Desigualdad de Bernoulli

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Una ilustración de la desigualdad de Bernoulli, con los gráficos de

{displaystyle y=(1+x)}}

{displaystyle y=1+rx}

mostrado en rojo y azul respectivamente. Aquí,

{displaystyle r=3.}

En matemáticas, la desigualdad de Bernoulli (llamada así por Jacob Bernoulli) es una desigualdad que se aproxima a las exponenciaciones de 1 + x. A menudo se emplea en el análisis real. Tiene varias variantes útiles:

${displaystyle (1+x)}geq 1+rx}$ para cada entero r≥ 0 y número real x■ 1.- La desigualdad es estricta si xل 0 y r≥ 2.
${displaystyle (1+x)}geq 1+rx}$ por cada entero r≥ 0 y cada número real x.
${displaystyle (1+x)}geq 1+rx}$ para cada entero r≥ 0 y cada número real x≥ −2.
${displaystyle (1+x)}geq 1+rx}$ para cada número real r≥ 1 y x≥ −1. Las desigualdades son estrictas si xل 0 yrل 0, 1.
${displaystyle (1+x)}leq 1+rx}$ para cada número real 0 ≤r≤ 1 y x≥ −1.

Historia

Jacob Bernoulli publicó por primera vez la desigualdad en su tratado "Positiones Arithmeticae de Seriebus Infinitis" (Basilea, 1689), donde utilizó a menudo la desigualdad.

Según Joseph E. Hofmann, Über die Exercitatio Geometrica des M. A. Ricci (1963), p. 177, la desigualdad en realidad se debe a Sluse en su Mesolabum (edición de 1668), Capítulo IV "De maximis & mínimos".

Prueba para exponente entero

La desigualdad de Bernoulli se puede probar para el caso en que r es un número entero, usando inducción matemática de la siguiente forma:

demostramos la desigualdad por ${displaystyle rin {0,1}$ ,
de validez para algunos r deducimos la validez r+ 2.

Para r = 0,

{displaystyle (1+x)}geq 1+0x}

es equivalente a 1 ≥ 1, lo cual es cierto.

Del mismo modo, para r = 1 tenemos

{displaystyle (1+x)^{r}=1+xgeq 1+x=1+rx.}

Ahora suponga que la declaración es verdadera para r = k:

{displaystyle (1+x)}geq 1+kx.}

Entonces se sigue que

{displaystyle {begin{aligned}(1+x)^{k+2} {=(1+x)^{k}(1+x)^{2}\\\\cx)left(1+2x+x^{2}right)qquad qquad {text{ by hipothesis and } {2}(1}c] 0\=1+2x+x^{2}+kx+2kx^{2}+kx^{3}\\=1+(k+2)x+kx^{2}(x+2)+x^{2}\\\\gq 1+(k+2)xend{aligned}}}}}}}}}

desde entonces ${displaystyle x^{2}geq 0}$ así como ${displaystyle x+2geq 0}$ . Por la inducción modificada concluimos que la declaración es verdadera para cada entero no negativo r.

Generalizaciones

Generalización del exponente

El exponente r se puede generalizar a un número real arbitrario de la siguiente manera: si x > −1, entonces

{displaystyle (1+x)}geq 1+rx}

para r ≤ 0 o r ≥ 1, y

{displaystyle (1+x)}leq 1+rx}

para 0 ≤ r ≤ 1.

Esta generalización se puede probar comparando derivadas. Las versiones estrictas de estas desigualdades requieren x ≠ 0 y r ≠ 0, 1.

Generalización de base

En lugar de ${displaystyle (1+x)}$ la desigualdad sostiene también en la forma ${displaystyle (1+x_{1})(1+x_{2})dots (1+x_{r})geq 1+x_{1}+x_{2}+dots #$ Donde ${displaystyle x_{1},x_{2},dotsx_{r}$ son números reales, todos mayores que -1, todos con el mismo signo. La desigualdad de Bernoulli es un caso especial cuando ${displaystyle x_{1}=x_{2}=dots =x_{r}=x}$ . Esta desigualdad generalizada puede ser probada por la inducción matemática.

Prueba
En el primer paso tomamos ${displaystyle n=1}$ . En este caso la desigualdad ${displaystyle 1+x_{1}gq 1+x_{1}}$ obviamente es verdad. En el segundo paso asumimos la validez de la desigualdad ${displaystyle r}$ números y deducir la validez ${displaystyle r+1}$ números. Asumimos que ${displaystyle (1+x_{1})(1+x_{2})dots (1+x_{r})geq 1+x_{1}+x_{2}+dots #$ es válido. Después de multiplicar ambos lados con un número positivo ${displaystyle (x_{r+1}+1)}$ Tenemos: ${1cnMicrosoft Sans Serif}(1+x_{1})(1+x_{2})dots (1+x_{r})(1+x_{r+1})geq >(1+x_{1}+x_{2} +x_{r})cdot 1+(1+x_{1}+x_{2}+dots +x_{r})cdot x_{r+1}\\geq >(1+x_{1}+x_{2}+dots +x_{r})+x_{r+1}+x_{1}x_{r+1}+x_{2}x_{r+1}+dots ¿Qué?$ As ${displaystyle x_{1},x_{2},dots x_{r},x_{r+1}$ todos tienen el mismo signo, los productos ${displaystyle x_{1}x_{r+1},x_{2}x_{r+1},dots x_{r}x_{r+1}}$ todos son números positivos. De modo que la cantidad de la mano derecha se puede atar de la siguiente manera: ${displaystyle (1+x_{1}+x_{2}+dots +x_{r})+x_{r+1}+x_{1}x_{r+1}+x_{2}x_{r+1}+dots +x_{r}x_{r+1}geq 1+x_{1}+x_{2}+dots +x_{r}+x_{r+1},}$ lo que debía demostrarse.

Prueba

En el primer paso tomamos ${displaystyle n=1}$ . En este caso la desigualdad ${displaystyle 1+x_{1}gq 1+x_{1}}$ obviamente es verdad.

En el segundo paso asumimos la validez de la desigualdad ${displaystyle r}$ números y deducir la validez ${displaystyle r+1}$ números.

Asumimos que

{displaystyle (1+x_{1})(1+x_{2})dots (1+x_{r})geq 1+x_{1}+x_{2}+dots #

es válido. Después de multiplicar ambos lados con un número positivo

{displaystyle (x_{r+1}+1)}

Tenemos:

${1cnMicrosoft Sans Serif}(1+x_{1})(1+x_{2})dots (1+x_{r})(1+x_{r+1})geq >(1+x_{1}+x_{2} +x_{r})cdot 1+(1+x_{1}+x_{2}+dots +x_{r})cdot x_{r+1}\\geq >(1+x_{1}+x_{2}+dots +x_{r})+x_{r+1}+x_{1}x_{r+1}+x_{2}x_{r+1}+dots ¿Qué?$

As ${displaystyle x_{1},x_{2},dots x_{r},x_{r+1}$ todos tienen el mismo signo, los productos ${displaystyle x_{1}x_{r+1},x_{2}x_{r+1},dots x_{r}x_{r+1}}$ todos son números positivos. De modo que la cantidad de la mano derecha se puede atar de la siguiente manera:

{displaystyle (1+x_{1}+x_{2}+dots +x_{r})+x_{r+1}+x_{1}x_{r+1}+x_{2}x_{r+1}+dots +x_{r}x_{r+1}geq 1+x_{1}+x_{2}+dots +x_{r}+x_{r+1},}

lo que debía demostrarse.

Desigualdades relacionadas

La siguiente desigualdad estima la r-ésima potencia de 1 + x del otro lado. Para cualquier número real x, r con r > 0, uno tiene

{displaystyle (1+x)}leq e^{rx}

donde e = 2.718.... Esto se puede probar usando la desigualdad (1 + 1/k)^k < e.

Forma alternativa

Una forma alternativa de la desigualdad de Bernoulli ${displaystyle tgeq 1}$ y ${displaystyle 0leq xleq 1}$ es:

{displaystyle (1-x)}geq 1-xt.}

Esto se puede probar (para cualquier número entero t) usando la fórmula para series geométricas: (usando y = 1 − x)

{displaystyle t=1+1+dots +1geq 1+y+y^{2}+ldots ###y^{t-1}={frac - Sí.

o equivalente ${displaystyle xtgeq 1-(1-x)}$

Pruebas alternativas

Utilizando AM-GM
Una prueba elemental para ${displaystyle 0leq rleq 1}$ y x ≥ -1 se puede administrar con peso AM-GM. Vamos ${displaystyle lambda _{1},lambda ¿Qué?$ ser dos constantes reales no negativas. Con peso AM-GM en ${displaystyle 1,1+x}$ con pesos ${displaystyle lambda _{1},lambda ¿Qué?$ respectivamente, tenemos ${displaystyle {dfrac {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ¿Qué? ¿Qué? _{1}+lambda ¿Qué? _{1}+lambda ##{2}}{(1+x)}{lambda - Sí.$ Note que ${displaystyle {dfrac {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ¿Qué? ¿Qué? _{1}+lambda ¿Qué? {fnMicrode _{1}+lambda _{2}+lambda # {2}x}{lambda _{1}+lambda ♪♪=1+{dfrac {fnMicrode ¿Qué? _{1}+lambda ¿Qué?$ y ${displaystyle {sqrt[{lambda _{1}+lambda ##{2}}{(1+x)}{lambda ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ¿Qué?$ así que nuestra desigualdad equivale a ${displaystyle 1+{dfrac {lambda ¿Qué? _{1}+lambda #xgeq (1+x)# {fnMicroc {lambda ¿Qué? _{1}+lambda - Sí.$ After substituting ${displaystyle r={dfrac {fnMicrode ¿Qué? _{1}+lambda ¿Qué?$ (Teniendo en cuenta que esto implica ${displaystyle 0leq rleq 1}$ nuestra desigualdad se convierte en ${displaystyle 1+rxgeq (1+x)}{r}$ que es la desigualdad de Bernoulli.

Utilizando AM-GM

Una prueba elemental para ${displaystyle 0leq rleq 1}$ y x ≥ -1 se puede administrar con peso AM-GM.

Vamos ${displaystyle lambda _{1},lambda ¿Qué?$ ser dos constantes reales no negativas. Con peso AM-GM en ${displaystyle 1,1+x}$ con pesos ${displaystyle lambda _{1},lambda ¿Qué?$ respectivamente, tenemos

{displaystyle {dfrac {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ¿Qué? ¿Qué? _{1}+lambda ¿Qué? _{1}+lambda ##{2}}{(1+x)}{lambda - Sí.

Note que

{displaystyle {dfrac {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ¿Qué? ¿Qué? _{1}+lambda ¿Qué? {fnMicrode _{1}+lambda _{2}+lambda # {2}x}{lambda _{1}+lambda ♪♪=1+{dfrac {fnMicrode ¿Qué? _{1}+lambda ¿Qué?

{displaystyle {sqrt[{lambda _{1}+lambda ##{2}}{(1+x)}{lambda ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ¿Qué?

así que nuestra desigualdad equivale a

{displaystyle 1+{dfrac {lambda ¿Qué? _{1}+lambda #xgeq (1+x)# {fnMicroc {lambda ¿Qué? _{1}+lambda - Sí.

After substituting ${displaystyle r={dfrac {fnMicrode ¿Qué? _{1}+lambda ¿Qué?$ (Teniendo en cuenta que esto implica ${displaystyle 0leq rleq 1}$ nuestra desigualdad se convierte en

{displaystyle 1+rxgeq (1+x)}{r}

que es la desigualdad de Bernoulli.

Usando la fórmula para la serie geométrica

La desigualdad de Bernoulli

{displaystyle (1+x)}geq 1+rx}

equivale a

{displaystyle (1+x)^{r}-1-rxgeq 0,}

y por la fórmula de la serie geométrica (utilización Sí. = 1 +x)

{displaystyle (1+x)^{r}-1=y^{r}-1=left(sum) ¿Por qué?

que conduce a

{fnMicrosoft Sans Serif}(1+x)}cdot x=left(sum _{k=0}^{r-1}(1+x)^{k}right)cdot x=left(sum _{k=0}q=0}left(1+x)^{k}-1cright)tright 0.}

()4)

Ahora si ${displaystyle xgeq 0}$ entonces por monotonía de los poderes cada summand ${displaystyle (1+x)}{k}-1=(1+x)^{k}gq 0}$ , y por lo tanto su suma es mayor ${displaystyle 0}$ y por lo tanto el producto en el LHS de (4).

Si ${displaystyle 0geq xgeq -2}$ entonces por los mismos argumentos ${displaystyle 1geq (1+x)}}$ y así todas las adiciones ${displaystyle (1+x)}{k}-1}$ son no positivos y por lo tanto su suma. Puesto que el producto de dos números no positivos es no negativo, nos vuelve a dar ()4).

Usando el teorema binomio
Uno puede probar la desigualdad de Bernoulli x ≥ 0 usando el teorema binomial. Es verdad trivialmente para r = 0, supongo r es un entero positivo. Entonces... ${displaystyle (1+x)}=1+rx+{tbinom ¿Qué?$ Claramente ${fnMicrosoft {fnh}x}{2}+{tbinom {r} {r}x^{r}g}g} 0,}$ y por consiguiente ${displaystyle (1+x)}geq 1+rx}$ según sea necesario.

Usando convexidad
Para ${displaystyle 0neq xgeq -1}$ la función ${displaystyle h(alpha)=(1+x)^{alpha }$ Es estrictamente convexo. Por lo tanto, ${displaystyle 0 realizadasalpha.$ ostenciones ${displaystyle (1+x)^{alpha }=h(alpha)=h(1-alpha)cdot 0+alpha cdot 1) made(1-alpha)h(0)+alpha h(1)=1+alpha x}$ y la desigualdad inversa es válida ${displaystyle alpha #$ y ${displaystyle alpha }$ .

Usando convexidad

Para ${displaystyle 0neq xgeq -1}$ la función ${displaystyle h(alpha)=(1+x)^{alpha }$ Es estrictamente convexo. Por lo tanto, ${displaystyle 0 realizadasalpha.$ ostenciones

 ${displaystyle (1+x)^{alpha }=h(alpha)=h(1-alpha)cdot 0+alpha cdot 1) made(1-alpha)h(0)+alpha h(1)=1+alpha x}$

y la desigualdad inversa es válida ${displaystyle alpha #$ y ${displaystyle alpha }$ .

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