Desigualdad de Cauchy-Schwarz

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Inequidad matemática relacionada con productos y normas interiores

La desigualdad de Cauchy-Schwarz (también llamada desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz) se considera una de las desigualdades más importantes y más utilizadas en matemáticas.

La desigualdad de las sumas fue publicada por Augustin-Louis Cauchy (1821). La desigualdad correspondiente para integrales fue publicada por Viktor Bunyakovsky (1859) y Hermann Schwarz (1888). Schwarz dio la prueba moderna de la versión integral.

Enunciado de la desigualdad

La desigualdad Cauchy-Schwarz afirma que para todos los vectores $mathbf {u}$ y $mathbf {v}$ de un espacio interior de producto es cierto que

{displaystyle left|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle right|^{2}leq langle mathbf {u}mathbf {u} rangle cdot langle mathbf {v}mathbf {v} rangle}

()Inequidad Cauchy-Schwarz [escrito usando sólo el producto interno])

Donde $langle cdotcdot rangle$ es el producto interno. Ejemplos de productos internos incluyen el producto de puntos real y complejo; vea los ejemplos en el producto interno. Cada producto interior da lugar a una norma, llamada canónica o norma inducida, donde la norma de un vector $mathbf {u}$ es denotado y definido por:

{displaystyle |mathbf {u} |:={sqrt {langle mathbf {u}mathbf {u} rangle }}}

{displaystyle |mathbf {u} |^{2}=langle mathbf {u}mathbf {u} rangle}

{displaystyle langle mathbf {u}mathbf {u} rangle }

{displaystyle |langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |leq |mathbf {u} ||mathbf {v} |.}

()Inequidad Cauchy-Schwarz - escrito usando norma y producto interior)

Además, las dos partes son iguales si y sólo si $mathbf {u}$ y $mathbf {v}$ dependen linealmente.

Casos especiales

Lema de Sedrakyan - Números reales positivos

La desigualdad de Sedrakyan, también llamada desigualdad de Bergström, la forma de Engel, la lema T2 o la lema de Titu, afirma que para números reales ${displaystyle u_{1},u_{2},dotsu_{n}}$ y números reales positivos ${displaystyle v_{1},v_{2},dotsv_{n}}$ :

{displaystyle {frac {left(sum _{i=1}^{n}u_{i}right)^{2}}{sum _{i=1}^{n}v_{i}}}leq sum _{i=1}^{n}{frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}quad {text{ or equivalently, }}quad {frac {left(u_{1}+u_{2}+cdots +u_{n}right)^{2}}{v_{1}+v_{2}+cdots +v_{n}}}leq {frac {u_{1}^{2}}{v_{1}}}+{frac {u_{2}^{2}}{v_{2}}}+cdots +{frac {u_{n}^{2}}{v_{n}}}.}

Es una consecuencia directa de la desigualdad Cauchy-Schwarz, obtenida utilizando el producto de puntos en $mathbb {R} ^{n}$ en sustitución ${displaystyle u_{i}'=u_{i}/{sqrt {v_{i}}}}$ y ${displaystyle v_{i}'={sqrt {v_{i}}}}$ . Esta forma es especialmente útil cuando la desigualdad implica fracciones donde el numerador es un cuadrado perfecto.

R2 - El avión

La desigualdad Cauchy-Schwarz en un círculo unitario del plano euclidiano

El espacio vectorial real $R^2$ denota el plano 2-dimensional. También es el espacio euclidiano de 2 dimensiones donde el producto interno es el producto de puntos. Si ${displaystyle mathbf {u} =left(u_{1},u_{2}right)}$ y ${displaystyle mathbf {v} =left(v_{1},v_{2}right)}$ entonces la desigualdad Cauchy-Schwarz se convierte en:

{displaystyle langle mathbf {u}mathbf {v} rangle ^{2}=(|mathbf {u} ||mathbf {v} |cos theta)^{2}leq |mathbf {u} |^{2}|mathbf {v} |^{2},}

theta

mathbf {u}

mathbf {v}

La forma anterior es quizás la más fácil en la que entender la desigualdad, ya que la plaza del cosino puede ser en la mayoría 1, que ocurre cuando los vectores están en las mismas direcciones opuestas. También se puede reposar en términos de las coordenadas vectoriales $u_{1}$ , $u_{2}$ , $v_{1}$ , y $v_{2}$ como

{displaystyle left(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}right)^{2}leq left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}right)left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}right),}

{displaystyle left(u_{1},u_{2}right)}

{displaystyle left(v_{1},v_{2}right)}

Rn - espacio euclidiano n-dimensional

En el espacio euclidiano $mathbb {R} ^{n}$ con el producto interno estándar, que es el producto de puntos, la desigualdad Cauchy-Schwarz se convierte en:

{displaystyle left(sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}right)^{2}leq left(sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}right)left(sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}right).}

La desigualdad Cauchy-Schwarz se puede probar utilizando sólo ideas de álgebra elemental en este caso. Considere el siguiente polinomio cuadrático en $x$

{displaystyle 0leq left(u_{1}x+v_{1}right)^{2}+cdots +left(u_{n}x+v_{n}right)^{2}=left(sum _{i}u_{i}^{2}right)x^{2}+2left(sum _{i}u_{i}v_{i}right)x+sum _{i}v_{i}^{2}.}

Puesto que no es negativo, tiene en la mayoría una raíz real para $x,$ por lo tanto su discriminante es inferior o igual a cero. Eso es,

{displaystyle left(sum _{i}u_{i}v_{i}right)^{2}-left(sum _{i}{u_{i}^{2}}right)left(sum _{i}{v_{i}^{2}}right)leq 0,}

Cn - Espacio complejo n-dimensional

Si ${displaystyle mathbf {u}mathbf {v} in mathbb {C} ^{n}}$ con ${displaystyle mathbf {u} =left(u_{1},ldotsu_{n}right)}$ y ${displaystyle mathbf {v} =left(v_{1},ldotsv_{n}right)}$ (donde) ${displaystyle u_{1},ldotsu_{n}in mathbb {C} }$ y ${displaystyle v_{1},ldotsv_{n}in mathbb {C} }$ ) y si el producto interno en el espacio vectorial ${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$ es el producto interno complejo canónico (definido por ${displaystyle langle mathbf {u}mathbf {v} rangle:=u_{1}{overline {v_{1}}}+cdots +u_{n}{overline {v_{n}}},}$ donde la notación de la barra se utiliza para la conjugación compleja), entonces la desigualdad puede ser restablecida más explícitamente como sigue:

{displaystyle |langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |^{2}=left|sum _{k=1}^{n}u_{k}{bar {v}}_{k}right|^{2}leq langle mathbf {u}mathbf {u} rangle langle mathbf {v}mathbf {v} rangle =left(sum _{k=1}^{n}u_{k}{bar {u}}_{k}right)left(sum _{k=1}^{n}v_{k}{bar {v}}_{k}right)=sum _{j=1}^{n}left|u_{j}right|^{2}sum _{k=1}^{n}left|v_{k}right|^{2}.}

Es decir,

{displaystyle left|u_{1}{bar {v}}_{1}+cdots +u_{n}{bar {v}}_{n}right|^{2}leq left(left|u_{1}right|^{2}+cdots +left|u_{n}right|^{2}right)left(left|v_{1}right|^{2}+cdots +left|v_{n}right|^{2}right).}

L2

Para el espacio de producto interno de funciones de valores complejos integrables al cuadrado, la siguiente desigualdad:

{displaystyle left|int _{mathbb {R} ^{n}}f(x){overline {g(x)}},dxright|^{2}leq int _{mathbb {R} ^{n}}|f(x)|^{2},dxint _{mathbb {R} ^{n}}|g(x)|^{2},dx.}

La desigualdad de Hölder es una generalización de esto.

Aplicaciones

Análisis

En cualquier espacio de producto interior, la desigualdad del triángulo es una consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, como se muestra ahora:

{displaystyle {begin{alignedat}{4}|mathbf {u} +mathbf {v} |^{2}&=langle mathbf {u} +mathbf {v}mathbf {u} +mathbf {v} rangle &&\&=|mathbf {u} |^{2}+langle mathbf {u}mathbf {v} rangle +langle mathbf {v}mathbf {u} rangle +|mathbf {v} |^{2}~&&~{text{ where }}langle mathbf {v}mathbf {u} rangle ={overline {langle mathbf {u}mathbf {v} rangle }}\&=|mathbf {u} |^{2}+2operatorname {Re} langle mathbf {u}mathbf {v} rangle +|mathbf {v} |^{2}&&\&leq |mathbf {u} |^{2}+2|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |+|mathbf {v} |^{2}&&\&leq |mathbf {u} |^{2}+2|mathbf {u} ||mathbf {v} |+|mathbf {v} |^{2}~&&~{text{ using CS}}\&leq (|mathbf {u} |+|mathbf {v} |)^{2}.&&end{alignedat}}}

Sacar raíces cuadradas da la desigualdad del triángulo:

{displaystyle |mathbf {u} +mathbf {v} |leq |mathbf {u} |+|mathbf {v} |.}

La desigualdad de Cauchy-Schwarz se usa para probar que el producto interno es una función continua con respecto a la topología inducida por el propio producto interno.

Geometría

La desigualdad de Cauchy-Schwarz permite extender la noción de "ángulo entre dos vectores" a cualquier espacio de producto interno real definiendo:

{displaystyle cos theta _{mathbf {u} mathbf {v} }={frac {langle mathbf {u}mathbf {v} rangle }{|mathbf {u} ||mathbf {v} |}}.}

La desigualdad de Cauchy-Schwarz demuestra que esta definición es sensata, al mostrar que el lado derecho se encuentra en el intervalo $[-1, 1]$ y justifica la noción de que Los espacios (reales) de Hilbert son simplemente generalizaciones del espacio euclidiano. También se puede usar para definir un ángulo en espacios complejos de productos internos, tomando el valor absoluto o la parte real del lado derecho, como se hace cuando se extrae una métrica de fidelidad cuántica.

Teoría de la probabilidad

Vamos $X$ y $Y$ ser variables aleatorias, entonces la desigualdad de covariancia se da por:

{displaystyle operatorname {Var} (Y)geq {frac {operatorname {Cov} (Y,X)^{2}}{operatorname {Var} (X)}}.}

Después de definir un producto interno en el conjunto de variables aleatorias usando la expectativa de su producto,

{displaystyle langle X,Yrangle:=operatorname {E} (XY),}

{displaystyle |operatorname {E} (XY)|^{2}leq operatorname {E} (X^{2})operatorname {E} (Y^{2}).}

Para demostrar la desigualdad de covariancia utilizando la desigualdad Cauchy-Schwarz, dejemos $mu =operatorname {E} (X)$ y ${displaystyle nu =operatorname {E} (Y),}$ entonces

{displaystyle {begin{aligned}|operatorname {Cov} (X,Y)|^{2}&=|operatorname {E} ((X-mu)(Y-nu))|^{2}\&=|langle X-muY-nu rangle |^{2}\&leq langle X-muX-mu rangle langle Y-nuY-nu rangle \&=operatorname {E} left((X-mu)^{2}right)operatorname {E} left((Y-nu)^{2}right)\&=operatorname {Var} (X)operatorname {Var} (Y),end{aligned}}}

operatorname {Var}

{displaystyle operatorname {Cov} }

Pruebas

Hay muchas pruebas diferentes de la desigualdad Cauchy-Schwarz aparte de las que se dan a continuación. Al consultar otras fuentes, a menudo hay dos fuentes de confusión. Primero, algunos autores definen $Negociación, participación$ ser lineal en el segundo argumento más que el primero. En segundo lugar, algunas pruebas sólo son válidas cuando el campo es $mathbb {R}$ y no ${displaystyle mathbb {C}.}$

Esta sección da pruebas del siguiente teorema:

Inequidad Cauchy-Schwarz—Vamos $mathbf {u}$ y $mathbf {v}$ ser vectores arbitrarios en un espacio de producto interno sobre el campo de escalar ${displaystyle mathbb {F}}$ Donde $mathbb F$ es el campo de números reales $mathbb {R}$ o números complejos ${displaystyle mathbb {C}.}$ Entonces...

{displaystyle left|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle right|leq |mathbf {u} ||mathbf {v} |}

()Cauchy-Schwarz Calidad)

con igualdad en el Cauchy-Schwarz Calidad si $mathbf {u}$ y $mathbf {v}$ dependen linealmente.

Además, si ${displaystyle |langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |=|mathbf {u} ||mathbf {v} |}$ y $mathbf{v} neq mathbf{0}$ entonces ${displaystyle mathbf {u} ={frac {langle mathbf {u}mathbf {v} rangle }{|mathbf {v} |^{2}}}mathbf {v}.}$

En todas las pruebas presentadas a continuación, la prueba en el caso trivial donde al menos uno de los vectores es cero (o equivalente, en el caso en que ${displaystyle |mathbf {u} ||mathbf {v} |=0}$ ) es lo mismo. Se presenta inmediatamente a continuación sólo una vez para reducir la repetición. También incluye la parte fácil de la prueba de la caracterización de la igualdad dada anteriormente; es decir, prueba que si $mathbf {u}$ y $mathbf {v}$ son linealmente dependientes entonces ${displaystyle left|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle right|=|mathbf {u} ||mathbf {v} |.}$

Prueba de las partes triviales: Caso donde un vector es $mathbf {0}$ y también una dirección de la caracterización de la igualdad
Por definición, $mathbf {u}$ y $mathbf {v}$ son linealmente dependientes si y sólo si uno es un escalar múltiple del otro. Si ${displaystyle mathbf {u} =cmathbf {v} }$ Donde $c$ es un poco de cuero cabelludo entonces ${displaystyle \|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle \|=\|langle cmathbf {v}mathbf {v} rangle \|=\|clangle mathbf {v}mathbf {v} rangle \|=\|c\|\|mathbf {v} \|\|mathbf {v} \|=\|cmathbf {v} \|\|mathbf {v} \|=\|mathbf {u} \|\|mathbf {v} \|}$ que muestra que la igualdad tiene Cauchy-Schwarz Calidad. El caso donde ${displaystyle mathbf {v} =cmathbf {u} }$ para algunos scalar $c$ es muy similar, con la diferencia principal entre la conjugación compleja de ${displaystyle c:}$ ${displaystyle \|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle \|=\|langle mathbf {u}cmathbf {u} rangle \|=left\|{overline {c}}langle mathbf {u}mathbf {u} rangle right\|=left\|{overline {c}}right\|\|mathbf {u} \|\|mathbf {u} \|=\|c\|\|mathbf {u} \|\|mathbf {u} \|=\|mathbf {u} \|\|cmathbf {u} \|=\|mathbf {u} \|\|mathbf {v} \|.}$ Si al menos uno de $mathbf {u}$ y $mathbf {v}$ es el vector cero entonces $mathbf {u}$ y $mathbf {v}$ son necesariamente dependientes linealmente (sólo escalar multiplica el vector no cero por el número ${displaystyle 0}$ para conseguir el vector cero; por ejemplo, si ${displaystyle mathbf {u} =mathbf {0} }$ Entonces déjalo $c=0$ así ${displaystyle mathbf {u} =cmathbf {v} }$ ), que demuestra el contrario de esta caracterización en este caso especial; es decir, esto muestra que si al menos uno de $mathbf {u}$ y $mathbf {v}$ es $mathbf {0}$ entonces la caracterización de la igualdad tiene. Si ${displaystyle mathbf {u} =mathbf {0}}$ que sucede si ${displaystyle \|mathbf {u} \|=0,}$ entonces ${displaystyle \|mathbf {u} \|\|mathbf {v} \|=0}$ y ${displaystyle \|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle \|=\|langle mathbf {0}mathbf {v} rangle \|=\|0\|=0}$ para que en particular, la desigualdad Cauchy-Schwarz sostiene porque ambos lados son ${displaystyle 0.}$ La prueba en el caso de ${displaystyle mathbf {v} =mathbf {0} }$ es idéntico.

Prueba de las partes triviales: Caso donde un vector es

mathbf {0}

y también una dirección de la caracterización de la igualdad

Por definición, $mathbf {u}$ y $mathbf {v}$ son linealmente dependientes si y sólo si uno es un escalar múltiple del otro. Si ${displaystyle mathbf {u} =cmathbf {v} }$ Donde $c$ es un poco de cuero cabelludo entonces

{displaystyle |langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |=|langle cmathbf {v}mathbf {v} rangle |=|clangle mathbf {v}mathbf {v} rangle |=|c||mathbf {v} ||mathbf {v} |=|cmathbf {v} ||mathbf {v} |=|mathbf {u} ||mathbf {v} |}

que muestra que la igualdad tiene Cauchy-Schwarz Calidad. El caso donde ${displaystyle mathbf {v} =cmathbf {u} }$ para algunos scalar $c$ es muy similar, con la diferencia principal entre la conjugación compleja de ${displaystyle c:}$

{displaystyle |langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |=|langle mathbf {u}cmathbf {u} rangle |=left|{overline {c}}langle mathbf {u}mathbf {u} rangle right|=left|{overline {c}}right||mathbf {u} ||mathbf {u} |=|c||mathbf {u} ||mathbf {u} |=|mathbf {u} ||cmathbf {u} |=|mathbf {u} ||mathbf {v} |.}

Si al menos uno de $mathbf {u}$ y $mathbf {v}$ es el vector cero entonces $mathbf {u}$ y $mathbf {v}$ son necesariamente dependientes linealmente (sólo escalar multiplica el vector no cero por el número ${displaystyle 0}$ para conseguir el vector cero; por ejemplo, si ${displaystyle mathbf {u} =mathbf {0} }$ Entonces déjalo $c=0$ así ${displaystyle mathbf {u} =cmathbf {v} }$ ), que demuestra el contrario de esta caracterización en este caso especial; es decir, esto muestra que si al menos uno de $mathbf {u}$ y $mathbf {v}$ es $mathbf {0}$ entonces la caracterización de la igualdad tiene.

Si ${displaystyle mathbf {u} =mathbf {0}}$ que sucede si ${displaystyle |mathbf {u} |=0,}$ entonces ${displaystyle |mathbf {u} ||mathbf {v} |=0}$ y ${displaystyle |langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |=|langle mathbf {0}mathbf {v} rangle |=|0|=0}$ para que en particular, la desigualdad Cauchy-Schwarz sostiene porque ambos lados son ${displaystyle 0.}$ La prueba en el caso de ${displaystyle mathbf {v} =mathbf {0} }$ es idéntico.

En consecuencia, la desigualdad de Cauchy-Schwarz solo necesita demostrarse solo para vectores distintos de cero y también solo debe mostrarse la dirección no trivial de la Caracterización de Igualdad.

Prueba 1

El caso especial ${displaystyle mathbf {v} =mathbf {0} }$ se comprobó anteriormente, por lo que se supone que ${displaystyle mathbf {v} neq mathbf {0}.}$ El Cauchy-Schwarz dentrola igualdad (y el resto del teorema) es un corolario casi inmediato de lo siguiente igualdad:

{displaystyle {frac {1}{|mathbf {v} |^{2}}}left||mathbf {v} |^{2}mathbf {u} -langle mathbf {u}mathbf {v} rangle mathbf {v} right|^{2}~=~|mathbf {u} |^{2}|mathbf {v} |^{2}-|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |^{2}}

()Eq. 1)

Deduciendo Cauchy-Schwarz desde Eq. 1

Porque el lado izquierdo Eq. 1 es no negativo, así es el lado derecho, lo que demuestra que ${displaystyle |langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |^{2}leq |mathbf {u} |^{2}|mathbf {v} |^{2},}$ de la cual Cauchy-Schwarz Calidad sigue (por tomar la raíz cuadrada de ambos lados).

Si ${displaystyle |langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |=|mathbf {u} ||mathbf {v} |}$ entonces el lado derecho (y así también el lado izquierdo) de Eq. 1 es ${displaystyle 0,}$ que sólo es posible si ${displaystyle |mathbf {v} |^{2}mathbf {u} -langle mathbf {u}mathbf {v} rangle mathbf {v} =mathbf {0}.}$ Así ${displaystyle mathbf {u} ={frac {langle mathbf {u}mathbf {v} rangle }{|mathbf {v} |^{2}}}mathbf {v}}$ que muestra $mathbf {u}$ y $mathbf {v}$ dependen linealmente. $blacksquare$

Igualdad Eq. 1 se verifica fácilmente mediante la expansión de elementos ${displaystyle left||mathbf {v} |^{2}mathbf {u} -langle mathbf {u}mathbf {v} rangle mathbf {v} right|^{2}}$ (a través de la definición de la norma) y luego simplificando:

Prueba Eq. 1

Vamos ${displaystyle V=|mathbf {v} |^{2}}$ y ${displaystyle c=langle mathbf {u}mathbf {v} rangle }$ así ${displaystyle {bar {c}}c=|c|^{2}=|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |^{2}}$ y ${displaystyle {bar {c}}={overline {langle mathbf {u}mathbf {v} rangle }}=langle mathbf {v}mathbf {u} rangle.}$ Entonces...

{displaystyle {begin{alignedat}{4}left||mathbf {v} |^{2}mathbf {u} -langle mathbf {u}mathbf {v} rangle mathbf {v} right|^{2}&=|Vmathbf {u} -cmathbf {v} |^{2}=langle Vmathbf {u} -cmathbf {v}Vmathbf {u} -cmathbf {v} rangle &&~quad {text{ By definition of the norm }}\[0.5ex]&=langle Vmathbf {u}Vmathbf {u} rangle -langle Vmathbf {u}cmathbf {v} rangle -langle cmathbf {v}Vmathbf {u} rangle +langle cmathbf {v}cmathbf {v} rangle &&~quad {text{ Expand }}\[0.5ex]&=V^{2}langle mathbf {u}mathbf {u} rangle -V{bar {c}}langle mathbf {u}mathbf {v} rangle -cVlangle mathbf {v}mathbf {u} rangle ,+c{bar {c}}langle mathbf {v}mathbf {v} rangle &&~quad {text{ Pull out scalars (note that }}V:=|mathbf {v} |^{2}{text{ is real) }}\[0.5ex]&=V^{2}|mathbf {u} |^{2}~~-V{bar {c}}c~~~~~~~~-cV{bar {c}}~~~~~~~~+c{bar {c}}V&&~quad {text{ Use definitions of }}c:=langle mathbf {u}mathbf {v} rangle {text{ and }}V\[0.5ex]&=V^{2}|mathbf {u} |^{2}~~-V{bar {c}}c~=~Vleft[V|mathbf {u} |^{2}-{bar {c}}cright]&&~quad {text{ Simplify }}\[0.5ex]&=|mathbf {v} |^{2}left[|mathbf {u} |^{2}|mathbf {v} |^{2}-|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |^{2}right]&&~quad {text{ Rewrite in terms of }}mathbf {u} {text{ and }}mathbf {v}.\end{alignedat}}}

Dividiendo por

{displaystyle |mathbf {v} |^{2}neq 0}

completa la prueba.

blacksquare

Esta expansión no requiere $mathbf {v}$ no cero; sin embargo, $mathbf {v}$ debe ser no cero para dividir ambos lados por ${displaystyle |mathbf {v} |^{2}}$ y deducir de ella la desigualdad Cauchy-Schwarz. Swapping $mathbf {u}$ y $mathbf {v}$ da lugar a:

{displaystyle left||mathbf {u} |^{2}mathbf {v} -{overline {langle mathbf {u}mathbf {v} rangle }}mathbf {u} right|^{2}~=~|mathbf {u} |^{2}left[|mathbf {u} |^{2}|mathbf {v} |^{2}-|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |^{2}right]}

{displaystyle {begin{alignedat}{4}|mathbf {u} |^{2}|mathbf {v} |^{2}left[|mathbf {u} |^{2}|mathbf {v} |^{2}-|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |^{2}right]~&=~|mathbf {u} |^{2}left||mathbf {v} |^{2}mathbf {u} -langle mathbf {u}mathbf {v} rangle mathbf {v} right|^{2}\~&=~|mathbf {v} |^{2}left||mathbf {u} |^{2}mathbf {v} -{overline {langle mathbf {u}mathbf {v} rangle }}mathbf {u} right|^{2}.\end{alignedat}}}

Prueba 2

El caso especial ${displaystyle mathbf {v} =mathbf {0} }$ se comprobó anteriormente, por lo que se supone que ${displaystyle mathbf {v} neq mathbf {0}.}$ Vamos

{displaystyle mathbf {z}:=mathbf {u} -{frac {langle mathbf {u}mathbf {v} rangle }{langle mathbf {v}mathbf {v} rangle }}mathbf {v}.}

De la linealidad del producto interno en su primer argumento se sigue que:

{displaystyle langle mathbf {z}mathbf {v} rangle =leftlangle mathbf {u} -{frac {langle mathbf {u}mathbf {v} rangle }{langle mathbf {v}mathbf {v} rangle }}mathbf {v}mathbf {v} rightrangle =langle mathbf {u}mathbf {v} rangle -{frac {langle mathbf {u}mathbf {v} rangle }{langle mathbf {v}mathbf {v} rangle }}langle mathbf {v}mathbf {v} rangle =0.}

Por lo tanto, $mathbf {z}$ es un vector ortogonal al vector $mathbf {v}$ (De hecho, $mathbf {z}$ es la proyección de $mathbf {u}$ en el avión ortogonal a $mathbf{v}.$ ) Así podemos aplicar el teorema pitagórico a

{displaystyle mathbf {u} ={frac {langle mathbf {u}mathbf {v} rangle }{langle mathbf {v}mathbf {v} rangle }}mathbf {v} +mathbf {z} }

{displaystyle |mathbf {u} |^{2}=left|{frac {langle mathbf {u}mathbf {v} rangle }{langle mathbf {v}mathbf {v} rangle }}right|^{2}|mathbf {v} |^{2}+|mathbf {z} |^{2}={frac {|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |^{2}}{(|mathbf {v} |^{2})^{2}}},|mathbf {v} |^{2}+|mathbf {z} |^{2}={frac {|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |^{2}}{|mathbf {v} |^{2}}}+|mathbf {z} |^{2}geq {frac {|langle mathbf {u}mathbf {v} rangle |^{2}}{|mathbf {v} |^{2}}}.}

La desigualdad Cauchy-Schwarz sigue multiplicando por ${displaystyle |mathbf {v} |^{2}}$ y luego tomar la raíz cuadrada. Además, si la relación $geq$ en la expresión anterior es en realidad una igualdad, entonces ${displaystyle |mathbf {z} |^{2}=0}$ y por consiguiente ${displaystyle mathbf {z} =mathbf {0};}$ la definición de $mathbf {z}$ entonces establece una relación de dependencia lineal entre $mathbf {u}$ y $mathbf{v}.$ El contrario fue probado al principio de esta sección, por lo que la prueba está completa. $blacksquare$

Prueba de productos internos reales

Vamos ${displaystyle (V,langle cdotcdot rangle)}$ ser un espacio interior de producto real. Considerar un par arbitrario ${displaystyle mathbf {u}mathbf {v} in V}$ y la función ${displaystyle p:mathbb {R} to mathbb {R} }$ definidas por ${displaystyle p(t)=langle tmathbf {u} +mathbf {v}tmathbf {u} +mathbf {v} rangle.}$ Puesto que el producto interno es positivo-definido, $p(t)$ sólo toma valores no negativos. Por otro lado, $p(t)$ se puede ampliar utilizando la bilinearidad del producto interno y utilizando el hecho de que ${displaystyle langle mathbf {u}mathbf {v} rangle =langle mathbf {v}mathbf {u} rangle }$ para productos interiores reales:

{displaystyle p(t)=Vert mathbf {u} Vert ^{2}t^{2}+tleft[langle mathbf {u}mathbf {v} rangle +langle mathbf {v}mathbf {u} rangle right]+Vert mathbf {v} Vert ^{2}=Vert mathbf {u} Vert ^{2}t^{2}+2tlangle mathbf {u}mathbf {v} rangle +Vert mathbf {v} Vert ^{2}.}

p

2

{displaystyle u=0,}

p

{displaystyle Delta =4left(langle mathbf {u}mathbf {v} rangle ^{2}-Vert mathbf {u} Vert ^{2}Vert mathbf {v} Vert ^{2}right)leqslant 0.}

Para el caso de igualdad, note que $Delta =0$ si ${displaystyle p(t)=(tVert mathbf {u} Vert +Vert mathbf {v} Vert)^{2}.}$ Si ${displaystyle t_{0}=-Vert mathbf {v} Vert /Vert mathbf {u} Vert}$ entonces ${displaystyle p(t_{0})=langle t_{0}mathbf {u} +mathbf {v}t_{0}mathbf {u} +mathbf {v} rangle =0,}$ y por consiguiente ${displaystyle mathbf {v} =-t_{0}mathbf {u}.}$

Prueba del producto escalar

La desigualdad Cauchy-Schwarz en el caso en que el producto interno es el producto punto en $mathbb {R} ^{n}$ ahora está probado. La desigualdad Cauchy-Schwarz puede ser reescrita como ${displaystyle left|mathbf {a} cdot mathbf {b} right|^{2}leq left|mathbf {a} right|^{2},left|mathbf {b} right|^{2}}$ o equivalentemente, ${displaystyle left(mathbf {a} cdot mathbf {b} right)^{2}leq left(mathbf {a} cdot mathbf {a} right),left(mathbf {b} cdot mathbf {b} right)}$ para ${displaystyle mathbf {a}:=left(a_{1},ldotsa_{n}right),mathbf {b}:=left(b_{1},ldotsb_{n}right)in mathbb {R} ^{n},}$ que se expande a:

{displaystyle left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+cdots +a_{n}^{2}right)left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+cdots +b_{n}^{2}right)geq left(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+cdots +a_{n}b_{n}right)^{2}.}

Para simplificar, sea

{displaystyle {begin{aligned}A&=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+cdots +a_{n}^{2},\B&=b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+cdots +b_{n}^{2}\D&=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+cdots +a_{n}b_{n}\end{aligned}}}

{displaystyle ABgeq D^{2},}

{displaystyle D^{2}-ABleq 0.}

{displaystyle Ax^{2}+2Dx+B}

{displaystyle 4D^{2}-4AB.}

Por lo tanto, para completar la prueba es suficiente probar que esta cuadrática o no tiene raíces reales o tiene exactamente una raíz real, porque esto implicará:

{displaystyle 4left(D^{2}-ABright)leq 0.}

Sustituyendo los valores ${displaystyle A,B,D}$ en ${displaystyle Ax^{2}+2Dx+B}$ da:

{displaystyle {begin{alignedat}{4}Ax^{2}+2Dx+B&=left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+cdots +a_{n}^{2}right)x^{2}+2left(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+cdots +a_{n}b_{n}right)x+left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+cdots +b_{n}^{2}right)\&=left(a_{1}^{2}x^{2}+2a_{1}b_{1}x+b_{1}^{2}right)+left(a_{2}^{2}x^{2}+2a_{2}b_{2}x+b_{2}^{2}right)+cdots +left(a_{n}^{2}x^{2}+2a_{n}b_{n}x+b_{n}^{2}right)\&=left(a_{1}x+b_{1}right)^{2}+left(a_{2}x+b_{2}right)^{2}+cdots +left(a_{n}x+b_{n}right)^{2}\&geq 0end{alignedat}}}

{displaystyle ,geq 0,}

{displaystyle r^{2}geq 0}

{displaystyle rin mathbb {R}.}

{displaystyle a_{i}x=-b_{i}}

{displaystyle left(a_{1}x+b_{1}right)^{2}+left(a_{2}x+b_{2}right)^{2}+cdots +left(a_{n}x+b_{n}right)^{2}geq 0,}

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Generalizaciones

Existen diversas generalizaciones de la desigualdad Cauchy-Schwarz. La desigualdad de Hölder lo generaliza $L^{p}$ normas. Más generalmente, se puede interpretar como un caso especial de la definición de la norma de un operador lineal en un espacio de Banach (Namely, cuando el espacio es un espacio de Hilbert). Otras generalizaciones están en el contexto de la teoría del operador, por ejemplo para las funciones del operador-convex y álgebras del operador, donde el dominio y/o rango son reemplazados por un álgebra C* o W*-álgebra.

Un producto interno se puede utilizar para definir un funcional lineal positivo. Por ejemplo, dado un espacio Hilbert ${displaystyle L^{2}(m),m}$ siendo una medida finita, el producto interior estándar da lugar a un funcional positivo $varphi$ por ${displaystyle varphi (g)=langle g,1rangle.}$ Por el contrario, cada funcional lineal positivo $varphi$ on ${displaystyle L^{2}(m)}$ se puede utilizar para definir un producto interno ${displaystyle langle f,grangle _{varphi }:=varphi left(g^{*}fright),}$ Donde $g^{*}$ es el complejo conjugado de punta $g.$ En este lenguaje, la desigualdad Cauchy-Schwarz se convierte en

{displaystyle left|varphi left(g^{*}fright)right|^{2}leq varphi left(f^{*}fright)varphi left(g^{*}gright),}

que se extiende textualmente a los funcionales positivos en C*-álgebras:

Cauchy–Schwarz desigualdad para funciones positivas en álgebras C*—Si $varphi$ es un funcional lineal positivo en un álgebra C* $A,$ entonces para todos ${displaystyle a,bin A,}$ ${displaystyle left|varphi left(b^{*}aright)right|^{2}leq varphi left(b^{*}bright)varphi left(a^{*}aright).}$

Los siguientes dos teoremas son ejemplos adicionales del álgebra de operadores.

Kadison-Schwarz inequality(Apodado después de Richard Kadison)—Si $varphi$ es un mapa positivo unitario, entonces para cada elemento normal $a$ en su dominio, tenemos ${displaystyle varphi (a^{*}a)geq varphi left(a^{*}right)varphi (a)}$ y ${displaystyle varphi left(a^{*}aright)geq varphi (a)varphi left(a^{*}right).}$

Esto extiende el hecho ${displaystyle varphi left(a^{*}aright)cdot 1geq varphi (a)^{*}varphi (a)=|varphi (a)|^{2},}$ cuando $varphi$ es un funcional lineal. El caso cuando $a$ es auto-adjunto, es decir, ${displaystyle a=a^{*},}$ a veces se conoce como La desigualdad de Kadison.

Inequidad Cauchy-Schwarz(Modified Schwarz inequality for 2-positive maps)—Para un mapa de 2 positivos $varphi$ entre C*-álgebras, para todos $a,b$ en su dominio,

{displaystyle varphi (a)^{*}varphi (a)leq Vert varphi (1)Vert varphi left(a^{*}aright),{text{ and }}}

{displaystyle Vert varphi left(a^{*}bright)Vert ^{2}leq Vert varphi left(a^{*}aright)Vert cdot Vert varphi left(b^{*}bright)Vert.}

Otra generalización es un refinamiento obtenido interpolando entre ambos lados de la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

La desigualdad de Callebaut—Para los reales ${displaystyle 0leqslant sleqslant tleqslant 1,}$

{displaystyle left(sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}right)^{2}~leqslant ~left(sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1+s}b_{i}^{1-s}right)left(sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1-s}b_{i}^{1+s}right)~leqslant ~left(sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1+t}b_{i}^{1-t}right)left(sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1-t}b_{i}^{1+t}right)~leqslant ~left(sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}right)left(sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}right).}

Este teorema se puede deducir de la desigualdad de Hölder. También hay versiones no conmutativas para operadores y productos tensoriales de matrices.

Está disponible un estudio de las versiones matriciales de las desigualdades de Cauchy-Schwarz y Kantorovich.

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