorema de Wick, cada par de medias líneas debe emparejarse para formar una línea, y esta línea da un factor de

${displaystyle {frac {delta (k_{1}+k_{2}} {k_{1}}}}$

lo que multiplica la contribución. Esto significa que las dos medias líneas que forman una línea están obligadas a tener impulsos iguales y opuestos. La línea en sí debe etiquetarse con una flecha, dibujarse paralela a la línea y etiquetarse con el impulso en la línea k. La media línea en el extremo de la cola de la flecha lleva el impulso k, mientras que la media línea en el extremo de la cabeza lleva el impulso −k. Si una de las dos medias líneas es externa, esto elimina la integral sobre la interna k, ya que fuerza la interna k para que sea igual a la externa k. Si ambos son internos, la integral sobre k permanece.

Los diagramas que se forman al vincular las semilíneas en las Xs con las semilíneas externas, que representan inserciones, son los diagramas de Feynman de esta teoría. Cada línea tiene un factor de 1/k², el propagador, y va desde vértice a vértice, o termina en una inserción. Si es interno, se integra sobre. En cada vértice, el k entrante total es igual al k.

¡La cantidad de formas de hacer un diagrama uniendo medias líneas en líneas cancela casi por completo los factores factoriales provenientes de la serie de Taylor de la exponencial y el 4! en cada vértice.

Orden de bucle

Un diagrama de bosque es aquel en el que todas las líneas internas tienen un impulso que está completamente determinado por las líneas externas y la condición de que el impulso entrante y saliente sea igual en cada vértice. La contribución de estos diagramas es un producto de propagadores, sin ninguna integración. Un diagrama de árbol es un diagrama de bosque conectado.

Un ejemplo de un diagrama de árbol es aquel en el que cada una de las cuatro líneas externas termina en una X. Otro es cuando tres líneas externas terminan en una X, y la media línea restante se une con otra X, y las medias líneas restantes de esta X fuga a líneas externas. Todos estos también son diagramas de bosque (ya que cada árbol es un bosque); un ejemplo de un bosque que no es un árbol es cuando ocho líneas externas terminan en dos Xs.

Es fácil comprobar que en todos estos casos, los momentos en todas las líneas internas están determinados por los momentos externos y la condición de conservación del momento en cada vértice.

Un diagrama que no es un diagrama de bosque se denomina diagrama de bucle, y un ejemplo es uno en el que dos líneas de un X se unen a líneas externas, mientras que las dos líneas restantes se unen entre sí. Las dos rectas unidas entre sí pueden tener cualquier cantidad de movimiento, ya que ambas entran y salen del mismo vértice. Un ejemplo más complicado es uno en el que dos X se unen entre sí haciendo coincidir las patas entre sí. Este diagrama no tiene líneas externas en absoluto.

La razón por la que los diagramas de bucle se llaman diagramas de bucle es que el número de k-integrales que quedan sin determinar por la conservación del impulso es igual al número de bucles cerrados independientes en el diagrama, donde los bucles independientes se cuentan como en la teoría de la homología. La homología tiene un valor real (en realidad R^d valorado), el valor asociado con cada línea es el impulso. El operador de límite lleva cada línea a la suma de los vértices finales con un signo positivo en la cabeza y un signo negativo en la cola. La condición de que se conserve el momento es exactamente la condición de que el límite del gráfico ponderado con valores de k sea cero.

Un conjunto de valores k válidos se puede redefinir arbitrariamente siempre que haya un ciclo cerrado. Un bucle cerrado es una ruta cíclica de vértices adyacentes que nunca vuelve a visitar el mismo vértice. Tal ciclo puede considerarse como el límite de una celda hipotética de 2. Las etiquetas k de un gráfico que conserva el impulso (es decir, que tiene un límite cero) hasta las redefiniciones de k (es decir, hasta los límites de 2 celdas) define la primera homología de un gráfico. El número de momentos independientes que no están determinados es entonces igual al número de bucles de homología independientes. Para muchos gráficos, esto es igual al número de bucles contados de la manera más intuitiva.

Factores de simetría

La cantidad de formas de formar un diagrama de Feynman determinado mediante la unión de medias líneas es grande y, según el teorema de Wick, cada forma de emparejar las medias líneas contribuye por igual. A menudo, esto cancela por completo los factoriales en el denominador de cada término, pero la cancelación a veces es incompleta.

El denominador no cancelado se denomina factor de simetría del diagrama. La contribución de cada diagrama a la función de correlación debe dividirse por su factor de simetría.

Por ejemplo, considere el diagrama de Feynman formado por dos líneas externas unidas a una X, y las dos medias líneas restantes en la X unidas entre sí. Hay 4 × 3 formas de unir las medias líneas externas a la X, y solo hay una forma de unir la dos líneas restantes entre sí. ¡La X viene dividida por 4! = 4 × 3 × 2, pero la cantidad de formas de vincular las X medias líneas para hacer el diagrama es solo 4 × 3, por lo que la contribución de este diagrama se divide por dos.

Para otro ejemplo, considere el diagrama formado al unir todas las medias líneas de una X a todas las medias líneas de otra X. Este diagrama se llama burbuja de vacío, porque no se conecta a ninguna línea externa. ¡Hay 4! maneras de formar este diagrama, pero el denominador incluye un 2! (De la expansión de la exponencial, hay dos Xs) y dos factores de 4!. La contribución se multiplica por 4!/2 × 4! × 4! = 1/ 48.

Otro ejemplo es el diagrama de Feynman formado por dos X donde cada X vincula hasta dos líneas externas y las dos medias líneas restantes de cada X< /span> están unidos entre sí. La cantidad de formas de vincular una X a dos líneas externas es 4 × 3, y X podría vincularse a cualquiera de los pares, dando un factor adicional de 2. Las dos medias líneas restantes en los dos Xs se pueden vincular entre sí de dos maneras, de modo que el número total de formas para formar el diagrama es 4 × 3 × 4 × 3 × 2 × 2, mientras que el denominador es 4. × 4! × 2!. El factor de simetría total es 2, y la contribución de este diagrama se divide por 2.

El teorema del factor de simetría da el factor de simetría para un diagrama general: la contribución de cada diagrama de Feynman debe dividirse por el orden de su grupo de automorfismos, el número de simetrías que tiene.

Un automorfismo de un gráfico de Feynman es una permutación M de las líneas y una permutación N de los vértices con las siguientes propiedades:

1. Si una línea l va de vértice v a vertex v., entonces M()l) va de N()v) a N()v.). Si la línea no está dirigida, como es para un campo escalar real, entonces M()l) puede ser N()v.) a N()v) también.
2. Si una línea l termina en una línea externa, M()l) termina en la misma línea externa.
3. Si hay diferentes tipos de líneas, M()l) debe preservar el tipo.

Este teorema tiene una interpretación en términos de trayectorias de partículas: cuando hay partículas idénticas, la integral sobre todas las partículas intermedias no debe contar dos veces los estados que difieren solo por el intercambio de partículas idénticas.

Prueba: para probar este teorema, etiqueta todas las líneas internas y externas de un diagrama con un nombre único. Luego forme el diagrama vinculando una media línea a un nombre y luego a la otra media línea.

Ahora cuente el número de formas de formar el diagrama mencionado. Cada permutación de las X da un patrón diferente de vinculación de nombres a medias líneas, y este es un factor de n!. ¡Cada permutación de las medias líneas en una sola X da un factor de 4!. Entonces, un diagrama con nombre se puede formar exactamente de tantas maneras como el denominador de la expansión de Feynman.

Pero el número de diagramas sin nombre es menor que el número de diagramas con nombre por el orden del grupo de automorfismos del gráfico.

Diagramas conectados: teorema del cúmulo enlazado

En términos generales, un diagrama de Feynman se denomina conectado si todos los vértices y las líneas de propagación están vinculados por una secuencia de vértices y propagadores del propio diagrama. Si uno lo ve como un gráfico no dirigido, está conectado. La notable relevancia de tales diagramas en QFT se debe al hecho de que son suficientes para determinar la función de partición cuántica Z[J]< /lapso>. Más precisamente, los diagramas de Feynman conectados determinan

${displaystyle iW[J]equiv ln Z[J].}$

Para ver esto, uno debe recordar que

${displaystyle Z[J]propto sum ¿Qué?$

con D_k construido a partir de algún diagrama (arbitrario) de Feynman que puede pensarse que consiste de varios componentes conectados C_i. Si uno encuentra copias n_i (idénticas) de un componente C_i dentro del diagrama de Feynman D_k hay que incluir un factor de simetría n _yo!. Sin embargo, al final cada contribución de un diagrama de Feynman D_k a la función de partición tiene la función genérica formulario

${displaystyle prod _{i}{frac {C_{i}}}} {n_{i}}}}}}$

donde i etiqueta los (infinitos) diagramas de Feynman conectados posibles.

Un esquema para crear sucesivamente dichas contribuciones desde D_k hasta Z[J] se obtiene mediante

${displaystyle left({frac {1}{0}}+{frac {C_{1}{1}}}+{frac {C_{1}{2}}}}+cdots right)left(1+C_{2}+{frac {1}{2}}}C_{2}{2}+cdots right)cdots }$

y por lo tanto produce

${displaystyle Z[J]propto prod _{i}{sum ¿Qué? }{frac {C_{i}} {n_{i}}}=exp {cHFF} {fnMicrosoft Sans Serif}$

Para establecer la normalización Z₀ = exp W[0 ] = 1 uno simplemente calcula todos los diagramas de vacío conectados, es decir, los diagramas sin ninguna fuente J (a veces denominadas patas externas de un diagrama de Feynman).

Burbujas de vacío

Una consecuencia inmediata del teorema del cúmulo vinculado es que todas las burbujas de vacío, diagramas sin líneas externas, se cancelan al calcular las funciones de correlación. Una función de correlación viene dada por una relación de integrales de trayectoria:

${displaystyle leftlangle phi _{1}(x_{1})cdots phi _{n}(x_{n})rightrangle ={frac {displaystyle int e^{-S}phi _{1}(x_{1})cdots phi _{n} {s_{nphi} },}$

La parte superior es la suma de todos los diagramas de Feynman, incluidos los diagramas desconectados que no se conectan a líneas externas en absoluto. En términos de los diagramas conectados, el numerador incluye las mismas contribuciones de burbujas de vacío que el denominador:

${displaystyle int e^{-S}phi _{1}(x_{1})cdots phi _{n}(x_{n}),Dphi =left(sum E_{i}right)left(exp left(sum _{i}C_}right)right)right),}$

Donde la suma de los diagramas E incluye solo aquellos diagramas cuyos componentes conectados terminan en al menos una línea externa. Las burbujas de vacío son las mismas independientemente de las líneas externas y dan un factor multiplicativo general. El denominador es la suma de todas las burbujas de vacío, y al dividir se elimina el segundo factor.

Entonces, las burbujas de vacío solo son útiles para determinar Z en sí mismo, que a partir de la definición de la integral de trayectoria es igual a:

${displaystyle Z=int e^{-S}Dphi =e^{-HT}=e^{-rho V}$

donde ρ es la densidad de energía en el vacío. Cada burbuja de vacío contiene un factor de δ(k) que pone a cero el total k en cada vértice, y cuando no hay líneas externas, este contiene un factor de δ(0) , porque la conservación del impulso se impone en exceso. En volumen finito, este factor se puede identificar como el volumen total del espacio-tiempo. Dividiendo por el volumen, la integral restante de la burbuja de vacío tiene una interpretación: es una contribución a la densidad de energía del vacío.

Fuentes

Las funciones de correlación son la suma de los diagramas de Feynman conectados, pero el formalismo trata los diagramas conectados y desconectados de manera diferente. Las líneas internas terminan en los vértices, mientras que las líneas externas se van a las inserciones. La introducción de fuentes unifica el formalismo, creando nuevos vértices donde puede terminar una línea.

Las fuentes son campos externos, campos que contribuyen a la acción, pero no son variables dinámicas. Una fuente de campo escalar es otro campo escalar h que aporta un término al Lagrangiano (Lorentz):

${displaystyle int h(x)phi (x),d^{d}x=int h(k)phi (k),d^{d}k,}$

En la expansión de Feynman, esto aporta términos H con una media línea que termina en un vértice. Las líneas en un diagrama de Feynman ahora pueden terminar en un vértice X o en un H vértice, y solo una línea ingresa en un vértice H. La regla de Feynman para un vértice H es que una línea desde un H con impulso k obtiene un factor de h(k).

La suma de los diagramas conectados en presencia de fuentes incluye un término para cada diagrama conectado en ausencia de fuentes, excepto que ahora los diagramas pueden terminar en la fuente. Tradicionalmente, una fuente se representa con un pequeño "×" con una línea que se extiende hacia afuera, exactamente como una inserción.

${bign]}=sum _{n,C}h(k_{2})h(k_{2})cdots h(k_{n})C(k_{1},cdotsk_{n}),}$

donde C(k₁,...,k_n ) es el diagrama conectado con n líneas externas que llevan el impulso como se indica. La suma es sobre todos los diagramas conectados, como antes.

El campo h no es dinámico, lo que significa que no hay una ruta integral sobre h: h es solo un parámetro en el Lagrangiano, que varía de un punto a otro. La integral de trayectoria del campo es:

${displaystyle Z[h]=int e^{iS+iint hphi },Dphi ,}$

y es una función de los valores de h en cada punto. Una forma de interpretar esta expresión es que está tomando la transformada de Fourier en el espacio de campo. Si hay una densidad de probabilidad en Rⁿ, la transformada de Fourier de la densidad de probabilidad es:

${displaystyle int rho (y)e^{iky},d^{n}y=leftlangle e^{iky}rightrangle =leftlangle prod ¿Por qué?$

La transformada de Fourier es la expectativa de una exponencial oscilatoria. La integral de ruta en presencia de una fuente h(x) es:

${displaystyle Z[h]=int e^{iS}e^{iint _{x}h(x)phi (x)}, Dphi =leftlangle e^{ihphi }rightrangle }$

que, en una red, es el producto de una exponencial oscilatoria para cada valor de campo:

${displaystyle leftlangle prod ¿Por qué? ¿Qué?$

La transformada de Fourier de una función delta es una constante, lo que da una expresión formal para una función delta:

${displaystyle delta (x-y)=int e^{ik(x-y)},dk}$

Esto le dice cómo se ve una función delta de campo en una integral de ruta. Para dos campos escalares φ y η< /lapso>,

${displaystyle delta (phi -eta)=int e^{ih(x){big (}phi (x)-eta (x){big)},d^{d}x}, Dh,}$

que se integra sobre la coordenada transformada de Fourier, sobre h. Esta expresión es útil para cambiar formalmente las coordenadas de campo en la integral de trayectoria, al igual que se usa una función delta para cambiar las coordenadas en una integral multidimensional ordinaria.

La función de partición ahora es una función del campo h, y la función de partición física es el valor cuando h es la función cero:

Las funciones de correlación son derivadas de la integral de trayectoria con respecto a la fuente:

${displaystyle leftlangle phi (x)rightrangle ={frac {1}{Z}{frac {partial }{partial h(x)}Z[h]={frac {partial }{partial h(x)}}log {big (}Z[h]{big)},}}} {fnunció]$

En el espacio euclidiano, las contribuciones de la fuente a la acción aún pueden aparecer con un factor de i, de modo que aún hacen un Transformada de Fourier.

Giro 1/2; y#34;protones#34; y "fantasmas n#34;

Giro 1/2: Integrales de Grassmann

La integral de trayectoria de campo puede extenderse al caso de Fermi, pero solo si se amplía la noción de integración. Una integral de Grassmann de un campo de Fermi libre es un determinante de alta dimensión o Pfaffian, que define el nuevo tipo de integración gaussiana apropiada para los campos de Fermi.

Las dos fórmulas fundamentales de la integración de Grassmann son:

${displaystyle int e^{M_{}{bar {psi } {i}psi ^{j},D{bar {psi }},Dpsi =mathrm {Det},},}$

donde M es una matriz arbitraria y ψ, ψ son variables de Grassmann independientes para cada índice i, y

${displaystyle int e^{frac {1}{2}A_{ij}psi ^{i}ps},Dpsi =mathrm {Pfaff} (A),}$

donde A es una matriz antisimétrica, ψ es una colección de variables de Grassmann, y la 1/2 es para evitar el conteo doble (ya que ψ^{i< /sup>ψj} = −ψ^jψⁱ).

En notación matricial, donde ψ y η son vectores fila con valores de Grassmann, η y ψ son Grassmann- vectores de columna con valores, y M es una matriz con valores reales:

${displaystyle Z=int e^{bar {psi }Mpsi +{bar {eta }psi +{bar {psi }eta },D{bar {psi }\fnMicrosoft,0} Dpsi =int e^{left({bar {psi] }+{bar {eta M^{-1}right)Mleft(psi +M^{-1}eta right)-{bar {eta ¿Qué? Dpsi =mathrm {Det} (M)e^{-{bar {eta] }M^{-1}eta },}$

donde la última igualdad es consecuencia de la invariancia de traslación de la integral de Grassmann. Las variables de Grassmann η son fuentes externas para ψ, y diferenciar con respecto a η reduce los factores de ψ.

${displaystyle leftlangle {bis}psi rightrangle ={frac} {fnK} {f} {fn} {fn}} {fnMicroc {partial }{partial {bar {eta}}} {f}}} {fn0}} {fnf}} {b}} {fnf}fnfnKf}}} {f}f}}}}f}f}} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnfnfnfnfnf}fnf}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn}fnfnfnfnfnfnfnf}fn - ¿Qué? }=0}=M^{-1}$

de nuevo, en una notación matricial esquemática. El significado de la fórmula anterior es que la derivada con respecto al componente apropiado de η y η proporciona el elemento de matriz de M ⁻¹. Esto es exactamente análogo a la fórmula de integración del camino bosónico para una integral gaussiana de un campo bosónico complejo:

${displaystyleint e^{fnfnfn\fnMicrosoft ^{*}Mphi +h^{*}phi ###phi ^{*}h}, Dphi ^{*}, Dphi ={frac {fnMicrom} {fnMicrom} {fnMicrom} {Det} (M)}}}$

${displaystyle leftlangle phi ^{*}phi rightrangle ={frac {1}{Z}{frac {partial }{partial ¿Qué? {partial }{partial ¿Qué?$

Para que el propagador sea el inverso de la matriz en la parte cuadrática de la acción tanto en el caso de Bose como en el de Fermi.

Para los campos de Grassmann reales, para los fermiones de Majorana, la integral de trayectoria es una forma cuadrática de Pfaffiana multiplicada por una fuente, y las fórmulas dan la raíz cuadrada del determinante, tal como lo hacen para los campos bosónicos reales. El propagador sigue siendo el inverso de la parte cuadrática.

El Dirac Lagrangiano libre:

${displaystyle int {bar {bis}left(gamma ^{mu} }partial _{mu }-mright)psi }$

formalmente da las ecuaciones de movimiento y las relaciones de anticonmutación del campo de Dirac, al igual que el Lagrangiano de Klein Gordon en una integral de trayectoria ordinaria da las ecuaciones de movimiento y las relaciones de conmutación del campo escalar. Al usar la transformada espacial de Fourier del campo de Dirac como una nueva base para el álgebra de Grassmann, la parte cuadrática de la acción de Dirac se vuelve simple de invertir:

${displaystyle S=int _{k}{bar}left(igamma ^{mu} }k_{mu }-mright)psi ,}$

El propagador es el inverso de la matriz M que une ψ(k) y ψ (k), ya que diferentes valores de k no se mezclan.

${displaystyle leftlanglebar {psi }(k')psi (k)rightrangle =delta (k+k'){frac {1}{gammacdot k-m}=delta (k+k'){gamma cdot {fnK}}$

El análogo del teorema de Wick coincide con ψ y ψ en pares:

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {1}{gammacdot K_{i}-m}}$

donde S es el signo de la permutación que reordena la secuencia de ψ< /span> y ψ para poner las que están emparejadas para hacer las funciones delta una al lado de la otra, con el ψ justo antes del ψ. Dado que un par ψ, ψ es un elemento de conmutación del álgebra de Grassmann, no importa en qué orden estén los pares. Si hay más de un ψ, ψ el par tiene el mismo k, la integral es cero, y es fácil comprobar que la suma de los pares da cero en este caso (siempre hay un número par de ellos). Este es el análogo de Grassmann de los momentos gaussianos superiores que completaron el teorema de Bosonic Wick antes.

Las reglas para spin-1/ 2 Las partículas de Dirac son las siguientes: el propagador es el inverso del operador de Dirac, las líneas tienen flechas como para un campo escalar complejo y el diagrama adquiere una factor global de −1 para cada bucle de Fermi cerrado. Si hay un número impar de bucles de Fermi, el diagrama cambia de signo. Históricamente, la regla −1 fue muy difícil de descubrir para Feynman. Lo descubrió después de un largo proceso de prueba y error, ya que carecía de una teoría adecuada de la integración de Grassmann.

La regla se deriva de la observación de que el número de líneas de Fermi en un vértice siempre es par. Cada término en el Lagrangiano siempre debe ser Bosónico. Un bucle de Fermi se cuenta siguiendo las líneas fermiónicas hasta que uno vuelve al punto de partida y luego elimina esas líneas del diagrama. Repetir este proceso eventualmente borra todas las líneas fermiónicas: este es el algoritmo de Euler para un gráfico de 2 colores, que funciona siempre que cada vértice tenga un grado par. El número de pasos en el algoritmo de Euler solo es igual al número de ciclos independientes de homología fermiónica en el caso especial común de que todos los términos en el lagrangiano son exactamente cuadráticos en los campos de Fermi, de modo que cada vértice tiene exactamente dos líneas fermiónicas. Cuando hay cuatro interacciones de Fermi (como en la teoría efectiva de Fermi de las interacciones nucleares débiles) hay más k-integrales que Bucles de Fermi. En este caso, la regla de conteo debe aplicar el algoritmo de Euler emparejando las líneas de Fermi en cada vértice en pares que juntos forman un factor bosónico del término en el Lagrangiano, y al ingresar un vértice por una línea, el algoritmo siempre debe salir con la línea asociada.

Para aclarar y demostrar la regla, considere un diagrama de Feynman formado por vértices, términos en el Lagrangiano, con campos de Fermiones. El término completo es bosónico, es un elemento conmutador del álgebra de Grassmann, por lo que el orden en que aparecen los vértices no es importante. Las líneas de Fermi están unidas en bucles, y al atravesar el bucle, uno puede reordenar los términos de los vértices uno tras otro a medida que avanza sin ningún costo de signo. La excepción es cuando regresa al punto de partida, y la última media línea debe unirse con la primera media línea no vinculada. Esto requiere una permutación para mover el último ψ a ir delante del primer ψ, y esto da el signo.

Esta regla es el único efecto visible del principio de exclusión en líneas internas. Cuando hay líneas externas, las amplitudes son antisimétricas cuando se intercambian dos inserciones de Fermi para partículas idénticas. Esto es automático en el formalismo de la fuente, porque las fuentes de los campos de Fermi son en sí mismas valoradas por Grassmann.

Giro 1: fotones

El propagador ingenuo para fotones es infinito, ya que el Lagrangiano para el campo A es:

${displaystyle S=int {tfrac {1}{4}}F^{munu } {munu }=int -{tfrac {1}{2}}left(partial ^{mu }A_{nu }partial _{mu - ¿Qué? ¿Qué?$

La forma cuadrática que define el propagador no es invertible. La razón es la invariancia de calibre del campo; agregar un degradado a A no cambia la física.

Para solucionar este problema, es necesario arreglar un indicador. La forma más conveniente es exigir que la divergencia de A sea alguna función f, cuyo valor es aleatorio de un punto a otro. No hace daño integrar sobre los valores de f, ya que solo determina la elección del calibre. Este procedimiento inserta el siguiente factor en la integral de ruta para A:

${displaystyle int delta left(partial _{mu }A^{mu }-fright)e^{-{frac Oh, Dios.$

El primer factor, la función delta, fija el indicador. El segundo factor suma diferentes valores de f que son fijaciones de calibre no equivalentes. esto es simplemente

${displaystyle e^{-{frac {left(partial _{mu }A_{mu }right)}{2}}}},}$

La contribución adicional de la fijación de indicadores cancela la segunda mitad del Lagrangiano libre, dando el Lagrangiano de Feynman:

${displaystyle S=int partial ^{mu }A^{nu }partial _{mu }A_{nu }$

que es como cuatro campos escalares libres independientes, uno para cada componente de A. El propagador de Feynman es:

${displaystyle leftlangle A_{mu }(k)A_{nu }(k')rightrangle =delta left(k+k'right){frac {g_{munu - Sí.$

La única diferencia es que el signo de un propagador es incorrecto en el caso de Lorentz: el componente temporal tiene un propagador de signo opuesto. Esto significa que estos estados de partículas tienen una norma negativa: no son estados físicos. En el caso de los fotones, es fácil mostrar mediante métodos de diagrama que estos estados no son físicos: su contribución se cancela con fotones longitudinales para dejar solo dos contribuciones de polarización de fotones físicos para cualquier valor de k.

Si el promedio sobre f se hace con un coeficiente diferente de 1/2Los dos términos no cancelan completamente. Esto da un lagrangiano covariante con un coeficiente ${displaystyle lambda }$, que no afecta nada:

${displaystyle S=int {tfrac}{2}left(partial ^{mu} ¿Qué?$

y el propagador covariante para QED es:

${displaystyle leftlangle A_{mu }(k)A_{nu }(k')rightrangle =delta left(k+k'right){frac {g_{munu }-lambda {fnMicroc {k_{fm} }k_{nu - Sí.$

Giro 1: fantasmas no abelianos

Para encontrar las reglas de Feynman para campos de calibre no abelianos, el procedimiento que realiza la fijación del calibre debe corregirse cuidadosamente para tener en cuenta un cambio de variables en la integral de ruta.

El factor de fijación del calibre tiene un determinante adicional al hacer estallar la función delta:

${displaystyle delta left(partial _{mu ¿Qué? M.$

Para encontrar la forma del determinante, considere primero una integral bidimensional simple de una función f que depende solo de r, no en el ángulo θ< /lapso>. Insertando una integral sobre θ:

${displaystyle int f(r),dx,dy=int f(r)int dtheta ,delta (y)left sometida{frac {y}{dtheta }right sobre la vida,dx,dy}$

El factor derivado asegura que al abrir la función delta en θ se elimina la integral. Intercambiando el orden de integración,

${displaystyle int f(r),dx,dy=int dtheta ,int f(r)delta (y)left durable{frac {y}{dtheta }right sobre la vida,dx,dy}$

pero ahora la función delta puede aparecer en y,

${displaystyle int f(r),dx,dy=int dtheta _{0},int f(x)left durable{frac {}{dtheta }justo de la vida,dx,}$

La integral sobre θ solo da un factor general de 2π, mientras que la tasa de cambio de y con un cambio en θ es simplemente x, así que este ejercicio reproduce la fórmula estándar para la integración polar de una función radial:

${displaystyle int f(r),dx,dy=2piint f(x)x,dx}$

En la integral de ruta para un campo de calibre no abeliano, la manipulación análoga es:

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicros {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicros} {f} {f}f}}}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}b9}f}f}f}f}f}f}f} {b}b}b}b}b}b}b}b}b}f}f}f}f}f}f}b}f}b}b}b9}b}f}b}b}b9$

El factor anterior es el volumen del grupo de indicadores y aporta una constante, que se puede descartar. La integral restante está sobre la acción fija del manómetro.

${displaystyle int det left({frac {partial ¿Qué?$

Para obtener un calibre covariante, la condición de fijación del calibre es la misma que en el caso Abelian:

${displaystyle partial _{mu }=f,}$

Cuya variación bajo una transformación de calibre infinitesimal está dada por:

${displaystyle partial _{mu },D_{mu }alpha ,}$

donde α es el elemento valorado adjunto del álgebra de Lie en cada punto que realiza la transformación de calibre infinitesimal. Esto agrega el determinante de Faddeev Popov a la acción:

${displaystyle det left(partial _{mu },D_{mu }right),}$

que se puede reescribir como una integral de Grassmann introduciendo campos fantasma:

${displaystyle int e^{bar {eta }partial _{mu },D^{mu }eta },D{bar {eta },Detaeta,}$

El determinante es independiente de f, por lo que la integral de ruta sobre f puede proporcionar el propagador de Feynman (o un propagador covariante) eligiendo la medida para f< /span> como en el caso abeliano. La acción fija del indicador completo es entonces la acción de Yang Mills en el indicador Feynman con una acción fantasma adicional:

${displaystyle S=int operatorname {Tr} partial _{mu }A_{nu }partial ^{mu }A^{nu }+f_{jk} {i}partial ^{nu. }A_{mu }{j}A_{nu ¿Qué? {Tr} partial _{mu}{bar {eta}partial ^{mu }eta +{bar {eta }A_{j}eta ,}$

Los diagramas se derivan de esta acción. El propagador de los campos de spin-1 tiene la forma habitual de Feynman. Hay vértices de grado 3 con factores de cantidad de movimiento cuyos acoplamientos son las constantes de estructura y vértices de grado 4 cuyos acoplamientos son productos de constantes de estructura. Hay bucles fantasma adicionales, que cancelan los estados temporales y longitudinales en los bucles A.

En el caso abeliano, el determinante de los calibres covariantes no depende de A, por lo que los fantasmas no contribuyen a la diagramas conectados.

Representación de ruta de partículas

Los diagramas de Feynman fueron descubiertos originalmente por Feynman, por ensayo y error, como una forma de representar la contribución a la matriz S de diferentes clases de trayectorias de partículas.

Representación de Schwinger

El propagador escalar euclidiano tiene una representación sugerente:

${fnMicroc} {1}{2}+m^{2}=int ¿Por qué?$

El significado de esta identidad (que es una integración elemental) se aclara con la transformación de Fourier al espacio real.

${displaystyle Delta (x)=int ¿Qué? e^{-m^{2} {frac {1}{4pitau}}}}e^{frac} {-x^{2} {4tau}}}$

La contribución en cualquier valor de τ al propagador es una Gaussiana de ancho √τ. La función de propagación total de 0 a x es una suma ponderada sobre todos los tiempos adecuados τ de una Gaussiana normalizada, la probabilidad de terminar en x después de una paso aleatorio del tiempo τ.

La representación de la integral de ruta para el propagador es entonces:

${displaystyle Delta (x)=int ¿Por qué? {x}} {2}} {2}}+m^{2}right)dtau '$

que es una reescritura integral de la ruta de la representación de Schwinger.

La representación de Schwinger es útil tanto para manifestar el aspecto de partícula del propagador como para simetrizar denominadores de diagramas de bucle.

Combinar denominadores

La representación de Schwinger tiene una aplicación práctica inmediata para los diagramas de bucle. Por ejemplo, para el diagrama en la teoría φ⁴ formada al unir dos estilo xs juntas en dos medias líneas, y haciendo que las líneas restantes sean externas, la integral sobre los propagadores internos en el ciclo es:

${displaystyle int _{k}{frac} {1}{2}+m^{2}}{frac} {f} {f} {f}} {f} {f}} {f}}} {f}}} {f} {f}} {f}} {f}}} {f} {f}}}} {f}}}}} {f}}} {f} {f}f}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}}f}f} {f}f} {f}f}f} {f} {f} {f} {f} {f}f}f}f}f}f} {f}f} {f}f}f}f}}f}f}f}f}f}}}}}} {1}{2}},}$

Aquí una línea lleva impulso k y la otra k + p. La asimetría se puede arreglar poniendo todo en la representación de Schwinger.

${displaystyle int _{t,t'}e^{-t(k^{2}+m^{2})-t'left((k+p)^{2}+m^{2}right)},dt,dt',}$

Ahora el exponente depende principalmente de t + t′,

${displaystyle int _{t,t'}e^{-(t+t')(k^{2}+m^{2})-t'2pcdot k-t'p^{2},}$

excepto por el poco asimétrico. Definiendo la variable u = t + t′ y v = t′/u, el estilo variable u va de 0 a ∞, mientras que v va de 0 a 1. La variable u es el tiempo total propio del bucle, mientras que v parametriza la fracción del tiempo propio en la parte superior del bucle frente a la parte inferior.

El jacobiano para esta transformación de variables es fácil de calcular a partir de las identidades:

${displaystyle d(uv)=dt'quad du=dt+dt,}$

y "acuñar" da

${fnMicrosoft Sans Serif}$.

Esto permite que la integral u se evalúe explícitamente:

${displaystyle int _{u,v}ue^{-uleft(k^{2}+m^{2}+v2pcdot k+vp^{2}right)}=int {frac {1}{2}m^{2}+m^{2}+v2pcdot k-vp^{2}right)$

dejando solo la v-integral. Este método, inventado por Schwinger pero generalmente atribuido a Feynman, se llama denominador combinado. En abstracto, es la identidad elemental:

${displaystyle {frac {}{AB}=int ¿Por qué?$

Pero este formulario no proporciona la motivación física para presentar v; v es la proporción de tiempo propio en uno de los tramos del bucle.

Una vez que se combinan los denominadores, un cambio en k a k< /i>′ = k + vp simetriza todo:

${displaystyle int ¿Qué? (k^{2}+m^{2}+2vpcdot ¿Qué? ¿Por qué?$

Esta forma muestra que el momento en que p² es más negativo que cuatro veces la masa de la partícula en el bucle, que ocurre en una región física del espacio de Lorentz, la integral tiene un corte. Esto es exactamente cuando el impulso externo puede crear partículas físicas.

Cuando el ciclo tiene más vértices, hay más denominadores para combinar:

${displaystyle int dk,{frac {1}{2}+m^{2}}{frac {1}{(k+p_{1})^{2}+m^{2}}}}cdots {1}{(k+p_{n})}{2}+m^{2}}}}}}}}}}}}}}}}} {cdots {1}{1}{1}{1}{0} {} {}{2} {}{2}{2} {c}{2}{2}{2} {} {} {}}}}} {} {}{2}}}}}}} {}}}}}}}}}}}{2}}}}}}}}}}} {cdot}}} {}}}} {cdot}} {}}}}}} {cdot} {}}}}}}}}} {cdot}} {cdot} {} {cdot}}}} {cdot$

La regla general se deriva de la prescripción de Schwinger para los denominadores n + 1:

${fnMicroc} {1}{0}cdots D_{n}=int ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué? - ¿Qué? ¿Qué?$

La integral sobre los parámetros de Schwinger u_i se puede dividir como antes en una integral sobre el tiempo propio total u = u₀ + u ₁... + u_n y una integral sobre la fracción del tiempo propio en todos menos el primer segmento del bucle v_i = u< sub>i/u para i ∈ {1,2,...,n}. Los v_i son positivos y suman menos de 1, por lo que v integral está sobre una n-dimensional símplex.

El jacobiano para la transformación de coordenadas se puede calcular como antes:

${displaystyle du=du_{0}+du_{1}cdots #$

${displaystyle d(uv_{i}=du_{i},}$

Juntando todas estas ecuaciones, se obtiene

${displaystyle u^{n},duwedge dv_{1}wedge dv_{2}cdots wedge dv_{n}=du_{0}dge du_{1}cdots wedge du_{n},.}$

Esto da la integral:

${displaystyle int _{0}{infty }int _{mathrm {simplex}u^{n}e^{-uleft(v_{0}D_{0}+v_{1}D_{1}+v_{2}D_{2}cdots ¿Qué? Dv_{n},du,}$

donde el símplex es la región definida por las condiciones

${displaystyle {fn}fn}fnK}fnK}fnK}fnfnK}fnK} ¿Qué?$

así como

${displaystyle v_{0}=1-sum ¿Qué?$

Realizar la integral u da la receta general para combinar denominadores:

${displaystyle {frac {1}{0}cdots ¿Qué? (v_{0}D_{0}+v_{1}D_{1}cdots ¿Qué? Dv_{n}$

Dado que el numerador del integrando no está involucrado, la misma receta funciona para cualquier bucle, sin importar los espines que lleven las piernas. La interpretación de los parámetros v_i es que son la fracción del tiempo total apropiado dedicado a cada pierna.

Dispersión

Las funciones de correlación de una teoría cuántica de campos describen la dispersión de partículas. La definición de "partícula" en la teoría relativista de campos no es evidente, porque si trata de determinar la posición de modo que la incertidumbre sea menor que la longitud de onda Compton, la incertidumbre en la energía es lo suficientemente grande como para producir más partículas y antipartículas del mismo tipo del vacío. Esto significa que la noción de un estado de una sola partícula es hasta cierto punto incompatible con la noción de un objeto localizado en el espacio.

En la década de 1930, Wigner dio una definición matemática para los estados de una sola partícula: son una colección de estados que forman una representación irreducible del grupo de Poincaré. Los estados de una sola partícula describen un objeto con una masa finita, un momento bien definido y un giro. Esta definición está bien para protones y neutrones, electrones y fotones, pero excluye a los quarks, que están permanentemente confinados, por lo que el punto de vista moderno es más flexible: una partícula es cualquier cosa cuya interacción puede describirse en términos de diagramas de Feynman, que tienen una interpretación como una suma sobre trayectorias de partículas.

Un operador de campo puede actuar para producir un estado de una partícula a partir del vacío, lo que significa que el operador de campo φ(x) produce una superposición de estados de partículas de Wigner. En la teoría del campo libre, el campo produce estados de una sola partícula. Pero cuando hay interacciones, el operador de campo también puede producir estados de 3 partículas, 5 partículas (si no hay simetría +/− también 2, 4, 6 partículas). Para calcular la amplitud de dispersión para estados de partículas individuales solo se requiere un límite cuidadoso, enviando los campos al infinito e integrando en el espacio para deshacerse de las correcciones de orden superior.

La relación entre las funciones de dispersión y correlación es el teorema LSZ: la amplitud de dispersión para n partículas para ir a m partículas en un evento de dispersión está dada por la suma de los diagramas de Feynman que entran en la función de correlación para n + m, omitiendo los propagadores para las patas externas.