Derivado direccional

Una derivada direccional es un concepto del cálculo multivariable que mide la velocidad a la que una función cambia en una dirección particular en un punto determinado.

La derivada direccional de una función diferenciable (escalar) multivariable a lo largo de un vector dado v en un punto dado x representa intuitivamente la tasa de cambio instantánea de la función, moviéndose a través de x con una velocidad especificada por v.

La derivada direccional de una función escalar f con respecto a un vector v en un punto (por ejemplo, posición) x puede denotarse por cualquiera de los siguientes:

$${f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}f} {f}f} {f}f} {f}f} }}$$

Por lo tanto, generaliza la noción de derivada parcial, en la que la tasa de cambio se toma a lo largo de una de las curvas de coordenadas curvilíneas, siendo todas las demás coordenadas constantes. La derivada direccional es un caso especial de la derivada Gateaux.

Definición

La derivada direccional de una función escalar

$${displaystyle f(mathbf {x})=f(x_{1},x_{2},ldotsx_{n}}$$

$${displaystyle mathbf {v} =(v_{1},ldotsv_{n}}}$$

${displaystyle nabla _{mathbf {v} } {f}$

$${displaystyle nabla _{mathbf {v}{f}(mathbf {x})=lim _{hto 0}{frac {f(mathbf {x} +hmathbf {v})-f(mathbf {x}}}} {h}}}} {}} {}}} {$$

Esta definición es válida en una amplia gama de contextos, por ejemplo, donde la norma de un vector (y por tanto de un vector unitario) no está definida.

Para funciones diferenciables

Si la función f es diferenciable en x, entonces la derivada direccional existe a lo largo de cualquier vector unitario v en x, y se tiene

$${displaystyle nabla _{mathbf {v}{f}(mathbf {x})=nabla f(mathbf {x})cdot mathbf {v}$$

Donde ${displaystyle nabla }$ sobre el derecho gradiente, ${displaystyle cdot }$ es el producto de punto y v es un vector unitario. Esto se debe a la definición de un camino ${displaystyle h(t)=x+tv}$ y utilizando la definición del derivado como límite que se puede calcular a lo largo de este camino para obtener:

$${f} {f} {f} {f}f}f}f} {f}f} {f} {f}f} {f} {f}f} {f}f}f} {f}f}} {f}f}f}f} {f}f} {f}f}f}f}f}}f}f}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00} {cH00}cH00}cH00} {cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}}cH00}}}}cH00}$$

Intuitivamente, la derivada direccional de f en un punto x representa la tasa de cambio de f, en la dirección de v con respecto al tiempo, al pasar x.

Usando sólo la dirección del vector

En un espacio euclidiano, algunos autores definen la derivada direccional con respecto a un vector arbitrario distinto de cero v después de la normalización, siendo así independiente de su magnitud y dependiendo sólo de su dirección.

Esta definición da la tasa de aumento de f por unidad de distancia movida en la dirección dada por < b>v. En este caso, se tiene

$${displaystyle nabla _{mathbf {}{f} {mathbf {x})=lim _{hto 0}{frac {f {x} +hmathbf {v})-f(mathbf {x})} {hmathbf {h} {h}}$$

$${displaystyle nabla _{mathbf {v}{f}(mathbf {x})=nabla f(mathbf {x})cdot {frac {mathbf {v} Oh, Dios mío. Silencio.$$

Restricción a un vector unitario

En el contexto de una función en un espacio euclidiano, algunos textos restringen el vector v a ser un vector unitario. Con esta restricción, ambas definiciones anteriores son equivalentes.

Propiedades

Muchas de las propiedades familiares de la derivada ordinaria se aplican a la derivada direccional. Estos incluyen, para cualquier función f y g definida en una vecindad y diferenciable en p:

1. Estado:
   $${displaystyle nabla _{mathbf {v}(f+g)=nabla _{mathbf {v} }f+nabla _{mathbf {v} }g.}$$

   
2. regla del factor constante: Para cualquier constante c,
   $${displaystyle nabla _{mathbf {v}(cf)=cnabla _{mathbf {v}f}$$

   
3. regla del producto (o Regla de Leibniz):
   $${displaystyle nabla _{mathbf {v}(fg)=gnabla _{mathbf {v} }f+fnabla _{mathbf {v} }g.}$$

   
4. Regla de cadenaSi g es diferente en p y h es diferente en g()p), entonces
   $${displaystyle nabla _{mathbf {v}(hcirc g)(mathbf {p})=h'(g(mathbf {p})nabla _{mathbf {v}g(mathbf {p}).}}}}$$

   

En geometría diferencial

Vamos M ser un manifold diferente y p un punto M. Supongamos que f es una función definida en un barrio p, y diferenciable en p. Si v es un vector tangente M a p, entonces el derivado direccional de f y v, denotado de varias maneras df()v) (ver derivación exterior), ${displaystyle nabla _{mathbf {v}f(mathbf {p})}$ (ver Covariant derivative), ${displaystyle L_{mathbf}f(mathbf {p})}$ (ver Lie derivative), o ${displaystyle {mathbf {f} {fnMitbf}$ (ver Espacio Tangente § Definición mediante derivaciones), se puede definir como sigue. Vamos γ[−1, 1] → M ser una curva diferente con γ(0) p y γ′(0) = v. Entonces el derivado direccional se define por

$${displaystyle nabla _{mathbf {v}f(mathbf {p})=left.{frac {d}{dtau }fcirc gamma (tau)right sobrevivir_{tau =0}$$

La derivada de la mentira

El derivado de Lie de un campo vectorial ${displaystyle W^{mu }(x)}$ en un campo vectorial ${displaystyle V^{mu}(x)}$ se da por la diferencia de dos derivados direccionales (con torsión desaparecida):

$${displaystyle {mathcal {L}_{V}W^{mu }=(Vcdot nabla)W^{mu }-(Wcdot nabla)V^{mu }.}$$

${displaystyle phi (x)}$

$${displaystyle {mathcal {}_{V}phi =(Vcdot nabla)phi.}$$

El tensor de Riemann

Los derivados direccionales se utilizan a menudo en derivaciones introductorias del tensor de curvatura Riemann. Considere un rectángulo curvado con un vector infinitesimal ${displaystyle delta }$ a lo largo de un borde y ${displaystyle delta}$ a lo largo del otro. Traducimos un covector ${displaystyle S.$ y ${displaystyle delta }$ entonces ${displaystyle delta}$ y luego restar la traducción ${displaystyle delta}$ y luego ${displaystyle delta }$. En lugar de construir el derivado direccional utilizando derivados parciales, utilizamos el derivado covariante. El operador de traducción para ${displaystyle delta }$ Así es.

$${displaystyle 1+sum _{nu }delta ^{nu }D_{nu }=1+delta cdot D,}$$

${displaystyle delta}$

$${displaystyle 1+sum _{mu }delta ' {mu }D_{mu }=1+delta 'cdot D.}$$

$${displaystyle (1+delta 'cdot D)(1+deltacdot D)S^{rho }-(1+delta cdot D)(1+delta 'cdot D)S^{rho }=sum _{munu }delta ' {mu }delta D_{mu },D_{nu } Sí.$$

$${displaystyle [D_{mu },D_{nu } S_{rho }=pm sum _{sigma }R^{sigma }{sigma }$$

${displaystyle R.$

En teoría de grupos

Traducciones

En el álgebra de Poincaré, podemos definir un operador de traducción infinitesimal P como

$${displaystyle mathbf {} =inabla.}$$

$${displaystyle U({boldsymbol {lambda })=exp left(-i{boldsymbol {lambda }}cdot mathbf {P} right). }$$

$${displaystyle U({boldsymbol {lambda })=exp left({boldsymbol {lambda }cdot nabla right). }$$

$${displaystyle U({boldsymbol {lambda })f(mathbf {x})=exp left({boldsymbol {lambda }cdot nabla right)f(mathbf {x})=f(mathbf {x} +{boldsymbol} {lamb} {lamb}).$$

Prueba de la última ecuación

En el cálculo estándar monovariable, el derivado de una función lisa f()x) se define por (para pequeño ε)

$${displaystyle {frac {df}={frac {f(x+varepsilon)-f(x)}{varepsilon }}$$

Esto se puede reorganizar para encontrar f()x+ε):

$${displaystyle f(x+varepsilon)=f(x)+varepsilon ,{frac {df}{dx}=left(1+varepsilon ,{frac {d} {dx}right)f(x). }$$

De ello se desprende que ${displaystyle [1+varepsilon ,(d/dx)}$ es un operador de traducción. Esto se generaliza instantáneamente a funciones multivariables f()x)

$${displaystyle f(mathbf {x} +{boldsymbol {varepsilon })=left(1+{boldsymbol {varepsilon }cdot nabla right)f(mathbf {x}). }$$

Aquí. ${displaystyle {boldsymbol {varepsilon}cdot nabla }$ es el derivado direccional a lo largo del desplazamiento infinitesimal ε. Hemos encontrado la versión infinitesimal del operador de traducción:

$${displaystyle U({boldsymbol {varepsilon })=1+{boldsymbol {varepsilon }cdot nabla.}$$

Es evidente que la ley de multiplicación del grupo U()g)U()f)=U()gf) toma la forma

$${displaystyle U(mathbf {a})U(mathbf {b})=U(mathbf {a+b}).}$$

Entonces supongamos que tomamos el desplazamiento finito λ y dividirlo en N partes (partes)N→ Vivir está implícito en todas partes, por lo que λ/N=ε. En otras palabras,

$${displaystyle {boldsymbol {lambda }=N{boldsymbol {varepsilon }}$$

Luego aplicando U()ε) N veces, podemos construir U()λ):

$${displaystyle [U({boldsymbol {varepsilon }})}]^{N}=U(N{boldsymbol {varepsilon }})=U({boldsymbol {lambda }}}}}}$$

Ahora podemos conectar nuestra expresión anterior para U(ε):

$${displaystyle [U({boldsymbol {varepsilon }}]^{N}=left[1+{boldsymbol {varepsilon }cdot nabla right]^{N}=left[1+{frac {boldsymbol] {lambda }cdot nabla Bien.$$

Utilizando la identidad

$${displaystyle exp(x)=left[1+{frac {x} {fn}derecha]$$

tenemos

$${displaystyle U({boldsymbol {lambda })=exp left({boldsymbol {lambda }cdot nabla right). }$$

Y desde U()ε)f()x) f()x+ε) tenemos

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {cHFF}}} {f} {m} {cHFF} {cHFF}cHFF}cHFF}cHFF}cHFF}$$

Q.E.D.

Como nota técnica, este procedimiento sólo es posible porque el grupo de traducción forma un subgrupo Abeliano (Subalgebra de Cartagena) en el álgebra Poincaré. En particular, la ley de multiplicación del grupo U()a)U()b) U()a+b) no se debe tomar por sentado. También observamos que Poincaré es un grupo de Lie conectado. Es un grupo de transformaciones T().) que se describen por un conjunto continuo de parámetros reales ${displaystyle xi ^{a}$. La ley de multiplicación del grupo toma la forma

$${displaystyle T({bar {xi }})T(xi)=T({bar {xi }},xi)}}}}$$

Tomando ${displaystyle xi ^{a}=0}$ como las coordenadas de la identidad, debemos tener

$${displaystyle f^{a}(xi0)=f^{a}(0,xi)=xi ^{a}$$

Los operadores reales del espacio Hilbert están representados por operadores unitarios U()T().)). En la notación anterior suprimimos T; ahora escribimos U()λcomo U()P()λ)). Para un pequeño vecindario alrededor de la identidad, la representación de la serie de poder

$${displaystyle U(T(xi)=1+isum _{a}xi ^{a}t_{a}+{frac {1}{2}sum _{b,c}xi ^{c}t_{bc}+cdots }$$

es bastante bueno. Supongamos que U(T(ISH) forma una representación no proyectiva, es decir,

$${displaystyle U(T({bar {xi })U(T(xi))=U(T(f({bar {xi },xi))).}$$

La expansión de f a segunda potencia es

$${displaystyle f^{a}({bar {xi }}xi)=xi ^{a}+{bar {xi }}{a}+sum ¿Qué?$$

Después de expandir la ecuación de multiplicación de representación y equiparar coeficientes, tenemos la condición notrivial

$${displaystyle T_{bc}=-t_{b}t_{c}-isum _{a}f^{abc}t_{a}$$

Desde ${displaystyle t_{ab}$ es por definición simétrica en sus índices, tenemos el estándar Comutador de álgebra de Lie:

$${displaystyle [t_{b},t_{c}=isum ¿Por qué? ¿Qué?$$

con C la constante estructura. Los generadores para traducciones son operadores derivados parciales, que comunican:

$${displaystyle left[{frac {partial }{partial x^{b}} {frac {partial }{partial x^{c}}}right]=0.}$$

Esto implica que las constantes de la estructura desaparecen y por lo tanto los coeficientes cuadráticos en la expansión f desaparecen también. Esto significa que f es simplemente aditivo:

$${displaystyle f_{text{abelian}{a} {bar {xi },xi)=xi ^{a}+{bar {xi }} {a}}}} {i}$$

y así para grupos abelianos,

$${displaystyle U(T({bar {xi })U(T(xi))=U(T({bar {xi }+xi)). }$$

Q.E.D.

Rotaciones

El operador de rotación también contiene un derivado direccional. El operador de rotación para un ángulo Silencio, es decir, por una cantidad Silencio = SilencioSilencioSilencio sobre un eje paralelo ${displaystyle {hat {theta - Sí.$ es

$${displaystyle U(R(mathbf {theta })=exp(-imathbf {theta } cdot mathbf {L}).}$$