Desplazamiento al rojo gravitacional

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Cambio de longitud de onda de un foton a longitud de onda más larga

El rojizo gravitacional de una onda de luz mientras se mueve hacia arriba contra un campo gravitacional (producido por la estrella amarilla debajo). El efecto está enormemente exagerado en este diagrama.

En física y relatividad general, el desplazamiento al rojo gravitatorio (conocido como desplazamiento de Einstein en la literatura antigua) es el fenómeno en el que las ondas electromagnéticas o fotones que viajan fuera de un pozo gravitatorio (parecen a) perder energía. Esta pérdida de energía corresponde a una disminución en la frecuencia de la onda y un aumento en la longitud de onda, conocido más generalmente como desplazamiento al rojo. El efecto opuesto, en el que los fotones (parecen) ganar energía cuando viajan hacia un pozo gravitacional, se conoce como desplazamiento al azul gravitacional (un tipo de desplazamiento al azul). El efecto fue descrito por primera vez por Einstein en 1907, ocho años antes de su publicación de la teoría completa de la relatividad.

El corrimiento al rojo gravitacional puede interpretarse como una consecuencia del principio de equivalencia (que la gravedad y la aceleración son equivalentes y el corrimiento al rojo es causado por el efecto Doppler) o como una consecuencia de la equivalencia masa-energía y la conservación de la energía (&#39 los fotones que caen ganan energía), aunque hay numerosas sutilezas que complican una derivación rigurosa. Un corrimiento al rojo gravitacional también puede interpretarse de manera equivalente como una dilatación del tiempo gravitacional en la fuente de la radiación: si dos osciladores (conectados a transmisores que producen radiación electromagnética) están operando a diferentes potenciales gravitatorios, el oscilador con el potencial gravitacional más alto (más alejado del cuerpo que atrae)) parecerá 'marcar' más rápido; es decir, cuando se observa desde la misma ubicación, tendrá una frecuencia medida más alta que el oscilador en el potencial gravitacional más bajo (más cerca del cuerpo de atracción).

Para la primera aproximación, el rosca gravitacional es proporcional a la diferencia en el potencial gravitacional dividido por la velocidad de la luz cuadrada, ${displaystyle z=Delta U/c^{2}}$ , resultando así en un efecto muy pequeño. La luz escapando de la superficie del sol fue predicha por Einstein en 1911 para ser redimida por aproximadamente 2 ppm o 2 × 10⁻⁶. Las señales de navegación de los satélites GPS que orbitan a 20.000 km de altitud se perciben blueshifted por aproximadamente 0,5 ppb o 5 × 10⁻¹⁰, correspondiente a un aumento (negligible) de menos de 1 Hz en la frecuencia de una señal de radio GPS de 1,5 GHz (sin embargo, la dilatación de tiempo gravitacional que acompaña el reloj atómico en el satélite es crucialmente importante para una navegación precisa). En la superficie de la Tierra el potencial gravitacional es proporcional a la altura, ${displaystyle Delta U=gDelta h}$ , y el rojizo correspondiente es aproximadamente 10⁻¹⁶ (0.1 parte por cada cuadrillón) por metro de cambio de elevación y/o altitud.

En astronomía, la magnitud de un corrimiento al rojo gravitacional se expresa a menudo como la velocidad que crearía un corrimiento equivalente a través del efecto Doppler relativista. En tales unidades, el corrimiento al rojo de la luz solar de 2 ppm corresponde a una velocidad de retroceso de 633 m/s, aproximadamente de la misma magnitud que los movimientos convectivos del sol, lo que complica la medición. El equivalente de la velocidad del desplazamiento al azul gravitatorio del satélite GPS es inferior a 0,2 m/s, que es insignificante en comparación con el desplazamiento Doppler real resultante de su velocidad orbital. En objetos astronómicos con fuertes campos gravitatorios, el corrimiento al rojo puede ser mucho mayor; por ejemplo, la luz de la superficie de una enana blanca se desplaza gravitacionalmente hacia el rojo en promedio alrededor de 50 km/s/c (alrededor de 170 ppm).

Observar el corrimiento al rojo gravitatorio en el sistema solar es una de las pruebas clásicas de la relatividad general. Medir el corrimiento al rojo gravitatorio con alta precisión con relojes atómicos puede servir como prueba de la simetría de Lorentz y guiar la búsqueda de materia oscura.

Predicción por el principio de equivalencia y relatividad general

Campo o aceleración gravitacional uniforme

La teoría de la relatividad general de Einstein incorpora el principio de equivalencia, que se puede establecer de varias maneras diferentes. Una de esas afirmaciones es que los efectos gravitatorios son localmente indetectables para un observador en caída libre. Por lo tanto, en un experimento de laboratorio en la superficie de la tierra, todos los efectos gravitatorios deberían ser equivalentes a los efectos que se habrían observado si el laboratorio hubiera estado acelerando a través del espacio exterior a g. Una consecuencia es un efecto Doppler gravitacional. Si se emite un pulso de luz en el piso del laboratorio, entonces un observador en caída libre dice que cuando llega al techo, el techo se ha acelerado alejándose de él y, por lo tanto, cuando lo observa un detector fijado al techo, se observará que se ha desplazado Doppler hacia el extremo rojo del espectro. Este desplazamiento, que el observador en caída libre considera un desplazamiento Doppler cinemático, es considerado por el observador de laboratorio como un desplazamiento hacia el rojo gravitacional. Tal efecto se verificó en el experimento Pound-Rebka de 1959. En un caso como este, donde el campo gravitatorio es uniforme, el cambio en la longitud de onda viene dado por

{displaystyle z={frac {Delta lambda }{lambda }}approx {frac {gDelta y}{c^{2}}},}

Donde $Delta y$ es el cambio en la altura. Dado que esta predicción surge directamente del principio de equivalencia, no requiere ninguno de los aparatos matemáticos de la relatividad general, y su verificación no apoya específicamente la relatividad general sobre cualquier otra teoría que incorpore el principio de equivalencia.

En la superficie de la Tierra (o en una nave espacial que acelera a 1 g), el corrimiento al rojo gravitacional es de aproximadamente 1,1 × 10⁻¹⁶, el equivalente a 3,3 × 10⁻⁸ Desplazamiento Doppler m/s, por cada metro de desnivel.

Campo gravitacional esféricamente simétrico

Cuando el campo no es uniforme, el caso más simple y más útil a considerar es el de un campo esféricamente simétrico. Por el teorema de Birkhoff, tal campo se describe en la relatividad general por la métrica Schwarzschild, ${displaystyle dtau ^{2}=left(1-r_{text{S}}/Rright)dt^{2}+ldots }$ , donde $dtau$ es la hora del reloj de un observador a distancia R desde el centro, $dt$ es el tiempo medido por un observador en el infinito, ${displaystyle r_{text{S}}}$ es el radio Schwarzschild ${displaystyle 2GM/c^{2}}$ , "..." representa términos que desaparecen si el observador está en reposo, $G$ es la constante gravitacional de Newton, $M$ la masa del cuerpo gravitatorio, y $c$ la velocidad de la luz. El resultado es que las frecuencias y longitudes de onda se cambian según la proporción

{displaystyle 1+z={frac {lambda _{infty }}{lambda _{text{e}}}}=left(1-{frac {r_{text{S}}}{R_{text{e}}}}right)^{-{frac {1}{2}}}}

dónde

${displaystyle lambda _{infty },}$ es la longitud de onda de la luz medida por el observador en el infinito,
${displaystyle lambda _{text{e}},}$ es la longitud de onda medida en la fuente de emisión, y
${displaystyle R_{text{e}}}$ es el radio en el que se emite el fotón.

Esto puede estar relacionado con el parámetro redshift convencionalmente definido como ${displaystyle z=lambda _{infty }/lambda _{text{e}}-1}$ .

En el caso de que ni el emisor ni el observador estén en infinito, la transitividad de los turnos de Doppler nos permite generalizar el resultado ${displaystyle lambda _{1}/lambda _{2}=left[left(1-r_{text{S}}/R_{1}right)/left(1-r_{text{S}}/R_{2}right)right]^{1/2}}$ . La fórmula redshift para la frecuencia $nu = c/lambda$ es ${displaystyle nu _{o}/nu _{text{e}}=lambda _{text{e}}/lambda _{o}}$ . Cuando ${displaystyle R_{1}-R_{2}}$ es pequeño, estos resultados son consistentes con la ecuación dada anteriormente basada en el principio de equivalencia.

La relación redshift también se puede expresar en términos de una velocidad de escape (Newtonian) $v_{text{e}}$ a ${displaystyle R_{text{e}}=2GM/v_{text{e}}^{2}}$ , resultando en el factor Lorentz correspondiente:

{displaystyle 1+z=gamma _{text{e}}={frac {1}{sqrt {1-(v_{text{e}}/c)^{2}}}}}

Para un objeto lo suficientemente compacto como para tener un horizonte de evento, el redshift no se define para fotones emitidos dentro del radio Schwarzschild, tanto porque las señales no pueden escapar del horizonte como porque un objeto como el emisor no puede ser estacionario dentro del horizonte, como se asumió anteriormente. Por lo tanto, esta fórmula sólo se aplica cuando ${displaystyle R_{text{e}}}$ es más grande que ${displaystyle r_{text{S}}}$ . Cuando el fotón es emitido a una distancia igual al radio Schwarzschild, el redshift será infinitamente grande, y no escapará para cualquiera distancia finita de la esfera Schwarzschild. Cuando el fotón es emitido a una distancia infinitamente grande, no hay rojizo.

Límite newtoniano

En el límite de Newtonian, es decir, cuando ${displaystyle R_{text{e}}}$ es suficientemente grande en comparación con el radio Schwarzschild ${displaystyle r_{text{S}}}$ , el redshift se puede aproximar como

{displaystyle z={frac {Delta lambda }{lambda }}approx {frac {1}{2}}{frac {r_{text{S}}}{R_{text{e}}}}={frac {GM}{R_{text{e}}c^{2}}}={frac {gR_{text{e}}}{c^{2}}}}

Donde $g$ es la aceleración gravitacional ${displaystyle R_{text{e}}}$ . Para la superficie de la Tierra con respecto al infinito, z es aproximadamente 7 × 10⁻¹⁰ (el equivalente a un cambio de Doppler radial de 0,2 m/s); para la Luna es aproximadamente 3 × 10^{−11 -} (aproximadamente 1 cm/s). El valor para la superficie del sol es alrededor de 2 × 10⁻⁶, correspondiente a 0,64 km/s. (Para las velocidades no-relativisitc, la velocidad equivalente de Doppler radial se puede aproximar multiplicando z con la velocidad de la luz.)

El valor z se puede expresar sucintamente en términos de la velocidad de escape a ${displaystyle R_{text{e}}}$ , ya que el potencial gravitacional es igual a la mitad del cuadrado de la velocidad de escape, por lo tanto:

{displaystyle zapprox {frac {1}{2}}left({frac {v_{text{e}}}{c}}right)^{2}}

Donde $v_{text{e}}$ es la velocidad de escape ${displaystyle R_{text{e}}}$ .

También puede estar relacionado con la velocidad de la órbita circular ${displaystyle v_{text{o}}}$ a ${displaystyle R_{text{e}}}$ , que es igual ${displaystyle v_{text{e}}/{sqrt {2}}}$ , por lo tanto

{displaystyle zapprox left({frac {v_{text{o}}}{c}}right)^{2}}

Por ejemplo, el desplazamiento hacia el azul gravitatorio de la luz de las estrellas distantes debido a la gravedad del sol, que la Tierra orbita a unos 30 km/s, sería de aproximadamente 1 × 10⁻⁸ o el equivalente a un desplazamiento Doppler radial de 3 m/s. Sin embargo, la Tierra está en caída libre alrededor del sol y, por lo tanto, es un observador inercial, por lo que el efecto no es visible.

Para un objeto en una órbita (circular), el rojizo gravitacional es de magnitud comparable al efecto Doppler transversal, ${displaystyle zapprox {tfrac {1}{2}}beta ^{2}}$ Donde β=v/c, mientras que ambos son mucho más pequeños que el efecto Doppler radial, para el cual ${displaystyle zapprox beta }$ .

Verificación experimental

Observaciones astronómicas

Al principio, varios experimentadores afirmaron haber identificado el efecto usando mediciones astronómicas, y se consideró que el efecto había sido finalmente identificado en las líneas espectrales de la estrella Sirius B por W.S. Adams en 1925. Sin embargo, las mediciones de Adams han sido criticadas por ser demasiado bajas y ahora se considera que estas observaciones son mediciones de espectros que no se pueden utilizar debido a la luz dispersada del primario, Sirius A. La primera medición precisa del corrimiento al rojo gravitacional de Popper realizó una enana blanca en 1954, midiendo un corrimiento al rojo gravitacional de 21 km/s de 40 Eridani B. El corrimiento al rojo de Sirio B finalmente fue medido por Greenstein et al. en 1971, obteniendo el valor de el corrimiento al rojo gravitatorio de 89±16 km/s, con mediciones más precisas del Telescopio Espacial Hubble, mostrando 80,4±4,8 km/s.

James W. Brault, un estudiante de posgrado de Robert Dicke en la Universidad de Princeton, midió el corrimiento al rojo gravitacional del sol usando métodos ópticos en 1962. En 2020, un equipo de científicos publicó la medición más precisa del corrimiento al rojo gravitatorio solar hasta el momento., realizado mediante el análisis de líneas espectrales de Fe en la luz solar reflejada por la luna; su medición de un cambio de línea global medio de 638 ± 6 m/s está de acuerdo con el valor teórico de 633,1 m/s. La medición del corrimiento al rojo solar es complicada por el corrimiento Doppler causado por el movimiento de la superficie del sol, que es de una magnitud similar al efecto gravitatorio.

En 2011, el grupo de Radek Wojtak del Instituto Niels Bohr de la Universidad de Copenhague recopiló datos de 8000 cúmulos de galaxias y descubrió que la luz procedente de los centros de los cúmulos tendía a desplazarse hacia el rojo en comparación con los bordes de los cúmulos, lo que confirma la pérdida de energía debido a la gravedad.

En 2018, la estrella S2 hizo su acercamiento más cercano a Sgr A*, el agujero negro supermasivo de 4 millones de masas solares en el centro de la Vía Láctea, alcanzando 7650 km/s o aproximadamente el 2,5 % de la velocidad de la luz mientras pasando el agujero negro a una distancia de solo 120 UA, o 1400 radios de Schwarzschild. Los análisis independientes realizados por la colaboración GRAVITY (dirigida por Reinhard Genzel) y el Grupo del Centro Galáctico KECK/UCLA (dirigido por Andrea Ghez) revelaron un Doppler transversal combinado y un corrimiento al rojo gravitacional de hasta 200 km/s/c, de acuerdo con las predicciones de la relatividad general.

En 2021, Mediavilla (IAC, España) & Jiménez-Vicente (UGR, España) pudo usar mediciones del corrimiento al rojo gravitacional en cuásares hasta el corrimiento al rojo cosmológico de z~3 para confirmar las predicciones del Principio de Equivalencia de Einstein y la falta de evolución cosmológica dentro del 13%.

Pruebas terrestres

Ahora se considera que el efecto ha sido definitivamente verificado por los experimentos de Pound, Rebka y Snider entre 1959 y 1965. El experimento Pound-Rebka de 1959 midió el corrimiento al rojo gravitatorio en líneas espectrales usando una fuente gamma terrestre de 57Fe sobre una vertical altura de 22,5 metros. Este artículo fue la primera determinación del corrimiento al rojo gravitacional que utilizó mediciones del cambio en la longitud de onda de los fotones de rayos gamma generados con el efecto Mössbauer, que genera radiación con un ancho de línea muy estrecho. La precisión de las mediciones de rayos gamma fue típicamente del 1%.

Pound y Snider realizaron un experimento mejorado en 1965, con una precisión superior al nivel del 1 %.

En 1976 se llevó a cabo un experimento de corrimiento al rojo gravitatorio muy preciso, en el que se lanzó un reloj máser de hidrógeno en un cohete a una altura de 10 000 km y se comparó su velocidad con la de un reloj idéntico en tierra. Probó el corrimiento al rojo gravitacional a 0.007%.

Se pueden realizar pruebas posteriores con el Sistema de Posicionamiento Global (GPS), que debe tener en cuenta el corrimiento al rojo gravitatorio en su sistema de cronometraje, y los físicos han analizado los datos de cronometraje del GPS para confirmar otras pruebas. Cuando se lanzó el primer satélite, mostró el cambio previsto de 38 microsegundos por día. Esta tasa de discrepancia es suficiente para perjudicar sustancialmente la función del GPS en cuestión de horas si no se tiene en cuenta. En Ashby 2003 se puede encontrar una excelente descripción del papel desempeñado por la relatividad general en el diseño del GPS.

En 2020, un grupo de la Universidad de Tokio midió el corrimiento al rojo gravitatorio de dos relojes de celosía óptica de estroncio-87. La medición tuvo lugar en la Torre de Tokio, donde los relojes estaban separados por aproximadamente 450 m y conectados por fibras de telecomunicaciones. El corrimiento al rojo gravitacional se puede expresar como

{displaystyle z={frac {Delta nu }{nu _{1}}}=(1+alpha){frac {Delta U}{c^{2}}}}

Donde ${displaystyle Delta nu =nu _{2}-nu _{1}}$ es el rojizo gravitacional, ${displaystyle nu _{1}}$ es la frecuencia de transición del reloj óptico, ${displaystyle Delta U=U_{2}-U_{1}}$ es la diferencia en el potencial gravitacional, y $alpha$ denota la violación de la relatividad general. Por Ramsey espectroscopia de la transición del reloj óptico de estroncio-87 (429 THz, 698 nm) el grupo determinó el cambio rojo gravitacional entre los dos relojes ópticos a ser 21.18 Hz, correspondiente a un z- valor de aproximadamente 5 × 10⁻¹⁴. Su valor medido $alpha$ , ${displaystyle (1.4pm 9.1)times 10^{-5}}$ , es un acuerdo con mediciones recientes hechas con albañiles de hidrógeno en órbitas elípticas.

Desarrollo histórico temprano de la teoría

El debilitamiento gravitacional de la luz de las estrellas de alta gravedad fue predicho por John Michell en 1783 y Pierre-Simon Laplace en 1796, usando el concepto de corpúsculos de luz de Isaac Newton (ver: teoría de la emisión) y quien predijo que algunos las estrellas tendrían una gravedad tan fuerte que la luz no podría escapar. El efecto de la gravedad sobre la luz fue luego explorado por Johann Georg von Soldner (1801), quien calculó la cantidad de desviación de un rayo de luz por el sol, llegando a la respuesta newtoniana que es la mitad del valor predicho por la relatividad general. Todo este trabajo inicial asumió que la luz podría disminuir la velocidad y caer, lo cual es inconsistente con la comprensión moderna de las ondas de luz.

Una vez que se aceptó que la luz era una onda electromagnética, estaba claro que la frecuencia de la luz no debería cambiar de lugar a lugar, ya que las ondas de una fuente con una frecuencia fija mantienen la misma frecuencia en todas partes. Una manera alrededor de esta conclusión sería si el tiempo en sí mismo fuera alterado - si los relojes en diferentes puntos tenían tasas diferentes. Esto fue precisamente la conclusión de Einstein en 1911. Consideró una caja de aceleración, y señaló que según la teoría especial de la relatividad, la velocidad del reloj en el "abajo" de la caja (el lado lejos de la dirección de la aceleración) era más lenta que la velocidad del reloj en el "top" (el lado hacia la dirección de la aceleración). De hecho, en un marco en movimiento (en $x$ dirección) con velocidad $v$ relativo al bastidor de descanso, los relojes en una posición cercana $dx$ por delante ${displaystyle (dx/c)(v/c)}$ (a la primera orden); así una aceleración $g$ (que cambia la velocidad ${displaystyle g/dt}$ por hora $dt$ ) hace relojes en la posición $dx$ para estar adelante ${displaystyle (dx/c)(g/c)dt}$ , es decir, marcar a un ritmo

{displaystyle R=1+(g/c^{2})dx}

El principio de equivalencia implica que este cambio en la velocidad del reloj es el mismo si la aceleración $g$ es el de un marco acelerado sin efectos gravitatorios, o causado por un campo gravitatorio en un marco estacionario. Desde la aceleración debido al potencial gravitacional $V$ es ${displaystyle -dV/dx}$ , tenemos

{displaystyle {dR over dx}=g/c^{2}=-{dV/c^{2} over dx},}

así –- en campos débiles – el cambio $Delta R$ en el reloj es igual a ${displaystyle -Delta V/c^{2}}$ .

Dado que la luz se ralentizaría por la dilatación del tiempo gravitatorio (como lo ve un observador externo), las regiones con menor potencial gravitacional actuarían como un medio con un índice de refracción más alto que haría que la luz se desviara. Este razonamiento permitió a Einstein en 1911 reproducir el valor newtoniano incorrecto para la desviación de la luz. En ese momento, solo consideró la manifestación de la gravedad que dilata el tiempo, que es la contribución dominante a velocidades no relativistas; sin embargo, los objetos relativistas viajan a través del espacio en una cantidad comparable a la que lo hacen a través del tiempo, por lo que la curvatura puramente espacial se vuelve igual de importante. Después de construir la teoría completa de la relatividad general, Einstein resolvió en 1915 la aproximación posnewtoniana completa de la gravedad del Sol y calculó la cantidad correcta de desviación de la luz: el doble del valor newtoniano. La predicción de Einstein fue confirmada por muchos experimentos, comenzando con la expedición del eclipse solar de 1919 de Arthur Eddington.

Las velocidades cambiantes de los relojes permitieron a Einstein concluir que las ondas de luz cambian de frecuencia a medida que se mueven, y la relación frecuencia/energía de los fotones le permitió ver que esto se interpretaba mejor como el efecto del campo gravitatorio sobre la relación masa-energía. del fotón. Para calcular los cambios de frecuencia en un campo gravitatorio casi estático, solo es importante el componente de tiempo del tensor métrico, y la aproximación de orden más bajo es lo suficientemente precisa para estrellas y planetas ordinarios, que son mucho más grandes que su radio de Schwarzschild.

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