Desigualdad AM-GM

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En matemáticas, la desigualdad de las medias aritméticas y geométricas, o más brevemente la desigualdad AM-GM, establece que la media aritmética de una lista de valores reales no negativos números es mayor o igual a la media geométrica de la misma lista; y además, que las dos medias son iguales si y sólo si todos los números de la lista son iguales (en cuyo caso ambos son ese número).

El caso no trivial más simple (es decir, con más de una variable) para dos números no negativos $x$ y y, es la declaración que

{displaystyle {frac {x+y}{2}gq {sqrt {xy}}

con igualdad si y sólo si $x = y$ . Este caso se puede ver en el hecho de que el cuadrado de un número real siempre es no negativo (mayor o igual a cero) y en el caso elemental $(a \pm b) 2 = a 2 \pm 2 ab + b 2$ de la fórmula binomial:

{displaystyle {begin{aligned}0 limitleq (x-y)^{2}\=x^{2}-2xy+y^{2}\\=x^{2}+2xy+y^{2}-4xy\\\\\\\\cH00}4x}end{aligned}}}}}}}

Por lo tanto, $(x + y) 2 \geq 4 xy$ , con igualdad precisamente cuando $(x - y) 2 = 0$ , es decir, $x = y$ . La desigualdad AM-GM se obtiene al tomar la raíz cuadrada positiva de ambos lados y luego dividir ambos lados por 2.

Para una interpretación geométrica, considere un rectángulo con lados de longitud $x$ y $y$ , por lo tanto tiene perímetro $2 x + 2 y$ y área $xy$ . De manera similar, un cuadrado con todos los lados de longitud $\sqrt xy$ tiene el perímetro $4 \sqrt xy$ y la misma área que el rectángulo. El caso no trivial más simple de la desigualdad AM-GM implica para los perímetros que $2 x + 2 y \geq 4 \sqrt xy$ y que solo el cuadrado tiene el perímetro más pequeño entre todos los rectángulos de igual área.

El caso más simple está implícito en los Elementos de Euclides, Libro 5, Proposición 25.

Hay extensiones de la desigualdad AM-GM disponibles para incluir ponderaciones o medias generalizadas.

Fondo

La media aritmética, o menos precisamente el promedio, de una lista de $n$ números $x 1, x 2,... x n$ es la suma de los números dividida por $n< /lapso>:$

{fnMicroc} {x_{1}+x_{2}+cdots - Sí.

La media geométrica es similar, excepto que solo se define para una lista de números reales no negativos y utiliza la multiplicación y una raíz en lugar de la suma y la división:

{displaystyle {sqrt[{n}{x_{1}cdot x_{2}cdots.

Si $x 1, x 2,... x n > 0$ , esto es igual al exponencial de la media aritmética de los logaritmos naturales de los números:

{displaystyle exp left({frac {ln {x_{1}+ln} {x_{2}+cdots +ln {x_{n}} {}} {}}}} {n}}} {n}}}} {n}}}} {n}}}}}}}}} {n}}}}} {n}}}}}}} {n}}}}}}}}}}}}}}} {n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {n}}} {n}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

La desigualdad

Reformulando la desigualdad usando notación matemática, tenemos que para cualquier lista de $n$ números reales no negativos $x 1, x 2,... x n$ ,

${fnMicroc} {x_{1}+x_{2}+cdots {fn}cdot x_{2}cdots.$

y esa igualdad se cumple si y sólo si $x 1 = x 2 = \cdot \cdot \cdot = x n$ .

Interpretación geométrica

En dos dimensiones, $2 x 1 + 2 x 2$ es el perímetro de un rectángulo con lados de longitud $x 1$ y $x 2$ . De manera similar, $4 \sqrt x 1 x 2$ es el perímetro de un cuadrado con la misma área, $x 1 x 2$ , como ese rectángulo. Así, para $n = 2$ la desigualdad AM-GM establece que un rectángulo de un área determinada tiene el perímetro más pequeño si ese rectángulo también es un cuadrado.

La desigualdad total es una extensión de esta idea a $n$ dimensiones. Cada vértice de un cuadro $n$ -dimensional está conectado a $n$ bordes. Si estos bordes' las longitudes son $x 1, x 2,... x n$ , luego $x 1 + x 2 + \cdot \cdot \cdot + x n$ es la longitud total de las aristas incidentes al vértice. Hay $2 n$ vértices, así que multiplicamos esto por $2 n$ ; Sin embargo, dado que cada arista se encuentra con dos vértices, cada arista se cuenta dos veces. Por lo tanto, dividimos por $2$ y concluimos que hay $2 n -1 < en los bordes. Hay igualmente muchos bordes de cada longitud y n longitudes; por lo tanto, hay 2 n -1 aristas de cada longitud y el total de todas las longitudes de aristas es 2 n -1 (x 1 + x 2 + \cdot \cdot \cdot + x n) . Por otro lado,$

{displaystyle 2^{n-1}(x_{1}+ldots #2^{n-1}n{n}{x_{1}x_{2}cdots #

es la longitud total de las aristas conectadas a un vértice en un cubo $n$ -dimensional de igual volumen, ya que en este caso $x 1 =...= x n$ . Dado que la desigualdad dice

{displaystyle {x_{1}+x_{2}+cdots ################################################################################################################################################################################################################################################################.

se puede reformular multiplicando por $n 2 n -1$ para obtener

{displaystyle 2^{n-1}(x_{1}+x_{2}+cdots ###x_{n}gq 2^{n-1}n{n}{x_{1}x_{2}cdots #

con igualdad si y sólo si $x 1 = x 2 = \cdot \cdot \cdot = x n$ .

Así, la desigualdad AM-GM establece que sólo el n-cubo tiene la suma más pequeña de longitudes de aristas conectadas a cada vértice entre todos los $n$ -cajas dimensionales con el mismo volumen.

Ejemplos

Ejemplo 1

Si ${displaystyle a,b,c confianza0}$ , entonces el A.M.-G.M. nos dice que

{displaystyle (1+a)(1+b)(1+c)geq 2{sqrt {a}cdot 2{sqrt {b}cdot 2{sqrt {c}=8{sqrt {abc}

Ejemplo 2

Un límite superior simple para ${displaystyle n!}$ se puede encontrar. AM-GM nos dice

{displaystyle 1+2+dots +ngeq n{sqrt[{n}}}}}

{displaystyle {frac {n+1)}{2}gq ¡No!

y así

{displaystyle left({frac {n+1}{2}right)} {n}geq ¡No!

con igualdad ${displaystyle n=1}$ .

Equivalentemente,

{displaystyle (n+1)}gq 2^ {n}n}

Ejemplo 3

Considere la función

{displaystyle f(x,y,z)={frac {x}{y}+{sqrt {fnMicroc {} {fnK}} {fnK}} {fnK}} {fnK}}} {fnfn}}}}\fnfnK}}}}} [{3} {frac {z} {x}}} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn}}}}} {fn}}}}} {fn}}}}} {fn}}}} {fn}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

para todos los números reales positivos $x$ , $y$ y $z$ . Supongamos que deseamos encontrar el valor mínimo de esta función. Se puede reescribir como:

{displaystyle {begin{aligned}f(x,y,z) {x}{y}+{frac} {1}{2}{sqrt {frac} {y} {y}} {fnMicroc} {1}{2}{sqrt {frac} {y} {y}} {fnMicroc} {1}{3}{sqrt[{3}{}{frac} {f} {f} {f}} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}} {fn}} {f}}} {f}} {f}}}}} {f}}} {f}} {f} {f} {f}}}}}}} {f} {f} {f}f}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f}f}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}f} {f}f}f}f} {f} {f}fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}f}f}}}}}} {Z}{x}}+{frac} {1}{3}{sqrt[{3}{}{frac} {f} {f} {f}} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}} {fn}} {f}}} {f}} {f}}}}} {f}}} {f}} {f} {f} {f}}}}}}} {f} {f} {f}f}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f}f}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}f} {f}f}f}f} {f} {f}fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}f}f}}}}}} {Z}{x}}+{frac} {3}{6}}\fn}\fn}}\\\\fn}\\\cdot=6cdot {fnMicroc {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}{6}}}end{aligned}}}}}

con

{displaystyle x_{1}={frac {x} {y}},qquad x_{2}=x_{3}={frac {1}{2}{sqrt {frac} {y}{z}}qquad x_{4}=x_{5}=x_{6}={frac {1} {3} {sqrt[{3}}} {fnMicroc}}} {fnMicrosoft Sans Serif}

Aplicando la desigualdad AM-GM para $n = 6$ , obtenemos

{displaystyle {begin{aligned}f(x,y,z) Condenadogeq 6cdot {sqrt[{6}{frac {x}{y} {cdot} {fnK} {fnMicroc} {fnMicroc} {fnK}} {fn} {fn}} {fn}} {fnfn}}} {fnfnMicroc {fn}} {fnf}}} {fnfnf}}}} {fnfnfnfnfnfnfn\fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn}}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn}}}}}fn {} {fn}cdot {fn} {fn} {fn} {fn}}cdot {fn} {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}}}}cdot {cdot {f}cdot} {cdot} {f} {cdot} {cdot} {f} {cdot {cdot {f} {f} {f} {cdot} {cdot} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}f} {f} {f}f} {cdot} {f}cdot {cdotcdot {f} {cdot} {f} {f}f} {cdotf}f}cdot} {cdot} {} {fn} {fnMicroc {} {} {}} {fn} {fn} {f}}cdot {} {fn} {} {fn} {fn} {fn} {fn} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c}} {c}}} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c}} {c}}}}}} {c} {c}}}}} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c} {c}c} {c} {c}}} {c} {c} {c} {c}}}}}} {c} {c}}}}} {Z}{x}}}}\\cdot {sqrt[{6}{frac {1}{2cdot 2cdot 3cdot 3cdot 3}{cdot {x}{y}{} {frac {f} {f}}{z}}{f}} {f}}}}} {f} {f}}} {f}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}} {f}} {f}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}} {f} {f}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}} {Z}{x}}\\\2}cdot 3^{1/2}.

Además, sabemos que los dos lados son iguales exactamente cuando todos los términos de la media son iguales:

{displaystyle f(x,y,z)=2^{2/3}cdot 3^{1/2}quad {mbox{ when}quad {frac {x}{y}={frac}={frac}f} {1}{2}{sqrt {frac} {y} {y}}={frac} {1} {3} {sqrt[{3}}} {fnMicroc}}} {fnMicrosoft Sans Serif}

Todos los puntos $(x, y, z)$ que satisfacen estas condiciones se encuentran en una media línea que comienza en el origen y están dados por

{displaystyle (x,y,z)={biggr (}t,{sqrt[{3}{2}{sqrt {3}},t,{frac {3{sqrt {3}} {2},t{biggr)}quad {mbox{with}quad t título0.}

Aplicaciones

Una aplicación práctica importante en matemáticas financieras es calcular la tasa de rendimiento: el rendimiento anualizado, calculado mediante la media geométrica, es menor que el rendimiento anual promedio, calculado mediante la media aritmética (o igual si todos los rendimientos son iguales).. Esto es importante al analizar las inversiones, ya que el rendimiento promedio exagera el efecto acumulativo.

Pruebas de la desigualdad AM-GM

Prueba utilizando la desigualdad de Jensen

La desigualdad de Jensen establece que el valor de una función cóncava de una media aritmética es mayor o igual a la media aritmética de los valores de la función. Como la función logaritmo es cóncava, tenemos

{displaystyle log left({frac {sum {fn}log x_{i}=sum left(log) x_{i}{1/n}right)=log left(prod x_{i}^{1/n}right).}

Tomando los antílogos de los extremos izquierdo y derecho, tenemos la desigualdad AM-GM.

Prueba por sustitución sucesiva de elementos

Tenemos que demostrarlo

{displaystyle alpha ={frac {x_{1}+x_{2}+cdots {fn} {fn}cdots}cdots.

con igualdad sólo cuando todos los números son iguales.

Si no todos los números son iguales, entonces existen ${displaystyle x_{i},x_{j}$ tales que ${displaystyle x_{i}traducidoalpha$ . Replacing $x i$ por ${displaystyle alpha }$ y $x j$ por ${displaystyle (x_{i}+x_{j}-alpha)}$ dejará sin cambios la media aritmética de los números, pero aumentará la media geométrica porque

{displaystyle alpha (x_{j}+x_{i}-alpha)-x_{i}x_{j}=(alpha -x_{i})(x_{j}-alpha)}0}

Si los números todavía no son iguales, continuamos reemplazando los números como arriba. Después de todo ${displaystyle (n-1)}$ tales medidas de sustitución todos los números habrán sido reemplazados por ${displaystyle alpha }$ mientras que la media geométrica aumenta estrictamente a cada paso. Después del último paso, la media geométrica será ${displaystyle {sqrt[{n}]{alpha alpha cdots alpha }=alpha }$ , demostrando la desigualdad.

Cabe señalar que la estrategia de sustitución funciona también desde el lado derecho. Si alguno de los números es 0 entonces el medio geométrico probar así la desigualdad trivialmente. Por lo tanto, podemos suponer que todos los números son positivos. Si no son todos iguales, entonces existen ${displaystyle x_{i},x_{j}$ tales que ${displaystyle 0 madex_{i}traducidobeta$ . Replacing ${displaystyle x_{i}}$ por ${displaystyle beta }$ y ${displaystyle x_{j}$ por ${fnMicroc} {x_{i}x_{j}{beta }$ deja la media geométrica sin cambios pero disminuye estrictamente la media aritmética desde

{displaystyle x_{i}+x_{j}-beta - {frac {x_{i}x_{j}{beta ¿Qué? ♪ ♪ ♪ ♪ ♪

. La prueba sigue entonces líneas similares como en el reemplazo anterior.

Pruebas de inducción

Prueba por inducción n.° 1

De los números reales no negativos $x 1,... x n$ , la declaración AM-GM es equivalente a

{displaystyle alpha ^{n}geq x_{1}x_{2}cdots x_{n}

con igualdad si y sólo si $α = x i$ para todos los $i \in {1,... n}$ .

Para la siguiente prueba aplicamos la inducción matemática y sólo reglas de aritmética bien conocidas.

Base de inducción: Para $n = 1$ la afirmación es verdadera con igualdad.

Hipótesis de inducción: Supongamos que la afirmación AM-GM es válida para todas las opciones de $n$ non -números reales negativos.

Paso de inducción: Considere $n + 1$ números reales no negativos $x 1,... x n +1$ ,. Su media aritmética $α$ satisface

{displaystyle (n+1)alpha = x_{1}+cdots +x_{n}+x_{n+1}

Si todos los $x i$ son iguales al estilo $α$ , entonces tenemos igualdad en la declaración AM-GM y listo. En el caso de que algunos no sean iguales a $α$ , debe existir un número que sea mayor que la media aritmética $α$ , y uno que sea más pequeño que $α$ . Sin pérdida de generalidad, podemos reordenar nuestro $x i$ para colocar estos dos elementos particulares en el final: $x n > α$ y $x n +1 < α$ . Entonces

{displaystyle x_{n}-alpha -x.

{displaystyle implies (x_{n}-alpha)(alpha -x_{n+1}) Confía0,qquad (*)}

Ahora define $Sí.$ con

{displaystyle y:=x_{n}+x_{n+1}-alpha ¿Qué?

y considere los $n$ números $x 1,... x n -1, y$ que son todos no negativo. Desde

{displaystyle (n+1)alpha =x_{1}+cdots +x_{n-1}+x_{n}+x_{n+1}

{displaystyle nalpha =x_{1}+cdots +x_{n-1}+underbrace {x_{n}+x_{n+1}-alpha

Por lo tanto, $α$ es también la media aritmética de $n$ números $x 1,... x n-1, y$ y la hipótesis de inducción implica

{displaystyle alpha ^{n+1}=alpha ^{n}cdot alpha geq x_{1}x_{2}cdots x_{n-1}ycdot alpha.qquad (**)}

Debido a (*) sabemos que

{displaystyle (underbrace {x_{n}+x_{n+1}-alpha Alfa -x.

por lo tanto

{displaystyle yalpha #################,qquad ({*}{*}{*}}}

en particular $α > 0$ . Por lo tanto, si al menos uno de los números $x 1,... x n -1$ es cero, entonces ya tenemos desigualdad estricta en (**). De lo contrario, el lado derecho de (**) es positivo y se obtiene una desigualdad estricta utilizando la estimación (***) para obtener un límite inferior del lado derecho de (**). Por lo tanto, en ambos casos podemos sustituir (***) en (**) para obtener

{displaystyle alpha ^{n+1} títulox_{1}x_{2}cdots x_{n-1}x_{n+1},}

lo que completa la prueba.

Prueba por inducción n.º 2

Primero probaremos que para números reales $x 11$ y $x 2 ■ 1$ a continuación

{displaystyle x_{1}+x_{2}

De hecho, multiplicar ambos lados de la desigualdad $x 2 > 1$ por $1 - x 1$ , da

{displaystyle x_{2}-x_{1}x_{2}

de donde se obtiene inmediatamente la desigualdad requerida.

Ahora vamos a demostrar que para números reales positivos $x 1,... x n$ satisfactorio $x 1 ... x n = 1$ , se cumple

{displaystyle x_{1}+cdots +x.

La igualdad se cumple sólo si $x 1 =... = x n = 1$ .

Base de inducción: Para $n = 2$ la afirmación es verdadera debido a la propiedad anterior.

Hipótesis de inducción: Supongamos que la afirmación es verdadera para todos los números naturales hasta $n - 1$ .

Paso de inducción: Considere el número natural $n$ , es decir, para números reales positivos $x 1,... x n$ , se mantiene $x 1 ... x n = 1$ . Existe al menos un $x k < 1$ , por lo que debe haber al menos un $x j > 1$ . Sin pérdida de generalidad, dejamos $k = n - 1$ y $j = n$ .

Además, la igualdad $x 1 ... x n = 1$ lo escribiremos en forma de $(x 1 ... x n -2) (x n -1 x n) = 1$ . Entonces, la hipótesis de inducción implica

{displaystyle (x_{1}+cdots +x_{n-2})+(x_{n-1}x_{n})]

Sin embargo, teniendo en cuenta la base de inducción, tenemos

{displaystyle {begin{aligned}x_{1}+cdots +x_{n-2}+x_{n-1}+x_{n} limit=(x_{1}+cdots +x_{n-2})+(x_{n-1}+x_{n})\\ +x_{n-2})+x_{n-1}x_{n}+1\\cH00}}

lo que completa la prueba.

Para números reales positivos $a 1,... a n$ , denotemos

{displaystyle x_{1}={frac {a_{1}{n}{a_{1}cdots A_{n}}}}},x_{n}={frac {a_{n}{sqrt[{n}{a_{1}cdots A_{n}}}}

Los números $x 1,... x n$ satisface la condición $x 1 ... x n = 1$ . Entonces tenemos

{displaystyle {frac {a_{1}{sqrt[{n}{a_{1}cdots A_{n}}}+cdots {fn}cdotas A_{n}}geq No.

de donde obtenemos

{displaystyle {frac {a_{1}+cdots {fn} {fn}gn}gn}cdots A_{n}}}

con la igualdad válida solo para $a 1 =... = a < en$ .

Demostración de Cauchy mediante inducción hacia adelante y hacia atrás

La siguiente prueba por casos se basa directamente en reglas aritméticas bien conocidas, pero emplea la técnica raramente utilizada de inducción hacia adelante y hacia atrás. Es esencialmente de Augustin Louis Cauchy y se puede encontrar en su Cours d'analyse.

El caso donde todos los términos son iguales

Si todos los términos son iguales:

{displaystyle x_{1}=x_{2}=cdots =x_{n},}

entonces su suma es $nx 1$ , por lo que su media aritmética es $x 1$ ; y su producto es $x 1 n$ , por lo que su la media geométrica es $x 1$ ; por lo tanto, la media aritmética y la media geométrica son iguales, según se desee.

El caso donde no todos los términos son iguales

Queda por demostrar que si no todos los términos son iguales, entonces la media aritmética es mayor que la media geométrica. Claramente, esto sólo es posible cuando $n > 1$ .

Este caso es significativamente más complejo y lo dividimos en subcasos.

El subcaso donde n = 2

Si $n = 2$ , entonces tenemos dos términos, $x 1$ y $x 2$ , y dado que (según nuestra suposición) no todos los términos son iguales, tenemos:

{displaystyle {begin{aligned}{ Bigl (}{frac {x_{1}+x_{2} {2}{2} {f} {f}} {f}}} {f}}} {f}}}} {f}}}} {f}} {f}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} Más grande. {1}{2}x_{2})-x_{1}x_{1}x_{2}+x_{2})-x_{1}x_{2}\\\\\c\\c\\c\\cH0} {1}{2}x_{2} {2}x_{1}x_{2}+x_{2}}\c}\c})\\={Bigl {x_{1}-x_{2} {2}{2} {f} {f} {f} {f}}}} {f}}} {f}} {f}}}} {f}} {f}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}}} {\f}}}}}}}}} {\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { Más grande.

por lo tanto

{fnMicroc} {x_{1}+x_{2} {2}geq {cHFF} {x_{1}x_{2}}}

como desee.

El subcaso donde n = 2k

Considere el caso donde $n = 2 k$ , donde $k$ es un número entero positivo. Procedemos por inducción matemática.

En el caso base, $k = 1$ , entonces $n = 2$ . Ya hemos demostrado que la desigualdad se cumple cuando $n = 2$ , así que hemos terminado.

Ahora, supongamos que para un determinado $k > 1$ , ya hemos demostrado que la desigualdad se cumple para $n = 2 k -1$ , y deseamos demostrar que se cumple para $n = 2 k$ . Para hacerlo, aplicamos la desigualdad dos veces para $2 k -1$ números y una vez para $2$ números para obtener:

{displaystyle {begin{aligned}{frac} {x_{1}+x_{2}+cdots {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc} {x_{1}+x_{2}+cdots - ¿Qué? {x_{2^{k-1}+1}+x_{2^{k-1}+2}+cdots {2}}[7pt] {fnMicroc {fnMicrosoft} [{2^{k-1}]{x_{1}x_{2}cdots x_{2^{k-1}}}}+{2^{2^{k-1}}{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}cdots {fnMicrosoft Sans Serif}}[7pt] {fncHFF} [{2^{k-1}]{x_{1}x_{2}cdots x_{2^{k-1}}}{2^{2^{k-1}}{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}cdots {fnMicrosoft Sans Serif} {cdots}cdots}cdots ################################################################################################################################################################################################################################################################

donde en la primera desigualdad, los dos lados son iguales sólo si

{displaystyle x_{1}=x_{2}=cdots =x_{2^{k-1}}

{displaystyle x_{2^{k-1}+1}=x_{2^{k-1}+2}=cdots =x_{2^{k}}

(en cuyo caso el primer medio aritmético y el primer medio geométrico son ambos iguales a $x 1$ , y similarmente con la segunda media aritmética y segunda media geométrica); y en la segunda desigualdad, los dos lados son sólo iguales si los dos medios geométricos son iguales. No todos $2 k$ los números son iguales, no es posible que ambas desigualdades sean iguales, por lo que sabemos que:

{fnMicroc} {x_{1}+x_{2}+cdots {fnMicrosoft} {fnK}} {fnK}} {fnK}}} {fnK}}}} {fnK}}}} {fnK}}}} {fnK}}}}}}}}}} {fnK}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {g}}g}}}}}}}}}}}}g}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}g}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {sqrt[{2^{k}]{x_{1}x_{2}cdots #

como desee.

El subcaso donde n < 2k

Si $n$ no es un poder natural de $2$ , entonces es ciertamente menor que alguna potencia natural de 2, ya que la secuencia $2, 4, 8,... 2 k ,...$ no tiene límites arriba. Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, sea $m$ algún poder natural de $2$ que sea mayor que $n$ .

Entonces, si tenemos $n$ términos, denotemos su media aritmética por $α$ , y expanda nuestra lista de términos así:

{displaystyle x_{n+1}=x_{n+2}=cdots =x_{m}=alpha.}

Entonces tenemos:

{displaystyle {begin{aligned}alpha={frac {x_{1}+x_{2}+cdots [6pt] {n}left(x_{1}+x_{2}+cdots [6pt] {x_{1}+x_{2}+cdots +x_{n}+{frac {m-n}{n}left(x_{1}+x_{2}+cdots [6pt] {x_{1}+x_{2}+cdots +x_{n}+left(m-nright)alpha {} {m}[6pt] {x_{1}+x_{2}+cdots +x_{n}+x_{n+1}+cdots ################################################################################################################################################################################################################################################################ x_{n}x_{n+1}cdots {fnMicrosoft Sans Serif}[6pt] [{m} {x_{1}x_{2}cdots ¿Qué?

entonces

{displaystyle alpha ^{m}geq x_{1}x_{2}cdots x_{n}alpha ^{m-n}

{displaystyle alpha geq {n}{x_{1}x_{2}cdots #

como desee.

Demostración por inducción usando cálculo básico

La siguiente prueba utiliza inducción matemática y algo de cálculo diferencial básico.

Base de inducción: Para $n = 1$ la afirmación es verdadera con igualdad.

Hipótesis de inducción: supongamos que la afirmación AM-GM es válida para todas las opciones de $n$ non -números reales negativos.

Paso de inducción: para demostrar el enunciado de $n + 1$ números reales no negativos $x 1,... x n, x n +1$ , necesitamos demostrar que

{fnMicroc} {x_{1}+cdots ## +x_{n}+1} {n+1}-({x_{1}cdots ########### {1}{n+1}gq 0}

con igualdad sólo si todos los números $n + 1$ son iguales.

Si todos los números son cero, la desigualdad se cumple con igualdad. Si algunos números, pero no todos, son cero, tenemos una desigualdad estricta. Por lo tanto, podemos suponer a continuación que todos los números $n + 1$ son positivos.

Consideramos el último número $x n +1$ como una variable y definimos la función

{displaystyle f(t)={frac {x_{1}+cdots ¿Qué? {1}{n+1},qquad t título0.}

Probar el paso de inducción equivale a demostrar que $f (t) \geq 0$ para todo $t > 0$ , con $f (t) = 0$ sólo si $x 1,... x n$ y $t$ son todos iguales. Esto se puede hacer analizando los puntos críticos de $f$ usando algunos cálculos básicos.

La primera derivada de $f$ viene dada por

{displaystyle f'(t)={frac {1}{n+1}-{frac} {1}{n+1} {x_{1}cdots x_{n})^{frac {1}{n+1}t^{-{frac} {n} {n+1}}},qquad t título0.}

Un punto crítico $t 0$ tiene que satisfacer $f' (t 0) = 0$ , lo que significa

{displaystyle ({x_{1}cdots x_{n})}{frac {1} {fn}t_{0}{-{frac {n}{n+1}=1.}

Después de un pequeño reordenamiento obtenemos

{displaystyle T_{0}{frac {n}{n+1}=({x_{1}cdots x_{n})^{frac {1}{n+1}}}

y finalmente

{displaystyle {fn} {fn}cdots x_{n}} {fnfnfn}} {1}{n},}

que es la media geométrica de $x 1,... x n$ . Este es el único punto crítico $f$ . Desde $f () t) 0$ para todos $t ■ 0$ , la función $f$ es estrictamente convexa y tiene un mínimo global estricto $t 0$ . A continuación calculamos el valor de la función en este mínimo global:

{displaystyle {begin{aligned}f(t_{0} {x_{1}+cdots +x_{n}+({x_{1}cdots {fn}cdots x_{n}})} {fn+1}-({x_{1}cdots x_{n}})^{frac {1}{n+1} {x_{1}cdots x_{n})^{frac {1}{n(n+1)}\\\\cdots x_{n})}}\cdots}\\\cdots={fnfn0}cdot}}}}}cdot}}}\cdotcdotcdotcdotcdotcdot}cdotscdot} {cdotcdotscdotcdotscdotscdotscdotcdotscdotscdotscdotscdotscdotscdotscdotscdots}}}}}}cdotcdotcdotcdot}}cdots}cdot} {x_{1}+cdots ¿Qué? {1}{n+1} {x_{1}cdots x_{n}}}{frac} {1}{n}-({x_{1}cdots x_{n})^{frac {1}{n}\}\\\cdots x_{n}})} {fn}}\\\\\cdots={fn}cdots}} {cdot}}} {cdot}}}}}}}cdot}cdotcdotcdot}cdot}cdot} {cdotscdotscdotcdotscdotscdotscdot}cdotscdot}cdotscdotscdotscdotscdotscdotscdotscdot}cdotcdotscdotcdotscdots}cdot} {x_{1}+cdots ¿Qué? {n} {n+1} {x_{1}cdots x_{n})} {frac {1}{n}\\\\\\cH00}}\\\\\cH00}\\\cH00}\\cH00}cH009cH009cH009cH009cH009cH009cdotH009cdotH009}cdotH009}}cH00cdotH009}cH009}cdotH00}}}cdotcdotcdotcdot}cdotcdotcdots}cdots}cdotcdotcdot}}cdotcdotcdotcdotcdotcdotcdot}cdot}cdot {n}{n+1}{ Bigl (}{frac {x_{1}+cdots ¿Qué? {1}{n} {Bigr)}\\\fnMicrosoft Sans Serif}}

donde se cumple la desigualdad final debido a la hipótesis de inducción. La hipótesis también dice que podemos tener igualdad sólo cuando $x 1,... x n$ son todos iguales. En este caso, su media geométrica $t 0$ tiene el mismo valor, por lo tanto, a menos que $x 1,... x n, x n+1$ son todos iguales, tenemos $f (x n +1) > 0$ . Esto completa la prueba.

Esta técnica se puede utilizar de la misma manera para demostrar la desigualdad AM-GM generalizada y la desigualdad de Cauchy-Schwarz en el espacio euclidiano $R n$ .

Demostración de Pólya usando la función exponencial

George Pólya proporcionó una prueba similar a la siguiente. Sea $f (x) = e x -1 - x$ para todos los reales $x$ , con primera derivada $f' (x) = e x -1 - 1$ y segunda derivada $f'' (x) = e x -1$ . Observe que $f (1) = 0$ , $f' (1) = 0$ y $f'' (x) > 0$ para todos los $x$ reales, por lo tanto, $f$ es estrictamente convexo con el mínimo absoluto en $x = 1$ . Por lo tanto, $x \leq e x -1$ para todos los $x$ con igualdad solo para $x = 1$ .

Considere una lista de números reales no negativos $x 1, x 2,... x n$ . Si son todos cero, entonces la desigualdad AM-GM tiene igualdad. Por lo tanto podemos asumir en lo siguiente por su media aritmética $α ■ 0$ . Por $n$ - aplicación múltiple de la desigualdad anterior, obtenemos que

{displaystyle {begin{aligned}{frac} {x_{1}{alpha }{frac {x_{2}{alpha}cdots {frac {x_{n}{alpha ♪ ♪ ♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪ {x_{1}{alpha ################################################################################################################################################################################################################################################################ {x_{2}{alpha }-1}cdots e^{{frac {x_{n}{alpha ################################################################################################################################################################################################################################################################ {Bigl}{frac} {x_{1}{alpha }-1+{frac {x_{2}{alpha # 1+cdots +{frac {x_{n}{alpha } {Bigr]}qquad (*)end{aligned}}

con igualdad si y sólo si $x i = α$ para cada $i \in {1,... n}$ . El argumento de la función exponencial se puede simplificar:

{displaystyle {begin{aligned}{frac} {x_{1}{alpha }-1+{frac {x_{2}{alpha # 1+cdots +{frac {x_{n}{alpha ################################################################################################################################################################################################################################################################ {x_{1}+x_{2}+cdots ################################################################################################################################################################################################################################################################ }-n\cH00={frac {nalpha}{alpha }-n\=0.

Volviendo a $(*)$ ,

{fnMicroc} {x_{1}x_{2}cdots ¿Qué?

que produce $x 1 x 2 \cdot \cdot \cdot x n \leq α n$ , de ahí el resultado

{displaystyle {sqrt[{n}{x_{1}x_{2}cdots Leq alpha.

Demostración mediante multiplicadores lagrangianos

Si alguno de los ${displaystyle x_{i}}$ son ${displaystyle 0}$ Entonces no hay nada que probar. Así que podemos asumir todo ${displaystyle x_{i}}$ son estrictamente positivos.

Porque los medios aritméticos y geométricos son homogéneos del grado 1, sin pérdida de generalidad asumen que ${displaystyle prod _{i=1}{n}x_{i}=1}$ . Set ${displaystyle G(x_{1},x_{2},ldotsx_{n}=prod ¿Qué?$ , y ${displaystyle F(x_{1},x_{2},ldotsx_{n}={frac {1}{n}}sum ¿Qué?$ . La desigualdad se probará (junto con el caso de igualdad) si podemos demostrar que el mínimo ${displaystyle F(x_{1},x_{2},$ sujeto a la limitación ${displaystyle G(x_{1},x_{2},ldotsx_{n}=1,}$ es igual a ${displaystyle 1}$ , y el mínimo sólo se consigue cuando ${displaystyle x_{1}=x_{2}=cdots =x_{n}=1}$ . Mostremos primero que el problema de minimización restringido tiene un mínimo global.

Set ${displaystyle K={(x_{1},x_{2},ldotsx_{n}colon 0leq x_{1},x_{2},ldotsx_{n}leq No.$ . Desde la intersección ${displaystyle Kcap {G=1}$ es compacto, el valor extremo teorema garantiza que el mínimo ${displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n} }$ sujetos a las limitaciones ${displaystyle G(x_{1},x_{2},ldotsx_{n}=1}$ y ${displaystyle (x_{1},x_{2},ldotsx_{n}in K}$ se alcanza en algún punto dentro ${displaystyle K}$ . Por otro lado, observe que si alguno de los ${displaystyle x_{i} {fn}$ Entonces ${displaystyle F(x_{1},x_{2},ldotsx_{n}]$ , mientras ${displaystyle F(1,1,ldots1)=1}$ , y ${displaystyle (1,1,ldots1)in Kcap {G=1}$ . Esto significa que el mínimo interior ${displaystyle Kcap {G=1}$ es en realidad un mínimo mundial, ya que el valor ${displaystyle F}$ en cualquier punto dentro ${displaystyle Kcap {G=1}$ es ciertamente no menor que el mínimo, y el valor ${displaystyle F}$ en cualquier punto ${displaystyle (y_{1},y_{2},ldotsy_{n}}$ no dentro ${displaystyle K}$ es estrictamente más grande que el valor ${displaystyle (1,1,ldots1)}$ , que no es más pequeño que el mínimo.

El método de multiplicadores Lagrange dice que el mínimo global se alcanza en un punto ${displaystyle (x_{1},x_{2},ldotsx_{n}}$ donde el gradiente de ${displaystyle F(x_{1},x_{2},ldotsx_{n}}$ es ${displaystyle lambda }$ tiempos el gradiente de ${displaystyle G(x_{1},x_{2},ldotsx_{n}}$ , para algunos ${displaystyle lambda }$ . Demostraremos que el único punto en el que esto sucede es cuando ${displaystyle x_{1}=x_{2}=cdots =x_{n}=1}$ y ${displaystyle F(x_{1},x_{2},x_{n}=1.}$

Computación ${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} F}{partial ################################################################################################################################################################################################################################################################ {1}{n}}$ y

${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} G}{partial ¿Por qué? i}x_{2}ldotsx_{n}} {x_{i}}={frac}={frac} {1}{x_{i}}}$

a lo largo de la restricción. Establecer los gradientes proporcionales unos a otros por lo tanto da para cada uno ${displaystyle i}$ que ${fnMicroc} {1}{n}={frac} {fnMicrode } {x_{i}}}$ y así ${displaystyle nlambda =x_{i}$ Puesto que el lado izquierdo no depende de ${displaystyle i}$ , sigue que ${displaystyle x_{1}=x_{2}=cdots =x_{n}$ y desde ${displaystyle G(x_{1},x_{2},ldotsx_{n}=1}$ , sigue que ${displaystyle x_{1}=x_{2}=cdots =x_{n}=1}$ y ${displaystyle F(x_{1},x_{2},ldotsx_{n}=1}$ , como se desee.

Generalizaciones

Desigualdad AM-GM ponderada

Existe una desigualdad similar para la media aritmética ponderada y la media geométrica ponderada. Específicamente, sean los números no negativos $x 1, x 2,.... x n$ y los pesos no negativos $w 1, w 2,... w n$ se dará. Establecer $w = w 1 + w 2 + \cdot \cdot \cdot + w n$ . Si $w > 0$ , entonces la desigualdad

{fnMicroc} {w_{1}x_{1}+w_{2}x_{2}+cdots ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif} #

se cumple con igualdad si y sólo si todos los $x k$ con $w k > 0$ son iguales. Aquí se utiliza la convención $00 = 1$ .

Si todo $w k = 1$ , esto se reduce a la desigualdad anterior de medias aritméticas y geométricas.

Una versión más fuerte de esto, que también da versión fortalecida de la versión no ponderada, se debe a Aldaz. En particular, Hay una desigualdad similar para la media aritmética ponderada y la media geométrica ponderada. Específicamente, que los números no negativos $x 1, x 2,... x n$ y los pesos no negativos $w 1, w 2,... w n$ se da. Suponga además que la suma de los pesos es 1. Entonces... ${displaystyle sum ¿Qué? prod ¿Por qué? ¿Por qué? {1}{2}-sum ¿Qué? {1}{2}derecha)} {2}}$ .

Prueba utilizando la desigualdad de Jensen

Usando la forma finita de la desigualdad de Jensen para el logaritmo natural, podemos probar la desigualdad entre la media aritmética ponderada y la media geométrica ponderada indicadas anteriormente.

Desde un $x k$ con peso $w k = 0$ no tiene influencia en la desigualdad, podemos suponer a continuación que todos los pesos son positivos. Si todos los $x k$ son iguales, entonces se cumple la igualdad. Por lo tanto, queda por demostrar la desigualdad estricta si no todos son iguales, lo que también asumiremos a continuación. Si al menos un $x k$ es cero (pero no todos), entonces la media geométrica ponderada es cero, mientras que la media aritmética ponderada es positiva, por lo que se cumple una desigualdad estricta. Por lo tanto, podemos suponer también que todos los $x k$ son positivos.

Dado que el logaritmo natural es estrictamente cóncavo, la forma finita de la desigualdad de Jensen y las ecuaciones funcionales del logaritmo natural implican

{displaystyle {begin{aligned}ln} {Bigl}{frac} {w_{1}x_{1}+cdots ¿Qué? Más grande. {w_{1} {w} {fn} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}}}}}}} {fn}}}}}}} {fn}}}}}}}} {fn}}}}}}}}}}} {n}}}}}}}}}}}}} {n}n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}n} {n} {n}}}}n}}}n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}n}}}}}}}}} x_{1}+cdots +{frac {fn} {fn} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}}} {fn}}}}}} {fn}} {fn}}}}}}} {n}}}}}} {n}}}}}} {n}}}}}}}}}}}}}}}}}}n}}}n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}n}}}}}n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}n} {n}}n}}}}}}}}}}n}n} {n}}n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} x_{n}\=ln {fn}cdots}cdots ################################################################################################################################################################################################################################################################

Dado que el logaritmo natural es estrictamente creciente,

{fnMicroc} {w_{1}x_{1}+cdots ¿Qué? - Sí.

Desigualdad de media aritmética-geométrica matricial

La mayoría de las generalizaciones matriciales de la desigualdad geométrica aritmética se aplican en el nivel de las normas unitariamente invariantes, debido a que incluso si las matrices ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$ son positivos semi-definir la matriz ${displaystyle AB}$ puede no ser semi-definido positivo y por lo tanto no puede tener una raíz cuadrada canónica. En Bhatia y Kittaneh demostraron que para cualquier norma unitariamente invariante ${displaystyle TENIDO RESPUESTO ANTERITORIO ANTERIOR ANTERITORIO TENIDO TERRENO$ y matrices semidefinidas positivas ${displaystyle A}$ y ${displaystyle B}$ es el caso de que

{displaystyle TENIDO TERRITORIOSA SUPERVISIÓN {2}{2} sobre la vida eternaA^{2}+B^{2}

Más tarde, en los mismos autores demostraron la mayor desigualdad que

{displaystyle TENIDO TERRITORIOSA SUPERVISIÓN {1}{4}} sobre la vida eterna (A+B)}

Finalmente, es conocido por la dimensión ${displaystyle n=2}$ que la siguiente generalización de matriz más fuerte posible de la desigualdad media aritmética-geométrica sostiene, y se conjetura para mantener para todos ${displaystyle n}$

{displaystyle TENIDO ANTERIENDO _AB)^{frac {1}{2} {1}{2}

Esta supuesta desigualdad fue demostrada por Stephen Drury en 2012. De hecho, demostró

{displaystyle {sqrt {sigma _{j}(AB)}leq {frac {1}{2}lambda _{j}(A+B), j=1,ldotsn.}

Otras generalizaciones

Otras generalizaciones de la desigualdad de medias aritméticas y geométricas incluyen:

La desigualdad de Muirhead,
La desigualdad de Maclaurin,
Generalizado significa desigualdad,
Significa de números complejos.

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