Descomposición de Helmholtz

En física y matemáticas, en el área de cálculo vectorial, Teorema de Helmholtz, también conocido como teorema fundamental del cálculo vectorial, afirma que cualquier campo vectorial suficientemente liso y rápidamente decaído en tres dimensiones se puede resolver en la suma de un campo vectorial irrotacional (sin curva) y un campo vectorial único (sin energía); esto se conoce como el campo vectorial Helmholtz decomposition o Representación de Helmholtz. Es nombrado por Hermann von Helmholtz.

Definición

Para un campo vectorial ${displaystyle mathbf {F} in C^{1}(V,mathbb {R} ^{n}}$ definido en un dominio ${displaystyle Vsubseteq mathbb {R} {fn}$, una descomposición de Helmholtz es un par de campos vectoriales ${displaystyle mathbf {G} in C^{1}(V,mathbb {R} ^{n}}$ y ${displaystyle mathbf {R} in C^{1}(V,mathbb {R} ^{n}}$ tal que:

$${displaystyle {begin{aligned}mathbf {F}(mathbf {r})} {mathbf {G} (mathbf {r})+mathbf {R} (mathbf {r}),\Mathbf {G} (mathbf {r})})} {nblablablablablan} Phi (mathbf {r}),\nabla cdot mathbf {R} (mathbf {r}) {0}end{aligned}}}$$

${displaystyle Phi in C^{2}(V,mathbb {R})}$

${displaystyle nabla Phi }$

${displaystyle nabla cdot mathbf {R}$

${displaystyle mathbf}$

${displaystyle mathbf {G}$

${displaystyle mathbf}$

Historia

La descomposición de Helmholtz en tres dimensiones fue descrita por primera vez en 1849 por George Gabriel Stokes para una teoría de la difracción. Hermann von Helmholtz publicó su artículo sobre algunas ecuaciones básicas hidrodinámicas en 1858, que formaba parte de su investigación sobre los teoremas de Helmholtz que describen el movimiento de fluidos en las proximidades de líneas de vórtice. Su derivación requirió que los campos vectoriales decayeran lo suficientemente rápido en el infinito. Posteriormente, esta condición podría relajarse y la descomposición de Helmholtz podría extenderse a dimensiones superiores. Para las variedades riemannianas, se derivó la descomposición de Helmholtz-Hodge utilizando geometría diferencial y cálculo tensorial.

La descomposición se ha convertido en una herramienta importante para muchos problemas de física teórica, pero también ha encontrado aplicaciones en animación, visión por computadora y robótica.

Espacio tridimensional

Muchos libros de texto de física restringen la descomposición de Helmholtz al espacio tridimensional y limitan su aplicación a campos vectoriales que se descomponen suficientemente rápido en el infinito o para la función de choque que se definen en un dominio consolidado. Entonces, un potencial vectorial ${displaystyle A}$ se puede definir, de tal manera que el campo de rotación es dado por ${displaystyle mathbf {R} =nabla times mathbf {A}$, usando el Curl de un campo vectorial.

Vamos. ${displaystyle mathbf {F}$ ser un campo vectorial en un dominio consolidado ${displaystyle Vsubseteq mathbb [R] ^{3}$, que es dos veces continuamente diferenciable dentro ${displaystyle V}$, y dejar ${displaystyle S.$ ser la superficie que encierra el dominio ${displaystyle V}$. Entonces... ${displaystyle mathbf {F}$ se puede descomponer en un componente libre de rizo y un componente libre de divergencia como sigue:

$${displaystyle mathbf {F} =nabla Phi +nabla times mathbf {A}$$

$${displaystyle {begin{aligned} Phi (mathbf {r}) ventaja={frac {1}{4pi }int _{ V}{frac {nabla 'cdot mathbf {F} {fn} {fnMitbf} {fnMitbf} {f} {f}} {f}} {fnMitbf} - Mathbf {r} "Antes" ################################################################################################################################################################################################################################################################ ''cdot {frac {mathbf {f} {fnMitbf} {fnMitbf} {r} - Mathbf {r} - ¿Por qué? V}{frac {nabla 'times mathbf {F} {mathbf {r} {)}{Princesmathbf {r} - Mathbf {r} "Antes" ################################################################################################################################################################################################################################################################ 'times {frac {mathbf} {fnMitbf} {fnMitbf {r} - Mathbf {r} 'todavía' S'end{aligned}$$

y ${displaystyle nabla}$ es el operador de nabla con respecto a ${displaystyle mathbf {r}$, no ${displaystyle mathbf {r}$.

Si ${displaystyle V=Mathbb [R] ^{3}$ y, por lo tanto, está sin límites, ${displaystyle mathbf {F}$ desaparece al menos tan rápido como ${displaystyle 1/r}$ como ${displaystyle rto infty}$, entonces uno tiene

$${displaystyle {begin{aligned} Phi (mathbf {r}) Due={frac {1}{4pi}int _{mathbb [R] ^{3}{frac {nabla 'cdot mathbf {F} {Mathbf {r} '} {fncipientemathbf {r] - Mathbf {r} ¿Qué? [R] ^{3}{frac {nabla 'times mathbf {F} (mathbf {r} ')}{Princesmathbf {r} - Mathbf {r} 'todavía' V'end{aligned}}$$

${displaystyle mathbf {F}$

${displaystyle mathbb {R} } {}} {}displaystyle mathbb {R} }$

Derivación

Prueba

Supongamos que tenemos una función vectorial ${displaystyle mathbf {F} (mathbf {r})}$ del cual conocemos el rizo, ${displaystyle nabla times mathbf {F}$y la divergencia, ${displaystyle nabla cdot mathbf {F}$, en el dominio y los campos en el límite. Escribir la función usando la función delta en la forma

$${displaystyle delta ^{3}(mathbf {r} - ¿Qué? - Mathbf {r} 'todavía'$$

Donde ${displaystyle nabla ^{2}:=nabla cdot nabla }$ es el operador de Laplace, tenemos

$${displaystyle {begin{aligned}mathbf {F} (mathbf {r}) ¿Por qué? - Mathbf {r} V'\\ ¿Por qué? - Mathbf {r} "Justo en la vida" V'\\fnMic {1}{4pi - ¿Qué? - Mathbf {r} ' 'justo para la vida'}mathrm {d} V'\\\cccc} {4pi}left[nabla left cdot int _{V}{frac {mthbf {F} (mathbf {r} ')} {cH00} {cH00}}}} {f}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f} {f}f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f}}}}}f}}}}}f}}}}f}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} - Mathbf {r} 'justo de la vida}mathrm {d} V'right)-nabla times left(nabla times int _{V}{frac {mathbf {F} {mathbf {r} ')}{left durablemathbf {r} - Mathbf {r} {fnK}cdot nabla {f} {cHFF}cH0}cH00}cdot nabla {c} {c} {cH00} {cH0}cH0}cH0}cdot nabla {f} {cH00} {cH00} {cH00}} {cH00}}}} {f}}}} {cH00}}}cH00} {f} {cH00}} {cH00}f}}}cH00}cH00}}}}}}}cH00}f}f}cH00} {cH00}cH00}c}cH00} {cH00}cH00}}cH00}f}cH00} {cH00}c}cH0}f}}}}}}}}}}cH - 'Mathbf {r} 'justo de la vida}mathrm {d} V'right)+nabla times left(int _{V}mathbf {F}(mathbf {r} ')times nabla {frac {1}{left privacymathbf {r} - Mathbf {r} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} - Mathbf {r} ' 'justo de la vida' 'mathrm {d} V'right)end{aligned}$$

donde hemos utilizado la definición del vector Laplacian:

$${displaystyle nabla ^{2}mathbf {a} =nabla (nabla cdot mathbf {a})-nabla times (nabla times mathbf {a})}$$

diferenciación/integración con respecto a ${displaystyle mathbf {r}$por ${displaystyle nabla '/mathrm {d} V',}$ y en la última línea, linealidad de argumentos de función:

$${displaystyle nabla {frac}{left arrestmathbf {r} - Mathbf {r} Está bien. - Mathbf {r} "Justo en la vida"$$

Luego usando las identidades vectoriales

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$$

nosotros

$${displaystyle {begin{aligned}mathbf {F} (mathbf {r})=-{frac {1}{4pi} }{bigg [=nabla left(-int _{ V}{frac {nabla 'cdot mathbf {F} left(mathbf {r}right)}{left forevermathbf {r} -mathbf {r} ' 'justo '} 'mathbf {r} 'mathbf {r} 'mathbf {m} left(mathbf {r}derecho)} {left durablemathbf {r} -mathbf {r} 'derecho'} {F} left(mathbf {r}right)}{left forevermathbf {r} -mathbf {r} 'justo para la vida'mathrm {d} V'-int _{V}nabla 'times {frac {mathbf {F} left(mathbf {r}right)}{left perpetuamathbf {r} -mathbf {r} 'justo a la vida' {fnMicrom {fnMicrosoft ]}$$

Gracias al teorema de divergencia la ecuación puede ser reescrita como

$${displaystyle {begin{aligned}mathbf {F} (mathbf {r}) }{bigg [}-nabla left(-int _{ V}{frac {nabla 'cdot mathbf {F} left(mathbf {r}right)}{left forevermathbf {r} -mathbf {r} "Justo en la vida" ¿Qué? ''cdot {frac {mathbf {F} left(mathbf {r}right)}{left durablemathbf {r} -mathbf {r} 'justo a la vida}mathrm {d} S'right)\qquad qquadnabla times left(int _{V}{frac {nabla 'times mathbf {F} left(mathbf {r}right)}{left forevermathbf {r} -mathbf {r} "Justo en la vida" ¿Qué? 'times {frac {mathbf {F} left(mathbf {r}right)}{left durablemathbf {r} -mathbf {r} "Justo en la vida" ################################################################################################################################################################################################################################################################ V}{frac {nabla 'cdot mathbf {F} left(mathbf {r}right)}{left permanentlymathbf {r} - Mathbf {r} "Justo en la vida" ################################################################################################################################################################################################################################################################ ''cdot {frac {mathbf {F} left(mathbf {r}right)}{left durablemathbf {r} -mathbf {r} 'justo para la vida'mathrm {d} S'right]\fnMicrosoft Sans Serpientes ################################################################################################################################################################################################################################################################ V}{frac {nabla 'times mathbf {F} left(mathbf {r}right)}{left forevermathbf {r} -mathbf {r} "Justo en la vida" ################################################################################################################################################################################################################################################################ 'times {frac {mathbf {F} left(mathbf {r}right)}{left durablemathbf {r} -mathbf {r} "Justo en la vida"$$

con superficie exterior normal ${displaystyle mathbf {hat {n}}$.

Definición

$${displaystyle Phi (mathbf {r})equiv {frac {1}{4pi) ################################################################################################################################################################################################################################################################ V}{frac {nabla 'cdot mathbf {F} left(mathbf {r}right)}{left permanentlymathbf {r} - Mathbf {r} "Justo en la vida" ################################################################################################################################################################################################################################################################ ''cdot {frac {mathbf {F} left(mathbf {r}right)}{left durablemathbf {r} -mathbf {r} "Justo en la vida"$$

$${displaystyle mathbf {A} (mathbf {r})equiv {frac {1}{4pi} ################################################################################################################################################################################################################################################################ V}{frac {nabla 'times mathbf {F} left(mathbf {r}right)}{left forevermathbf {r} -mathbf {r} "Justo en la vida" ################################################################################################################################################################################################################################################################ 'times {frac {mathbf {F} left(mathbf {r}right)}{left durablemathbf {r} -mathbf {r} "Justo en la vida"$$

finalmente obtenemos

$${displaystyle mathbf {F} =nabla Phi +nabla times mathbf {A}.$$

Campos con divergencia prescrita y rizo

El término "teorema de Helmholtz" También puede referirse a lo siguiente. Sea C un campo vectorial solenoidal y d un campo escalar en R³ que son suficientemente suaves y que desaparecen más rápido que 1/r² en el infinito. Entonces existe un campo vectorial F tal que

$${displaystyle nabla cdot mathbf {F} =dquad {text{ and }quad nabla times mathbf {F} =mathbf {C};}$$

si además el campo vectorial F desaparece como r → ∞, entonces F es único.

En otras palabras, un campo vectorial se puede construir con una divergencia y una curvatura especificadas, y si también desaparece en el infinito, se especifica únicamente por su divergencia y curvatura. Este teorema es de gran importancia en electrostática, ya que las ecuaciones de Maxwell para los campos eléctrico y magnético en el caso estático son exactamente de este tipo. La prueba es mediante una construcción que generaliza la dada anteriormente: establecemos

$${displaystyle mathbf {F} =-nabla ({mathcal {G}(d))+nabla times ({mathcal {G}}(mathbf {C})})}$$

Donde ${displaystyle {Mathcal {}}}$ representa al operador potencial de Newtonian. (Cuando actúa en un campo vectorial, como Levántate × F, se define para actuar en cada componente.)

Formulación débil

La descomposición de Helmholtz se puede generalizar reduciendo los supuestos de regularidad (la necesidad de la existencia de derivadas fuertes). Supongamos que Ω es un dominio de Lipschitz acotado y simplemente conectado. Todo campo vectorial integrable al cuadrado u ∈ (L²(Ω))³ tiene una descomposición ortogonal:

$${displaystyle mathbf {u} =nabla varphi +nabla times mathbf {A}$$

donde φ está en el espacio de Sobolev H< sup>1(Ω) de funciones integrables al cuadrado en Ω cuyas derivadas parciales definidas en el sentido de distribución son integrables al cuadrado, y A ∈ H(curl, Ω), el espacio de Sobolev de campos vectoriales que consta de campos vectoriales cuadrados integrables con rizo cuadrado integrable.

Para un campo vectorial ligeramente más suave u ∈ H(curl, Ω), se cumple una descomposición similar:

$${displaystyle mathbf {u} = 'nabla varphi # Mathbf {v}$$

donde φ ∈ H¹(Ω), v ∈ (H¹(Ω))^d.

Derivación de la transformada de Fourier

Tenga en cuenta que en el teorema declarado aquí, hemos impuesto la condición de que si ${displaystyle mathbf {F}$ no se define en un dominio consolidado, entonces ${displaystyle mathbf {F}$ se desintegrará más rápido que ${displaystyle 1/r}$. Así, la transformación de Fourier ${displaystyle mathbf {F}$, denotado como ${displaystyle mathbf {G}$, está garantizado para existir. Aplicamos la convención

$${displaystyle mathbf {F} (mathbf {r})=iiint mathbf {G} (mathbf {k})e^{imathbf {k} cdot mathbf {r} }dV_{k}$$

La transformada de Fourier de un campo escalar es un campo escalar, y la transformada de Fourier de un campo vectorial es un campo vectorial de la misma dimensión.

Ahora considere los siguientes campos escalares y vectoriales:

$${displaystyle {begin{aligned}G_{\ Phi }(mathbf {k}) {Mathbf {k} cdot mathbf {G} {fn} {fnMitbf} {fnMitb} {fnMitbf} {fnMitbf {f}(mathbf {k}) {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMitbf {k} {fnh}\[8pt]Phi (mathbf {r}) }dV_{k}mathbf {A} (mathbf {r}) {iiint mathbf {G} _{mathbf {A}(mathbf {k})e^{imathbf {k} cdot mathbf {r} }dV_{k}end{aligned}}$$

Por lo tanto

$${displaystyle {begin{aligned}mathbf {G} (mathbf {k}) G_{Phi }(mathbf {k})+imathbf {k} times mathbf {G} _{mathbf {A}(mathbf {k})[6pt]mathbf {F} (mathbf {r}) G_{Mathbf {k})e^{imathbf {k} cdot mathbf {r} }dV_{k}+iiint imathbf {k} times mathbf {G} _{mathbf {A} }(mathbf {k})e^{imathbf {k} cdot mathbf {r} }dV_{k}\\\cH00} Phi (mathbf {r})+nabla times mathbf {A} (mathbf {r})end{aligned}}}}$$

Campos longitudinales y transversales

Una terminología utilizada a menudo en la física se refiere al componente libre de rizo de un campo vectorial como el componente longitudinal y el componente libre de divergencias como componente transversal. Esta terminología proviene de la siguiente construcción: Computar la transformación tridimensional Fourier ${displaystyle {hat {mathbf}}}$ el campo vectorial ${displaystyle mathbf {F}$. Entonces descomponga este campo, en cada punto k, en dos componentes, uno de los cuales puntos longitudinalmente, es decir, paralelo a k, el otro de los cuales apunta en la dirección transversal, es decir perpendicular a k. Hasta ahora, tenemos

$${displaystyle {hat {mathbf {f} {f} {fnh} {fnh}_ {f}_ {f}s})+{hat {mathbf {f}}_ {f}}_ {f} {f}f}}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}} {f}}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {m}} {$$

$${displaystyle mathbf {k} cdot {hat {mathbf {}_{t}(mathbf {k})=0.}$$

$${displaystyle mathbf {k} times {hat {mathbf {}_{l}(mathbf {k})=mathbf {0}$$

Ahora aplicamos una transformada de Fourier inversa a cada uno de estos componentes. Usando las propiedades de las transformadas de Fourier, derivamos:

$${displaystyle mathbf {F} (mathbf {r})=mathbf {F} _{t}(mathbf {r})+mathbf {F} _{l}(mathbf {r})}}$$

$${displaystyle nabla cdot mathbf {F} {fn}=0}$$

$${displaystyle nabla times mathbf {F} _{l}(mathbf {r})=mathbf {0}$$

Desde ${displaystyle nabla times (nabla Phi)=0}$ y ${displaystyle nabla cdot (nabla times mathbf {A}=0}$,

podemos conseguir

$${displaystyle mathbf {F} _{t}=nabla times mathbf {A} ={frac {1}{4pi}nabla times int _{ V}{frac {nabla 'times mathbf {F} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} - Mathbf {r} "Justo en la vida"$$

$${displaystyle mathbf {F} _{l}=-nabla Phi =-{frac {1}{4pi}nabla int _{ V}{frac {nabla 'cdot mathbf {F} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} - Mathbf {r} "Justo en la vida"$$

Así que esta es de hecho la descomposición de Helmholtz.

Generalización a dimensiones superiores

Enfoque matricial

La generalización a ${displaystyle d}$ las dimensiones no se pueden hacer con un potencial vectorial, ya que el operador de rotación y el producto transversal se definen (como vectores) sólo en tres dimensiones.

Vamos. ${displaystyle mathbf {F}$ ser un campo vectorial en un dominio consolidado ${displaystyle Vsubseteq mathbb {R} {d}$ que decae más rápido que ${displaystyle Silenciomathbf {r} }$ para ${displaystyle Silenciomathbf {r}$ y ${displaystyle delta >2}$.

El potencial escalar se define de manera similar al caso tridimensional como:

$${displaystyle Phi (mathbf {r})=-int _{mathbb [R] ^{d}f}mathbf {f})K(mathbf {r} {r}mathbf {r}mathbf {r} ')mathrm {d} V'=-int _{mathbb [R] ^{d}sum ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {f}} {fnMicrosoft}}}} {fnMicrosoft}}}}} {cH}}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}}}}}}}}}}} { [Mathbf {r] ')K(mathbf {r}mathbf {r} ')mathrm {d} V',}$$

${displaystyle K(mathbf {r}mathbf {r}}}$

$${displaystyle K(mathbf {r}mathbf {r}={begin{cases}{frac {1}{2pi}log {mathbf {} - Mathbf {r} "Perfecto" {1}{d(2-d)V_{d}}tuvomathbf {r}mathbf {r} 'vivir^{2-d} {text{otherwise}},end{cases}}}$$

${displaystyle V_{d}=pi ^{frac {d}{2}/Gammabig (}{tfrac {d}+1{big)}}$

${displaystyle Gamma (mathbf {r})}$

Para ${displaystyle d=3}$, ${displaystyle V_{d}$ es igual a ${displaystyle {frac {4fnfnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnf} } {3}}$, dando el mismo prefactor que antes. El potencial de rotación es una matriz antisimétrica con los elementos:

$${displaystyle A_{ij}(mathbf {r})=int _{mathbb {fnK} {f} {fnK} {f} {f}} {f}} {f}} {fn}} {fn}}} {fnMitbf {fnMicroc {fn}}} {fnMitbf {f}}}f}fnf}fnfnf}fnfnf}fnfnfnfnfnMicroc}fnf}fn}}}\f}fnfnfn}}fnfnf}fn\f}}}}}fn\fnfn}f}fn}}fnfn\fnMicroc}fnf}}fn}}}fnMicroc}fnMicrocfn}\\fn}}}}}}fn} F_{j}{partial [mathbf {r} ')derecha]K(mathbf {r}mathbf {r} ')mathrm {d} V'.}$$

${displaystyle textstyle {binom {d}{2}}$

${displaystyle mathbf {A} =[A_{1},A_{2},A_{3}=[A_{23},A_{31},A_{12}}$

${displaystyle textstyle {binom {d}{2}=d}$

${displaystyle d=3}$

Como en el caso tridimensional, el campo degradado se define como

$${displaystyle mathbf {G} (mathbf {r})=-nabla Phi (mathbf {r}). }$$

$${displaystyle mathbf {R} (mathbf {r})=left[sum nolimits ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué?$$

Enfoque tensorial

En un ${displaystyle d}$-dimensional espacio vectorial con ${displaystyle dneq 3}$, ${textstyle -{frac {1}{4pileft durablemathbf {r} - Mathbf {r} 'justo a la vida'$ puede ser reemplazado por la función adecuada de Green para el Laplaciano, definida por

$${displaystyle nabla ^{2}G(mathbf {r}mathbf {r} ')={frac {partial }{partial r_{mu {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} G. - Mathbf {r}$$

${displaystyle mu }$

${fnMicrosoft} {fnK} {f}}} {f}} {f}} {f} {f}} {f}}}} {f}f}}f}}fnK} }lnln left sobre la muerte - Mathbf {r} "Justo en la vida"$

Siguiendo los mismos pasos anteriores, podemos escribir

$${displaystyle F_{mu }(mathbf {r})=int _{V}F_{mu }(mathbf {r} '){frac {partial }{partial r_{mu {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} G. '=delta _{munu }delta _{rho sigma ♫ ¿Por qué? }{partial r_{rho {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} }{partial r_{sigma G.$$

${displaystyle delta _{munu }$

${displaystyle varepsilon }$

$${displaystyle varepsilon _{alpha mu rho }varepsilon _{alpha nu sigma }=(d-2)!(delta _{mu nu }delta _{rho sigma }-delta _{musigma }delta _{nurho })$$

${displaystyle dgeq 2}$

${displaystyle alpha }$

${displaystyle (d-2)}$

$${displaystyle F_{mu }(mathbf {r})=delta _{musigma }delta _{nu rho }int ¿Por qué? }{partial r_{rho {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} }{partial r_{sigma G. '+{frac {1}{(d-2)}}varepsilon _{alpha mu rho }varepsilon _{alpha nu sigma ♫ ¿Por qué? }{partial r_{rho {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} }{partial r_{sigma G.$$

Podemos entonces escribir

$${displaystyle F_{mu}(mathbf {r})=-{frac {partial }{partial r_{mu }}Phi (mathbf {r})+varepsilon _{mu rho alpha }{frac {partial }{partial r_{rho {fnMicrosoft Sans Serif}$$

$${displaystyle {begin{aligned} Phi (mathbf {r}) ¿Por qué? }{partial r_{nu G. 'A_{alpha } {1}{(d-2)}varepsilon _{alpha nu sigma ♫ ¿Por qué? }{partial r_{sigma G. - ¿Qué?$$

${displaystyle (d-2)}$

${displaystyle d}$

Para obtener una mayor generalización de las variedades, consulte la discusión sobre la descomposición de Hodge a continuación.

Formas diferenciales

La descomposición de Hodge está estrechamente relacionada con la descomposición de Helmholtz, generalizándose desde campos vectoriales en R³ hasta formas diferenciales en una variedad de Riemann M. La mayoría de las formulaciones de la descomposición de Hodge requieren que M sea compacto. Dado que esto no es cierto para R³, el teorema de descomposición de Hodge no es estrictamente una generalización del teorema de Helmholtz. Sin embargo, la restricción de compacidad en la formulación habitual de la descomposición de Hodge puede reemplazarse por suposiciones adecuadas de desintegración en el infinito en las formas diferenciales involucradas, dando una generalización adecuada del teorema de Helmholtz.

Extensiones a campos que no decaen en el infinito

La mayoría de los libros de texto sólo tratan con campos vectoriales descomponiendo más rápido que ${displaystyle Silenciomathbf {r} }$ con ${displaystyle delta >1}$ En el infinito. Sin embargo, Otto Blumenthal mostró en 1905 que un núcleo de integración adaptado se puede utilizar para integrar campos que se descomponen más rápido que ${displaystyle Silenciomathbf {r} }$ con ${displaystyle delta >0}$, que es sustancialmente menos estricto. Para lograrlo, el núcleo ${displaystyle K(mathbf {r}mathbf {r}}}$ in the convolution integrals has to be replaced by ${displaystyle K'(mathbf {r}mathbf {r} ')=K(mathbf {r}mathbf {r} ')-K(0,mathbf {r} ')}$. Con núcleos de integración aún más complejos, se pueden encontrar soluciones incluso para funciones divergentes que no necesitan crecer más rápido que el polinomio.

Para todos los campos de vectores analíticos que no necesitan ir a cero incluso en el infinito, los métodos basados en la integración parcial y la fórmula Cauchy para la integración repetida pueden utilizarse para calcular soluciones de forma cerrada de los potenciales de rotación y escalar, como en el caso de funciones polinomio, sine, cosina y exponencial multivariadas.

Singularidad de la solución

En general, la descomposición de Helmholtz no se define únicamente. Una función armónica ${displaystyle H(mathbf {r})}$ es una función que satisface ${displaystyle Delta H(mathbf {r})=0}$. Al agregar ${displaystyle H(mathbf {r})}$ para el potencial de escalar ${displaystyle Phi (mathbf {r)}$, se puede obtener una descomposición de Helmholtz diferente:

$${displaystyle {begin{aligned}mathbf {G} '(mathbf {r}) (mathbf {r})+H(mathbf {r})=mathbf {G} (mathbf {r})+nabla H(mathbf {r}),\mathbf {R} '(mathbf {r})} {})} {Mathbf}$$

Para campos vectoriales ${displaystyle mathbf {F}$, decayendo en el infinito, es una opción plausible que escalar y los potenciales de rotación también decaen en el infinito. Porque... ${displaystyle H(mathbf {r}=0}$ es la única función armónica con esta propiedad, que sigue del teorema de Liouville, que garantiza la singularidad de los campos de gradiente y rotación.

Esta unicidad no se aplica a los potenciales: en el caso tridimensional, el potencial escalar y el vector tienen conjuntamente cuatro componentes, mientras que el campo vectorial tiene sólo tres. El campo vectorial es invariante para las transformaciones de calibre y la elección de los potenciales apropiados, conocida como fijación de calibre, es el tema de la teoría de calibre. Ejemplos importantes de la física son la condición del calibre de Lorenz y el calibre de Coulomb. Una alternativa es utilizar la descomposición poloidal-toroidal.

Aplicaciones

Electrodinámica

El teorema de Helmholtz es de particular interés en electrodinámica, ya que puede usarse para escribir las ecuaciones de Maxwell en la imagen del potencial y resolverlas más fácilmente. Mediante la descomposición de Helmholtz se puede demostrar que, dadas la densidad de corriente eléctrica y la densidad de carga, se pueden determinar el campo eléctrico y la densidad de flujo magnético. Son únicos si las densidades desaparecen en el infinito y se supone lo mismo para los potenciales.

Dinámica de fluidos

En la dinámica de fluidos, la proyección de Helmholtz juega un papel importante, especialmente para la teoría de la solvabilidad de las ecuaciones de Navier-Stokes. Si la proyección de Helmholtz se aplica a las ecuaciones Navier-Stokes incompresibles linealizadas, se obtiene la ecuación de Stokes. Esto depende sólo de la velocidad de las partículas en el flujo, pero ya no de la presión estática, permitiendo que la ecuación sea reducida a una desconocida. Sin embargo, ambas ecuaciones, los Stokes y las ecuaciones linealizadas, son equivalentes. El operador ${displaystyle PDelta}$ se llama el operador de Stokes.

Teoría de sistemas dinámicos

En la teoría de sistemas dinámicos, la descomposición de Helmholtz se puede utilizar para determinar "cuasipotenciales" así como para calcular funciones de Lyapunov en algunos casos.

Para algunos sistemas dinámicos como el sistema de Lorenz (Edward N. Lorenz, 1963), un modelo simplificado para la convección atmosférica, se puede obtener una expresión cerrada de la descomposición de Helmholtz:

$${fnMicrosoft Sans Serif} }=mathbf {F} (mathbf {r})={big [}a(r_{2}-r_{1}),r_{1}(b-r_{3})-r_{2},r_{2}r_{2}-cr_{3} {big}}}}}=$$

${displaystyle mathbf {F} (mathbf {r})}$

${displaystyle Phi (mathbf {r})={tfrac {2}r_{2}+{tfrac} {2}}r_{2} {2}+{tfrac} {c} {2}r_{3} {2}}$

$${displaystyle mathbf {G} (mathbf {r})={big [}-ar_{1},-r_{2},-cr_{3}{big}}}}$$

$${displaystyle mathbf {R} (mathbf {r})={big [}+ar_{2},br_{1}-r_{1},r_{1}r_{2} {big}}$$

El potencial escalar cuadrático proporciona movimiento en la dirección del origen de coordenadas, que es responsable del punto de fijación estable para algún rango de parámetros. Para otros parámetros, el campo de rotación asegura que se cree un atractor extraño, lo que hace que el modelo exhiba un efecto de mariposa.

Animación y robótica de la computadora

La descomposición de Helmholtz también se usa en el campo de la ingeniería informática. Esto incluye robótica, reconstrucción de imágenes pero también animación por computadora, donde la descomposición se usa para la visualización realista de fluidos o campos vectoriales.