Derivado de material

En mecánica continua, la derivada material describe la tasa de cambio temporal de alguna cantidad física (como el calor o el momento) de un elemento material que está sujeto a una variación macroscópica dependiente del espacio y el tiempo. campo de velocidad. La derivada material puede servir como vínculo entre las descripciones euleriana y lagrangiana de la deformación continua.

Por ejemplo, en dinámica de fluidos, el campo de velocidad es la velocidad del flujo y la cantidad de interés podría ser la temperatura del fluido. En cuyo caso, la derivada del material describe el cambio de temperatura de una determinada porción de fluido con el tiempo, a medida que fluye a lo largo de su trayectoria (trayectoria).

Otros nombres

Existen muchos otros nombres para el derivado material, entre ellos:

• derivado advectivo
• derivados convectivos
• derivado tras el movimiento
• derivado hidrodinámico
• Derivada lagrangia
• partícula derivada
• derivación sustancial
• derivación sustantiva
• Derivados de Stokes
• total derivative, aunque el derivado material es en realidad un caso especial del derivado total

Definición

La derivada material se define para cualquier campo tensor y que sea macroscópico, en el sentido de que depende sólo de las coordenadas de posición y tiempo, y = y(x, t):

$${displaystyle {frac {mathrm} {fnK} {fnMicrosoft {fnMicroc {partial y}}+mathbf {u}cdot nabla y,}$$

Scalar y campos vectoriales

Por ejemplo, para un campo escalar macroscópico φ()x, t) y un campo vectorial macroscópico A()x, t) la definición se convierte en:

$${displaystyle {begin{aligned}{frac {mathrm {}varphi }{mathrm {} t} t} {equiv {frac {partial varphi }{partial t}+mathbf {u} cdot nabla varphi[3pt]{frac {mathrm {D} mathbf {A} {mathrm {D} t} {equiv {frac {partial mathbf {A} {partial t}}mathbf {u} cdot nabla mathbf {A}.end{aligned}}$$

En el caso escalar ∇φ es simplemente el gradiente de un escalar, mientras que ∇A es la derivada covariante del vector macroscópico (que también puede considerarse como la matriz jacobiana de A como una función de x). En particular, para un campo escalar en un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional (x₁, x₂, x₃), los componentes de la velocidad u son u₁, u₂, u₃, y el término convectivo es entonces:

$${displaystyle mathbf {u} cdot nabla varphi =u_{1}{frac {partial varphi }{partial ¿Qué? {partial varphi }{partial {fnMicroc {partial varphi }{partial #$$

Desarrollo

Considere una cantidad escalar φ = φ(x, t), donde t es el tiempo y x es la posición. Aquí φ puede haber alguna variable física como la temperatura o la concentración química. La cantidad física, cuya cantidad escalar es φ, existe en un continuo, y cuya velocidad macroscópica está representada por el campo vectorial u(x, t).

La derivada (total) con respecto al tiempo de φ se expande usando la regla de la cadena multivariada:

$${displaystyle {frac {mathrm {d}{mathrm {d} t}varphi (mathbf {x}t)={frac {partial varphi }{partial t}+{dot {mathbf {x}}}}}cdot nabla varphi}}}}}$$

Es evidente que este derivado depende del vector

$${displaystyle {dot {fnK}equiv {fnK}}equiv {fnK} {x} } {mathrm {d} t}}$$

${fnMicrosoft Sans Serif} }=Mathbf {0}$

${fnMicrosoft Sans Serif} }=0}$

Un ejemplo de este caso es un nadador de pie y el cambio de temperatura en un lago temprano en la mañana: el agua gradualmente se vuelve más caliente debido a la calefacción del sol. En cuyo caso el término ${displaystyle {partial varphi }/{partial t}$ es suficiente para describir la tasa de cambio de temperatura.

Si el sol no está calentando el agua (es decir, ${displaystyle {partial varphi }/{partial t}=0}$), pero el camino x()t) no es un paralismo, el derivado del tiempo φ puede cambiar debido al camino. Por ejemplo, imagine que el nadador está en una piscina inmóvil de agua, interior y no afectado por el sol. Un extremo resulta estar a una temperatura constante alta y el otro extremo a una temperatura constante baja. Al nadar de un extremo al otro el nadador siente un cambio de temperatura con respecto al tiempo, aunque la temperatura en cualquier punto (estático) dado es una constante. Esto se debe a que el derivado se toma en la ubicación cambiante del nadador y el segundo término a la derecha ${displaystyle {dot {fnh}cdot nabla varphi }$ es suficiente para describir la tasa de cambio de temperatura. Un sensor de temperatura conectado al nadador mostraría la temperatura variable con el tiempo, simplemente debido a la variación de temperatura de un extremo de la piscina al otro.

La derivada material finalmente se obtiene cuando se elige la trayectoria x(t) para que tenga una velocidad igual a la velocidad del fluido

$${fnMicrosoft Sans Serif} - Sí.$$

Es decir, el camino sigue la corriente de fluido descrita por el campo de velocidad del fluido u. Entonces, el derivado material del escalar φ es

$${displaystyle {frac {mathrm} {D} varphi }{mathrm {d}={frac {partial varphi }{partial t}}+mathbf {u} cdot nabla varphi.}$$

Un ejemplo de este caso es una partícula liviana y de flotabilidad neutra arrastrada a lo largo de un río que fluye y experimenta cambios de temperatura mientras lo hace. La temperatura del agua localmente puede estar aumentando debido a que una parte del río está soleada y la otra a la sombra, o que el agua en su conjunto puede estar calentándose a medida que avanza el día. Los cambios debidos al movimiento de la partícula (a su vez causado por el movimiento del fluido) se denominan advección (o convección si se transporta un vector).

La definición anterior se basó en la naturaleza física de una corriente de fluido; sin embargo, no se invocó ninguna ley de la física (por ejemplo, se suponía que una partícula ligera en un río seguiría la velocidad del agua), pero resulta que muchos conceptos físicos se pueden describir de forma concisa utilizando la derivada material. Sin embargo, el caso general de la advección depende de la conservación de la masa de la corriente de fluido; la situación se vuelve ligeramente diferente si la advección ocurre en un medio no conservador.

Solo se consideró una ruta para el escalar anterior. Para un vector, el gradiente se convierte en una derivada tensorial; para campos tensoriales es posible que deseemos tener en cuenta no solo la traslación del sistema de coordenadas debido al movimiento del fluido sino también su rotación y estiramiento. Esto se logra mediante la derivada del tiempo convectiva superior.

Coordenadas ortogonales

Se puede demostrar que, en coordenadas ortogonales, la j-ésima componente del término de convección de la derivada material viene dada por

$${displaystyle [left(mathbf {u} cdot nabla right)mathbf {A}_{j}=sum _{i}{i}{frac {fnK} {f} {fnK}}} {fnK}}} {f}}} {f}}} {f}}} {f}}} {f}}}}}}} {f}}} {f}}}} {f}}}}}}} {f}}} {f}}}}} {f}}} {f}}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}} {f}}} {f}}}}}} {f} {f}}}}}}}}}}}}}} {f}}}} {f} {f} {f} {f}}}} {f}}} {f}}}}}}f}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {partial A_{j}{partial q^{i}}+{frac {fnh} {fn}}left(u_{j}{f} {fnh}} {fn}} {f}}} {f} {f}} {fn}}}} {f}}}} {f} {f}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}} {p}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {p}}}}}}}}}} {p}}}}}}}}}}}}}}} {p}} {p}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}p}p}}}}}}}}}}}}}}}}p}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}}}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}} { ¿Por qué? {fnMicrosoft Sans Serif}$$

donde los h_i están relacionados con los tensores métricos por

$${displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif}$$

En el caso especial de un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional (x, y, z) y A es un tensor 1 (un vector con tres componentes), esto es simplemente:

$${displaystyle (mathbf {u} cdot nabla)mathbf {A} ={begin{pmatrix}displaystyle u_{x}{frac {partial A_{x}{partial}{ {fnK}} {fnMicroc {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {fn}}}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}} {f}}}}} {f} {fnMicroc {f}fn}}}}}}}}}}}}f}}\\\\\\\\\\\\\\f}f}\f}f}\f}f}\f}f}f}\f}f}\\f}f}\f}\f}f}\f}f}\f}\\f}f}\f}f}fn}\fn}\\\\\\\\\\\fn ¿Qué? A_{x}{partial ###\displaystyle u_{x}{frac}\\\\\displaystyle u_{x}{s}{s}{s} {s}}}\\\\\\\\\\\\\\\fnK}\\\\\\\\\\\\\\\\\displaystyles0}}\\\\\\\\\\\\\displaystyles00}\\\\\\\displaystyles00}}\\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\fn {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft}}}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}}} {fnMicrosoft}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}} { {fnMicroc {fnK} {f}} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {f}}} {fn}}}} {f}}}} {fnMicroc {fn}} {f}}f}} {f}f}f}f}f}f}f}}f}f}\\f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}\f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}\\\f}\\\\ ¿Qué? A_{y}{partial {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {f}} {\fnMicrosoft}}} {f}}}}\\\\\fnK}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnK}\\\\\\\\\\\\\\\\\fnK\\\\\\\\\\\fnK\\\\\\\\\fnK\\\\\displaystylesK\displaystyles0}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\fn {fnMicroc {fnK} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}} {fnMicroc}} {f}} {fnMicrosoft}}} {fn}}}}} {f}}}f} {fnMicroc} {f}}}}}}}}}}}}}}} {\f}\\\f} {f}f} {f}f} {f}f}f} {f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} ¿Qué? A_{z}{partial {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$$

Donde ${displaystyle {frac {partial (A_{x},A_{y}}{partial (x,y,z)}}}}$ es una matriz Jacobiana.