Desigualdad de Hölder

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Desigualdad entre integrales en espacios Lp

En análisis matemático, la desigualdad de Hölder, llamada así por Otto Hölder, es una desigualdad fundamental entre integrales y una herramienta indispensable para el estudio de espacios Lp.

La desigualdad de Hölder—Vamos $() S, μ)$ ser un espacio de medida y dejar $p, q ▪$ $[1, \infty]$ con $1/ p + 1/ q = 1$ . Entonces para todas las funciones medibles de valor real o complejo $f$ y $g$ on $S$ ,

{displaystyle |fg|_{1}leq |f|_{p}|g|_{q}.}

Si, además, $p, q ▪$ $(1, \infty)$ y $f ▪ L p () μ)$ y $g ▪ L q () μ)$ , entonces la desigualdad de Hölder se convierte en igualdad si y sólo si $Silencio f Silencio p$ y $Silencio g Silencio q$ dependen linealmente $L 1 () μ)$ , significando que existen números reales $α, β \geq 0$ , no ambos cero, tal que $α Silencio f Silencio p = β Silencio g Silencio q$ $μ$ - Casi en todas partes.

Los números $p$ y $q Se dice que los$ anteriores son conjugados de Hölder entre sí. El caso especial $p = q = 2$ da una forma de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. La desigualdad de Hölder se mantiene incluso si $‖ fg ‖ 1$ es infinito, el lado derecho también es infinito en ese caso. Por el contrario, si $f$ está en $L p (μ)$ y $g$ está en $L q (μ)$ , luego el producto puntual $fg$ está en $L 1 (μ)$ .

La desigualdad de Hölder se usa para probar la desigualdad de Minkowski, que es la desigualdad triangular en el espacio $L p (μ)$ , y también para establecer que $L q (μ)$ es el espacio dual de $L p (μ)$ para $p \in$ $[1, \infty)$ .

La desigualdad de Hölder (en una forma ligeramente diferente) fue encontrada por primera vez por Leonard James Rogers (1888). Inspirado en Rogers' trabajo, Hölder (1889) dio otra prueba como parte de un trabajo que desarrolla el concepto de funciones convexas y cóncavas e introduce la desigualdad de Jensen, que a su vez recibió el nombre del trabajo de Johan Jensen basado en el trabajo de Hölder.

Observaciones

Convenios

La breve declaración de la desigualdad de Hölder utiliza algunas convenciones.

En la definición de Hölder conjugados, $1/\infty$ significa cero.
Si $p, q ▪$ $[1, \infty]$ , entonces $. f . p$ y $. g . q$ defender las expresiones (posiblemente infinitas)

{begin{aligned}&left(int _{S}|f|^{p},mathrm {d} mu right)^{frac {1}{p}}\&left(int _{S}|g|^{q},mathrm {d} mu right)^{frac {1}{q}}end{aligned}}

Si $p =$ , entonces $. f . JUEGO$ representa el supremum esencial $Silencio f Silencio$ , de forma similar $. g . JUEGO$ .
La notación $. f . p$ con $1 \leq p \leq$ es un ligero abuso, porque en general es sólo una norma $f$ si $. f . p$ es finito y $f$ se considera como clase de equivalencia $μ$ - Casi en todas partes iguales funciones. Si $f ▪ L p () μ)$ y $g ▪ L q () μ)$ , entonces la notación es adecuada.
En el lado derecho de la desigualdad de Hölder, 0 × ∞ así como ∞ × 0 medios 0. Multiplicación $a ■ 0$ con ∞ da ∞.

Estimaciones para productos integrables

Como arriba, sea $f$ y $g$ denota funciones medibles de valor real o complejo definidas en $S$ . Si $‖ fg ‖ 1$ es finito, entonces los productos puntuales de $f$ con $g$ y su compleja función conjugada son $μ$ -integrables, el estimado

{biggl |}int _{S}f{bar {g}},mathrm {d} mu {biggr |}leq int _{S}|fg|,mathrm {d} mu =|fg|_{1}

y el similar para $fg$ se mantienen, y la desigualdad de Hölder se puede aplicar al lado derecho. En particular, si $f$ y $g$ están en el espacio de Hilbert $L 2 (μ)$ , luego Hölder&# 39;s desigualdad para $p = q = 2$ implica

|langle f,grangle |leq |f|_{2}|g|_{2},

donde los corchetes angulares se refieren al producto interno de $L 2 (μ)$ . Esto también se llama desigualdad de Cauchy-Schwarz, pero requiere para su afirmación que $‖ f ‖ 2$ y $‖ g ‖ 2$ son finitos para asegurarse de que el producto interno de $f$ y $g$ están bien definidos. Podemos recuperar la desigualdad original (para el caso $p = 2$ ) usando las funciones $| f |$ y $| g |$ en lugar de $f$ y $g$ .

Generalización para medidas de probabilidad

Si $(S, Σ, μ)$ es un espacio de probabilidad, entonces <span class="texhtml" p, q ∈ $[1, \infty]$ solo necesita satisfacer $1/ p + 1/ q \leq 1$ , en lugar de ser conjugados de Hölder. Una combinación de la desigualdad de Hölder y la desigualdad de Jensen implica que

|fg|_{1}leq |f|_{p}|g|_{q}

para todas las funciones medibles de valores reales o complejos $f$ y $g$ en $S$ .

Casos especiales notables

Para los siguientes casos, asuma que $p$ y $q$ están en el intervalo abierto $(1,\infty)$ con $1/ p + 1/ q = 1$ .

Medida de conteo

Para el espacio euclidiano $n$ -dimensional, cuando el conjunto $S$ es ${1,..., n}$ con la medida de conteo, tenemos

sum _{k=1}^{n}|x_{k},y_{k}|leq {biggl (}sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{biggr)}^{frac {1}{p}}{biggl (}sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}{biggr)}^{frac {1}{q}}{text{ for all }}(x_{1},ldotsx_{n}),(y_{1},ldotsy_{n})in mathbb {R} ^{n}{text{ or }}mathbb {C} ^{n}.

A menudo se utiliza la siguiente forma práctica de esto, para cualquier ${displaystyle (r,s)in mathbb {R} _{+}}$ :

{displaystyle {biggl (}sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{r},|y_{k}|^{s}{biggr)}^{r+s}leq {biggl (}sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{r+s}{biggr)}^{r}{biggl (}sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{r+s}{biggr)}^{s}.}

Por más de dos sumas, la siguiente generalización (Chen (2015) sostiene, con verdaderos exponentes positivos $lambda _{i}$ y ${displaystyle lambda _{a}+lambda _{b}+cdots +lambda _{z}=1}$ :

{displaystyle sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{lambda _{a}},|b_{k}|^{lambda _{b}}cdots |z_{k}|^{lambda _{z}}leq {biggl (}sum _{k=1}^{n}|a_{k}|{biggr)}^{lambda _{a}}{biggl (}sum _{k=1}^{n}|b_{k}|{biggr)}^{lambda _{b}}cdots {biggl (}sum _{k=1}^{n}|z_{k}|{biggr)}^{lambda _{z}}.}

La igualdad tiene sif ${displaystyle |a_{1}|:|a_{2}|:cdots:|a_{n}|=|b_{1}|:|b_{2}|:cdots:|b_{n}|=cdots =|z_{1}|:|z_{2}|:cdots:|z_{n}|}$ .

Si $S = N$ con la medida de conteo, entonces obtenemos la desigualdad de Hölder para espacios de secuencia:

sum _{k=1}^{infty }|x_{k},y_{k}|leq {biggl (}sum _{k=1}^{infty }|x_{k}|^{p}{biggr)}^{frac {1}{p}}left(sum _{k=1}^{infty }|y_{k}|^{q}right)^{frac {1}{q}}{text{ for all }}(x_{k})_{kin mathbb {N} },(y_{k})_{kin mathbb {N} }in mathbb {R} ^{mathbb {N} }{text{ or }}mathbb {C} ^{mathbb {N} }.

Medida de Lebesgue

Si $S$ es un subconjunto medible de $R n$ con la medida de Lebesgue, y $f$ y $g$ son funciones medibles de valor real o complejo en $S$ , entonces la desigualdad de Hölder es

int _{S}{bigl |}f(x)g(x){bigr |},mathrm {d} xleq {biggl (}int _{S}|f(x)|^{p},mathrm {d} x{biggr)}^{frac {1}{p}}{biggl (}int _{S}|g(x)|^{q},mathrm {d} x{biggr)}^{frac {1}{q}}.

Medida de probabilidad

Para el espacio de probabilidad ${displaystyle (Omega{mathcal {F}},mathbb {P}),}$ Deja $mathbb {E}$ denota al operador de expectativas. Para variables aleatorias de valor real o complejo $X$ y $Y$ on $Omega,$ La desigualdad de Hölder lee

{displaystyle mathbb {E} [|XY|]leqslant left(mathbb {E} {bigl [}|X|^{p}{bigr ]}right)^{frac {1}{p}}left(mathbb {E} {bigl [}|Y|^{q}{bigr ]}right)^{frac {1}{q}}.}

Vamos $<math alttext="{displaystyle 1<r<s1.r.s.JUEGO JUEGO {displaystyle 1 seleccionado se hizo <img alt="{displaystyle 1<r<s$ y definir ${displaystyle p={tfrac {s}{r}}.}$ Entonces... ${displaystyle q={tfrac {p}{p-1}}}$ es el conjugado de Hölder $p.$ Aplicar la desigualdad de Hölder a las variables aleatorias ${displaystyle |X|^{r}}$ y ${displaystyle 1_{Omega }}$ obtenemos

{displaystyle mathbb {E} {bigl [}|X|^{r}{bigr ]}leqslant left(mathbb {E} {bigl [}|X|^{s}{bigr ]}right)^{frac {r}{s}}.}

En particular, si el $s$ ^th momento absoluto es finito, entonces la $r$ ^th el momento absoluto también es finito. (Esto también se sigue de la desigualdad de Jensen).

Medida del producto

Para dos espacios de medidas finitas σ $(S 1, Σ 1, μ 1)$ y $(S 2, Σ 2, μ 2)$ define el espacio de medida del producto por

S=S_{1}times S_{2},quad Sigma =Sigma _{1}otimes Sigma _{2},quad mu =mu _{1}otimes mu _{2},

donde $S$ es el producto cartesiano de $S 1$ y $S 2$ , el σ-álgebra $Σ$ surge como producto σ-álgebra de $Σ 1$ y $Σ 2$ , y $μ$ denota la medida del producto de $μ 1$ y $μ 2$ . Entonces, el teorema de Tonelli nos permite reescribir la desigualdad de Hölder usando integrales iteradas: If $f$ and $g$ son $Σ$ -medibles reales - o funciones de valores complejos en el producto cartesiano $S$ , entonces

int _{S_{1}}int _{S_{2}}|f(x,y),g(x,y)|,mu _{2}(mathrm {d} y),mu _{1}(mathrm {d} x)leq left(int _{S_{1}}int _{S_{2}}|f(x,y)|^{p},mu _{2}(mathrm {d} y),mu _{1}(mathrm {d} x)right)^{frac {1}{p}}left(int _{S_{1}}int _{S_{2}}|g(x,y)|^{q},mu _{2}(mathrm {d} y),mu _{1}(mathrm {d} x)right)^{frac {1}{q}}.

Esto se puede generalizar a más de dos σ-finitos espacios de medida.

Funciones con valores vectoriales

Sea $(S, Σ, μ)$ un σ-finito mida el espacio y suponga que $f = (f 1,..., f n)$ y $g = (g 1,..., g n)$ son $Σ$ -funciones medibles en $S$ , tomando valores en $n$ -dimensional real- o complejo. Al tomar el producto con la medida de conteo en ${1,..., n}$ , podemos reescribir la versión de medida del producto anterior de Hölder's desigualdad en la forma

int _{S}sum _{k=1}^{n}|f_{k}(x),g_{k}(x)|,mu (mathrm {d} x)leq left(int _{S}sum _{k=1}^{n}|f_{k}(x)|^{p},mu (mathrm {d} x)right)^{frac {1}{p}}left(int _{S}sum _{k=1}^{n}|g_{k}(x)|^{q},mu (mathrm {d} x)right)^{frac {1}{q}}.

Si las dos integrales del lado derecho son finitas, entonces la igualdad se cumple si y solo si existen números reales $α, β \geq 0$ , ambos no cero, tal que

alpha left(|f_{1}(x)|^{p},ldots|f_{n}(x)|^{p}right)=beta left(|g_{1}(x)|^{q},ldots|g_{n}(x)|^{q}right),

para $μ$ -casi todos $x$ en $S$ .

Esta versión de dimensión finita se generaliza a las funciones $f$ y $g$ tomando valores en un espacio normado que podría ser, por ejemplo, un espacio de secuencia o un espacio de producto interno.

Prueba de la desigualdad de Hölder

Hay varias demostraciones de la desigualdad de Hölder; la idea principal a continuación es la desigualdad de Young para los productos.

Prueba

Si $. f . p = 0$ , entonces $f$ es cero $μ$ - casi en todas partes, y el producto $fg$ es cero $μ$ - Casi en todas partes, por lo tanto el lado izquierdo de la desigualdad de Hölder es cero. Lo mismo es cierto si $. g . q = 0$ . Por lo tanto, podemos asumir $. f . p ■ 0$ y $. g . q ■ 0$ en lo siguiente.

Si $. f . p =$ o $. g . q =$ , entonces el lado derecho de la desigualdad de Hölder es infinito. Por lo tanto, podemos asumir que $. f . p$ y $. g . q$ están dentro $(0, \infty)$ .

Si $p =$ y $q = 1$ , entonces $Silencio fg Ø Нел не не не не не не не не не не не не не не не не не не не не ны не ны не f . JUEGO Silencio g Silencio$ casi en todas partes y la desigualdad de Hölder sigue de la monotónica de la Lebesgue integral. Del mismo modo $p = 1$ y $q =$ . Por lo tanto, podemos asumir $p, q ▪$ $(0, 1)$ $\cup$ $(1, dietas)$ . Sin embargo, para aplicar la desigualdad de Young para los productos, necesitaremos $p, q ▪$ $(1, dietas)$

Dividir $f$ y $g$ por $. f . p$ y $. g . q$ , respectivamente, podemos asumir que

|f|_{p}=|g|_{q}=1.

Ahora utilizamos la desigualdad de Young para los productos, lo que indica que cada vez que $p,q$ están dentro $(1, dietas)$ con ${displaystyle {frac {1}{p}}+{frac {1}{q}}=1}$

ableq {frac {a^{p}}{p}}+{frac {b^{q}}{q}}

para todos los no negativos $a$ y $b$ , donde se logra la igualdad si $a p = b q$ . Por lo tanto

|f(s)g(s)|leq {frac {|f(s)|^{p}}{p}}+{frac {|g(s)|^{q}}{q}},qquad sin S.

Integrar ambas partes da

{displaystyle |fg|_{1}leq {frac {|f|_{p}^{p}}{p}}+{frac {|g|_{q}^{q}}{q}}={frac {1}{p}}+{frac {1}{q}}=1,}

que prueba la reclamación.

En virtud de las hipótesis $p ▪$ $(1, \infty)$ y $. f . p = g . q$ , la igualdad tiene si y sólo si $Silencio f Silencio p = Silencio g Silencio q$ casi en todas partes. Más generalmente, si $. f . p$ y $. g . q$ están dentro $(0, \infty)$ , entonces la desigualdad de Hölder se convierte en una igualdad si y sólo si hay números reales $α, β ■ 0$ , a saber

alpha =|g|_{q}^{q},qquad beta =|f|_{p}^{p},

tales que

{displaystyle alpha |f|^{p}=beta |g|^{q}}

μ- casi en todas partes (*).

El caso $. f . p = 0$ corresponde a $β = 0$ in (*). El caso $. g . q = 0$ corresponde a $α = 0$ in (*).

Prueba alternativa usando la desigualdad de Jensen:

Prueba

La función $xmapsto x^{p}$ on $(0,\infty)$ es convexo porque ${displaystyle pgeq 1}$ Por la desigualdad de Jensen,

int hdnu leq left(int h^{p}dnu right)^{frac {1}{p}}

Donde $.$ es cualquier distribución de probabilidad y $h$ cualquiera $.$ - función mensurable. Vamos $μ$ ser cualquier medida, y $.$ la distribución cuya densidad w.r.t. $μ$ es proporcional a $g^{q}$ , es decir.

{displaystyle dnu ={frac {g^{q}}{int g^{q},dmu }}dmu }

Por lo tanto tenemos, usando ${frac {1}{p}}+{frac {1}{q}}=1$ , por lo tanto $p(1-q)+q=0$ , y dejar $h=fg^{1-q}$ ,

{displaystyle int fg,dmu =left(int g^{q},dmu right)int underbrace {fg^{1-q}} _{h}underbrace {{frac {g^{q}}{int g^{q},dmu }}dmu } _{dnu }leq left(int g^{q}dmu right)left(int underbrace {f^{p}g^{p(1-q)}} _{h^{p}}underbrace {{frac {g^{q}}{int g^{q},dmu }},dmu } _{dnu }right)^{frac {1}{p}}=left(int g^{q},dmu right)left(int {frac {f^{p}}{int g^{q},dmu }},dmu right)^{frac {1}{p}}}

Finalmente, tenemos

{displaystyle int fg,dmu leq left(int f^{p},dmu right)^{frac {1}{p}}left(int g^{q},dmu right)^{frac {1}{q}}}

Esto supone que $f, g$ son reales y no negativas, pero la extensión a funciones complejas es sencilla (utiliza el módulo de $f, g$ ). También supone que $|f|_{p},|g|_{q}$ no son nulos ni infinitos, y eso $1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">p,q■1{displaystyle p,q]1}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f1c855a5cef063040771fb0260cd94fcb03f045" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:7.623ex; height:2.509ex;"/>$ : todas estas suposiciones también se pueden levantar como en la prueba anterior.

Igualdad extrema

Declaración

Suponga que $1 \leq p < \infty$ y deje que $q$ denote el Hölder conjugado. Luego, para cada $f \in L p (μ)$ ,

|f|_{p}=max left{left|int _{S}fg,mathrm {d} mu right|:gin L^{q}(mu),|g|_{q}leq 1right},

donde max indica que en realidad hay una $g$ que maximiza el lado derecho. Cuando $p = \infty$ y si cada conjunto $A$ en el campo σ $Σ$ con $μ (A) = \infty$ contiene un subconjunto $B \in Σ$ con $0 < μ (B) < \infty$ (lo cual es cierto en particular cuando $μ$ es σ-finito), entonces

|f|_{infty }=sup left{left|int _{S}fg,mathrm {d} mu right|:gin L^{1}(mu),|g|_{1}leq 1right}.

Prueba de la igualdad extrema:

Prueba

Por la desigualdad de Hölder, las integrales están bien definidas y, para $1 \leq p \leq$ ,

left|int _{S}fg,mathrm {d} mu right|leq int _{S}|fg|,mathrm {d} mu leq |f|_{p},

Por lo tanto, el lado izquierdo está siempre ligado por el lado derecho.

Por el contrario, $1 \leq p \leq$ , observe primero que la declaración es obvia cuando $. f . p = 0$ . Por lo tanto, asumimos $. f . p ■ 0$ en lo siguiente.

Si $1 \leq p ■$ , definir $g$ on $S$ por

g(x)={begin{cases}|f|_{p}^{1-p},|f(x)|^{p}/f(x)&{text{if }}f(x)not =0,\0&{text{otherwise.}}end{cases}}

Revisando los casos $p = 1$ y $1 p ■$ por separado, vemos que $. g . q = 1$ y

int _{S}fg,mathrm {d} mu =|f|_{p}.

Queda por examinar el caso $p =$ . Para $ε ▪$ $(0, 1)$ definir

(1-varepsilon)|f|_{infty }right}.}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">A={}x▪ ▪ S:Silenciof()x)Silencio■()1− − ε ε ).. f.. JUEGO JUEGO }.{displaystyle A=left{xin S: preservef(x) confianza(1-varepsilon) eternafh00_{infty }right}(1-varepsilon)|f|_{infty }right}." aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69b430a59c3a18d2acb76720d06d70da762a762d" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.991ex; height:2.843ex;"/>

Desde $f$ es mensurable, $A zioDt$ . Por definición $. f . JUEGO$ como supremum esencial $f$ y la hipótesis $. f . JUEGO ■ 0$ , tenemos $μ () A) 0$ . Utilizando la hipótesis adicional sobre el σ-field $.$ si es necesario, existe un subconjunto $B zioDt$ de $A$ con $0 μ () B)$ . Define $g$ on $S$ por

g(x)={begin{cases}{frac {1-varepsilon }{mu (B)}}{frac {|f|_{infty }}{f(x)}}&{text{if }}xin B,\0&{text{otherwise.}}end{cases}}

Entonces... $g$ es bien definido, mensurable y $Silencio g () x) TENIDO \leq 1/ μ () B)$ para $x ▪ B$ , por lo tanto $. g . 1 \leq 1$ . Además,

left|int _{S}fg,mathrm {d} mu right|=int _{B}{frac {1-varepsilon }{mu (B)}}|f|_{infty },mathrm {d} mu =(1-varepsilon)|f|_{infty }.

Observaciones y ejemplos

La igualdad ${displaystyle p=infty }$ falla cuando existe un conjunto $A$ de medida infinita en $sigma$ -field $Sigma$ con eso no tiene subconjunto $Bin Sigma$ que satisface: $<math alttext="{displaystyle 0<mu (B)0.μ μ ()B).JUEGO JUEGO .{displaystyle 0 mademu (B)traducidoinfty.} <img alt="{displaystyle 0<mu (B)$ (el ejemplo más simple es el $sigma$ -field $Sigma$ conteniendo sólo el conjunto vacío y $S,$ y la medida $mu$ con ${displaystyle mu (S)=infty.}$ ) Luego la función indicadora $1_{A}$ satisfizo ${displaystyle |1_{A}|_{infty }=1,}$ pero todos ${displaystyle gin L^{1}(mu)}$ tiene que ser $mu$ - casi en todas partes constante en $A,$ porque es $Sigma$ - mensurable, y esta constante tiene que ser cero, porque $g$ es $mu$ -Inintegrable. Por lo tanto, el supremum anterior para la función indicadora $1_{A}$ es cero y la extrema igualdad falla.
Para ${displaystyle p=infty}$ el supremum es en general no alcanzado. Como ejemplo, dejemos ${displaystyle S=mathbb {N}Sigma ={mathcal {P}}(mathbb {N})}$ y $mu$ la medida contable. Define:

{displaystyle {begin{cases}f:mathbb {N} to mathbb {R} \f(n)={frac {n-1}{n}}end{cases}}}

Entonces...

{displaystyle |f|_{infty }=1.}

Para

{displaystyle gin L^{1}(mumathbb {N})}

con

<math alttext="{displaystyle 00... g.. 1⩽ ⩽ 1,{displaystyle 0 wonfnsefnhfnh}leqslant 1,} <img alt="{displaystyle 0

Deja

m

denota el menor número natural con

{displaystyle g(m)neq 0.}

Entonces...

<math alttext="{displaystyle left|int _{S}fg,mathrm {d} mu right|leqslant {frac {m-1}{m}}|g(m)|+sum _{n=m+1}^{infty }|g(n)|=|g|_{1}-{frac {|g(m)|}{m}}Silencio∫ ∫ Sfgdμ μ Silencio⩽ ⩽ m− − 1mSilenciog()m)Silencio+.. n=m+1JUEGO JUEGO Silenciog()n)Silencio=.. g.. 1− − Silenciog()m)Silenciom.1.{displaystyle left durableint _{S}fg,mathrm {d} mu right sobrevivirleqslant {frac {m-1}{m}{m-1}{n=m} {m}{n=m+1}{infty } WordPress= eternag _{1}-{frac {fc}{m}}{m}} {m}} {m} {m}} {m}} {m}} {}{m}}{m}{)}{m}{m}}}} {m}}}}}}}}}}}}}}}}{}} {m} {m} {m}}}}}}}}}{<img alt="{displaystyle left|int _{S}fg,mathrm {d} mu right|leqslant {frac {m-1}{m}}|g(m)|+sum _{n=m+1}^{infty }|g(n)|=|g|_{1}-{frac {|g(m)|}{m}}

Aplicaciones

La extrema igualdad es una de las maneras de probar la desigualdad del triángulo $. f 1 + f 2 . p \leq f 1 . p + f 2 . p$ para todos $f 1$ y $f 2$ dentro $L p () μ)$ , vea la desigualdad de Minkowski.
La desigualdad de Hölder implica que todos $f ▪ L p () μ)$ define un funcional lineal ligado (o continuo) $κ f$ on $L q () μ)$ por la fórmula

kappa _{f}(g)=int _{S}fg,mathrm {d} muqquad gin L^{q}(mu).

La extrema igualdad (cuando es verdad) muestra que la norma de esta funcionalidad

κ f

como elemento del espacio dual continuo

L q () μ) *

coincide con la norma de

f

dentro

L p () μ)

(ver también el Lp-space artículo).

Generalización con más de dos funciones

Declaración

Suponga que $r \in$ $(0, \infty]$ y $p 1,..., p n \in$ $(0, \infty]$ tal que

{displaystyle sum _{k=1}^{n}{frac {1}{p_{k}}}={frac {1}{r}}}

donde 1/∞ se interpreta como 0 en esta ecuación. Entonces, para todas las funciones medibles reales o de valor complejo $f 1,..., f n$ definido en $S$ ,

{displaystyle left|prod _{k=1}^{n}f_{k}right|_{r}leq prod _{k=1}^{n}left|f_{k}right|_{p_{k}}}

donde interpretamos cualquier producto con un factor de ∞ como ∞ si todos los factores son positivos, pero el producto es 0 si cualquier factor es 0.

En particular, si ${displaystyle f_{k}in L^{p_{k}}(mu)}$ para todos ${displaystyle kin {1,ldotsn}}$ entonces ${displaystyle prod _{k=1}^{n}f_{k}in L^{r}(mu).}$

Nota: Para ${displaystyle rin (0,1),}$ contrario a la notación, $. . . r$ es en general no una norma porque no satisface la desigualdad del triángulo.

Prueba de la generalización:

Prueba

Usamos la desigualdad de Hölder y la inducción matemática. Si $n=1$ entonces el resultado es inmediato. Pasemos ahora $n-1$ a $n.$ Sin pérdida de generalidad asume que ${displaystyle p_{1}leq cdots leq p_{n}.}$

Caso 1: Si ${displaystyle p_{n}=infty }$ entonces

{displaystyle sum _{k=1}^{n-1}{frac {1}{p_{k}}}={frac {1}{r}}.}

Sacar el supremum esencial $Silencio f n Silencio$ y usando la hipótesis de inducción, obtenemos

{displaystyle {begin{aligned}left|f_{1}cdots f_{n}right|_{r}&leq left|f_{1}cdots f_{n-1}right|_{r}left|f_{n}right|_{infty }\&leq left|f_{1}right|_{p_{1}}cdots left|f_{n-1}right|_{p_{n-1}}left|f_{n}right|_{infty }.end{aligned}}}

Caso 2: Si $<math alttext="{displaystyle p_{n}pn.JUEGO JUEGO {displaystyle p_{n}cantado<img alt="{displaystyle p_{n}$ entonces necesariamente $<math alttext="{displaystyle rr.JUEGO JUEGO {displaystyle r madeinfty} <img alt="{displaystyle r$ y luego

{displaystyle p:={frac {p_{n}}{p_{n}-r}},qquad q:={frac {p_{n}}{r}}}

son Hölder conjugados en $(1, \infty)$ . La aplicación de la desigualdad de Hölder da

{displaystyle left||f_{1}cdots f_{n-1}|^{r},|f_{n}|^{r}right|_{1}leq left||f_{1}cdots f_{n-1}|^{r}right|_{p},left||f_{n}|^{r}right|_{q}.}

Levantarse al poder $1/r$ y reescribir,

{displaystyle |f_{1}cdots f_{n}|_{r}leq |f_{1}cdots f_{n-1}|_{pr}|f_{n}|_{qr}.}

Desde ${displaystyle qr=p_{n}}$ y

{displaystyle sum _{k=1}^{n-1}{frac {1}{p_{k}}}={frac {1}{r}}-{frac {1}{p_{n}}}={frac {p_{n}-r}{rp_{n}}}={frac {1}{pr}},}

la desigualdad reclamada sigue utilizando la hipótesis de inducción.

Interpolación

Vamos $p 1,... p n ▪$ $(0, \infty)$ y dejar $Silencio 1,... Silencio n (0, 1)$ denota pesos con $Silencio 1 +... + Silencio n = 1$ . Define $p$ como el significado armónico ponderado, es decir,

{frac {1}{p}}=sum _{k=1}^{n}{frac {theta _{k}}{p_{k}}}.

Dadas funciones medibles de valor real o complejo $f_{k}$ on $S$ , entonces la generalización anterior de la desigualdad de Hölder da

{displaystyle left||f_{1}|^{theta _{1}}cdots |f_{n}|^{theta _{n}}right|_{p}leq left||f_{1}|^{theta _{1}}right|_{frac {p_{1}}{theta _{1}}}cdots left||f_{n}|^{theta _{n}}right|_{frac {p_{n}}{theta _{n}}}=|f_{1}|_{p_{1}}^{theta _{1}}cdots |f_{n}|_{p_{n}}^{theta _{n}}.}

En particular, ${displaystyle f_{1}=cdots =f_{n}=:f}$ da

{displaystyle |f|_{p}leqslant prod _{k=1}^{n}|f|_{p_{k}}^{theta _{k}}.}

Especificación adicional $Silencio 1 = Silencio$ y $Silencio 2 = 1- Silencio$ , en el caso ${displaystyle n=2,}$ obtenemos el resultado de la interpolación

La desigualdad de Littlewood—Para $theta in (0,1)$ y ${displaystyle {frac {1}{p_{theta }}}={frac {theta }{p_{1}}}+{frac {1-theta }{p_{0}}}}$ ,

{displaystyle |f|_{p_{theta }}leqslant |f|_{p_{1}}^{theta }cdot |f|_{p_{0}}^{1-theta },}

Una aplicación de Hölder da

La desigualdad de Lyapunov—Si ${displaystyle p=(1-theta)p_{0}+theta p_{1},qquad theta in (0,1),}$ entonces

{displaystyle left||f_{0}|^{frac {p_{0}(1-theta)}{p}}cdot |f_{1}|^{frac {p_{1}theta }{p}}right|_{p}^{p}leq |f_{0}|_{p_{0}}^{p_{0}(1-theta)}|f_{1}|_{p_{1}}^{p_{1}theta }}

y en particular

{displaystyle |f|_{p}^{p}leqslant |f|_{p_{0}}^{p_{0}(1-theta)}cdot |f|_{p_{1}}^{p_{1}theta }.}

Tanto Littlewood como Lyapunov implican que si ${displaystyle fin L^{p_{0}}cap L^{p_{1}}}$ entonces $fin L^{p}$ para todos $<math alttext="{displaystyle p_{0}<p$

p0.p.p1.{displaystyle - No.<img alt="{displaystyle p_{0}<p

Desigualdades de Hölder inversas

Dos funciones

Suponga que $p \in (1, \infty)$ y que el espacio de medida $(S, Σ, μ)$ satisface $μ (S) > 0$ . Luego, para todas las funciones medibles de valores reales o complejos $f$ y $g$ en $S$ tal que $g (s) \neq 0$ para $μ$ -casi todos los $s \in S$ ,

{displaystyle |fg|_{1}geqslant |f|_{frac {1}{p}},|g|_{frac {-1}{p-1}}.}

<math alttext="{displaystyle |fg|_{1}0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">.. fg.. 1.JUEGO JUEGO y.. g.. − − 1p− − 1■0,{displaystyle {fg}quadfgfgfgfn}quadfgfgh00_{f}f}f}f} {-1}{p-1}} {0}<img alt="{displaystyle |fg|_{1}0,}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/342e96f2470023f610f2625a9d6b8120a0041a26" style="vertical-align: -2.505ex; width:31.382ex; height:4.509ex;"/>

entonces la desigualdad de Hölder inversa es una igualdad si y solo si

{displaystyle exists alpha geqslant 0quad |f|=alpha |g|^{frac {-p}{p-1}}qquad mu {text{-almost everywhere}}.}

Nota: Las expresiones:

${displaystyle |f|_{frac {1}{p}}}$ y ${displaystyle |g|_{frac {-1}{p-1}},}$

no son normas, son solo notaciones compactas para

{displaystyle left(int _{S}|f|^{frac {1}{p}},mathrm {d} mu right)^{p}quad {text{and}}quad left(int _{S}|g|^{frac {-1}{p-1}},mathrm {d} mu right)^{-(p-1)}.}

Prueba de la inversa desigualdad Hölder (hidden, haga clic en mostrar para revelar.)

Note que $p$ y

q:={frac {p}{p-1}}in (1,infty)

Son Hölder conjugados. La aplicación de la desigualdad de Hölder da

{displaystyle {begin{aligned}left||f|^{frac {1}{p}}right|_{1}&=left||fg|^{frac {1}{p}},|g|^{-{frac {1}{p}}}right|_{1}\&leqslant left||fg|^{frac {1}{p}}right|_{p}left||g|^{-{frac {1}{p}}}right|_{q}\&=|fg|_{1}^{frac {1}{p}}left||g|^{frac {-1}{p-1}}right|_{1}^{frac {p-1}{p}}end{aligned}}}

Levantarse al poder $p$ nos da:

{displaystyle left||f|^{frac {1}{p}}right|_{1}^{p}leqslant |fg|_{1}left||g|^{frac {-1}{p-1}}right|_{1}^{p-1}.}

Por lo tanto:

{displaystyle left||f|^{frac {1}{p}}right|_{1}^{p}left||g|^{frac {-1}{p-1}}right|_{1}^{-(p-1)}leqslant |fg|_{1}.}

Ahora solo necesitamos recordar nuestra notación.

Desde

g

no es casi en todas partes iguales a la función cero, podemos tener igualdad si y sólo si existe una constante

α \geq 0

tales que

Silencio fg Silencio α Silencio g Silencio - q / p

casi en todas partes. Resolver el valor absoluto de

f

da la reclamación.

Múltiples funciones

La desigualdad de Hölder inversa (arriba) se puede generalizar al caso de funciones múltiples si todos los conjugados menos uno son negativos. Eso es,

Vamos

<math alttext="{displaystyle p_{1},...,p_{m-1}p1,...,pm− − 1.0{displaystyle ¿Qué?<img alt="{displaystyle p_{1},...,p_{m-1}

{displaystyle p_{m}in mathbb {R} }

ser tal

{displaystyle sum _{k=1}^{m}{frac {1}{p_{k}}}=1}

(hence)

<math alttext="{displaystyle 0<p_{m}0.pm.1{displaystyle 0 madep_{m}traducido1}<img alt="{displaystyle 0<p_{m}

). Vamos

f_{k}

ser funciones mensurables

{displaystyle k=1,...,m}

. Entonces...

{displaystyle left|prod _{k=1}^{n}f_{k}right|_{1}geq prod _{k=1}^{n}left|f_{k}right|_{p_{k}}.}

Esto se deriva de la forma simétrica de la desigualdad de Hölder (ver más abajo).

Formas simétricas de la desigualdad de Hölder

Aczél y Beckenbach observaron que la desigualdad de Hölder se puede poner en una forma más simétrica, al precio de introducir un vector (o función) extra:

Vamos ${displaystyle f=(f(1),dotsf(m)),g=(g(1),dotsg(m)),h=(h(1),dotsh(m))}$ ser vectores con entradas positivas y tal ${displaystyle f(i)g(i)h(i)=1}$ para todos $i$ . Si $p,q,r$ son números reales no cero tal que ${displaystyle {frac {1}{p}}+{frac {1}{q}}+{frac {1}{r}}=0}$ , entonces:

${displaystyle |f|_{p}|g|_{q}|h|_{r}geq 1}$ si todo menos uno de $p,q,r$ son positivos;
${displaystyle |f|_{p}|g|_{q}|h|_{r}leq 1}$ si todo menos uno de $p,q,r$ son negativos.

La desigualdad de Hölder estándar se deriva inmediatamente de esta forma simétrica (y, de hecho, se ve fácilmente que es equivalente a ella). La declaración simétrica también implica la desigualdad de Hölder inversa (ver arriba).

El resultado se puede extender a varios vectores:

Vamos ${displaystyle f_{1},dotsf_{n}}$ Ser $n$ vectores en $mathbb {R} ^{m}$ con entradas positivas y tal ${displaystyle f_{1}(i)dots f_{n}(i)=1}$ para todos $i$ . Si ${displaystyle p_{1},dotsp_{n}}$ son números reales no cero tal que ${displaystyle {frac {1}{p_{1}}}+dots +{frac {1}{p_{n}}}=0}$ , entonces:

${displaystyle |f_{1}|_{p_{1}}dots |f_{n}|_{p_{n}}geq 1}$ si todos menos uno de los números $p_{i}$ son positivos;
${displaystyle |f_{1}|_{p_{1}}dots |f_{n}|_{p_{n}}leq 1}$ si todos menos uno de los números $p_{i}$ son negativos.

Al igual que en las desigualdades estándar de Hölder, existen enunciados correspondientes para sumas e integrales infinitas.

Desigualdad de Hölder condicional

Vamos $mathbb {P}$ ser un espacio de probabilidad, $G \subset F$ a sub-σ-algebra, y $p, q ▪$ $(1, \infty)$ Hölder conjuga, lo que significa que $1/ p + 1/ q = 1$ . Entonces para todas las variables aleatorias de valor real o complejo $X$ y $Y$ on $Ω$ ,

mathbb {E} {bigl [}|XY|{big |},{mathcal {G}}{bigr ]}leq {bigl (}mathbb {E} {bigl [}|X|^{p}{big |},{mathcal {G}}{bigr ]}{bigr)}^{frac {1}{p}},{bigl (}mathbb {E} {bigl [}|Y|^{q}{big |},{mathcal {G}}{bigr ]}{bigr)}^{frac {1}{q}}qquad mathbb {P} {text{-almost surely.}}

Observaciones:

Si una variable aleatoria no negativa $Z$ tiene un valor esperado infinito, entonces su expectativa condicional se define por

mathbb {E} [Z|{mathcal {G}}]=sup _{nin mathbb {N} },mathbb {E} [min{Z,n}|{mathcal {G}}]quad {text{a.s.}}

En el lado derecho de la desigualdad condicional Hölder, 0 veces ∞, así como los tiempos ∞ 0 significa 0. Multiplicación $a ■ 0$ con ∞ da ∞.

Prueba de la desigualdad de Hölder condicional:

Prueba

Definir las variables aleatorias

U={bigl (}mathbb {E} {bigl [}|X|^{p}{big |},{mathcal {G}}{bigr ]}{bigr)}^{frac {1}{p}},qquad V={bigl (}mathbb {E} {bigl [}|Y|^{q}{big |},{mathcal {G}}{bigr ]}{bigr)}^{frac {1}{q}}

y notar que son mensurables con respecto a sub-σ-algebra. Desde

mathbb {E} {bigl [}|X|^{p}1_{{U=0}}{bigr ]}=mathbb {E} {bigl [}1_{{U=0}}underbrace {mathbb {E} {bigl [}|X|^{p}{big |},{mathcal {G}}{bigr ]}} _{=,U^{p}}{bigr ]}=0,

sigue que $Silencio X Silencio = 0$ a.s. en el set ${} U = 0}$ . Análogamente, $Silencio Y Silencio = 0$ a.s. en el set ${} V = 0}$ , por lo tanto

mathbb {E} {bigl [}|XY|{big |},{mathcal {G}}{bigr ]}=0qquad {text{a.s. on }}{U=0}cup {V=0}

y la desigualdad Hölder condicional mantiene en este conjunto. En el set

0}cup {U>0,V=infty }}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">{}U=JUEGO JUEGO ,V■0}∪ ∪ {}U■0,V=JUEGO JUEGO }{displaystyle {U=inftyV Conf0}cup {U confianza0,V=infty}0}cup {U>0,V=infty }" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff7679c44f7822bc830d4f15a3b76af339302f28" style="vertical-align: -0.838ex; width:35.806ex; height:2.843ex;"/>

el lado derecho es infinito y la desigualdad condicional Hölder sostiene, también. Dividiendo por el lado derecho, queda por demostrar que

<math alttext="{displaystyle {frac {mathbb {E} {bigl [}|XY|{big |},{mathcal {G}}{bigr ]}}{UV}}leq 1qquad {text{a.s. on the set }}H:={0<U<infty,0<VE[SilencioXYSilencioSilencioG]UV≤ ≤ 1a.s. en el setH:={}0.U.JUEGO JUEGO ,0.V.JUEGO JUEGO }.{fnMicroc {fnMithbb {E} {bigl [ ] Silencio! H:={0 seleccionóinfty,0 seleccionóinfty }<img alt="{frac {mathbb {E} {bigl [}|XY|{big |},{mathcal {G}}{bigr ]}}{UV}}leq 1qquad {text{a.s. on the set }}H:={0<U<infty,0<V

Esto se hace verificando que la desigualdad se mantiene después de la integración en un arbitrario

Gin {mathcal {G}},quad Gsubset H.

Usando la mensurabilidad $U, V, 1 G$ con respecto a sub-σ-algebra, las reglas para expectativas condicionales, la desigualdad de Hölder y $1/ p + 1/ q = 1$ , vemos que

{begin{aligned}mathbb {E} {biggl [}{frac {mathbb {E} {bigl [}|XY|{big |},{mathcal {G}}{bigr ]}}{UV}}1_{G}{biggr ]}&=mathbb {E} {biggl [}mathbb {E} {biggl [}{frac {|XY|}{UV}}1_{G}{bigg |},{mathcal {G}}{biggr ]}{biggr ]}\&=mathbb {E} {biggl [}{frac {|X|}{U}}1_{G}cdot {frac {|Y|}{V}}1_{G}{biggr ]}\&leq {biggl (}mathbb {E} {biggl [}{frac {|X|^{p}}{U^{p}}}1_{G}{biggr ]}{biggr)}^{frac {1}{p}}{biggl (}mathbb {E} {biggl [}{frac {|Y|^{q}}{V^{q}}}1_{G}{biggr ]}{biggr)}^{frac {1}{q}}\&={biggl (}mathbb {E} {biggl [}underbrace {frac {mathbb {E} {bigl [}|X|^{p}{big |},{mathcal {G}}{bigr ]}}{U^{p}}} _{=,1{text{ a.s. on }}G}1_{G}{biggr ]}{biggr)}^{frac {1}{p}}{biggl (}mathbb {E} {biggl [}underbrace {frac {mathbb {E} {bigl [}|Y|^{q}{big |},{mathcal {G}}{bigr ]}}{V^{p}}} _{=,1{text{ a.s. on }}G}1_{G}{biggr ]}{biggr)}^{frac {1}{q}}\&=mathbb {E} {bigl [}1_{G}{bigr ]}.end{aligned}}

Desigualdad de Hölder para seminormas crecientes

Vamos $S$ ser un set y dejar ${displaystyle F(S,mathbb {C})}$ ser el espacio de todas las funciones de valor complejo en $S$ . Vamos $N$ ser un seminorm creciente en ${displaystyle F(S,mathbb {C}),}$ significa que, para todas las funciones de valor real ${displaystyle f,gin F(S,mathbb {C})}$ tenemos la siguiente implicación (el seminorm también se permite alcanzar el valor ∞):

{displaystyle forall sin Squad f(s)geqslant g(s)geqslant 0qquad Rightarrow qquad N(f)geqslant N(g).}

Entonces:

{displaystyle forall f,gin F(S,mathbb {C})qquad N(|fg|)leqslant {bigl (}N(|f|^{p}){bigr)}^{frac {1}{p}}{bigl (}N(|g|^{q}){bigr)}^{frac {1}{q}},}

donde los números $p$ y $q$ Son Hölder conjugados.

Observación: Si $() S, μ)$ es un espacio de medida y $N(f)$ es el Lebesgue superior integral de $|f|$ entonces la restricción $N$ para todos $.$ -Measurable funciones da la versión habitual de la desigualdad de Hölder.

Distancias basadas en la desigualdad de Hölder

La desigualdad de Hölder se puede utilizar para definir medidas de disimilitud estadística entre distribuciones de probabilidad. Esas divergencias de Hölder son proyectivas: no dependen del factor de normalización de las densidades.

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