Diagrama conmutativo

El diagrama conmutativo utilizado en la prueba de los cinco lemma

En matemáticas, y especialmente en teoría de categorías, un diagrama conmutativo es un diagrama tal que todos los caminos dirigidos en el diagrama con los mismos puntos inicial y final conducen al mismo resultado. Se dice que los diagramas conmutativos juegan el papel en la teoría de categorías que juegan las ecuaciones en álgebra.

Descripción

Un diagrama conmutativo a menudo consta de tres partes:

• objetos (también conocidos como vertices)
• morfismos (también conocidos como flechas o bordes)
• caminos o compuestos

Símbolos de flecha

En los textos de álgebra, el tipo de morfismo se puede denotar con diferentes usos de flechas:

• Un monomorfismo puede ser etiquetado con un .. {displaystyle hookrightarrow } o a ↣ ↣ {displaystyle rightarrowtail }.
• Un epimorfismo puede ser etiquetado con un ↠ ↠ {displaystyle twoheadrightarrow }.
• Un isomorfismo puede ser etiquetado con un → → ♪ ♪ {displaystyle {sset {sim}{rightarrow }} {fnMicrosoft}}}.
• La flecha desgarrada representa típicamente la afirmación de que el morfismo indicado existe (cuando el resto del diagrama sostiene); la flecha puede ser etiquetada opcionalmente como ∃ ∃ {displaystyle exists }.
  • Si el morfismo es además único, entonces la flecha desgarrada puede ser etiquetada !{displaystyle !} o ∃ ∃ !{displaystyle exists!}.

Los significados de las diferentes flechas no están completamente estandarizados: las flechas que se usan para monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos también se usan para inyecciones, sobreyecciones y biyecciones, así como para cofibraciones, fibraciones y equivalencias débiles en una categoría de modelo.

Verificando la conmutatividad

La conmutatividad tiene sentido para un polígono de cualquier número finito de lados (incluidos solo 1 o 2), y un diagrama es conmutativo si todos los subdiagramas poligonales son conmutativos.

Tenga en cuenta que un diagrama puede no ser conmutativo, es decir, la composición de diferentes caminos en el diagrama puede no dar el mismo resultado.

Ejemplos

Ejemplo 1

En el diagrama izquierdo, que expresa el primer teorema isomorfismo, la conmutación del triángulo significa que f=f~ ~ ∘ ∘ π π {displaystyle f={tilde {f}circ} #. En el diagrama derecho, la conmutación del cuadrado significa h∘ ∘ f=k∘ ∘ g{displaystyle hcirc f=kcirc g}.

Ejemplo 2

Para que el siguiente diagrama conmute, se deben cumplir tres igualdades:

1. r∘ ∘ h∘ ∘ g=H∘ ∘ G∘ ∘ l{displaystyle rcirc hcirc g=Hcirc Gcirc l}
2. m∘ ∘ g=G∘ ∘ l{displaystyle mcirc g=Gcirc l}
3. r∘ ∘ h=H∘ ∘ m{displaystyle rcirc h=Hcirc m}

Aquí, dado que la primera igualdad se deriva de las dos últimas, basta con mostrar que (2) y (3) son verdaderas para que el diagrama conmute. Sin embargo, dado que la igualdad (3) generalmente no se sigue de las otras dos, generalmente no es suficiente tener solo igualdades (1) y (2) si se mostrara que el diagrama conmuta.

Persecución de diagramas

Persecución de diagramas (también llamado búsqueda de diagramas) es un método de demostración matemática utilizado especialmente en álgebra homológica, donde se establece una propiedad de algún morfismo rastreando los elementos de un diagrama conmutativo. Una prueba por persecución de diagramas generalmente implica el uso formal de las propiedades del diagrama, como mapas inyectivos o sobreyectivos, o secuencias exactas. Se construye un silogismo, para el cual la representación gráfica del diagrama es solo una ayuda visual. De ello se deduce que uno termina "persiguiendo" elementos alrededor del diagrama, hasta que se construya o verifique el elemento o resultado deseado.

Ejemplos de demostraciones por seguimiento de diagramas incluyen los que normalmente se dan para el lema de cinco, el lema de serpiente, el lema de zig-zag y el lema de nueve.

En la teoría de categorías superiores

En la teoría de categoría superior, uno considera no sólo objetos y flechas, sino flechas entre las flechas, flechas entre flechas entre flechas, y así en ad infinitum. Por ejemplo, la categoría de categorías pequeñas Gato es naturalmente una 2-categoría, con functores como sus flechas y transformaciones naturales como las flechas entre functores. En este entorno, los diagramas conmutativos también pueden incluir estas flechas superiores, que a menudo se describen en el siguiente estilo: ⇒ ⇒ {displaystyle "Rightarrow". Por ejemplo, el siguiente diagrama (algo trivial) describe dos categorías C y D, junto con dos functores F, G: C → D y una transformación natural α: F ⇒ G:

Hay dos tipos de composición en una categoría de 2 (llamada composición vertical y composición horizontal), y también se pueden representar mediante diagramas pegados (ver 2- categoría#Definición para ejemplos).

Diagramas como funtores

Un diagrama conmutativo en una categoría C puede interpretarse como un funtor de una categoría de índice J a C; uno llama al funtor a diagrama.

Más formalmente, un diagrama conmutativo es una visualización de un diagrama indexado por una categoría poset. Tal diagrama normalmente incluye:

• un nodo por cada objeto en la categoría índice,
• una flecha para un conjunto generador de morfismos (omitiendo mapas de identidad y morfismos que se pueden expresar como composiciones),
• la conmutación del diagrama (la igualdad de diferentes composiciones de mapas entre dos objetos), correspondiente a la singularidad de un mapa entre dos objetos en una categoría de poses.

Por el contrario, dado un diagrama conmutativo, define una categoría poset, donde:

• los objetos son los nodos,
• hay un morfismo entre dos objetos si y sólo si hay un camino (directo) entre los nodos,
• con la relación que este morfismo es único (cualquier composición de mapas se define por su dominio y objetivo: este es el axioma de la conmutación).

Sin embargo, no todos los diagramas se comunican (la noción del diagrama se generaliza estrictamente el diagrama conmutativo). Como ejemplo simple, el diagrama de un solo objeto con un endomorfismo (f:: X→ → X{displaystyle fcolon Xto X}), o con dos flechas paralelas (∙ ∙ ⇉ ⇉ ∙ ∙ {displaystyle bullet rightrightarrows bullet }, es decir, f,g:: X→ → Y{displaystyle f,gcolon Xto Sí., a veces llamado el quiver libre), como se utiliza en la definición de ecualizador no necesita conmutar. Además, los diagramas pueden ser desordenados o imposibles de dibujar, cuando el número de objetos o morfismos es grande (o incluso infinito).